Введение:
Цель работы – изучить способы решения неравенств с двумя переменными, содержащих знак модуля.
Поставленная цель обусловила решение ряда задач:
1. изучить теоретический материал о неравенствах и модуле числа, на котором будет основываться исследование;
2. проанализировать практическое применение данного материала посредством решения типовых заданий;
3. рассмотреть различные способы решения неравенств с двумя переменными, содержащих знак модуля;
4. провести анализ сходств и различий данных способов;
5. систематизировать материал и вывести алгоритм решения данных неравенств различными способами;
6. рассмотреть практическое применение данных способов при решении неравенств с двумя переменными, содержащих знак модуля.
Актуальность данной темы обусловлена тем, что задания на неравенства с двумя переменными, содержащими знак модуля, встречаются в заданиях С части ЕГЭ, но не изучаются глубоко в школьном курсе математики (без углублённого изучения).
Объектом исследования являются неравенства с двумя переменными, содержащих знак модуля.
Предметом исследования являются способы решения данных неравенств.
Гипотеза: не все способы решения являются универсальными, поэтому в зависимости от общего вида неравенства и места расположения модуля будем выбирать тот или иной способ решения данных неравенств.
Типовые тестовые задания, содержащие переменную под знаком модуля
Задание №1: Найти площадь фигуры, заданной неравенством
Решение: Множество точек – ромб, полученный из ромба путем параллельного переноса точки пересечения диагоналей (0;0) в точку (3;2).
Диагонали ромба: d1 = 6, d2 = 4 S = 0,5d1d2 = 0,5 × 4 × 6 = 12
Ответ: S = 12
Задание №2: Изобразите на координатной плоскости фигуру, заданную неравенством и вычислить ее площадь.
Решение:
Это два симметричных относительно оси OY круга с центрами в точках (-2;0) и (2;0) и радиусом r =2.
Ответ:
Задание №3: Изобразите фигуру, заданную неравенством и найдите площадь данной фигуры. Решение: Данная фигура состоит из двух равных треугольников OCB и OAB, вершины которых имеют координаты
A = (1;2), B = (0;1), C = (-1;2)
Рассмотрим треугольник OAB: основание OB равно 1; высота, опущенная из вершины А к основанию равно 1. SOAB= 0,5·h·OB = 0,5·1·1 = 0,5 Так как треугольника равные, то S = 2SOAB= 1 Ответ: S = 1
Задание №4: Найдите S фигуры, заданной неравенством
Решение: Фигура, заданная неравенством – прямоугольник ABCD с вершинами
Для нахождения площади необходимы значения сторон AB и AD:
Ответ: S=1,5
Задание №5:
Изобразите фигуру, заданную системой неравенств . Найдите площадь данной фигуры.
Решение: Первое неравенство системы задает круг с радиусом 2 и центром в начале координат. Второе неравенство задает прямые x = -2 и x = 2, множество точек располагается между этими прямыми. Третьим неравенством задаются прямые y = -2 и y = x, множество точек располагается выше прямой y = -2 и ниже прямой y = x
Фигура является общей частью внутренности прямоугольного треугольника ABC и внешности круга радиусом 2 с центром в начале координат.
Вершины треугольник АBC имеют координаты
А(-2;-2), В(2;2), С(2;-2)
Найдем площадь прямоугольного треугольника:
Для того, чтобы вычислить площадь фигуры нужно из площади треугольника ABC вычесть площадь полукруга с радиусом 2:
Ответ:
Задание №6: Найдите площадь фигуры, заданной неравенством .
Решение: Фигура состоит их двух равных треугольников OCB и OAB, вершины которых имеют координаты A = (1;2), B= (0;3), C = (-1;2)
Основание треугольника OAB равно 3, а высота, опущенная к основанию из вершины А равна 1.
SOAB= 0,5·h·OB = 0,5·3·1 = 1,5
Треугольники равны, поэтому S =2 SOAB= 3.
Ответ: S= 3
Задание №7: Решите систему неравенств:
Решение:
Предположим, что данная система неравенств имеет решение x, y, z, t.
Тогда, в частности, , т.е.
Аналогично получаем:
Перемножим все полученные неравенства: с одной стороны произведение четырех положительных чисел положительно, с другой стороны это произведение равно:
Приходим к противоречию.
Ответ: Система не имеет решений.
Задание №8: Существуют ли действительные числа a, b и с такие, что при всех действительных x и y выполняется неравенство:
Решение: Предположим, такие числа a, b, с существуют. Выберем x > 0 и y> 0 такие, что
Тогда разность между левой и правой частями равна a + b + с.
Если взять x< 0 и y< 0 такие, что
тогда разность будет равна –a – b – с.
Таким образом, с одной стороны a+ b + с > 0, с другой стороны a+ b + с < 0, что является противоречием.
Ответ: Нет, такие числа не существуют.
Задание №9: Сколько различных целочисленных решений имеет неравенство ?
При натуральных n уравнение имеет ровно 4n целочисленных решений, а при n = 0 решение единственно. Таким образом, количество решений исходного неравенства равно: 1+4(1+2+3+…+99)=19801
Ответ: 19801.
Способы решение неравенств с двумя переменными, содержащих знак модуля
Рассмотрим решение неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля, тремя способами: 1.Использование свойств неравенств, путем равносильных преобразований, и правил решения дробных неравенств.
2.Умножение обеих частей неравенства на неотрицательное число и дальнейшее решение полученного неравенства.
3.Возведение обеих частей в квадрат и решение полученного дробно-рационального неравенства.
Для того, чтобы рассмотреть все три способа, берем одно и тоже неравенство:
Способ №1. Использование свойств неравенств, путем равносильных преобразований
Равносильные переходы при решении неравенств:
Если , то при а > 0 - множество решений совпадает с областью определения функции f(x), а при равносильно
При решении воспользуемся теоремой:
Таким образом данное неравенство равносильно совокупности неравенств:
Перенесем 2 и -2 в левую часть и приведем к общему знаменателю. (1)
(1)
Имеем:
Воспользуемся тем, что
произведение двух множителей < 0, если каждый множитель > 0 (или каждый < 0)
произведение двух множителей < 0, если один из множителей < 0, а другой > 0
и запишем данную совокупность в виде совокупности систем, применив данное чередование к каждому из неравенств. Решим данные совокупности систем неравенств:
Геометрическим решением данного неравенства являются все точки, лежащие в углах АОВ и А1ОВ1 , исключая точки расположенные на лучах ОА, ОD, ОВ и ОА1, ОС, ОВ1.
Способ №1 является наиболее универсальным при решении неравенств. Если неравенство удовлетворяет одному из равносильных переходов, то оно может быть решено данным способом.
Способ №2. Умножение обеих частей на неотрицательное число
Т.к. модуль частного равен частному модулей, то:
есть число неотрицательное и от умножения на него данного неравенства равносильность не нарушается, если , поэтому:
Далее для решения будем использовать метод равносильных преобразований.
Воспользуемся методом одновременного раскрытия модуля и его определением:
Решим данные неравенства:
Геометрическим решением данного неравенства являются все точки, лежащие в углах АОВ и А1ОВ1 , исключая точки расположенные на лучах ОА, ОD, ОВ и ОА1, ОС, ОВ1.
Данный способ наиболее удобен при решении дробно-рациональных неравенств.
Способ №3. Возведение обеих частей в квадрат
Т. к. модуль частного равен частному модулей, то:
Т.к. обе части неравенства – числа неотрицательные, то равносильность не нарушается при возведении в квадрат обеих частей неравенства.
Перенесем 4 в левую сторону и приведем к общему знаменателю.
Таким образом данное неравенство равносильно системе:
Неравенство разложим на множители способом группировки.
Переходим к совокупности систем и решаем с учетом чередования знаков, как при способе равносильных преобразований.
Геометрическим решением данного неравенства являются все точки, лежащие в углах АОВ и А1ОВ1 , исключая точки расположенные на лучах ОА, ОD, ОВ и ОА1, ОС, ОВ1.
Данный способ можно использовать, если обе части неравенства есть числа неотрицательные, а возведение в квадрат не ведет к усложнению решения.
Алгоритм решения неравенств с двумя переменными, содержащих знак модуля
Вывод:
Научная новизна исследования:
- рассмотрено три способа решения одного неравенства с двумя переменными, содержащими знак модуля
- выведен алгоритм для каждого из трёх способов решения неравенств.
- даны рекомендации по выбору способа решения.
- представлено приложение с решениеми неравенств различными способами
Нужно заметить, что каждый из способов имеет свои преимущества, поэтому для успешного решения данных неравенств необходимо знать все способы. А какой из них наиболее удобный, зависит от вашего решения.
Практическая значимость исследования:
- может быть использован учителями математики при подготовке к урокам, при изучении тем: «Координаты и графики» и «Решение неравенств», и факультативным занятиям.
- может быть использован при проведении факультативных занятий и элективных курсов.
- для самостоятельной подготовки учащимися к ЕГЭ и вступительным экзаменам.
Приложение
1. Решить неравенство .
Воспользуемся тем, что если , а > 0, , запишем двойное неравенство в виде двух неравенств.
Геометрическим решением данного неравенства является множество точек плоскости, находящиеся между прямыми и , исключая точки, расположенные на прямых.
2. Решить неравенство .
При решении неравенства воспользуемся тем, что если
Геометрическим решением данного неравенства является множество точек плоскости, лежащих вне угла, образованного лучами AB и BC, исключая точки, расположенные на лучах.
3. Задача: Изобразить на координатной плоскости XOY фигуру M, состоящую из точек, координаты которых удовлетворяют неравенству .
Решение:
Построим график функций .
Получим, что данное неравенство задает множество точек, лежащих ниже прямой (для решения см. «Геометрическая интерпретация решений неравенств»), исключая точки на этой прямой.
4. Задача: Изобразите фигуру M, если она задана на координатной плоскости неравенствами:
.
Решение: Построим прямую и прямую .
Получим, что данные неравенства задают множество точек, лежащих в треугольниках OCB и BAO, включая точки на сторонах этих треугольников.
5. Задача: Изобразите фигуру M, если она задана на координатной плоскости неравенствами .
Решение: Изобразим прямую и прямую . Получим, что данные неравенства задают множество точек, лежащих в треугольниках ABC и CAO, включая точки на сторонах этих треугольников.
6. Решить неравенство .
Геометрическим решением данного неравенства является множество точек в квадрате ABCD и на сторонах данного квадрата.
7. Решить неравенство .
Строим график функций . Искомая область находится «над» графиком функций, исключая точки, лежание на нем.
8. Решить неравенство .
Строим график функций и отражаем относительно оси X. Искомая область находится вне графика данной функции, исключая точки на данном графике функции.
9. Решить неравенство .
Данное неравенство равносильно совокупности систем неравенств:
Решения первой системы образуют
(исключая сторону ВС)
второй – (исключая стороны АВ и ОВ)
третий – (исключая стороны DC и ОC)
четвертой – (исключая стороны АD, OD, AO)
10. Решить неравенство .
Данное неравенство равносильно совокупности систем неравенств:
Решить систему неравенств
Данная система равносильна совокупности систем неравенств:
12. Решить совокупность неравенств
Данная совокупность равносильна совокупности систем неравенств:
Геометрическое решение системы:
Геометрическое решение совокупности:
Список используемой литературы
А.Ш.Блох, Т.Л.Трухан «Неравенства»
А.Х.Шахмейстер «Дробно-рациональные неравенства»
А.Ж. Жафяров «Математика. ЕГЭ. Решение задач уровня С1»
М.А.Иванов «Математика без репетитора»
Е.В. Ермолин, М.А. Лукина, Н.А. Цыпленкова «Уравнения и неравенства, содержащие модуль»
С.С. Самарова «Фигуры на координатной плоскости, заданные неравенствами». Учебно-методическое пособия для подготовки к ЕГЭ по математике.
http://compendium.su/
http://diffur.kemsu.ru/
http://diffur.kemsu.ru/
http://ppt4web.ru/