II Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОСНОВ В ИЗОБРАЗИТЕЛЬНОМ ИСКУССТВЕ
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Оглавление
Введение ……………………………………………………………………………3
Применение математических основ в изобразительном искусстве…………….4
«Золотая пропорция»………………………………………………………………5
Законы перспективы……………………………………………………………….6
Виды симметрии……………………………………………………………………7
Прямые в пространстве. Прямые, перпендикулярные плоскости……………..9
Пространственные фигуры………………………………………………………..10
Плоские фигуры……………………………………………………………………11
Значение числа «три» …………………………………………………………….11
Заключение…………………………………………………………………………12
Список использованных источников и литературы……………………………..14
Приложение 1 «Картины художников»………………………………………….15
Приложение 2 «Диаграммы результатов, полученных в ходе исследования»…23
Введение
Современному обществу нужны выпускники готовые к включению в жизнедеятельность, способные практически решать встающие перед ними жизненные и профессиональные проблемы. Результат образования – это не только знания по конкретным дисциплинам, но и умение использовать их в повседневной жизни. Многие учащиеся, в том числе и взрослые, не видят взаимосвязь школьных дисциплин естественно-научного цикла и прикладного творчества. Возникает вопрос: возможно ли применение математики в изобразительном искусстве? Поэтому объектом исследования я выбрала установление взаимосвязи между этими дисциплинами. Следовательно, предметом исследования будет использование математических понятий и формул в изображении полотен известных художников. Из вышесказанного вытекает гипотеза: изучив более подробно геометрические основы для написания картин, можно предположить, что учащиеся будут иметь представления об изобразительном искусстве с математической точки зрения.
Перед тем как приступить к работе мною была поставлена цель – отыскать научные сведения из области математики и увидеть их применение в изобразительном искусстве.
Для достижения указанной цели были сформулированы следующие задачи:
а) подобрать литературу по выбранной теме;
б) прочитать учебные пособия, энциклопедии, научно-художественные книги;
в) отобрать материал, содержащий математические понятия и формулы, которые используют художники в своем творчестве;
г) на основе этого материала составить описание картин;
д) ознакомить учащихся по данной теме и провести исследовательскую работу;
е) составить анализ полученных результатов.
Актуальность работы заключается в том, что любой ученик, изучивший данную тему, может применить полученные знания в изобразительном искусстве.
Перед тем как приступить к исследованию данной проблемы мне пришлось ознакомиться с материалом, размещенным на сайтах в интернете. Многие учащиеся рассматривали вопросы, связанные с использованием многогранников, тесселляций, лент Мебиуса, невозможных фигур, фракталов по теме «Математика и искусство». Согласно их творческим работам можно увидеть, что изучением выбранной нами темы занимались А.В.Волошин, Г.И.Глейзер, А.П.Юшкевич.
Новизной моей работы является описание картин с помощью таких математических понятий как «золотая пропорция», «симметрия», «перспектива», «стереометрические и плоские фигуры», «прямые в пространстве».
Практическая значимость данного исследования состоит в том, что навыки умения видеть математические законы в изобразительном искусстве позволяют расширить кругозор, ориентироваться в окружающей действительности.
В качестве основной литературы при изучении темы были взяты учебные пособия, энциклопедии, научно-художественные книги.
Применение математических основ в изобразительном искусстве
Одной из основных целей школьного курса математики является овладение знаниями и умениями, необходимыми для их использования в повседневной жизни. Изучая математические основы, мы порой не догадываемся об их существовании в окружающей нас действительности. Например, геометрические законы широко применялись художниками при написании картин. Согласно современным взглядам, математика и изобразительное искусство очень удаленные друг от друга дисциплины, первая - аналитическая, вторая - эмоциональная. Однако с помощью математических понятий и формул можно объяснить изображения картин известных художников.
В изобразительном искусстве не существует каких-либо правил или ограничений на использование математических тем. Как правило, великие художники часто применяют такие понятия как «золотая пропорция», «перспектива», «симметрия», «параллельные прямые в пространстве», «прямая, перпендикулярная плоскости», изображения стереометрических и плоских фигур, а также учитывают количество предметов.
«Золотая пропорция». Начнем с изучения соотношения «золотая пропорция» в портретах художников. В математике пропорцией называют равенство двух отношений:
a : b = b : c (1).
Рис. 1. Геометрическое изображение золотой пропорции
Рассмотрим применение данного понятия в описании портрета Павла I Степана Семеновича Щукина (см. Приложение 1, рис.1). В фигуре русского императора легко установить соотношение золотой пропорции. Измерив длины от верхушечной точки до точки основания шеи (14 мм) и от нее до линии пояса (21 мм), можно проверить правило:
14 : 21 = 21 : 35
0,63 0,61.
Проведем аналогичные вычисления. Длина от верхушечной точки до линии пояса – 36 мм, от линии пояса до ступни – 60 мм. Тогда
36 : 60 = 60 : 96
0,6 0,625.
Еще одним примеров для установления золотого соотношения являются расстояния от центральной фигуры до других предметов или до краев холста. Так на картине «Оттепель» Федора Александровича Васильева главные фигуры мужчины и ребенка расположены на линии золотого сечения (см. Приложение 1, рис.2). Длина отрезка от них до правого края полотна равна 57 мм, а до левого края – 92 мм. Подставим эти данные в формулу (1) и получим
57 : 92 = 92 : 149
0,61 = 0,61.
Законы перспективы. На картине «Аллея в Миддельхарнесе» Мейндерта Хоббема можно увидеть законы перспективы (см. Приложение 1, рис.3). В геометрии под перспективой понимается изображение реального предметного мира на плоскости так, как это воспринимается глазом человека.
Геометрическая перспектива - раздел начертательной геометрии, где изучаются законы изображения на поверхности при помощи линий объемных предметов, размеры которых уменьшаются с увеличением расстояния до зрителя так, как это воспринимается глазом. Геометрическая перспектива делится на линейную перспективу, когда изображение строится на плоскости, панорамную, если оно делается на цилиндрической поверхности, и купольную, получаемую на внутренней поверхности купола, например сферы, эллипсоида. Мы рассмотрим линейную перспективу. Она имеет свои строгие геометрические правила, без знания которых построение картины «вглубь» невозможно.Проведем линию основания картины и линию горизонта (рис. 2), которая берется на уровне глаза художника (значит, в положении сидя линия горизонта будет ниже). Все параллельные линии, перпендикулярные основанию картины, изображаются сходящимися в точке Р, расположенной на линии горизонта. Если параллельные линии будут наклонены к линии основания картины, то точка их схода F будет смещена влево или вправо от точки Р, то есть от середины горизонта (рис. 2, б). Точка Р называется главной точкой картины [5].
Рис. 2. Перспектива параллельных линий: а — перпендикулярных основанию картины (фронтальная перспектива); б — наклонных к основанию картины (угловая перспектива)
На картине Хоббемы аллея ведет в какое-то селение. Создается впечатление, что она уходит вдаль. Здесь художник применяет фронтальную перспективу. Деревья на переднем плане больше, чем те, что нарисованы в глубине. Хоббема нарисовал высокую церковь. Она меньше, чем домик, который ближе к зрителю [3]. Уменьшение размеров церкви с увеличением расстояния до нас является геометрической перспективой. Такой же прием в своей картине «Малая гавань в Сорренто с видом на острова Искья и Прочидо» использовал Сильвестр Феодосиевич Щедрин (см. Приложение 1, рис.4). Парусное судно удалено от берега и кажется меньше лодки.
Виды симметрии. Нередко художники при написании картин прибегали к правилам симметрии. В математике существует несколько ее видов. Зеркальной симметрией называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в ситмметричную ей точку относительно плоскости а (рис. 3) [1].
В изобразительном искусстве это математическое понятие описывает соотношение объектов и их мнимых изображений при отражении в плоском зеркале. Так, например, на картине «Мавзолей Тадж-Махал в Агре» Василий Васильевич Верещагин с поэтическим воодушевлением передает все его великолепие, воздушность форм, гармонию пропорций, связь с окружающим пространством, красочную феерию всего ансамбля (см. Приложение 1, рис.5). Прекрасная архитектура, как в зеркале, отражена в покрытой рябью глади водоема.
Другим видом симметрии является отображение пространства на себя, при котором любая точка А переходит в симметричную ей точку относительно данного центра О, и называется центральной симметрией (рис. 4) [1].
Рис.3. Зеркальная симметрия Рис.4. Центральная симметрия
Чаще всего в изобразительном искусстве мы говорим о центральной симметрии. Существует некоторая «обращенность» к центру. Картина Ильи Ефимовича Репина «А.С.Пушкин на акте в Лицее 8 января 1815 года» построена на принципах симметрии (см. Приложение 1, рис.6). Центром композиции является фигура Александра Сергеевича Пушкина. Слева и справа размещены два слушателя. Фигуры расположены вдоль картинной плоскости спокойно сидящими на стульях. Симметричное построение композиции передает состояние относительного покоя. Левая и правая фигуры по массам примерно одинаковы и в целом придают полное равновесие композиции.
Прямые в пространстве. Прямые, перпендикулярные плоскости. На полотнах художников встречаются изображения прямых в пространстве. В математическом понимании прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости (рис. 5) [1].
Рис.5. Прямая, перпендикулярная Рис.6. Две прямые,
плоскости перпендикулярные плоскости.
В геометрии есть теорема: если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны (рис. 6) [1]. Она часто используется художниками при написании леса. Например, в работе «Сосны, освещенные солнцем» Ивана Ивановича Шишкина невооруженным глазом можно заметить параллельное изображение сосен по отношению друг к другу (см. Приложение 1, рис.7). С другой стороны, они будут перпендикулярны земле, в том числе, к своей тени. На картине «Вид на Московский Кремль со стороны Каменного моста» Федора Яковлевича Алексеева среди многочисленных построек мы видим параллельное расположение бревен на берегу (см. Приложение 1, рис.8).
Пространственные фигуры. Не последнее место в картинах занимает написание пространственных фигур. Для того чтобы изобразить различные виды зданий, предметов, необходимо знать правила параллельного проектирования. Сформулируем основные его понятия. Точка А называется проекцией точки на плоскость а при проектировании параллельно прямой е. Фигура Ф называется параллельной проекцией фигуры (рис.7) [1].
Рис.7. Проекция точки, фигуры.
В изобразительном искусстве мы видим изображения зданий в форме пространственных фигур. Так на полотне «Городской зимний пейзаж» Ильи Ивановича Машкова здания представляют собой четырехугольные призмы, прямоугольные параллелепипеды, крыши домов – треугольные и четырехугольные призмы, конусы, дымоходы – цилиндры, верхушки деревьев – шары (см. Приложение 1, рис.9).
Картина «Утренний натюрморт» (1930) Кузьмы Сергеевича Петрова-Водкина проникнута оптимизмом и радостью (см. Приложение 1, рис.10). Перед нами стакан, похожий на двенадцатиугольную призму, чайник – на десятиугольную призму. Два яйца имеют форму эллипсоида, трубка и крышка чайника – цилиндра. Коробок спичек представляет собой прямоугольный параллелепипед.
Плоские фигуры. В творчестве известных художников немаловажную роль играют изображения плоских фигур. Например, произведение искусства «Несколько кругов» относится к жанру абстракционизма, ярчайшим представителем которого был Василий Васильевич Кандинский (см. Приложение 1, рис.11). Для художника круг – это не только геометрическая фигура, сколько некий универсальный проводник в другой мир.
Эта замкнутая фигура при одном взгляде на нее связывает нас с этим миром, ее форма не имеет ни начала, ни конца. Таким образом, Кандинский преподносит сочетание кругов разных размеров и цветов как сочетание бесконечностей. В чем-то эти фигуры напоминают планеты и светила, движущиеся в космосе.
Еще одним из выдающихся художников в этом направлении можно выделить Казимира Севериновича Малевича. Его «Супрематическая композиция» (1915) не так проста, как кажется на первый взгляд (см. Приложение 1, рис.12). Геометрические фигуры (прямая, круг, прямоугольники) становятся знаками нового художественного стиля. Они свободно парят в мировом пространстве, не подчиняясь законам гравитации. Благодаря таким художникам как Кандинский и Малевич, простая геометрия помогает увидеть внутреннюю сущность и глубину богатого мира воображений.
Значение числа «три». В изобразительном искусстве имеет огромное значение количество представленных предметов. Так, на картинах художников можно встретить изображения трех людей. Например, Василий Григорьевич Перов показывает типичное для России того времени явление – узаконненый детский труд. Трое изможденных маленьких мастеровых на картине «Тройка» тянут тяжелую, обледеневшую бочку с водой по заснеженной дороге (см. Приложение 1, рис.13). На символическом языке число «три» несет в себе уверенность и силу [4].
Василий Перов был знатоком природы и очень любил охоту. Один из персонажей картины «Охотники на привале» оживленно жестикулируя, хвастается перед друзьями своими охотничьими трофеями (см. Приложение 1, рис.14). Молодой охотник справа доверчиво слушает, а третий, в центре, ухмыляется, не доверяя рассказу «бывалого». Три психологических типа, три состояния, переданные художником, означают реальную природу мира [2].
Заключение
Согласно современным взглядам, математика и изобразительное искусство очень удаленные друг от друга дисциплины. Однако с помощью математических понятий и формул можно объяснить изображения картин известных художников. В подтверждении вышесказанных слов нами была проведена исследовательская работа для учащихся 8-11 классов (7 человек). Школьникам предлагалось до и после изучения темы «Математика в изобразительном искусстве» описать картину «Весенний день (1873)» А.К. Саврасова с математической точки зрения (см. Приложение 1, рис.15). Полученные данные были представлены в виде столбчатых диаграмм (см. Приложение 2, рис.1 и 2). До ознакомления с темой ученики смогли увидеть плоские фигуры, цилиндр, параллельные прямые, а после ее презентации они заметили такие понятия как «перспектива», «зеркальная и центральная симметрии», «параллельные и перпендикулярные прямые», «подобные фигуры».
На основании представленных результатов можно сделать вывод: учащиеся уже имели некоторое представление о применении математики в изобразительном искусстве. Но изучив более подробно данную тему, они смогли рассмотреть приемы художников при написании картин, чем расширили свой кругозор.
Общество до конца не осознает, насколько наша жизнь связана с математикой. Даже такое творческое направление как изобразительное искусство не может существовать и развиваться без математических законов. Примеры проникновения математики в искусство можно приводить до бесконечности. Однако чем дальше этим занимаешься, тем увлекательнее становится такая работа.
Список использованных источников и литературы
1. Атанасян, Л.С. Геометрия. 10-11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни/ Л.С.Атанасян [и др.] – Москва: Просвещение, 2009. – 255 с.
2. Евстратова, Е.Н. Шедевры русских художников. – Москва: ОЛМА Медиа Групп, 2013. – 557 с.
3. Каменева, Е. О. Какого цвета радуга: научно-художественная литература/ Е.О.Каменева. – Москва: Детская литература, 1987. – 153 с.
4. Рошаль, В.М. Энциклопедия символов/ В.М.Рошаль. – Москва: АСТ; СПб.: Сова, 2008. – 684 с.
5. http://podelki-sr.ru/tvorcheskie-zadachi-mastera-po-derevu/118-postroenie-perspektivy.html
6. http://www.art-pics.ru/
Приложение 1 «Картины художников»
Рис.1. С.С.Щукин. Портрет Павла I [6].
Рис. 2. Ф.А.Васильев. Оттепель [6].
Рис. 3. М.Хоббема. Аллея в Миддельхарнесе [6].
Рис.4. С.Ф.Щедрин. Малая гавань в Сорренто с видом на острова Искья и Прочидо [6].
Рис. 5. В.В.Верещагин. Мавзолей Тадж-Махал в Агре [6].
Рис.6. И.Е.Репин. А.С.Пушкин на акте в Лицее 8 января 1815 года [6].
Рис.7. И.И.Шишкин. Сосны, освещенные солнцем [6].
Рис.8. Ф.Я.Алексеев. Вид на Московский Кремль со стороны Каменного моста [6].
Рис.9. И.И.Машков. Городской зимний пейзаж [6].
Рис.10. К.С.Петров-Водкин. Утренний натюрморт [6].
Рис.11. В.В.Кандинский. Несколько кругов [6].
Рис.12. К.С.Малевич. Супрематическая композиция (1915) [6].
Рис.13. В.Г.Перов. «Тройка». Ученики-мастеровые везут воду [6].
Рис.14. В.Г.Перов. Охотники на привале [6].
Рис.15. А.К.Саврасов. Весенний день (1873).
Приложение 2 «Диаграммы результатов, полученных в ходе исследования»
Рис.1. Математические понятия до изучения темы «Математика в изобразительном искусстве»
Рис.2. Математические понятия после изучения темы «Математика в изобразительном искусстве»