II Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
НАУЧНО – ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА "СОФИЗМЫ"
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Оглавление
Почему я выбрал эту тему 3
Введение. 4
Софизм – умышленный обман? 6
Недостатки стандартного истолкования софизмов. 7
Апории Зенона и другие софизмы. 7
Мой софизм. 8
Математические софизмы. 10
Примеры арифметических софизмов: 12
Примеры алгебраических софизмов: 14
Примеры геометрических софизмов: 16
Заключение: 22
Список литературы. 23
Почему я выбрал эту тему:
Вы, наверное, меня спросите, почему я выбрал эту тему?
Все случилось так:
На одном из уроков математики, точнее это была алгебра, мы решали примеры. Но вдруг, решая очередной пример, мы обнаружили ответ, отличный от правильного, однако ошибки в решении не было видно. В конце концов ошибку мы нашли и пришли к выводу, что это софизм. Тогда на уроке я впервые услышал это слово. Я заинтересовался этим и после урока подошел к учителю, чтобы узнать побольше о софизмах. Мне предложили почитать дополнительную литереатуру. Я так заинтересовался и увлёкся математическими софизмами, что решил написать работу.
Введение.
Софизм (от греч. sophisma - уловка, выдумка, головоломка) — мнимое доказательство, в котором обоснованность заключения кажущаяся, порождается чисто субъективным впечатлением, вызванным недостаточностью логического или семантического анализа.
Энциклопедический словарь
Математический софизм - удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.
История математики полна неожиданных и интересных софизмов и парадоксов. И зачастую именно их разрешение служило толчком к новым открытиям, из которых, в свою очередь, вырастали новые софизмы и парадоксы.
Необходимо различать между собой парадоксы и софизмы.
Парадоксы — это справедливые, хотя и неожиданные утверждения, в то время как софизмы — ложные результаты, полученные с помощью рассуждений, которые только кажутся правильными, но обязательно содержат ту или иную ошибку; И парадоксы софизмы, очень поучительны и интересны, но мы будем говорить о софизмах.
Практика обучения математике показывает, что поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики.
Аристотель называл софизмом «мнимые доказательства», в которых обоснованность заключения кажущаяся и обязана чисто субъективному впечатлению, вызванному недостаточностью логического или семантического анализа. Убедительность на первый взгляд многих софизмов, их «логичность» обычно связана с хорошо замаскированной ошибкой — семиотической: за счёт метафоричности речи, слов, нарушающих однозначность мысли и приводящих к смешению значений терминов, или же логической: подмена основной мысли (тезиса) доказательства, принятие ложных посылок за истинные, несоблюдение допустимых способов рассуждения (правил логического вывода), использование «неразрешённых» или даже «запрещённых» правил или действий, например деления на нуль в математических софизмах.
Огромное число софизмов строится на основе таких известных еще со Средних веков парадоксов, как деление на нуль или равенство двух дробей, числитель и знаменатель которых имеют разные знаки.
Позднее появились софизмы и парадоксы, связанные с осмыслением бесконечности которые сыграли фундаментальную роль в развитии теории множеств и вообще современной математики. Таковыми являются, например, софизмы и парадоксы Зенона или Прокла или парадокс равенства части и целого, примером чего может служить эквивалентность бесконечного множества всех натуральных чисел и множества всех четных положительных чисел которых на первый взгляд явно «меньше», чем чисел натуральных. Софизмы и парадоксы, связанные с бесконечными рядами и предельным переходом, во многом способствовали построению современного математического анализа.
Исторически с понятием «софизм» неизменно связывают идею о намеренной фальсификации, руководствуясь признанием Протагора, что задача софиста — представить наихудший аргумент как наилучший путём хитроумных уловок в речи, в рассуждении, заботясь не об истине, а об успехе в споре или о практической выгоде.
О софизмах обычно говорят вскользь и с очевидным осуждением. И в самом деле, стоит ли задерживаться и размышлять над такими, к примеру, рассуждениями:
«Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего, есть дело хорошее, следовательно, вор желает хорошего».
Софизм – умышленный обман?
В обычном и распространенном понимании софизм — это умышленный обман, основанный на нарушении правил языка или логики. Но обман тонкий и завуалированный, так что его не сразу и не каждому удается раскрыть. Цель его — выдать ложь за истину.
Чаще всего софизмы связаны с недостаточной самокритичностью ума и неспособностью его сделать надлежащие выводы, с его стремлением охватить то, что пока ему неподвластно. Нередко софизм представляет собой просто защитную реакцию незнания или даже невежества, не желающего признать свое бессилие и уступить знанию.
Софизм традиционно считается помехой в обсуждении и в споре. Использование софизмов уводит рассуждения в сторону: вместо выбранной темы приходится говорить о правилах и принципах логики. Но, в конце концов, это препятствие не является чем-то серьезным. Использование софизмов с точки зрения рассматриваемой проблемы имеет чисто внешний характер, и при известном навыке в логическом анализе рассуждений софизм несложно обнаружить и убедительно опровергнуть.
Итак, софизм — всего лишь сбивчивое доказательство, попытка выдать ложь за истину. Он имеет случайный, не связанный с существом рассматриваемой темы характер и является сугубо внешним препятствием на пути проводимого рассуждения. Отсюда следует, что никакого глубокого и требующего специального разъяснения содержания за ним не стоит. В софизме как результате заведомо некорректного применения семантических и логических операций не проявляются также какие-либо действительные логические трудности. Коротко говоря, софизм — это мнимая проблема.
Недостатки стандартного истолкования софизмов.
Таково стандартное истолкование софизмов, подкупающее своей простотой. За ним стоит многовековая традиция. Однако, несмотря на кажущуюся очевидность, слишком многое оно оставляет недосказанным и неясным.
Апории Зенона и другие софизмы.Знаменитые рассуждения древнегреческого философа «Ахиллес и черепаха», «Дихотомия», «Стрела», «Стадион» и другие. Они были названы апории – что в переводе означает затруднения. Вообще всего апорий было 40, но до нас дошли только 9, самые известные 4 я вам только что перечислил. По-моему самая интересная апория это «Ахиллес и черепаха».
«Ахиллес и черепаха»
Быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепаху, если в начале движения черепаха находилась впереди на некотором расстоянии от него.
Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится от неё на расстоянии в 1 километр. За то время, за которое Ахиллес пробежит этот километр, черепаха отползёт на 100 метров. Когда Ахиллес пробежит 100 метров, черепаха проползёт ещё на 10 метров, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.
Математическое описание:
Действительно, пусть начальное расстояние есть и пусть Ахиллес всегда бежит в раз быстрее черепахи. Когда Ахиллес пробежит расстояние , черепаха отползёт на , когда Ахиллес пройдёт это расстояние, черепаха отползёт на , и т. д., то есть всякий раз между состязающимися будет оставаться отличное от нуля расстояние.
В этой апории, помимо затруднения отсчитанной бесконечности, имеется и ещё одно. Предположим, что в некоторый момент времени Ахиллес догонит черепаху. Запишем путь Ахиллеса:
и путь черепахи:
Каждому отрезку пути, пройденному Ахиллесом, соответствует отрезок , пройденный черепахой. Поэтому к моменту встречи Ахиллес должен пройти «столько же» отрезков пути, сколько и черепаха. С другой стороны, каждому отрезку , пройденному черепахой, можно сопоставить равный ему по величине отрезок пути Ахиллеса. Но, кроме того, Ахиллес должен пробежать ещё один отрезок длины , то есть он должен пройти на единицу больше отрезков, чем черепаха. Если количество отрезков, пройденное последней, есть , то получаем:
Аристотель сформулировал блестящее возражение на эту апорию: «Делимо в мысли, но нее делимо в действительности».
Мой софизм.Как известно, Земля вращается вокруг своей оси с запада на восток, делая полный оборот за часа. Длина земного экватора составляет приблизительно км. Зная эти величины, легко определить, с какой скоростью движется каждая точка земного экватора. Для этого надо км разделить на часа. Получается приблизительно км в час. С такой скоростью вращается Земля на экваторе.Теперь представим, что на экваторе проложен рельсовый путь, по которому идет поезд с востока на запад, т.е. в сторону, противоположную вращению Земли (она движется на восток, а поезд — на запад). Получается, что этому поезду надо постоянно преодолевать скорость вращения Земли, т.е. он должен двигаться со скоростью, превышающей км в час, иначе его будет постоянно сносить назад, на восток, и он вообще не сможет продвигаться в нужном ему направлении. Поэтому, на экваторе ходят такие суперпоезда, которые развивают скорость большую, чем км в час.
Математические софизмы.
Софистами в древней Греции называли философов-учителей, задачей которых было научить своих учеников «мыслить, говорить и делать». Будучи в большинстве случаев глубоко образованными людьми, они не столько передавали ученикам знания из различных областей науки, сколько стремились научить их владеть искусством словесных состязаний. Чтобы выйти победителем в словесном поединке, софисты часто пользовались тем, что противник недостаточно глубоко знает предмет, о котором идет речь, недостаточно внимателен и наблюдателен и поэтому не в состоянии отличить ложь от истины. В результате словесного поединка противник должен был согласиться с доводами софиста и признать себя побежденным, хотя истина, казалось, была на его стороне.
Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах скрыто выполняются запрещенные действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям «очевидности». Встречаются софизмы, содержащие и другие ошибки.
В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости в математических рассуждениях и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики. Роль софизмов в развитии математики сходна с той ролью, какую играли непреднамеренные ошибки в математических доказательствах, допускаемые даже выдающимися математиками. И.П. Павлов говорил, что «правильно понятая ошибка – это путь к открытию». Действительно, уяснение ошибок в математических рассуждениях часто содействовало развитию математики. Особенно поучительна в этом отношении история аксиомы Евклида о параллельных прямых. Формулируется эта аксиома, как известно, так: через данную точку, лежащую вне данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Эту аксиому на протяжении более чем двух тысяч лет пытались доказать, т.е. вывести из остальных аксиом геометрии, многие выдающиеся математики. Все эти попытки не увенчались успехом. Многочисленные «доказательства», какие были найдены, оказались ошибочными. И все же, несмотря на ошибочность этих доказательств, они принесли пользу развитию геометрии. Можно сказать, что эти «доказательства» подготовили одно из величайших открытий в области геометрии и всей математики – открытие новой неевклидовой геометрии. Честь этого открытия и разработки новой геометрии принадлежит великому русскому математику Н.И. Лобачевскому. Он и сам сначала пытался доказать аксиому о параллельных прямых, но вскоре понял, что этого сделать нельзя. Путь, идя которым Лобачевский установил невозможность доказательства аксиомы о параллельных, и привел его к открытию новой геометрии, которая теперь так и называется - геометрия Лобачевского.
Можно было бы привести не один подобный пример из истории математики. Они убеждают в том, что преодоление ошибок в математических рассуждениях содействует развитию математики.
Чем же полезны софизмы для изучающих математику?
Разбор софизмов, прежде всего, развивает логическое мышление, т.е. прививает необходимые в жизни навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме - это значит осознать ее, а осознание ошибки предупреждает повторение ее в других математических рассуждениях. Далее, что особенно важно, разбор софизмов помогает сознательному усвоению изучаемого материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается. Математические софизмы заставляют внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений, за законностью выполняемых операций. Все это нужно и полезно.
Итак, математические софизмы подразделяются на алгебраические софизмы, арифметические и геометрические софизмы. Однако есть ещё и прочие, другие софизмы, не относящиеся к перечисленным темам.
Арифметика - (греч. arithmetika, от arithmys — число), наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними. Так что же такое арифметические софизмы?
-
Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.
«Если А больше В, то А всегда больше, чем 2В»
Возьмем два произвольных положительных числа и , такие, что . Умножив это неравенство на , получим новое неравенство , а отняв от обеих его частей , получим неравенство , которое равносильно следующему: . (1) После деления обеих частей неравенства (1) на получим, что (2), А прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство , имеем , откуда . Итак, если , то . Это означает, к примеру, что из неравенства следует, что . Где же ошибка??? Здесь совершен неравносильный переход от неравенства (1) к неравенству (2). Действительно, согласно условию , поэтому . Это означает, что обе части неравенства (1) делятся на отрицательное число. Но согласно правилу преобразования неравенств при делении или умножении неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный. С учетом сказанного из неравенства (1) вместо неравенства (2) получим неравенство , прибавив к которому почленно исходное неравенство , получим просто исходное неравенство .
«Число, равное другому числу, одновременно и больше, и меньше его». Возьмем два произвольных положительных равных числа и и напишем для них следующие очевидные неравенства: и . Перемножив оба этих неравенства почленно, получим неравенство , а после его деления на В, что вполне законно, ведь В>0, придем к выводу, что . Записав же два других столь же бесспорных неравенства и , Аналогично предыдущему получим, что , а разделив на , придем к неравенству . Итак, число , равное числу , одновременно и больше, и меньше его. Где ошибка??? Здесь совершен неравносильный переход от одного неравенства к другому при недопустимом перемножении неравенств. Проделаем правильные преобразования неравенств. Запишем неравенство в виде , . Левые части этих неравенств положительны, следовательно, умножая почленно оба эти неравенства , или , что представляет собой просто верное неравенство. Аналогично предыдущему, записывая неравенства в виде , 0, получим просто верное неравенство .
Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы А., отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений.
Т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.
Примеры алгебраических софизмов:Имеем числовое равенство
Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель. Получим:
Числа в скобках равны, поэтому:
Отсюда следует:
.
«Два неодинаковых натуральных числа равны между собой» решим систему двух уравнений:
(1)
(2)Сделаем это подстановкой у из 2-го уравнения в 1, получаем х+8-х=6, откуда .
Где же ошибка??? Уравнение (2) можно записать как, так что исходная система запишется в виде:
,
В этой системе уравнений коэффициенты при переменных одинаковы, а правые части не равны между собой, из этого следует, что система несовместна, т.е. не имеет ни одного решения. Графически это означает, что прямые и параллельны и не совпадают. Перед тем, Как решать систему линейных уравнений, полезно проанализировать, имеет ли система единственное решение, бесконечно много решений или не имеет решений вообще.
Геометрические софизмы – это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними.
Примеры геометрических софизмов:Соединим середину основания с серединами боковых сторон
Так как и , то
Иначе говоря, сумма длин сторон и равна длине ломаной, обозначенной зелёным цветом
Повторим теперь ту же операцию для треугольников и
Ясно, что длина ломаной остаётся неизменной, независимо от количества проделанных операций.
При устремлении количества операций к бесконечности, ломаная L устремляется к стороне
В пределе поучаем:
Но , или, иначе говоря
Сумма длин двух сторон треугольника равна длине третьей стороны.
«Спичка вдвое длиннее телеграфного столба»
Пусть, а дм - длина спички и дм - длина столба. Разность между и обозначим через . Имеем , . Перемножаем два эти равенства по частям, находим:
.
Вычтем из обеих частей . Получим:
,
Или
,
откуда , но , поэтому b, или . Где ошибка??? В выражении производится деление на , а этого делать нельзя, так как . Значит, спичка не может быть вдвое длиннее телеграфного столба.
Длины всех окружностей равны.
Соединим неподвижно относительно друг друга два круга разных радиусов так, чтобы центры их совпали. Заставим эти круги перемещаться так, чтобы больший из них покатился без скольжения по прямой линии и сделал полный оборот, как показано на рисунке. Тогда отрезок прямой линии будет иметь длину, равную длине окружности большего круга (с радиусом ). Меньший круг, неподвижно скреплённый с большим, также сделает полный оборот. Отрезок будет иметь длину, равную длине окружности меньшего круга (с радиусом ). А так как (как противоположные стороны прямоугольника), то, следовательно, длины этих двух окружностей равны. В чём тут дело?
Кроме математических софизмов, существует множество других, например: логические, терминологические, психологические и т.д. Понять абсурдность таких утверждений проще, но от этого они не становятся менее интересными. Очень многие софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными.
«Полупустое и полуполное»
«Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное».
«Чётное и нечётное»
« есть («два и три»). Два — число чётное, три — нечётное, выходит, что пять — число и чётное и нечётное. Пять не делится на два, так же, как и , значит, оба числа не чётные!»
«Не знаешь то, что знаешь»
«Знаешь ли ты, о чём я хочу тебя спросить?» — «Нет». — «Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?» — «Знаю». — «Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь».
«Лекарства»
«Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше».
«Нет конца»
Движущийся предмет должен дойти до половины своего пути прежде, чем он достигнет его конца. Затем он должен пройти половину оставшейся половины, затем половину этой четвертой части и т.д. до бесконечности. Предмет будет постоянно приближаться к конечной точке, но так никогда ее не достигнет.
«Медимн зерна»
Большая масса мелких, просяных например, зерен при падении на землю всегда производит шум. Он складывается из шума отдельных зерен, и, значит, каждое зерно и каждая малейшая часть зерна должны, падая, производить шум. Однако отдельное зерно падает на землю совершенно бесшумно. Значит, и падающий на землю медимн зерна не должен был бы производить шум, ведь он состоит из множества зерен, каждое из которых падает бесшумно. Но все-таки медимн зерна падает с шумом!
«Куча»
Одна песчинка не есть куча песка. Если песчинок не есть куча песка, то и песчинка - тоже не куча. Следовательно, никакое число песчинок не образует кучу песка. К этому парадоксу можно сделать следующий комментарий: метод полной математической индукции нельзя применять, как показывает парадокс, к объёмно неопределённым понятиям, каковым является понятие "куча песка".
«Может ли всемогущий маг создать камень, который не сможет поднять?»
Если не может - значит, он не всемогущий. Если может - значит, всё равно не всемогущий, т.к. он не может поднять это камень.
«Равен ли полный стакан пустому?»
Да. Проведем рассуждение. Пусть имеется стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно сказать, что стакан, наполовину полный равен стакану, наполовину пустому. Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен стакану пустому.
«Софизм Кратила»
Диалектик Гераклит, провозгласив тезис "все течет", пояснял, что в одну и ту же реку (образ природы) нельзя войти дважды, ибо, когда входящий будет входить в следующий раз, на него будет течь уже другая вода. Его ученик Кратил, сделал из утверждения учителя другие выводы: в одну и ту же реку нельзя войти даже один раз, ибо пока ты входишь, она уже изменится.
Другие примеры софизмов, сформулированных еще в древней Греции:
«Сидящий встал; кто встал, тот стоит; следовательно, сидящий стоит».
«Для того чтобы видеть, вовсе необязательно иметь глаза, ведь без правого глаза мы видим, без левого тоже видим; кроме правого и левого, других глаз у нас нет; поэтому ясно, что глаза не являются необходимыми для зрения».
«Тот, кто лжет, говорит о деле, о котором идет речь, или не говорит о нем; если он говорит о деле, он не лжет; если он не говорит о деле, он говорит о чем-то несуществующем, а о нем невозможно не только лгать, но даже мыслить и говорить».
«Если какой-нибудь человек говорит, что он лжет, то лжет ли он или говорит правду?» Допущение того, что он говорит правду, будет означать, что правдой является то, что он лжет (об этом он и говорит), значит, выходит, что лжет. Если же он лжет, то это как раз и есть то, что он открыто признает. Получается, что он говорит правду».
Заключение
Софизмы – это не просто обычные, часто совершаемые ошибки, софизмы это нечто большее. Они ведут к более глубокому осмыслению математики. Сформулировал бы Аристотель правила логики, не будь софизмов? Я думаю, нет. Этому будущему, вернее математике, которую мы видим сегодня, мы обязаны и софизмам.
Все в истории повторяется, появляясь в первый раз как трагедия, а во второй как комедия. Софизм скрывающий, возможно, уже решённую проблему, повторяющий тем самым то, что уже пройдено, является, конечно, комедией.
Список литературы.
-
Аристотель. «Риторика//Античные риторики». — М.: .
-
Ивин А. А. «Искусство правильно мыслить». — М.: .
-
Поварнин С.И. Спор. «О теории и практике спора». — Пг.: .
-
Попов П.С., Стяжкин Н.И. «Развитие логических идей от античности до эпохи Возрождения». — М.: .
-
Уемов А. И. «Логические ошибки». — М.: .
-
Чернышев Б.С. «Софистика». — М.: .
-
Шопенгауэр А. «Эристика, или Искусство побеждать в спорах». - СПб.: .
-
Балк М. Б., Балк Г. Д. «Математика после уроков» М.: .
24