XIX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Прогрессии в нашей жизни

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Мешкова А.А. 1

---

1МБОУ СОШ №16, 9А

Драйцель И.В. 1

---

1МБОУ СОШ №16

Работа в формате PDF

278.8 KB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Тема проекта: Прогрессии в нашей жизни

Актуальность: Для многих школьников актуален вопрос, используется ли та информация, которую нам дают в школе за ее пределами. Изучая математику внимательнее, можно заметить, что рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле. Передо мной возник вопрос, а в каких жизненных ситуациях можно применить знания о прогрессиях?  Можно ли увидеть  прогрессию в природе, экономике и других областях жизни человека? Действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни? 

Цель работы:  Установить картину возникновения  понятия прогрессии. Найти применение прогрессий в жизненных ситуациях. Узнать и рассказать интересные факты про прогрессии.

Задачи исследования:

1. Найти необходимую информацию о прогрессиях.  

2. Выяснить, имеют ли прогрессии практическое применение в повседневной жизни.

Историческая справка

Слово прогрессия латинского происхождения (progressio), буквально означает «движение вперёд» (как и слово «прогресс») и встречается впервые у римского автора Боэция (V-VIвв.), первоначально под прогрессией понимали всякую числовую последовательность, построенную по закону, позволяющему неограниченно продолжать её в одном направлении, например последовательность натуральных чисел, их квадратов и кубов. В конце средних веков и в начале нового времени этот термин перестаёт быть общеупотребительным. В XVII веке, например, Дж. Грегори употребляет вместо прогрессии термин «ряд», а другой видный английский математик, Дж. Валлис, применяет для бесконечных рядов термин «бесконечные прогрессии».

Существует много старинных задач, дошедших до нас, связанных с прогрессией.

1. «Задача о семи старухах".

Старухи направляются в Рим, каждая имеет 7 мулов, каждый мул тащит 7 мешков, в каждом мешке находится 7 хлебов, у каждого хлеба лежит 7 ножей, каждый нож нарежет 7 кусков хлеба. Чему равно общее число всего перечисленного?  

В историческом отношении эта задача интересна тем, что она тождественна с задачей, которая встречалась в папирусе Ринда (Египет), то есть через три тысячи лет после египетских школьников задачу предлагалось разрешить итальянским школьникам.

 Решение: 7, 49, 343, 2401, 16807, 117649–это геометрическая прогрессия, первый член b₁= 7 и знаменатель прогрессии q=7.

 b_n= b₁ ·q_n-1.  

b₆= 7·76-1= 7 ·75= 117649.

 S_n=

S₆ =

Ответ: общая сумма 137256.        

2. По преданию, когда-то очень давно жил на свете индусский царь Шерам. Научился он игре в шахматы, был восхищен ее остроумием и разнообразием  в ней положений.

И приказал он слугам позвать изобретателя игры Сета. Он желал достойно наградить изобретателя за прекрасную игру, которую он придумал. Дал он возможность Сету самому назвать награду, которая его удовлетворит, и он получит ее.

Сета сказал, чтобы повелитель, приказал выдать ему за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно. Шерам удивленно переспросил, что простое пшеничное зерно? Сета сказал, что да. И продолжил, что за вторую клетку 2 зерна, за третью - 4, за четвертую - 8, за пятую - 16, и так до 64-й клетки. Царь Шерам рассмеялся.

Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая и моря, и океаны, и горы, и пустыню, и Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за пять он смог бы рассчитаться. Но в целом зерен должно было бы получиться18.446.744.073.709.551.615 (Восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать).

Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции.  В Древнем Египте в V в до н.э. греки знали прогрессии и их суммы:

        1+2+3+…+n = =2+4+6+…+2n = n·(n+1).

Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым (V в).

В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко второму тысячелетию до нашей эры, встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий. Вот пример задачи из египетского папируса Ахмеса: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками и, разность же между каждым человеком и его соседом равна меры».

Определения и формулы

Числа, образующие последовательность, называют членами последовательности. Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена, например а₁,а₂,а₃,а₄ и т. д. Вообще член последовательности с номером n обозначают a_n

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, в которой разница между соседними числами одинакова и равна d.

Каждая арифметическая прогрессия имеет вид:

a₁, a₁+d, a₁+2d,…,a₁+(n-1)d иобозначается  (a_n)

По определению арифметической прогрессии мы получаем рекуррентную формулу для n-го члена: a_n = a_n-1 + d. Из неё можно вывести аналитическую формулу:

a₂ = a₁ + d,

a₃ = a₂ + d = (a₁ + d) + d = a₁ + 2d
a₄ = a₃ + d = (a₁ + 2d) + d = a₁ + 3d,...

Получаем:

a_n = a₁ + (n – 1)d

Например:
Найдём a₇, если известно, что a₁ = 5, d = 3.
По формуле n-го члена получаем: a₇ = a₁ + 6d = 5 + 6 · 3 = 23

1. Свойства арифметической прогрессии

Свойство 1. Линейность

Арифметическая прогрессия является линейной функцией f(n) = kn + b:

a_n = dn + (a₁ – d)

с угловым коэффициентом k = d и свободным членом b = a₁ – d.(см.пр.1)

При d > 0 прогрессия линейно, возрастает при d < 0 прогрессия линейно убывает

Следствие: любую арифметическую прогрессию можно задать формулой:

n ∈ N, b ∈ R, d ∈ R

где d, b – некоторые числа.

Свойство 2. Признак арифметической прогрессии

Для того чтобы числовая последовательность была арифметической прогрессией необходимо и достаточно, чтобы каждый её член, начиная со второго, был средним арифметическим предыдущего и последующего членов:

, n ∈ N, n≥2

Следствие: каждый член прогрессии является средним арифметическим двух равноудалённых от него членов:

, n∈ N, n≥k+1

Например:
Найдём a₉, если известно, что a₇ = 10, a₁₁ = 15
По следствию из признака арифметической прогрессии:

Свойство 3. Равенство сумм индексов

Если {a_n} – арифметическая прогрессия, то из равенства сумм индексов следует равенство сумм членов:

m+k=p+q⇒a_m+a_k=a_p+a_q

Следствие: сумма членов, равноудалённых от концов прогрессии, является постоянной величиной:

a₁+a_n=a₂+a_n-1=a₃+a_n-2

Например:
Найдём a₆, если известно, что a₂ = 5, a₄ = 10, a₈ = 20
По равенству сумм индексов a₂ + a₈ = a₄ + a₆
Откуда a₆ = a₂ + a₈ – a₄ = 5 + 20 – 10 = 15

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна произведению среднего арифметического её крайних членов и количества членов:

Если учесть, что a_n = a₁ + d(n – 1), получаем ещё одну формулу для суммы:

Например:
Найдём сумму первых 100 натуральных чисел: 1 + 2 +...+ 100
В этом случае a₁ = 1, a₁₀₀ = 100, n = 100

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называют числовую последовательность, каждый член которой b_n, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена b_n-1 и некоторого постоянного числа q:

b_n= b_n-1q, n ∈ N, n≥2,

Число q называют знаменателем геометрической прогрессии.

Например:
1. Последовательность 1, 3, 9, 27, ... является геометрической прогрессией с

b₁ = 1, q = 3.
2. Последовательность является геометрической прогрессией с b₁ = 9, q=

Формула n-го члена геометрической прогрессии

По определению геометрической прогрессии мы получаем рекуррентную формулу для n-го члена: b_n = b_n-1q. Из неё можно вывести аналитическую формулу:

b₂ = b₁q,   b₃ = b₂q = (b₁q)q = b₁q²,   b₄ = b₃q = (b₁q²)q = b₁q³,...

Получаем:

b_n = b₁q^n-1

Например:
Найдём b₅, если известно, что , q=2

По формуле n-го члена получаем:

1. С войства геометрической прогрессии

Свойство 1. Экспоненциальный рост/падение

Геометрическая прогрессия с положительными первым членом и знаменателем b₁ > 0,

q > 0 является показательной функцией вида f(n) = kqⁿ

Свойство 2. Признак геометрической прогрессии

Для того чтобы числовая последовательность была геометрической прогрессией необходимо и достаточно, чтобы каждый её член, начиная со второго, был средним геометрическим предыдущего и последующего членов:

, n ∈ N, n≥2, n≥k+1

Например:
Найдём b₉, если известно, что , b₁₁=4
По следствию из признака геометрической прогрессии:

Свойство 3. Равенство сумм индексов

Если {b_n} – геометрическая прогрессия, то из равенства сумм индексов следует равенство произведений членов:

m+k=p+q⇒b_mb_k=b_pb_q

Следствие: произведение членов, равноудалённых от концов прогрессии, является постоянной величиной:

b₁b_n=b₂b_n-2=b₃b_n-3

Например:
Найдём b₆, если известно, что b₂ = 5, b₄ = 10, b₈ = 40
По равенству сумм индексов b₂b₈ = b₄b₆
Откуда

2. Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Сумма первых n членов геометрической прогрессии равна

,

Если учесть, что b_n = b₁q^n-1, получаем ещё одну формулу для суммы:

,

Например:
Найдём сумму первых 10 степеней двойки: 2 + 2² + 2³ + ... + 2¹⁰
В этом случае b₁ = 2, q = 2, n = 10
Получаем:

Применение прогрессий в жизни

Примеров на применение прогрессий  в разных областях жизни много. Они встречаются повсюду. Но мы даже этого не замечаем. Рассмотрим эти примеры.

1. Прогрессии в биологии.

Известно, что бактерии размножаются делением: одна бактерия делится на две; каждая из этих двух в свою очередь тоже делится на две, и получаются четыре бактерии; из этих четырех в результате деления получаются восемь бактерий и т. д. (геометрическая прогрессия). Результат каждого удвоения называется поколением.

Справка:
Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн. Таким громадным количеством бактерий можно было бы заполнить около 375 железнодорожных вагонов.
Интенсивность размножения бактерий используют в пищевой промышленности (для приготовления напитков, кисломолочных продуктов, при квашении, солении и др.), в фармацевтической промышленности (для создания лекарств, вакцин), в сельском хозяйстве (для приготовления силоса, корма для животных), в коммунальном хозяйстве и природоохранных мероприятиях (для очистки сточных вод, ликвидации нефтяных пятен).

Тля.
За 1 – 1,5 летних месяцев одна единственная тля может оставить более 300 млн. потомков, а за год её потомство способно будет покрыть поверхность земного шара слоем толщиной почти в 1 метр.
Муха.
Если бы потомство одной пары мух не погибало по различным причинам, то девятое поколение наполнило бы куб со стороной 140 км, а если сравнить с нитью, то такая нить опоясала бы земной шар 40 млрд. раз.
Одуванчик.
Аналогично один одуванчик за 10 лет даст потомство, которое может покрыть сушу земного шара 15 раз.

2. Прогрессии в медицине

Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?
Решение:
Итак, приём капель по данным задачи будет выглядеть следующим образом:
5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5
Выделен первый период приёма лекарства, найдём количество дней приёма лекарства за первый период. А затем сумму арифметической прогрессии. a_n=а₁+d(n-1),

40=5+5(n-1),

n=8,

,

,
Мы высчитали, что180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же по второй период. Всего он принял 180+40+180=400(капель). Теперь найдём необходимое количество пузырьков: 400:250=1,6 (пузырька). Значит, надо купить 2 пузырька лекарства.  

3. Прогрессии в литературе

Даже в литературе мы встречаемся с математическими понятиями. Вспомним строки из "Евгения Онегина".

«...Не мог он ямба от хорея,

Как мы не бились отличить...»

Ямб - это стихотворный размер с ударением на чётных слогах 2; 4; 6; 8... Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.

«Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил...»

Прогрессия: 2; 4; 6; 8...

Хорей - это стихотворный размер с ударением на нечётных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7... С первым членом 1 и разностью прогрессии 2.

«Я пропАл, как звЕрь в загОне»

Прогрессия: 1; 3 ;5; 7...

4. Прогрессии в Физике

Нейтрон, ударяя по ядру урана, раскалывает его на 2 части, получаются 2

нейтрона. Затем 2 нейтрона, ударяя по двум другим ядрам, раскалывают их ещё на 4 части и т.д. – это геометрическая прогрессия;

При свободном падении тело прошло в первую секунду 5 м, а в каждую следующую на 10 м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло его дна через 5 с после начала падения.

Решение

Пути, пройденные телом за каждую секунду, представляют собой арифметическую прогрессию с первым членом a₁  =  5 и разностью d  =  10. Путь, пройденный телом за 5 секунд, найдем по формуле суммы арифметической прогрессии при n  =  5:

Ответ:125 метров

5. Прогрессии в спорте

Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день они проходили на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000м?
Решение.
Последовательность пройденных расстояний представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом a₁  =  1400 и разностью d  =  − 100. Сумма n первых членов этой прогрессии =5000

·n=5000⇔n·(2800+(-100)(n-1))=10000⇔100n²-2900n+10000=0⇔n²-29n+100=0

Условию задачи удовлетворяет n=4 ( при n=25 а_n=-1000, но а_n>0)
Значит, альпинисты покорили высоту за 4 дня.

Практическая часть

1. Размножение микроорганизмов

Бактерии в благоприятных условиях растут очень быстро. Как простейшие одноклеточные организмы, бактерии размножаются делением. Достигая своих максимальных габаритов, клетка начинает процесс деления. Спустя определённое время, одна бактерия разделившись по середине, оставляет одну свою полноценную и самостоятельную копию. В благоприятной среде процесс деления протекает особенно динамично. Попадая в благоприятные для развития условия, бактерия делится, образуя две дочерние клетки; у некоторых бактерий деления повторяются через каждые 20 минут и возникают все новые и новые поколения бактерий. Произведём некоторые расчёты, составим числовую последовательность из получившегося числа бактерий: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64… . Заметим, что данная последовательность образует геометрическую прогрессию со знаменателем, равным 2. Отметим, что через час четвёртый член последовательности будет равен 8, через 2 часа – седьмой член последовательности будет равен 64 и т.д. Через 6 часов 19-ый член такой прогрессии будет равен 26214

2. Исследование скорости распространения вирусных заболеваний

В качестве материала для исследования я взяла данные по заболеваемости, в нашем городе в период с 13.01 по 23.01.2023 г. которые можно найти в свободном доступе в интернете.

Чтобы найти знаменатель геометрической прогрессии, представим количество заболевших членом b прогрессии, тогда

b₁=36

b₂=37

b₃=39 и т.д. рассчитаем знаменатель прогрессии q для каждой пары по формуле Например: , рассчитаем так все 10 пар и получим что

q₂≈1,05; q₃≈1,02; q₄≈1,15; q5≈1,11; q₆≈1,16; q₇≈1,03; q₈≈1,03; q₉≈0,10; q₁₀≈1,03

Тогда среднее арифметическое всех q будет равно всем q_n деленным на их количество:

Произведя несложные расчеты можно обнаружить, что картина распространения вируса подчиняется формуле n-ого члена геометрической прогрессии, тогда можно определить, что q≈1,071

Заключение

В ходе работы было установлено, что сами по себе прогрессии известны так давно, что нельзя говорить о том, кто их открыл. Также я убедилась в том, что задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, также как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной жизни.

Сделав анализ задач различных учебников, я увидела, что прогрессии встречаются при решении задач в медицине, в строительстве, в живой природе, в спорте и в других жизненных ситуациях.

На сегодняшний день, изучение происхождения и использования в жизни геометрической и арифметической прогрессий является актуальной и важной задачей для современных ученых.

В результате изучения арифметической и геометрической прогрессии ещё раз убедилась, что математика является помощником человека на пути познания законов природы и человеческого общества и идеи математики способствуют развитию всех наук.

Список литературы

1. Дэвисон Р. К. Прогрессии / Р. К. Дэвисон. - М. Мир Урании 2016г. 328 стр.

2. Рассел Д. Арифметическая прогрессия / Д. Рассел. - Издательство: "VSD" (2012)

3. Рассел Д. Геометрическая прогрессия / Д. Рассел. - Издательство: VSD, 2012 г

4. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы -М.: Просвещение, 1990.

5. Интернет-ресурсы

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%8F

https://www.calc.ru/Progressii-Arifmeticheskaya-Geometricheskaya-Formuly.html?ysclid=lapcdqle7666853120