II Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
МАТЕМАТИКА И ФОКУСЫ
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Тему моего реферата я выбрала не случайно. Во-первых, я очень люблю математику, во-вторых, очень люблю фокусы и здесь хочу совместить их. Математические фокусы имеют свою особую прелесть.
Математические фокусы своеобразно демонстрирует математические закономерности. Здесь тонкость математики соединяется с занимательностью.
Математические фокусы можно отнести к эксперименту, основанному на математике, а также на свойствах фигур и чисел, которые обличены в необыкновенную форму. И если понять суть того или иного эксперимента, то можно угадать математическую закономерность.
Встречались ли вы с «фокусами» по отгадыванию чисел. Я предлагаю выполнить действия следующего характера: задумываю число, прибавьте к этому числу 2, умножьте полученное на 3, отнимите 5, отнимите задуманное число и т. д. Затем я спрашиваю, что у вас получилось в результате, и, получив ответ, мгновенно сообщаю задуманное вами число.
Для непосвященных кажется удивительной, когда я отгадываю задуманное число. Но если вы узнаете секрет математических фокусов, то сможете не только их показывать, но и придумывать свои новые фокусы. Секрет фокуса становится понятен, если записать предложенные действия в виде алгебраического выражения, где выполнены действия, получаем секрет отгадывания чисел.
Я все время пользуюсь математическими фокусами и иллюзиями среди одноклассников. Они удивляются и просят научить их, но я «со своей скромностью» никого не учу.
В этой работе хочу показать некоторые математические фокусы.
Угадай число
Фокус. Попросим любого задумать число, после этого число он должен умножить на 2, прибавить к результату 8, разделить результат на 2 и задуманное число отнять. В результате вы смело называете число 4.
Секрет. Например, задумали число 7. 7x2= 14 14+ 8= 22 22: 2= 11 11- 7= 4
Угаданный день рождения
Фокус. Объявим, что вы сможете угадать день рождения любого незнакомого человека, сидящего в классе. Вызовем любого желающего и предложим ему умножить на 2 число дня своего рождения. Затем пусть сложит получившееся произведение и число 5, теперь пусть умножит на 50 полученную сумму. К этому результату необходимо прибавить номер месяца рождения (июль — 7, январь — 1) вслух назвать полученное число.
Через секунду вы называете день и месяц рождения зрителя.
Секрет. Все очень просто. В уме от того числа, которое назвали, отнимите 250. У вас должно выйти трехзначное или четырехзначное число. Первая и вторая цифры — день рождения, две последние — месяц.
Отгадывание числа
Для этого математического фокуса Нам понадобятся:
1. заранее приготовленные листы бумаги (по числу зрителей),
2. карандаши или ручки (по числу зрителей),
3. калькуляторы.
Фокус. Представьтесь как великий математик, дрессировщик цифр, читающий чужие мысли. Попросите зрителей задумать какое-нибудь число. Вопрос вы можете задать абсолютно любой, например: сколько дней в неделю вы хотели бы кататься на велосипеде, есть манную кашу, не ходить в школу, бегать по лужам. Весь смысл не в вопросе, а в задуманном зрителями числе.
Раздайте зрителям бумажки и ручки и дайте задание письменно ответить на ваш вопрос. Пусть каждый напишет, сколько дней в неделю он хотел бы есть морковку.
Теперь пусть каждый умножит это число на 2, затем к полученному числу морковок прибавит 5, после чего умножит эту сумму на 50. Теперь пусть каждый сделает следующее: если в этом году уже был день рождения, прибавить 1 750, если нет — 1 749. Теперь из этого числа каждый должен вычесть свой год рождения и к этому числу прибавить 7.
Разгаданный результат математических вычислений
Вам понадобятся: заранее приготовленные листы бумаги , карандаши или ручки , калькуляторы.
Фокус.Предложите задумать трехзначное число и записать его на бумаге. При загадывании числа должно быть выполнено одно условие: цифра сотен не должна быть равна цифре единиц и не должна быть на единицу меньше или больше ее. Если вы еще путаетесь в сотнях и единицах, то на первом месте в трехзначных числах стоят сотни, на втором десятки, на третьем единицы (например, подойдет число 531).
Теперь зрители должны перевернуть задуманное число, т.е. написать цифры в обратном порядке (135).
Затем зрители должны взять эти два числа и из большего вычесть меньшее (531 - 135).
Получившуюся разницу снова нужно перевернуть (396; 693) и сложить эти два числа (396 + 693).
Потом один из зрителей должен прибавить к полученной сумме 100, второй — 200, третий — 300 и т. д.
Теперь вы можете отгадать, что получилось у каждого зрителя, но при том условии, что они к своему последнему числу прибавят цифру 1 089. У первого зрителя, прибавлявшего 100, получится 1 189, у второго — 1 289, у третьего — 1 389.
Теперь попросите любого из зрителей назвать получившуюся цифру.
Должно получиться двухзначное или трехзначное число. Первая цифра — количество морковок, остальные — возраст человека. Секрет фокуса. Сколько бы ни прибавляли и ни отнимали, это все хитрости алгебры. Только ваши зрители не догадываются об этом, весь секрет фокуса в тех числах, которые вы заставляете их прибавлять, отнимать, делить.
Вот как это выглядит. Например, вы загадали 2 дня в неделю для поедания морковки.
Теперь умножьте 2 на 2, получится 4.
Потом к 4 прибавьте 5, получится 9, затем 9 умножьте на 50, получится 450.
Допустим, ваш день рождения 18 июля 1997 г. Например, сейчас сентябрь-месяц и ваш день рождения уже прошел.
Значит, прибавьте к 450 число 1 750, получится 2 200.
Теперь из числа 2 200 вычтите год рождения 1997, получится 203, к этому числу прибавьте 7.
Результат — 210 (2 дня и 10 лет).
Во втором случае из числа 2 199 вычтите 1 997, получится число 202, прибавьте 7, получится 209. Значит, загадано 2 дня морковки и 9 лет загадавшему.
Совет: Перед выполнением этого математического фокуса раздайте зрителям калькуляторы, чтобы они не ошиблись в вычислениях, а для себя на первое время запишите на карточке порядок действий с цифрами: на что умножить, что прибавить, из чего вычесть.
Секрет фокуса.
Для того чтобы узнать, что получилось, вам не нужно знать задуманное число. Главное — прибавлять к числу 1 089 то число (100, 200, 300, 400...), которое они прибавляли в самом конце. Для того чтобы не перепутать, у кого что получилось, в самом конце фокуса можно раздать карточки с цифрами 100, 200, 300 и попросить держать их при отгадывании конечного результата.
Задуманное число
Вам понадобятся: заранее приготовленные листы бумаги (по числу зрителей), карандаши или ручки , калькуляторы.
Фокус. Предложите своим зрителям задумать двузначное число.
Теперь пусть они умножат число его десятков на 2, прибавят к этому произведению число 5, умножат эту сумму на 5, к полученному произведению прибавят 10 и число единиц того числа, которое задумали.
Пусть любой зритель скажет, что у него получилось. Вычтите из полученного результата число 35 (лучше сделать это в уме или на калькуляторе, не посвящая в свои действия зрителей), и вы сможете назвать задуманное зрителями число.
Секрет. Все основано на математических закономерностях, о которых вашим зрителям знать не обязательно.
Как это выглядит в реальном фокусе? Например, зритель задумал число 38: 3 десятка и 8 единиц.
Умножаем 3 на 2, получается 6.
Прибавляем к 6 число 5, получаем 11,
умножаем эту сумму на 5, получаем 55,
прибавляем 10 и получаем 65,
прибавляем число единиц (8) задуманного числа. Получаем 73, вычитаем 35.
В итоге задуманное число — 38.
Число-загадка
Фокус. Попросите зрителя написать любое трехзначное число, но только такое, чтобы крайние цифры отличались друг от друга на число, которое укажет фокусник. Пусть затем он поменяет местами в этом числе крайние цифры. Получится еще одно число. Далее предложите зрителю вычесть меньшее число из большего. Разность всегда делится на 9, и фокусник может всегда сказать наперед, каким будет частное от деления этой разности на 9. [6]
Секрет. Частное же равняется указанной фокусником разности между крайними цифрами числа, умноженной на 11. Например, если сначала взять число 845, то 845-548=279; 279/9=33=11·(8-5).
Чтобы доказать это правило, заметим, что каждое трехзначное число можно представить в виде 100a+10b+с, тогда число с переставленными цифрами будет равно 100c+10b+a.
Вычитая второе из первого и деля его на 9, имеем:
100a+10b+с-(100c+10b+a)/9=99(a-c)/9=11(a-c)
Домино
Фокус. Фокусник предлагает желающему задумать какую-либо косточку, после чего говорит: «Умножьте число очков одной половины на 2, к произведению прибавьте 7 и сумму умножьте на 5; теперь прибавьте к результату число очков другой половины косточки и скажите, что у вас получилось». Фокусник же скажет, какое число вы задумали. [3]
Секрет.Так как же фокусник определил, какое число вы задумали? Для этого надо от сказанного задумавшим результата отнять 35, тогда цифры полученного двузначного числа будут указывать на соответствующие числа очков задуманной косточки домино.
Действительно, если a и b – числа очков задуманной косточки домино, то мы последовательно производим над ними следующие действия.
2а;
2а+7;
10а+35;
10а+35+b.
Отнимая от окончательного результата 35, получим двузначное число 10а+b, цифрами которого будут а и b, т.е. число очков на косточке домино.
Само собой разумеется, что мы можем предложить к произведению прибавить не 7, а любое другое число, которое мы обозначим через m, тогда от окончательного результата надо будет отнять уже не 35, а 5m. Этот же прием можно применить к угадыванию двузначных чисел.
Игральные кости
Атрибутом нескольких числовых фокусов служат игральные кости. Для демонстрации можно изготовить их в увеличенном масштабе, чтобы за процессом могли наблюдать зрители. Игральная кость имеет форму кубика, на гранях которого нанесены точки, количество которых соответствует числам 1, 2, 3, 4, 5, 6, причем соблюдается «принцип семерки»: числа на противоположных гранях в сумме дают семь (1-6 2-5 3-4). Ориентация первых трех чисел показана на рисунке, остальные по «принципу семерки». Такая игральная кость соответствует существующему стандарту.
Четные числа
Предложите кому-нибудь задумать четное число. Затем утроить его, затем взять половину полученного числа и опять утроить ее. Если он скажет, чему равно частное отделение найденного числа на 9, то вы назовете задуманное число.
Переведем команды на язык алгебры:
2n – четное число. После выполнения команд получаем: 2n · 3 = 6n; 6n : 2 = 3n; 3n · 3 = 9n ; 9n : 9 = n; n. n – половина задуманного числа. Чтобы назвать задуманное число, вы должны сообщенное число умножить на 2.
Пример. Пусть задумано 6. после утроения получаем 18, половина этого числа равна 9, утроив, получаем 27. Если теперь разделить на 9, то получим 3, т. е. половина задуманного числа.
Можно предложить любое задуманное целое число. Если утроенное задуманное число на 2 не делится, то к утроенному числу нужно добавит 1, а потом разделить на 2, и действовать как описано выше. Нужно также иметь ввиду, что в этом случае при угадывании числа после удвоения нужно обязательно прибавит 1. Проверим это правило для нахождения любого задуманного числа. Если задумано число четное, проверка уже сделана. Пусть теперь задумано нечетное число 2n + 1, наши действия принимают вид:
(2n · 3) = 6n + 3;. Поскольку это число на 2 не делится, то, прибавляя 1 находим: 6n + 3 + 1 = 6n + 4. разделив это число на 2 получим: 3n + 2.
(3n + 2) · 3 = 9n + 6. частное отделения 9n + 6 на 9 равно n. (остаток равен
6). Удваивая это частное и прибавляя 1, находим задуманное число 2n + 1.
Заключение
В своем реферате я попыталась рассмотреть математические фокусы. Мне было очень интересно доказать, что математические фокусы, не более и не менее, как особая форма показа математических закономерностей. Очень было интересно, что для того чтобы угадать возраст и дату рождения, состава семьи, страницы, строки и слова в книге и т.д., а также фокусов с домино и игральными костями является понятие состава числа.
Я узнала, что секретом отгадывания многих фокусов являются уравнения. Математические фокусы различны. Во многих математических фокусах числа скрыты предметами, которые имеют отношения к числам. Математические фокусы интересны школьникам. Такие остроумные и забавные фокусы можно даже придумывать по своему вкусу. Задачи такого типа представляют собой очень хорошее и полезное развлечение для играющих. Если хотите развить навыки в быстром устном счете, навыки вычислений, то можно загадывать малые и большие числа. Моя любовь к фокусам и к математике, оказывается даже очень полезно.
Литература:
-
http://fokusy.kak-nauchitsya.ru/matematicheskie-fokusy-sekrety.html
-
Я. И Перельман «Занимательная алгебра» Москва «Наука» 1970
-
Я. И. Перельман «Занимательные задачи и опыты» Минск «Беларусь» 1994
-
М. Гарднер «Математические чудеса и тайны» Москва «Наука» 1970
-
Б. А. Кордемский «Удивительный мир чисел» Москва Просвещение 1986
-
В.В. Трошин «Магия чисел и фигур» Москва «Глобус» 2007
-
365 веселых игр и фокусов. Москва АСТ - пресс 2005
-
moikompas.ru/compas/focus_pocus
-
deltadim.narod.ru/matfocus.htm
-
nauka.relis.ru/52/0002/52002048.htm
Титульный лист оформляется в одном документе с основным текстом работы и только на русском языке.
12