II Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

НАУЧНО – ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА "АСИМПТОТЫ"

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Захаров М.А. 1Ребров Г.Д. 2

---

1МБОУ Старогородковская сош, 11А класс

2МБОУ Старогородковская сош, 10Б класс

1

---

1

Работа в формате PDF

405.8 KB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Оглавление

1. Вступление 3

2. Историческая справка 4

3. Определение асимптоты 5

4. Общий метод отыскания асимптоты 7

5. Нахождение асимптоты 9

6. Основные виды асимптот

   1. Горизонтальная асимптота 10

   2. Вертикальная асимптота 11

   3. Наклонная асимптота 12

7. Виды асимптот 14

8. Заключение 32

9. Литература 33

10. Приложения 34

Вступление

«Я хотел бы, чтобы изобретатели дали историю путей,

по которым они дошлидо своих открытий.

В тех случаях, когда они вовсе не сообщают этого,нужно попробовать отгадать эти пути»

Г. Лейбниц

В 10 классе, изучив производную функции, мы исследовали функции и строили различные графики. Среди них нам часто попадались дробно – рациональные функции.

Функция называется дробно-рациональной, если она имеет вид , где P(x) и A(x) многочлены, причём A(x)0.

Построение графиков дробно - рациональных функций мы обычно начинали с поиска асимптот. При построении графиков нас заинтересовал вопрос: нельзя ли по виду функции определить, какие асимптоты имеет график. Поэтому мы решили больше узнать об асимптотах и способах их нахождения.

Асимптота происходит от греческого слова – «несовпадающая». Под асимптотой подразумевается такая линия, которая, будучи неопределенно продолжена, приближается к данной кривой линии или к некоторой ее части так, что расстояние между обеими линиями делается менее всякой данной величины; иначе говоря, асимптота касается данной кривой линии на бесконечном расстоянии от начала координат. Всякая другая линия, параллельная асимптоте, хотя и приближается непрестанно к кривой, однако, не может быть названа в свою очередь асимптотой, так как расстояние ее от кривой не может быть уменьшено по произволению. Таким образом, число асимптот для каждой кривой вполне ограничено. С тех пор как греческие геометры стали исследовать свойство кривых линий, образующихся на поверхности конуса от пересечения его плоскостью, стало известным, что ветви гиперболы, будучи неопределенно продолжены, непрестанно сближаются с двумя прямыми линиями, исходящими из центра гиперболы и одинаково наклоненными к ее оси. Эти прямые, о которых упоминает уже Архимед, были еще в древности названы асимптотами и сохранили свое название и по настоящее время. Впоследствии Ньютон показал, что существуют криволинейные асимптоты.

Дадим более чёткое определение асимптотам. Пусть точка, исходя из положения , движется вдоль линии в одном направлении. Если при этом расстоянии (считаемо по прямой) неограниченно возрастает, то говорит, что точка удаляется в бесконечность.

Прямая называется асимптотой линии, если расстояние от точки линии до прямой стремиться к нулю при удалении точки в бесконечность. Рис.1

Расстояние от до можно измерять не только по перпендикуляру, но и по любому постоянному направлению , так как если MK 0, то также 0 и наоборот.

Геометрический смысл асимптоты

Рассмотрим геометрический смысл асимптоты. Пусть М = (x, f (x)) – точка графика функции f, М - проекция этой точки на ось Ох, АВ – асимптота,

 - угол между асимптотой и положительным направлением оси Ох,  ,

MP – перпендикуляр, опущенный из точки М на асимптоту АВ, Q – точка пересечения прямой ММ с асимптотой АВ (рис.1).

Рис.2

Тогда ММ = f (x), QM = kx + l, MQ = MM  QM = f (x) – (kx +l), MP = MQ cos. Таким образом, MP отличается от MQ лишь на не равный нулю множитель cos , поэтому условия MQ  0 и MP  0 при х    (соответственно при х   ) эквивалентны, то есть MQ = 0,

то и MP = 0, и наоборот.

Отсюда следует, что асимптота может быть определена как прямая, расстояние до которой от графика функции, то есть отрезок МР, стремится к нулю, когда точка М = (x, f (x)) «стремится, оставаясь на графике, в бесконечность» (при х    или, соответственно, х   ).

Укажем теперь общий метод отыскания асимптоты, то есть способ определения коэффициентов k и l в уравнении y = kx + l.

Будем рассматривать для определённости лишь случай х    (при х    рассуждения проводятся аналогично). Пусть график функции f имеет асимптоту y = kx + l при х   . Тогда, по определению,

f(x) = kx + l + 0

Разделим обе части равенства f (x) = kx + l + 0 на х и перейдём к пределу при х   . Тогда =k

Используя найденное значение k, получим из f (x) = kx + l + 0 для определения l формулу

l = (f(x) – kx).

Справедливо и обратное утверждение: если существуют такие числа k и l, что выполняется условие l = (f (x) – kx), то прямая y = kx + l является асимптотой графика функции f (x). В самом деле,

из l = (f (x) – kx) имеем

f (x)  (kx + l) = 0,

то есть прямая y = kx + l действительно удовлетворяет определению асимптоты, иначе говоря, выполняется условие f (x) = kx + l + 0. Таким образом, формулы = k. и l = (f (x) – kx)

сводят задачу отыскания асимптот y = kx + l к вычислению пределов определённого вида. Более того, мы показали, что если существует представление функции f в виде f (x) = kx + l + 0, то k и l выражаются по формулам = k. и l = (f (x) – kx)

Следовательно, если существует представление y = kx + l, то оно единственно.

Найдём по этому правилу асимптоту графика функции f (x) = , найденную нами выше другим способом:

то есть мы, как и следовало ожидать, получили тоже уравнение асимптоты

y = x – 4, как при х   , так и при х  - .

В виде y = kx + l может быть записано уравнение любой прямой, непараллельной оси Oy. Естественно распространить определение асимптоты и на прямые, параллельные оси Oy.

Пусть функция f (x) определена для всех x  а (соответственно и для всех

x  а). Если существуют такие числа k и l, что f(x)  kx  l = 0 при х    (соответственно при х   ), то прямая

y = kx + l

называется асимптотой графика функцииf (x) при x   (соответственно при х   ).

Существование асимптоты графика функции означает,

что при х  +  (или х   ) функция ведёт себя «почти как линейная функция», то есть отличается от линейной функции на бесконечно малую.

Найдём, например, асимптоту графика функции y =

Разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов, получим y = x - 4 +.Так как = 0 при х   , то прямая y = x - 4

является асимптотой графика данной функции как при х  + , так и при х   .

Пусть существует  lim f (x) = b. Тогда говорят, что у функции f (x) имеется горизонтальная асимптота y = b. График функции чаще всего имеет такой вид (при x  +) (рис.2)

Рис.3

хотя в принципе, может иметь и такой вид (рис.3)

Рис.4

Рис.5

Пусть при x  a  0 f (x) =  . Тогда говорят, что прямая x = a является вертикальной асимптотой f (x). График функции f (x) при приближении x к а ведёт примерно так (рис.4), хотя, конечно, могут быть разные варианты, связанные с тем, куда уходит f (x) в +  или  .

Чаще всего вертикальная асимптота появляется тогда, когда f (x) имеет вид

.

Тогда вертикальные асимптоты находятся как корни уравнения

Рис.6

Пусть уравнение асимптот есть y = ax + b. Значение функции при аргументе х есть d = ax + b – f (x). Неограниченное приближение к асимптоте означает, что величина d = ax + b – f (x) стремится к 0

при х   

[f (x) – (ax + b)] = 0.

Если эта величина стремится к нулю, то тем более стремится к нулю величина

Но тогда мы имеем

и так как последний предел равен нулю, то

Зная а, можно найти и b из исходного соотношения

Тем самым параметры асимптоты полностью определяются.

Пример

то есть асимптота при x  + имеет вид y=x.

Аналогично можно показать, что при x  -  асимптота имеет вид

y = - x.

Сам график функции выглядит так (рис.6)

Рис.7

Рассмотрим график функции:

Область определения функции D(y)

- вертикальная асимптота.

Рис.8

Рассмотрим график другой функций:

Область определения функции D(y)

Откуда x=-1 – вертикальная асимптота

Рис.9

Проделав ряд экспериментов с графиками функций мы выяснили, что прямая служит вертикальной асимптотой для графика функций если . Если же числу b равен только один из этих пределов, то прямая является вертикальной асимптотой для соответствующей части графика функций .

Рассмотрим график функций

- горизонтальная асимптота

Рассмотрим график функций

Так как , то есть горизонтальная асимптота для данного графика.

Рис.11

Исследуя различные рациональные функции мы заметили следующее:

1. – если при делений числителя на знаменатель получается остаток, то график имеет горизонтальную асимптоту.

2. – если показатель степени числителя (обозначим его n) меньше показателя степени знаменателя (обозначим его за k), то график имеет горизонтальную асимптоту

3. – если показатель степени числителя равен показателю степени знаменателя, то график имеет горизонтальную асимптоту .

Теперь рассмотрим более сложные функции:

Отсюда я вижу, что выражение и функция задают одну и ту же функцию, ведь второе выражение – результат деления числителя на знаменатель . Но второе выражение удобнее с точки зрения поиска асимптот. Так, оно сразу даёт понять, что является наклонной асимптотой.

Прямая служит наклонной асимптотой для графика функций , если выполняется условие: и .

Таким примером будут являться следующие функции:

1)

- наклонная асимптота.

Рис.12

2)

- горизонтальная асимптота

- наклонная асимптота.

Рис.13

3)

-наклонная асимптота

и - вертикальная асимптота

Рис.14

Наши исследования привели к следующему выводу : если , то график функции имеет наклонную асимптоту, то есть такую прямую, которая задается уравнением , где и .

Теперь перед нами естественным образом встал вопрос: «А что будет, если ,

То есть показатель степени числителя превысит показатель степени знаменателя более чем на единицу?»

Мы совершенно произвольно взяла функцию и исследовала её по общей схеме:

,

Рис.15

Мы нашли производную этой функции, теперь построим график этой функции.

Рис.16

Наши исследования закончились построением графика, симметричного относительно оси Оy и имеющего две уходящие в бесконечность ветви. Но, когда ямы дошли до вопроса об асимптотах, решили разделить числитель на знаменатель и проверили выкладки:

Полученное выражение подсказало, что при значение нашей функции стремятся к значениям функции , т.е. график функции должен подходить к параболе как угодно близко, никогда её не пересекая. Мы здесь столкнулась с такой же ситуацией, какую наблюдали ранее с прямыми асимптотами.

При наложении графиков мы увидели, что график функции вписался в параболу . Так может быть , является асимптотой?

Таким же образом рассмотрели график функции:

Рис.17

Построили график функций:

Рис.18

Попробуем упростить эту функцию:

Полученное выражение показывает, что искомый график должен как угодно близко приближаться к параболе .

Своими экспериментами мы увидели, что могут быть кривые, ведущие себя как асимптоты по отношению к некоторым графикам. Такие кривые мы стали называть криволинейными асимптотами.

Из этих исследований можно вывести следующие выводы: «Если дана дробь

и равно чётному числу, то криволинейная асимптота представляет собой график функций , напоминающий параболу, то есть график функции .»

Стр.23

Потом нас заинтересовал вопрос: «А что будет, если в формуле

разность станет нечетным числом?»

Мы исследовали функцию по общей схеме:

И сразу видим, что функция в точках и не имеет решения .

Рис.19

Мы уже знаем, что если числитель дроби разделить на знаменатель, то мы увидим к какому графику будет приближаться данная функция:

Из этого выражения мы увидели, что кроме вертикальных асимптот и есть ещё одна – криволинейная асимптота

Однако рассматривая разность может оказаться и отрицательной. Ясно было, что в этом случае наши предыдущие примеры уже не убедительны, поскольку графиками криволинейных асимптот могут оказаться уже не параболы.

Рассмотрим примеры, где функции дают нечетные отрицательные значения разности , то есть когда

Рис.20

Построим график функции по нашим исследованиям:

Рис.21

Теперь попробуем преобразовать функцию, как мы делали во всех предыдущих исследованиях:

Мы видим, что кроме - горизонтальная асимптота, есть криволинейная асимптота в виде гиперболы

Стала вырисовываться следующая теория:

А) если в выражении

Разность то график функции имеет криволинейную асимптоту, похожую на гиперболу , поскольку она задается формулой , где .

Б) если разность то график функции имеет криволинейную асимптоту, задаваемой формулой , где , то есть похожую на график функции .

Рассмотрим ещё одну функцию:

Рис.22

Попробуем нарисовать график функции:

Рис.23

Мы видим, что на промежутке [-1;1] царствуют вертикальные асимптоты и . И к графику функции гипербола подходит очень близко, пересекая вертикальные асимптоты.

Пришлось ввести поправку в нашу теорию, заметив, что в дело могут вмешаться прямолинейные асимптоты. Однако такое уточнение просто призывает к осторожности, но не разрушает нашу теорию: ясно, что если две асимптоты “сталкиваются” на одном участке, то одной из них приходится уступить своё право командовать поведением функции.

При построении одного из графиков, а именно графика функции ,

при проверке по точкам мы обнаружили пересечения асимптот с графиком в точке .

Мы поняли, что нельзя доверять только графической наглядности. А вдруг пересечение оказалось бы в точке . Тогда мы смогли бы его обнаружить только алгебраическим методом.

Мы задумались, чем же функции отличается от предыдущих и составили разность между функцией и асимптотой.

.

В полученной разности в числителе дроби присутствует переменная, а это добавляет ещё, по крайней мере, одну точку и соответственно интервал к тем промежуткам, которые откладываются на координатной прямой при определении знака разности методом интервалов.

А в предыдущих примерах в числителе этой разности была константа и пересечение графиков, с его асимптотой не было. Например:

.

Вернёмся к разности функции и асимптоты. Если бы точки не было, то смены знака не произошло бы, т.е. асимптота лежала бы выше графика. Но точка появилась, и, значит, пересечение графиков и имеет место. Мы решили рассматривать такую асимптоту наряду с остальными, и она вывела нас на ещё более интересные возможности построения графиков.

По нашим исследованиям построим график функции

Построить график этой функции при помощи первой и второй производной очень трудно. Но применив наш метод, мы разделили числитель на знаменатель и получили отсюда мы видим, что кроме вертикальных асимптот и мы видим есть криволинейная асимптота . Теперь мы знаем как ведёт себя график просто подставим значения и получили график этой функции. Он изображён на рис.24

Рис.24

Итак, чисто индуктивным путём, т.е. методом проб и ошибок мы убедилась, что можно строить графики не только с помощью производных, но и путём анализа их поведения относительно криволинейных асимптот. Мы открыли для себя новые точки для построения графиков – точки изгиба графика относительно его асимптоты. Конечно, наши выводы нуждаются в дедуктивном обосновании, которое учащимся недоступно. Но мы увидели силу экспериментального метода в математических исследованиях и сумели на своём уровне действительно сделать существенные открытия. Также мы построили графики некоторых функции на компьютере через программу Excel для сравнения. И убедились ещё раз в том, что наши исследования верны.

1. Еремов Л.В., Райхмист Р.Б. Асимптоты // Построение графиков функции «Просвещение» 1984 год

2. Л.Д. Кудрявцев Построение графиков. // «Курс математического анализа» Москва 1981 год

3. Р.Б. Райхмист. Асимптоты // «Графики функций» Москва 1991 год

4. Н.Я. Вилеини . Алгебра и математический анализ

5. М.Я Выгодский. Справочник по высшей математике

39