II Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ. ОТ ИСТОКОВ ДО НАШИХ ДНЕЙ.
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
I. Введение
Цели и задачи:
1. Изучить и сравнить древние и современные системы счисления.
2. Найти сходства и различия в древних и современных системах счисления.
3. Классифицировать системы счисления
Объекты исследования:
Древние и современные системы счисления
Методы:
1. Сравнительно-сопоставительный
2. Индукция.
3. Моделирование
4. Обобщение
5. Систематизация
6. Анкетирование
В школе на уроке информатики мы столкнулись с темой "Системы счисления". В учебнике была напечатана такая фраза: «Десятичная система связана со счетом на пальцах». Подробно изучить и разобрать этот момент, не было возможности, в связи с лимитом времени на уроке. Поэтому мы решили поглубже окунуться в эту тему самостоятельно. И открыли для себя целый мир цифр и символов.
Объектом наших исследований стали системы счисления, которых оказалось гораздо больше, чем мы даже могли предположить. Стало очень интересно узнать о жизни предков и попробовать считать как они. По мере изучения выяснилось, что и в наши дни осталось достаточно много «воспоминаний» о канувших в лета системах счислений.
II. Основная часть
Система счисления — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.
1.Все начинается с пальцев
Существует много систем счисления и многие из них используются в разных областях до сих пор. Например, вы когда-то задумывались, почему люди используют именно десятичную систему счисления?
На ранних ступенях развития общества люди почти не умели считать. Они различали совокупности двух и трех предметов; всякая совокупность, содержавшая большее число предметов, объединялась в понятии «много». (слайд 4) Предметы при счете сопоставлялись обычно с пальцами рук и ног. По мере развития цивилизации потребность человека в счете стала необходимой. Первоначально натуральные числа изображались с помощью некоторого количества черточек или палочек, затем для их изображения стали использовать буквы или специальные знаки. Ну а что может быть проще, чем собственные пальцы?
Таким образом, что вполне логично, существовали пятеричная и двадцатеричная системы счисления.
2.Пятеричная система счисления
По свидетельству известного исследователя Африки Стэнли, у ряда африканских племен была распространена пятеричная система счисления.
Долгое время пользовались пятеричной системой счисления и в Китае. Очевидна связь этой системы со строением человеческой руки. (слайд 8) Также пятеричная система использовалась в Древнем Риме. Происхождение цифр явно связано со счетом с помощью тех же «подручных средств». Только здесь уже в ход пошли не только пальцы, а кисти рук полностью.
3.Двадцатеричная система счисления
Но совсем непростительно было бы не воспользоваться и остальными «счетными средствами».
Таким образом, у ацтеков и Майя была принята двадцатеричная система счисления за одним исключением: во втором разряде было не 20, а 18 ступеней, то есть за числом (17)(19) сразу следовало число (1)(0)(0). Это было сделано для облегчения расчётов календарного цикла, поскольку (1)(0)(0) = 360 примерно равно числу дней в солнечном году. Для записи основными знаками были точки(единицы) и отрезки(пятёрки).Также двадцатеричная система счисления была принята и у кельтов, населявших Западную Европу, начиная со второго тысячелетия до нашей эры. Основу для счета в этой системе составляли пальцы рук и ног. Некоторые следы двадцатеричной системы счисления кельтов сохранились во французской денежной системе: основная денежная единица – франк делится на 20 су.
4.Шестидесятеричная система счисления
Также нельзя не сказать о шестидесятеричной системе счисления.
Происхождение этой системы неясно. По одной гипотезе, она связана с применением двенадцатеричной системы счисления и счёта на пальцах (60 = 5 × 12, где 5 — число пальцев на руке).
Вавилонское государство также унаследовало шестидесятеричную систему и передало её, вместе с таблицами наблюдений за небом, греческим астрономам
В более позднее время шестидесятеричная система использовалась арабами, а также древними и средневековыми астрономами, в первую очередь, для представления дробей. Поэтому средневековые учёные часто называли шестидесятеричные дроби «астрономическими». Эти дроби использовались для записи астрономических координат — углов, и эта традиция сохранилась по сей день. В одном градусе 60 минут и в одной минуте 60 секунд. Возможно, эта система взята не от человека, а от Солнца. По представлениям древних астрономов год состоял из 360=60×6 дней, то есть за одни сутки Солнце сдвигалось относительно звезд на 1/360 всего годового пути, а именно на 1 градус. Число 60 лежит и в основе более мелких угловых единиц: минут и секунд. Представление времени в виде количества суток, часов, минут и секунд: величина «d дней, h часов, m минут, s секунд» соответствует значению d×24×60×60+h×60×60+m×60+s секунд.
5.Двенадцатеричная система счисления
И, наконец, не менее интересная система счисления – двенадцатеричная. Она заслуживает особого внимания! Хотя бы потому, что ею пользовались купцы на Руси, исчисляя товар в дюжинах.
Как говорится, нет предела совершенству. Придумали тот же простой счет на пальцах, но с использованием лишь одной руки. Для этого использовались не пальцы обеих рук, а фаланги одной руки, а большой палец помогал считать, но сам в счет не входил.
Можно провести некоторую параллель между двенадцатеричной системой счисления и нашей, десятичной. В любой системе есть так называемые круглые числа. Итак, наш привычный десяток соответствует дюжине, то есть числу 12, сотня (10×10) соответствует следующему разряду десятичной системы, в двенадцатеричной он называется гроссу, наша тысяча соответствует следующему разряду – массе. Именно отсюда взялось выражение «У меня масса дел…». Здесь используется не физическая величина, а именно эта единица двенадцатеричной системы.
А знаком ли вам жест «чуть-чуть?». Он взялся именно из двенадцатеричной системы счисления. Это не что иное, как единица, то есть наименьшее число системы.
Ну и, раз уж дюжина так основательно вошла в обиход, появились и другие измерения с ее использованием.
Так как чуть ли не основным товаром купцов были шкурки пушных зверьков, именно для них и ввелись новые единицы.
1 резана=2дюжинам белей – шкурок горностая
1 куна=4 дюжинам белей
1 ногата=5 дюжинам белей
1 гривна=100 дюжинам белей
1 гривна=25кунам=50резанам
Элементы двенадцатеричной системы сохранились в Англии и по сей день. В системе мер 1 фут=12 дюймам. В денежной системе 1 шиллинг=12 пенсам. Нередко мы сталкиваемся с отголосками двенадцатеричной системы и в быту: сервиз на 12 персон, на циферблате часов 12 чисел, в году 12 месяцев, 12-летний цикл в названиях месяцев по китайскому календарю, и даже яйца за границей продают по 12 штук в отличие от наших десятков.
6.Алфавитные системы счисления
До сих пор речь шла о системах счисления, в которых использовались цифры. Но существовали также и другие. Для записи цифр использовали буквенные символы. Примеров можно привести несколько.
a.Славянская кириллическая
Начнем с нашей Родины. Древние славяне использовали для счета алфавитную систему счисления. Это значит, что вместо цифр они использовали буквы алфавита. Так «аз»-первая буква, означала единицу, «И»-десятая, означала десять, а буква «рцы»- двадцатая, означала сотню. Более крупные числа, тьма(обозначало 10 000) или миллион, выглядели следующим образом: к обычной цифре добавляли специальный знак, который обозначал тысячу. (слайд)
b. Древнегреческая ионийская
На слайде перед вами древнегреческая ионийская десятеричная система счисления, которая возникла примерно в 3 тысячелетии до нашей эры. Она состоит из отдельных иероглифов: 1(вертикальная палочка обозначавшая, мерную палку), 10 (напоминает путы для стреноживания коров), 100 (мерительная веревка), 1000 (цветок лотоса), 10 000 (указательный палец), 100 000 (лягушка), 1 000 000 (человек, поднявший вверх руки перед таким большим числом), 10 000 000 (Солнце или вся Вселенная). При записи числа иероглифы писались столько раз, сколько в этом числе единиц соответствующего разряда. Разряды писались справа налево (слева – меньшие, справа – большие) – в обратном порядке, чем у нас сейчас. Попробуйте сложить два больших числа, зная, что более 9 одинаковых иероглифов использовать нельзя, и вы сразу поймете, что для работы с этой системой нужен специальный человек. Это являлось недостатком такой системы счисления. Но, с другой стороны нас очень привлекла система знаков для обозначения чисел в Древнем Египте: они очень интересны, своеобразны, а также имеют интересную жизненную интерпретацию.
В дальнейшем эта система претерпела некоторые изменения. Она стала во многом аналогична с древнеславянской. Цифры изображаются с помощью букв, и сверху ставится специальная черточка.
c. Славянская глаголическая
Также можно сказать несколько слов о славянской глаголической десятеричной системе счисления. Эта система была создана для обозначения чисел в священных книгах западных славян. Использовалась она нечасто, но достаточно долго. По организации она в точности повторяет греческую нумерацию. Использовалась она с 8 по 13 в. Числа записывали из цифр так же слева, направо, от больших к меньшим цифрам. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то его пропускали. Для того чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла - горизонтальные черточки над числами, или точки.
7. Классификация систем счислений на позиционные и непозиционные
(слайд 23) В наше время одновременно сосуществуют различные системы счисления: арабская, римская и многие другие. Все они принципиально делятся на позиционные и непозиционные.
-
-
-
Непозиционная система
-
-
Если в системе счисления позиция, на которой находится цифра, влияет на ее величину, то система, соответственно, позиционная. Примером непозиционной системы, помимо известной нам римской, может служить древнеегипетская десятичная, которая возникла во второй половине третьего тысячелетия до нашей эры, в ней использовались специальные цифры для обозначения чисел 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106 и 107. Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из них повторялась не более девяти раз. На слайде представлен пример записи числа 345 на древнеегипетской системе счисления.
Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:
1.Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел,
2.Невозможно представлять дробные и отрицательные числа,
3.Сложно выполнять арифметические операции.
b. Позиционная система
Примером позиционной системы счисления может служить наша с вами система, в среде которой выполняются все наши операции.
Возникновение десятичной системы – это одно из самых важных событий в математике. Неудивительно, что история десятичной системы счисления занимает умы многих ученых. Существует несколько версий возникновения системы. Существует версия, что она зародилась в Китае. Есть также предположение, что ее изобрел Аль-Хорезми (узбекский математик). Но более распространенная версия состоит в том, что история возникновения десятичной системы началась в Индии. Сначала в этой системе счисления было всего девять цифр, ноль появился гораздо позднее.
Европейцы заимствовали систему у арабов, и назвали арабской. Это неправильное название сохранилось и до сих пор. Как ни странно, но сами арабы называют эти цифры индийскими. Первые записи десятичной системы счисления в Европе, найдены в испанских рукописях, которые датируются X веком. Но закрепилась она только в 12 в. Но эта система счисления была очень сложной, и первое время ей даже запрещали пользоваться. История десятичной системы счисления была очень долгой и непростой.
8.Системы счисления в информационных технологиях
Также актуальна тема систем счисления в сфере компьютерного мира и представления данных и кодировании информации. Здесь нашли применение 4 системы счисления: двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная.
(слайд 27) Основоположником двоичной системы является немецкий философ Лейбниц Готфрид Вильгельм. Двоичная система проста, так как для представления информации в ней используются всего два состояния или две цифры. Такое представление информации принято называть двоичным кодированием. Представление информации в двоичной системе использовалось человеком с давних времен. Так, жители островов Полинезии передавали необходимую информацию при помощи барабанов: чередование звонких и глухих ударов (на подобии азбуки Морзе).
С точки зрения технической реализации использование двоичной системы счисления для кодирования информации оказалось намного более простым, чем применение других способов. Действительно, удобно кодировать информацию в виде последовательности нулей и единиц: 0 – отсутствие электрического сигнала, 1 – наличие электрического сигнала.
Компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:
- для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток и нет тока, намагничен и не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, как в десятичной;
- представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;
- двоичная арифметика намного проще десятичной.
Но у двоичной системы есть один недостаток - быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.
Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи. Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Для программистов удобнее работать с более компактной записью. (слайд 29)
В итоге было решено использовать альтернативные и более простые системы счисления: восьмеричную и шестнадцатеричную. Числа 8 и 16 являются степенями двойки (2 в третьей и 2 в четвёртой степени соответственно), поэтому выполнять преобразования из двоичной системы и, наоборот, гораздо легче, чем при десятичной системе счисления, которая не может похвастаться своей причастностью к степеням числа 2.
Кроме того, числа в восьмеричной системе как минимум более приятны глазу и гораздо короче, чем их аналоги в двоичной системе.
(слайд 30) Шестнадцатеричная система счисления так же, как и восьмеричная, используется при составлении программ для более короткой и удобной записи двоичных кодов - команд. Она наилучшим образом подходит для представления данных и адресов в 8-ми, 16-ти и 32-разрядных ЭВМ(электронно вычислительная машина). Байтовые значения удобно выражаются двумя символами, а 16 - и 32-разрядные величины легко поделить на байты.
(слайд 31) Учитывая, что спокойно сосуществуют разные системы счисления, вполне логично предположить, что между ними есть связь. Перевести число из одной системы счисления в другую довольно просто. Чтобы перевести из привычной нам десятичной системы в другую надо всего лишь использовать известное нам с начальной школы деление «уголочком» или столбиком. А так как из десятичной переводят делением, то обратно, что вполне логично, переводят умножением.
III. Заключение
Работая над этим проектом, мы столкнулись с огромным количеством интересной информации. Мы бы хотели закончить наше выступление словами немецкого философа Готфрида Вильгельма Лейбница: «Кто хочет ограничиться настоящим, без знания прошлого, тот никогда его не поймет…»
Анкета соц.опроса. (было опрошено 30 человек)
1. Знаете ли вы, как считали на пальцах, когда счет велся не на десятки, а на дюжины?
2. Сколько это – дюжина?
3. Масса – это сколько?
4. Равно ли число, записанное в римской и в арабской системах счисления тремя единицами?
5. Лягушка – это сколько?
9.Список литературы.
1. Бендукидзе А.Д. О системах счисления // Квант - 1975 - №8 - с 59-61.
2. Вайман А.А. Шумеро-вавилонская математика. III - I тысячелетия до н.э. М.: Изд. вост. лит., 1961. - 278с.
3. Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. Изд. 2-е, испр. идоп. М.: Наука, 1967. - 367 с.
4. Глейзер Г.И. История арифметике в школе: IV - VI кл. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1981. - 239 с.
5. Детская энциклопедия: [В 10-ти т.] Для среднего и старшего возраста. Гл.ред. Маркушевич А.И. Т.2. - Мир небесных тел; Числа и фигуры. -М.: Педагогика, 1972. - 480 с.