XIX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

ПОИГРАЕМ… МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЫИГРЫШНЫХ СТРАТЕГИЙ

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Бармин И.И. 1Жуков К.Д. 1

---

1МБОУ Барвихинская СОШ

Толстов Д.А. 1

---

1МБОУ Барвихинская СОШ

Работа в формате PDF

881.4 KB

Автор работы награжден дипломом победителя I степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

ВВЕДЕНИЕ

Теория игр это одна из самых увлекательных наук, изучающая принципы принятия решений в ситуациях, в которых несколько человек взаимодействуют между собой. Это взаимодействие является стратегическим, потому что, решения, принимаемые кем-то одним, влияют на решения остальных и тем самым на итог взаимодействия в целом. Теория игр имеет прямое отношение к математике.

Заинтересованность в изучении данной темы возникла в связи с тем, что теория игр применяется, не только во взаимодействии людей в обществе, но и в экономике, кибернетике, социологии, бизнесе, политике, в военном искусстве, и даже в биологии.

Данная тема вносит вклад в фундаментальное математическое школьное образование.

Главная цель изучения теории игр – научится разрабатывать выигрышные стратегии.

Поставленные задачи проекта:

1. Узнать, что такое теория игр;

2. Ознакомиться с историей возникновения теории игр;

3. Изучить области применения теории игр;

4. Рассмотреть классификации игр;

5. Поиграть… смоделировать выигрышную стратегию;

6. Оформление результатов работы с возможностью их дальнейшего

использования в форме брошюры, презентации и устного доклада.

Для наглядности составлен паспорт работы [приложение 2]

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ

• Понятие теория игр

Теория игр - совокупность математических методов решения конфликтных ситуаций (столкновений интересов). Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой в теории игр. Игра – конфликт двух или более сторон, в котором каждая из сторон преследует свои личные интересы. Исследование стратегий участников игры в условиях неопределенности является предметом особого интереса теории игр. Неопределенность обусловлена тем, что две или более стороны преследуют противоположные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от ходов партнеров. Каждая из сторон принимает оптимальные решения, с помощью которых будут выполнены поставленные цели.

Теория игр изучает конфликты двух или более сторон, которых называют игроками. Предметом изучения являются сами игры, стратегии и модели поведения игроков. Поведение игроков определяется стратегией. Стратегия игрока называется моделью поведения. При выборе стратегии необходимо учитывать не только получение максимального результата для себя, но также возможные шаги противоположной стороны, и их влияние на ситуацию в целом.

В теории игр игрой считается не только игра в шахматы, но и игра на бирже, голосование на выборах президента или торг продавца и покупателя на рынке. Взаимодействия такого типа называются стратегическими, а встречаются они практически в любой сфере нашей жизни.

В то время, когда обычный человек моделирует собственные шаги для достижения своих целей, теория игр учитывает шаги конкурентов, их цели и возможные методы взаимодействия и противодействия. Она дает возможность определить, как конкуренты могут прийти к оптимальному решению, а также что им может помешать и какие стратегии лучше применять в том или ином случае.

• История возникновения теории игр

С началом эпохи просвещения и развитием экономической теории зародились основы теории игр. Как самостоятельная наука теория игр начала развиваться в начале XX века. Основоположником теории игр стал Джон фон Нейман, который сделали первые попытки определить игры, стратегии игроков и концепции решения игр. Математические аспекты и приложения теории были изложены в книге Джона фон Неймана и Оскара Моргенштейна «Теория игр и экономическое поведение» 1944 года[1]. Первые концепции теории игр анализировали игры, когда есть проигравшие и выигравшие за их счет игроки, то есть «игры с нулевой суммой».

Во время Второй мировой войны и сразу после нее теорией игр заинтересовались военные, которые увидели в ней аппарат для исследования стратегических решений. После Второй мировой войны, в результате резкого скачка экономики США начались попытки практического применения теории игр в экономике, биологии, технике, кибернетике. До 50-х годов XX века теория игр была математической теорией несмотря на то, что в ней рассматривались экономические модели.

В начале 50-х годов ХХ века Джон Нэш разработал методы анализа, в которых все участники или выигрывают, или проигрывают. Ситуацию устойчивого состояния в игре, когда ни один из игроков не может изменить поведение, чтобы увеличить свой выигрыш, если другие его не поддержат, назвали «равновесие Нэша[4]». По его теории, игроки должны использовать оптимальную стратегию, которая приводит к созданию устойчивого равновесия. Игрокам выгодно сохранять это равновесие, потому что любое изменение приведет к ухудшению их положения. Работы Джона Нэша сделали серьезный вклад в развитие теории игр, были пересмотрены математические инструменты экономического моделирования. По мнению Джона Нэша подход к конкуренции, когда игрок сам за себя не оптимален. Более оптимальны стратегии, когда каждый игрок старается сделать лучше для себя, делая лучше для других. Если все игроки договорятся о сотрудничестве и наметят свои цели, то у них есть возможность добиться общего успеха.

Первая Нобелевская премия за результаты в области теории игр, врученная в 1994 году Джону Нэшу, Райнхарду Зелтену и Джону Харсаньи утвердила статус теории игр как самостоятельного научного направления со своими задачами и методами их решения. Большим вкладом в применение теории игр стала работа Нобелевского лауреата по экономике 2005 года Томаса Шеллинга «Стратегия конфликта».

В ведущих университетах мира на программах по экономике и политическим наукам теория игр входит в стандартный набор курсов. В дисциплине теории игр сформировался пласт знаний, который позволяет получать хорошие и интересные результаты исследователям из смежных областей.

Некоторые направления современной экономической теории невозможно описать без применения теории игр.

• Области применения теории игр

В настоящее время математическая теория игр находится на стадии активного развития. Но математическая база по своей сути является очень затратной, поэтому применяется она только, если цели оправдывают средства, а именно: в экономике монополий и распределения рыночной власти, политике. В остальном же, теории игр применяется для изучения поведения человека и животного в различных ситуациях.

Впервые теоретико-игровой анализ был использован для описания поведения животных в 30-х годах ХХ века. Теория игр используется не только для объяснения и предсказания поведения человека, также были предприняты попытки использовать теорию игр для разработки теорий эталонного поведения. Экономисты и философы применяли теорию игр для лучшего понимания достойного или хорошего поведения.

Изначально теория игр развивалась в рамках экономической науки, позволяя понять и объяснить поведение экономических субъектов в различных ситуациях. В экономике теория игр применяется повсеместно: аукционы, финансовые рынки, монополии, олигополии и многое другое.

Позже область применения теории игр была расширена и стала включать в себя множество социальных наук. В настоящее время теория игр используется для объяснения поведения людей в политологии, социологии и психологии.

В социологии теория игр применяется с целью понять, объяснить и контролировать игры с социальной значимостью. Социологи пытаются понять причины действий групп игроков, моделируют игры, проводят исследования и используют полученные знания, чтобы найти наиболее выгодную стратегию. В психологии теория игр изучает действия каждого отдельно взятого игрока. В той или иной степени, теорию игр используют психологи, социологи, маркетологи и много другие люди.

В политике теория игр применяется для взаимодействия игроков (стран) и анализа ситуаций, для решения игр и для поиска наилучших стратегий. У стран существуют территориальные, торговые, союзные и прочие конфликты. С помощью теории игр страны могут достичь взаимовыгодные договоренности. Конечно же, теория игр применяется в голосованиях – кандидаты перед выборами используют разные стратегии для увеличения шансов на выигрыш.

В экономике теория игр используется повсеместно. К экономическим играм, например, относятся – аукцион, монополия, олигополия, рынки и прочие. Существуют модели игр, которые характеризуют те или иные игры и являются универсальными, могут быть использованы во всех подходящих по характеристике играх[4].

В повседневной жизни, мы анализируем ситуацию, выстраиваем логические цепочки и придумываем стратегии, используя теорию игр, даже не догадываясь об этом.

• Классификации игр

• Кооперативные, некооперативные и гибридные игры

В кооперативных играх игроки объединяются в группы, берут на себя обязательства перед другими игроками и координируют свои действия. В некооперативных играх каждый игрок должен играть сам за себя. В гибридные игры включены элементы кооперативной и некооперативной игр. В них каждый игрок преследует интересы своей группы, но при этом пытается получить личную выгоду.

• Симметричные и несимметричные игры

В симметричной игре, игроки будут иметь одинаковые вознаграждения. В данной игре, если игроки поменяются местами, при этом получат выигрыши за одни и те же ходы, как если бы не менялись местами. Игры с двумя игроками, как правило, симметричные игры.

• Игры с нулевой и ненулевой суммой

Игры с нулевой суммой - игры с постоянным фондом игры, когда доступные ресурсы игры не могут стать больше или меньше. При этом сумма всех выигрышей равно сумме всех проигравших за каждый ход. В играх с ненулевой суммой выигрыш одного игрока не обязательно означает потерю другого игрока и результат такой игры, соответственно может быть больше или меньше нуля.

• Параллельные и последовательные игры

В параллельных играх все игроки совершают свой ход в данный всем промежуток времени, не зная действия оппонентов, до момента завершения игры. В последовательных играх игроки могут делать ходы в заранее установленном, либо случайном порядке, но при этом они получают некую информацию о предшествующих действиях других игроков.

• Игры с полной и неполной информацией

В игре с полной информацией игроки знают ходы, сделанные до текущего момента, а также возможные стратегии противников. В параллельных играх полная информация недоступна. В игре с неполной информацией, игроки располагают лишь частичной информацией о противнике.

• Игры с бесконечным и конечным числом шагов

Игры с бесконечным числом шагов не имеют ограничения в количестве шагов. И напротив, игры с конечным количеством шагов ограничены их количеством.

• Дискретные и непрерывные игры

Дискретные игры – игры с ограниченным количеством шагов, событий и исходов. Непрерывные игры – игры, которые продолжаются бесконечное количество времени.

Рассмотрим пример простой игры:

Два игрока, играют один раз. Первый игрок может поделить 11 000 000 рублей между собой и вторым игроком. Второй игрок может согласиться с решением первого игрока и разделить выигрыш, либо отказаться – тогда никто ничего не получает.

Попробуем классифицировать эту игру:

- некооперативная игра, потому что нельзя объединиться в группу;

- не симметричная игра, потому что первый и второй игрок имеют разные действия в игре;

- игра с ненулевой суммой, потому что весь выигрыш может пропасть;

- последовательная игра, потому что решения принимаются по очереди, сначала первый игрок, потом второй;

- игра с полной информацией, потому что второй игрок имеет информацию о действиях первого игрока;

- игра с конечным количеством шагов, потому что их всего два;

- дискретная игра, потому что число действий ограничено.

Выбираем стратегию:

n > 0: Любой игрок согласится поделить выигрыш;

n = 0: Игрок может согласиться, а может и отказаться.

В этой игре оптимальная стратегия первого игрока предложить второму игроку 1 000 000 рублей, а 10 0000 000 рублей забрать себе[5]

• Поиграем…Моделирование выигрышных стратегий

Теперь попробуем поиграть и проанализировать игру применив теорию игр.

В нашей игре мы будем искать алмазы. Процесс это очень трудоемкий, финансово затратный и рискованный. Для принятия решения в условиях риска используется критерий математического ожидания, но это оправдано, когда принятие решения проводится многократно в одинаковых условиях. Если решение принимается только один раз, и его последствия существенны для принимающего решение, то логично провести эксперимент, который позволит уточнить состояние природы. Здесь необходимо учитывать стоимость такого эксперимента. Подход к принятию решений в условиях риска с возможностью проведения эксперимента можно проводить по формуле Байеса. Рассмотрим такой подход на нашем примере:

Руководитель группы геологоразведки должен принять решение копать шурф или нет. Стратегиями руководителя является:

– копать,

– не копать.

Шурф может оказаться пустым (П), с содержанием других драгоценных камней (Д) и с содержанием алмазов (А).

Таблица (таблица 1) прибыли (в тысячах рублей) задается следующей матрицей:

Таблица 1

x \ y	П	Д	А
x1	-80	60	220
x2	0	0	0

Также руководителю группы геологоразведки известно распределение вероятностей на множестве состояний природы, то есть вектор ₀ = (0.5, 0.3, 0.2).

С помощью критерия математического ожидания, получаем:

M ₀ = (-80) * 0.5 + (60) * 0.3 + (220) * 0.2 = 22,

M ₀ ( ) = (0) * 0.5 + (0) * 0.3 + (0) * 0.2 = 0

Таким образом, оптимальная стратегия в нашем случае x₁ - копать.

Как мы уже упоминали выше, в нашем случае решение принимается только один раз и его последствия связаны с большими материальными затратами, руководитель группы геологоразведки считает до принятия основного решения (копать или не копать) провести эксперимент (сейсморазведку) для определения типа структуры грунта в данной местности на предмет нахождения в нем маркеров, указывающих на возможное содержание алмазов. Структура грунта может быть открытой или замкнутой. Также руководителю известна таблица (таблица 2) результатов подобных экспериментов, проведенных в данной местности.

Таблица 2

Состояние шурфа	Типы грунта		Всего
	открытый	замкнутый
П	44	6	50
Д	11	19	30
А	5	15	20
Всего	60	40	100

Руководитель группы геологоразведки должен принять непростое решение:

1. проводить эксперимент (его стоимость 10 000 рублей);

2. если проводить, то как поступить в зависимости от результатов

эксперимента.

Методика нахождения сложного решения по шагам:

1. Построим дерево анализа сложных альтернатив (рисунок 1).

Ветви дерева соответствуют логическим возможностям:

α - отказ от эксперимента,

β - проведение эксперимента,

- копать,

– не копать,

П, Д, А – возможные состояния природы,

открытый и замкнутый – возможные результаты эксперимента.

Вершину дерева представим, как позиции игры с природой. Ходы, которые делает игрок пометим прямоугольниками. Ходы, которые делает природа пометим кружками.

2. На каждой ветви, являющейся ходом природы (помеченной кружком),

подставляется вероятность этого хода. При отказе от эксперимента используется данное распределение вероятностей на множестве состояний природы. А при проведении эксперимента для подсчета условных вероятностей используется таблица результатов эксперимента. В результате получается следующее:

Р (П) = 0.5, Р (Д) = 0.3, Р (А) = 0.2,

Р_откр (П) = = , Р_откр (Д) = , Р_откр (А) = =

Р_замк (П) = = , Р_замк (Д) = , Р_замк (А) = =

Р (откр)= , Р (замк) = = 0.4

3. Оценку всех позиций дерева производим, спускаясь от конечных

позиций к началу. Конечные позиции оценены в таблице 1 прибылей. Переходя к позиции следующего уровня применяем подсчет соответствующего математического ожидания для позиций природы и операцию максимизации для позиций игрока. Для позиции, соответствующей проведению эксперимента, вычитаем его стоимость. В результате получаем следующую информацию:

(-80) * 0.5 + (60) * 0.3 + (220) * 0.2 = 22

0 * 0.5 + 0 * 0.3 + 0 * 0.2 = 0

max (22, 0) = 22,

(-80) * + 60 * + 220 * = -29.34

0 * + 0 * + 0 * = 0

max (-29.34, 0) = 0,

(-80) * + 60 * + 220 * = 99

0 * + 0 * + 0 * = 0

max (99, 0) = 99,

0 * 0.6 + 99 * 0.4 = 39.6;

39.6 – 10 = 29.6;

max (22, 29.6) = 29.6

В результате решения нашей игры мы пришли к следующему выводу. Целесообразным является решение проводить эксперимент (сейсморазведку). В нашей игре сейсморазведка показала, что структура грунта замкнутая и копать шурфы нужно, а ожидаемая прибыль составит 29 600 рублей.

Рисунок 1

ПРАКТИЧЕСКИЙ РАЗДЕЛ

Для наглядности изучения темы «Теория игр» мы подготовили буклет [приложение 1] – практическое пособие «Поиграем… Моделирование выигрышных стратегий».

Практическое пособие мы сделали, основываясь на свою проектную работу. Для подготовки буклета мы выделили понятие теории игр, историю возникновения теории игр, область применения теории игр, рассмотрели классификацию теории игр. Далее проиграли игру, применяя теорию игр, показали наглядные расчеты в процессе игры. На конкретных примерах, как нам кажется, доступно показали, как можно проиграть заданную ситуацию.

В ходе подготовки буклета в электронном виде мы использовали свои ноутбуки и такие компьютерные программы, как: Word, Excel, PowerPoint, Paint.

Расчетная часть практического пособия производилась в Excel, копировалась в Word для редактирования шрифтов, далее переносилась в Paint для преобразования в картинки. И уже готовые картинки переносились в PowerPoint.

Готовый электронный буклет нам распечатали на цветном принтере, в котором использовались экосольвентные[10] чернила (чернила с низким содержанием летучих органических соединений и особо мелкими частицами пигмента) с использованием офисной бумаги с улучшенными свойствами, произведенной из специально обработанных мелких растительных волокон.

Стоимость изготовления буклета [приложение 1] (печать и сшивка) составила 2 000 рублей.

Проведенная нами работа оказалась очень трудоемкой, но экономически не дорогой.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе изучения темы «Поиграем… Моделирование выигрышных стратегий» мы выяснили, что изучение теории игр полезно, когда:

- необходимо принять важное решение. В нашей жизни складываются ситуации, требующие продуманного решения, которое может изменить множество вещей.

- необходимо логическое мышление, думать на шаг, а то и на два вперед. Наша интуиция не всегда верна, теория игр научит нас мыслить логически и проверять даже самые очевидные ситуации. Также теория игр поможет нам научиться мыслить в долгосрочной перспективе и учитывать большее количество деталей.

- необходимо расширить свой кругозор. Любое знание полезно, а многогранные знания полезны вдвойне. Теория игр также полезна и интересна.

Но с дугой стороны теория игр является очень сложной областью знаний. При использовании ее необходимо соблюдать осторожность и четко знать границы применения. Очень простые толкования могут таить в себе скрытую опасность. Анализ на основе теории игр рекомендуется проводить для особо важных проблемных областей. В ходе проделанной нами практической части работы наглядно показано, что использование теории игр предпочтительно при принятии однократного, принципиально важного стратегического решения.

Математика - это наука, которая поможет нам разобраться с теорией игр на практике!

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Нейман Дж. Фон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. – М.: Наука, 1970

2. Васин А.А., Морозов В.В. Теория игр и модели математической экономики – М.: МГУ, 2005

3. Теория игр – Научный журнал ПостНаука

4. Теория игр: Введение, Интернет ресурс: https://habr.com/ru/post/

5. Теория игр и ее применение в жизни, Интернет ресурс: https://habr.com/ru/post/

6. Мазалов В.В. Математическая теория игр и приложения, - Санкт-Петербург-Москва-Краснодар: Лань, 2010

7. Кузнецова И.А., Сергеева Н.В., Руководство к решению задач по теории игр и исследованию операций// Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

8. Раскин М.А. Введение в теорию игр// Летняя школа «Современная математика». – Дубна, 2008

9. Теория игр – Википедия

10. Статья «Экосольвентные чернила», Интернет ресурс: https://ru.wikipedia.org

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Фото обложки и одной из страниц готового иллюстрированного буклета

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ПАСПОРТ ПРОЕКТНОЙ РАБОТЫ