НЕРАВЕНСТВА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ, СОДЕРЖАЩИЕ ЗНАК МОДУЛЯ

II Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

НЕРАВЕНСТВА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ, СОДЕРЖАЩИЕ ЗНАК МОДУЛЯ

Дерябина А.А. 1
1Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение"Женская гуманитарная гимназия"
Гущина Г.И. 1
1МБОУ "Женская гуманитарная гимназия"
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение:

Цель работы – изучить способы решения неравенств с двумя переменными, содержащих знак модуля.

Поставленная цель обусловила решение ряда задач:

1. изучить теоретический материал о неравенствах и модуле числа, на котором будет основываться исследование;

2. проанализировать практическое применение данного материала посредством решения типовых заданий;

3. рассмотреть различные способы решения неравенств с двумя переменными, содержащих знак модуля;

4. провести анализ сходств и различий данных способов;

5. систематизировать материал и вывести алгоритм решения данных неравенств различными способами;

6. рассмотреть практическое применение данных способов при решении неравенств с двумя переменными, содержащих знак модуля.

Актуальность данной темы обусловлена тем, что задания на неравенства с двумя переменными, содержащими знак модуля, встречаются в заданиях С части ЕГЭ, но не изучаются глубоко в школьном курсе математики (без углублённого изучения).

Объектом исследования являются неравенства с двумя переменными, содержащих знак модуля.

Предметом исследования являются способы решения данных неравенств.

Гипотеза: не все способы решения являются универсальными, поэтому в зависимости от общего вида неравенства и места расположения модуля будем выбирать тот или иной способ решения данных неравенств.

Типовые тестовые задания, содержащие переменную под знаком модуля

Задание №1: Найти площадь фигуры, заданной неравенством

Решение: Множество точек – ромб, полученный из ромба путем параллельного переноса точки пересечения диагоналей (0;0) в точку (3;2).

Диагонали ромба: d1 = 6, d2 = 4 S = 0,5d1d2 = 0,5 × 4 × 6 = 12

Ответ: S = 12

Задание №2: Изобразите на координатной плоскости фигуру, заданную неравенством и вычислить ее площадь.

Решение:

Это два симметричных относительно оси OY круга с центрами в точках (-2;0) и (2;0) и радиусом r =2.

Ответ:

Задание №3: Изобразите фигуру, заданную неравенством и найдите площадь данной фигуры. Решение: Данная фигура состоит из двух равных треугольников OCB и OAB, вершины которых имеют координаты

A = (1;2), B = (0;1), C = (-1;2)

Рассмотрим треугольник OAB: основание OB равно 1; высота, опущенная из вершины А к основанию равно 1. SOAB= 0,5·h·OB = 0,5·1·1 = 0,5 Так как треугольника равные, то S = 2SOAB= 1 Ответ: S = 1

Задание №4: Найдите S фигуры, заданной неравенством

Решение: Фигура, заданная неравенством – прямоугольник ABCD с вершинами

Для нахождения площади необходимы значения сторон AB и AD:

Ответ: S=1,5

Задание №5:

Изобразите фигуру, заданную системой неравенств . Найдите площадь данной фигуры.

Решение: Первое неравенство системы задает круг с радиусом 2 и центром в начале координат. Второе неравенство задает прямые x = -2 и x = 2, множество точек располагается между этими прямыми. Третьим неравенством задаются прямые y = -2 и y = x, множество точек располагается выше прямой y = -2 и ниже прямой y = x

Фигура является общей частью внутренности прямоугольного треугольника ABC и внешности круга радиусом 2 с центром в начале координат.

Вершины треугольник АBC имеют координаты

А(-2;-2), В(2;2), С(2;-2)

Найдем площадь прямоугольного треугольника:

Для того, чтобы вычислить площадь фигуры нужно из площади треугольника ABC вычесть площадь полукруга с радиусом 2:

Ответ:

Задание №6: Найдите площадь фигуры, заданной неравенством .

Решение: Фигура состоит их двух равных треугольников OCB и OAB, вершины которых имеют координаты A = (1;2), B= (0;3), C = (-1;2)

Основание треугольника OAB равно 3, а высота, опущенная к основанию из вершины А равна 1.

SOAB= 0,5·h·OB = 0,5·3·1 = 1,5

Треугольники равны, поэтому S =2 SOAB= 3.

Ответ: S= 3

Задание №7: Решите систему неравенств:

Решение:

Предположим, что данная система неравенств имеет решение x, y, z, t.

Тогда, в частности, , т.е.

Аналогично получаем:

Перемножим все полученные неравенства: с одной стороны произведение четырех положительных чисел положительно, с другой стороны это произведение равно:

Приходим к противоречию.

Ответ: Система не имеет решений.

Задание №8: Существуют ли действительные числа a, b и с такие, что при всех действительных x и y выполняется неравенство:

Решение: Предположим, такие числа a, b, с существуют. Выберем x > 0 и y> 0 такие, что

Тогда разность между левой и правой частями равна a + b + с.

Если взять x< 0 и y< 0 такие, что

тогда разность будет равна –a – b – с.

Таким образом, с одной стороны a+ b + с > 0, с другой стороны a+ b + с < 0, что является противоречием.

Ответ: Нет, такие числа не существуют.

Задание №9: Сколько различных целочисленных решений имеет неравенство ?

При натуральных n уравнение имеет ровно 4n целочисленных решений, а при n = 0 решение единственно. Таким образом, количество решений исходного неравенства равно: 1+4(1+2+3+…+99)=19801

Ответ: 19801.

Способы решение неравенств с двумя переменными, содержащих знак модуля

Рассмотрим решение неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля, тремя способами: 1.Использование свойств неравенств, путем равносильных преобразований, и правил решения дробных неравенств.

2.Умножение обеих частей неравенства на неотрицательное число и дальнейшее решение полученного неравенства.

3.Возведение обеих частей в квадрат и решение полученного дробно-рационального неравенства.

Для того, чтобы рассмотреть все три способа, берем одно и тоже неравенство:

Способ №1. Использование свойств неравенств, путем равносильных преобразований

Равносильные переходы при решении неравенств:

Если , то при а > 0 - множество решений совпадает с областью определения функции f(x), а при равносильно

При решении воспользуемся теоремой:

Таким образом данное неравенство равносильно совокупности неравенств:

Перенесем 2 и -2 в левую часть и приведем к общему знаменателю. (1)

(1)

Имеем:

Воспользуемся тем, что

  1. произведение двух множителей < 0, если каждый множитель > 0 (или каждый < 0)

  2. произведение двух множителей < 0, если один из множителей < 0, а другой > 0

и запишем данную совокупность в виде совокупности систем, применив данное чередование к каждому из неравенств. Решим данные совокупности систем неравенств:

Геометрическим решением данного неравенства являются все точки, лежащие в углах АОВ и А1ОВ1 , исключая точки расположенные на лучах ОА, ОD, ОВ и ОА1, ОС, ОВ1.

Способ №1 является наиболее универсальным при решении неравенств. Если неравенство удовлетворяет одному из равносильных переходов, то оно может быть решено данным способом.

Способ №2. Умножение обеих частей на неотрицательное число

Т.к. модуль частного равен частному модулей, то:

есть число неотрицательное и от умножения на него данного неравенства равносильность не нарушается, если , поэтому:

Далее для решения будем использовать метод равносильных преобразований.

Воспользуемся методом одновременного раскрытия модуля и его определением:

Решим данные неравенства:

Геометрическим решением данного неравенства являются все точки, лежащие в углах АОВ и А1ОВ1 , исключая точки расположенные на лучах ОА, ОD, ОВ и ОА1, ОС, ОВ1.

Данный способ наиболее удобен при решении дробно-рациональных неравенств.

Способ №3. Возведение обеих частей в квадрат

Т. к. модуль частного равен частному модулей, то:

Т.к. обе части неравенства – числа неотрицательные, то равносильность не нарушается при возведении в квадрат обеих частей неравенства.

Перенесем 4 в левую сторону и приведем к общему знаменателю.

Таким образом данное неравенство равносильно системе:

Неравенство разложим на множители способом группировки.

Переходим к совокупности систем и решаем с учетом чередования знаков, как при способе равносильных преобразований.

Геометрическим решением данного неравенства являются все точки, лежащие в углах АОВ и А1ОВ1 , исключая точки расположенные на лучах ОА, ОD, ОВ и ОА1, ОС, ОВ1.

Данный способ можно использовать, если обе части неравенства есть числа неотрицательные, а возведение в квадрат не ведет к усложнению решения.

Алгоритм решения неравенств с двумя переменными, содержащих знак модуля

Вывод:

Научная новизна исследования:

- рассмотрено три способа решения одного неравенства с двумя переменными, содержащими знак модуля

- выведен алгоритм для каждого из трёх способов решения неравенств.

- даны рекомендации по выбору способа решения.

- представлено приложение с решениеми неравенств различными способами

Нужно заметить, что каждый из способов имеет свои преимущества, поэтому для успешного решения данных неравенств необходимо знать все способы. А какой из них наиболее удобный, зависит от вашего решения.

Практическая значимость исследования:

- может быть использован учителями математики при подготовке к урокам, при изучении тем: «Координаты и графики» и «Решение неравенств», и факультативным занятиям.

- может быть использован при проведении факультативных занятий и элективных курсов.

- для самостоятельной подготовки учащимися к ЕГЭ и вступительным экзаменам.

Приложение

1. Решить неравенство .

Воспользуемся тем, что если , а > 0, , запишем двойное неравенство в виде двух неравенств.

Геометрическим решением данного неравенства является множество точек плоскости, находящиеся между прямыми и , исключая точки, расположенные на прямых.

2. Решить неравенство .

При решении неравенства воспользуемся тем, что если

Геометрическим решением данного неравенства является множество точек плоскости, лежащих вне угла, образованного лучами AB и BC, исключая точки, расположенные на лучах.

3. Задача: Изобразить на координатной плоскости XOY фигуру M, состоящую из точек, координаты которых удовлетворяют неравенству .

Решение:

Построим график функций .

Получим, что данное неравенство задает множество точек, лежащих ниже прямой (для решения см. «Геометрическая интерпретация решений неравенств»), исключая точки на этой прямой.

4. Задача: Изобразите фигуру M, если она задана на координатной плоскости неравенствами:

.

Решение: Построим прямую и прямую .

Получим, что данные неравенства задают множество точек, лежащих в треугольниках OCB и BAO, включая точки на сторонах этих треугольников.

5. Задача: Изобразите фигуру M, если она задана на координатной плоскости неравенствами .

Решение: Изобразим прямую и прямую . Получим, что данные неравенства задают множество точек, лежащих в треугольниках ABC и CAO, включая точки на сторонах этих треугольников.

6. Решить неравенство .

Геометрическим решением данного неравенства является множество точек в квадрате ABCD и на сторонах данного квадрата.

7. Решить неравенство .

Строим график функций . Искомая область находится «над» графиком функций, исключая точки, лежание на нем.

8. Решить неравенство .

Строим график функций и отражаем относительно оси X. Искомая область находится вне графика данной функции, исключая точки на данном графике функции.

9. Решить неравенство .

Данное неравенство равносильно совокупности систем неравенств:

Решения первой системы образуют

(исключая сторону ВС)

второй – (исключая стороны АВ и ОВ)

третий – (исключая стороны DC и ОC)

четвертой – (исключая стороны АD, OD, AO)

10. Решить неравенство .

Данное неравенство равносильно совокупности систем неравенств:

  1.  
    1. Решить систему неравенств

Данная система равносильна совокупности систем неравенств:

12. Решить совокупность неравенств

Данная совокупность равносильна совокупности систем неравенств:

Геометрическое решение системы:

Геометрическое решение совокупности:

Список используемой литературы

  1. А.Ш.Блох, Т.Л.Трухан «Неравенства»

  2. А.Х.Шахмейстер «Дробно-рациональные неравенства»

  3. А.Ж. Жафяров «Математика. ЕГЭ. Решение задач уровня С1»

  4. М.А.Иванов «Математика без репетитора»

  5. Е.В. Ермолин, М.А. Лукина, Н.А. Цыпленкова «Уравнения и неравенства, содержащие модуль»

  6. С.С. Самарова «Фигуры на координатной плоскости, заданные неравенствами». Учебно-методическое пособия для подготовки к ЕГЭ по математике.

  7. http://compendium.su/

  8. http://diffur.kemsu.ru/

  9. http://diffur.kemsu.ru/

  10. http://ppt4web.ru/

Просмотров работы: 1647