II Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ КАК ИНСТРУМЕНТ НАХОЖДЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ И РИСКА
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
В девятом классе мы более подробно познакомились с теорией вероятностей, хотя и раньше, в младших классах, учитель по математике вскользь касалась этой темы.
Мне всегда было интересно узнать: что такое случайность и чем она обусловлена? Случайным ли образом происходят те или иные явления в окружающем нас мире или эти явления подчиняются каким-то законам? Почему возникают мутации в живой природе, зависит ли историческое развитие человечества или отдельного государства от конкретной личности, можно ли просчитать появления того или иного события в повседневной жизни человека? Ответить на эти вопросы мы постараемся в данной научно-исследовательской работе.
В толковом словаре случайность определяется как нечто появившееся, возникшее непреднамеренно, непредвиденно. Но, по мнению английского математика Карла Пирсона, у каждого случайного события есть четкая вероятность его наступления. В этом, на наш взгляд, есть парадокс. Ведь вероятность появления какого-либо события есть то, чего не знают.
Понятно, что вероятность появления события в нашей жизни мы не просчитываем по формулам. Скорее действуем интуитивно. Часто слыша такие фразы, как: «Завтра, вероятно, выпадет снег», «Вероятно, в субботу мы с семьей поедем в горы», «Это просто невероятно», мы не придаем им научного математического значения. С одной стороны, фразы такого рода определяют на интуитивном уровне вероятность того, что произойдет некоторое случайное событие. С другой стороны, математическое обоснование дает числовую оценку вероятности появления случайного события.
В связи с этим, проверить совпадает ли «шестое чувство» с математической оценкой появления того или иного явления, как нам кажется, бывает очень полезно.
Глава 1. История возникновения и развития теории вероятностей
Теория вероятностей появилась достаточно поздно, в XVII веке. Длительное время считалось, что случайные события непредсказуемы, не подчиняются никаким законам. Поэтому, анализ появления случайных событий неподвластен человеку.
С другой стороны, древние ученые считали, что случайность лежит в области божественного и имеет магический смысл. В этом смысле изучение случайных событий долгое время считалось даже опасным.
Но, не смотря на это, первые попытки анализировать вероятность принадлежит древнему римлянину Цицерону. Ученый считал, что «вероятность ведет нас по жизни». Он первый из древних ученых усомнился в том, что результат броска костей зависит от вмешательства богини Венеры. Именно Цицерон ввел понятие «вероятность», которое мы используем и в настоящее время.
Однако, труды Цицерона не нашли поддержки у современников, и вплоть до эпохи Возрождения никаких исследований в этой области не проводилось.
Принято считать, что теория вероятностей возникла в связи с попытками математического анализа азартных игр. Эти игры с древнейших времен создавались таким образом, чтобы исход в них был независим от поддающихся наблюдению условий опыта. Другими словами, был случайным. Само же слово «азарт» означает «случай».
Находки археологов свидетельствуют о том, что игра в бабки была известна многим древним цивилизациям. Древнейшие из известных нам игральных костей были керамическими. Они были найдены на севере Ирака и датируются III тысячелетием до нашей эры.
В Египте также были обнаружены игральные кости эпохи фараонов, на грани которых были нанесены точки. Геродот описывает, как в Древней Ливии удалось справиться с голодом, поразившим страну около 1500 года до нашей эры. Люди играли весь день без остановки, чтобы не чувствовать голода. На следующий день принимали пищу и не играли. По словам автора, так ливийцы прожили почти восемнадцать лет.
В Греции и Риме азартные игры были настолько популярны, что в разные годы запрещалась законом.
Карточная колода появилась позднее и, несмотря на множество гипотез, исследователи не знают, как именно были созданы первые карты. Однако их появления произвело настоящий переворот в сфере досуга человека в Средние века.
Первой книгой, в которой рассказывалось о случайности, стала «Книга об азартных играх» Джероламо Кардано. Целью данного произведения было вычислить различные вероятности выпадения очков при бросании костей, а так же решить задачи о разделе ставок.
В связи с тем, что не было системы обозначений, ученый использовал конкретные примеры и два метода, которые сводились к подсчету числа возможных исходов и вычислению среднего выигрыша.
Принимая во внимание общее число исходов и число благоприятных исходов, Кардано первым стал присваивать случайному событию, исход которого неизвестен, число pв интервале от 0 до 1.
Однако, работая с понятиями, которые в настоящее время связаны с классическим определением вероятности, ученый не дал им четких определений. Считая подобное соотношение арифметическим, Джероламо Кардано не рассматривал их как меры вероятности случайных событий.
Позднее, поставленные Карданом задачи, были вновь решены Галилео Галилеем, который пытался определить наиболее вероятную сумму очков, выпавшую при бросании трех игральных костей.
Решая эту задачу, ученый тщательно проанализировал возможные суммы очков при броске трех костей и определил, что общее число возможных исходов равно 216. Из них в 27 случаях сумма очков равна 10, а в 25 случаях сумма очков равна 9.
Основным вкладом Галилея в теорию вероятностей стало создание теории ошибок измерения, которые, по мнению ученого, неизбежны и делятся на две группы. К первой группе он относил систематические ошибки измерения, обусловленные методами и средствами измерения. Ко второй группе он относил случайные ошибки, которые изменяются непредсказуемым образом от одного измерения к другому. Данная классификация ошибок измерения используется и в настоящее время.
Несмотря на то, что в создание теории вероятностей, в той или иной мере внесли вклад многие ученые разных эпох, исследователи практически единодушно считают зарождение этой науки как результат переписки между Паскалем и Ферма. Эти великие ученые пытались решить задачи, предложенные Паскалю шевалье де Мере.
Антуан Гомбо, известный больше как шевалье де Мере, был профессиональным игроком в кости и карты. Но будучи человеком образованным и умным, он понимал, что знание закономерностей игр могут быть очень полезными.
В одной из бесед шевалье де Мере предложил Паскалю ряд задач, которые заинтересовали математика. Ученый рассказал о них Пьеру Ферма. И хотя два великих математика никогда не встречались друг с другом, в переписке, совместными усилиями было дано серьезное начало исчислению вероятностей.
Результатом этой переписки стал ряд работ, связанных с понятиями комбинаторики. В 1655 году голландский ученый Христиан Гюйгенс познакомился с идеями Паскаля и Ферма и начал работать над задачи, связанных с исчислением вероятностей. Результаты своих исследований ученый изложил в книге «О расчетах при азартных играх».
В данной книге математик объяснил понятие «математического ожидания» на примере переменной, принимающей конечное множество значений. Данное понятие было введено при решении задач о ренте и налогах. Для этого ученому потребовалось проанализировать ожидаемую продолжительность жизни на основе данных, собранных в Лондоне.
Важный вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли, который доказал теорему о законе больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине XIX века Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы.
Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные: П.Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время была разработана теория цепей Маркова.
Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.
Таким образом, понятие вероятности появилось при решении задач, связанных с азартными играми, а затем начало прокладывать себе путь в другие сферы жизни человека.
Глава 2. Комбинаторные задачи как средство точного подсчета
Довольно часто в повседневной жизни возникает необходимость подсчитать все возможные исходы того или иного события. Отвечая на вопросы «Сколько различных блюд можно приготовить из определенного набора продуктов?», «Сколькими способами можно выбрать двух человек из класса на олимпиаду по математике?», «Сколько вариантов существует наполнить новогодний подарок конфетами младшей сестре?», мы не задумываемся о том, что существует особый раздел математики, позволяющий решить данные задачи.
Обычно при подсчете мы не перечисляем все возможные ситуации, а стараемся найти суммарное число вариантов. Методы, с помощью которых осуществляется поиск общего числа исходов, рассматривает комбинаторика.
Другими словами, комбинаторика — это наука, изучающая комбинации, которые можно составить по определенным правилам из элементов некоторого конечного множества. Определим основные такие комбинации.
Конечное множество, состоящее из n элементов, называется упорядоченным, если его элементы каким-либо образом занумерованы числами .
Разумеется, одно и то же конечное множество, можно упорядочить разными способами. Например, множество учеников данного класса можно упорядочить по росту (опять-таки двумя способами), по весу, по возрасту, по алфавиту фамилий и т.д.
Но каждый такой «порядок» несвязан с каким-либо «естественным правилом» упорядочения. Скажем, множество шахматных фигур (каждого цвета по отдельности или все 32) можно, конечно, упорядочить слева направо в порядке их расстановки на доске или по силе (а фигуры одинаковой силы – слева направо или еще как угодно). Можно считать «упорядочением» и «беспорядочную» последовательность, в которой мы случайно поставили шахматы на доску для данной партии. A можно было бы их просто расставить в ряд в произвольном «порядке».
Аналогично множество учеников данного класса можно считать упорядоченным в соответствии с тем порядком, в котором они сегодня пришли в школу.
"Нумерация", о которой говорится в определении упорядоченного множества, не предполагает, вообще говоря, никакого заранее известного "закона" – упорядочивая конечное множество, мы просто приписываем каким-либо образом номера его элементам. И если в приведенных примерах легко было все же указать некоторые "естественные" способы упорядочения, то для упорядочения, например, множества муравьев в муравейнике или рыб в озере трудно указать более "естественный" способ, чем переловить их всех по очереди и перенумеровать в порядке попадания их в банку или на удочку.
Таким образом, речь, как правило, идет лишь о теоретическом, мысленном упорядочении, которое для конечного множества всегда возможно.
Итак, для решения комбинаторных задач применяются размещения, сочетания и перестановки.
Под перестановками будем понимать расположение ряда предметов в определенном порядке. Другими словами, перестановки помогают упорядочить n элементов множества различными способами. При этом число перестановок P для nобъектов находят следующим образом: первый элемент можно выбрать nспособами, второй – n – 1 способами, третий – n – 2 и т.д.
Таким образом, в общем виде число перестановок n различных элементов определяется по формуле
где n! «n-факториал» - это произведение всех натуральных чисел.
Пример 1. Сколько существует телефонных номеров по шесть цифр, состоящих из различных цифр?
Таким образом, существует 720 телефонных номеров, состоящих из шести неповторяющихся цифр.
Пример 2. Сколько ожерелий можно составить из 7 различных бусин?
Значит, из семи различных бусин можно сделать 5040 ожерелий.
В том случае, когда некоторые элементы перестановки равны между собой, используют формулу перестановок с повторениями:
Пример 3. Сколько различных перестановок можно получить из букв слова «абракадабра»?
Решение. n = 11;
Следовательно, из букв данного слова можно составить 83160 различных перестановок.
Размещением из n элементов по m будем называть упорядоченные наборы, состоящие из m различных элементов, выбранных из n элементов.
Размещения могут отличаться друг от друга, как элементами, так и порядком.
Например, различными размещениями множества из трех элементов по два будут наборы
Число размещений из n элементов по m определяется по формуле:
Пример 4. Фирма нуждается в организации 4 новых складов. Ее сотрудники подобрали 8 подходящих одинаковых удобных помещений. Сколько существует способов отбора 4 помещений из 8 в заданном порядке?
Решение. Занумеруем удобные помещения цифрами от 1, 2,…, 8. Составить способы отбора помещений можно следующим образом. Сначала выберем помещения, например, , а затем порядок их выбора. Таким образом, необходимо составить различные наборы четырех чисел из восьми, которые отличаются друг от друга не только элементами, но и порядком. Таких наборов .
Из элементов множества A можно составить различные упорядоченные множества, содержащие по mэлементов в каждом. Такие упорядоченные множества будем называть размещениями с повторениями из n элементов по m, которые определяется по формуле: .
Пример 5. В конкурсе по 5 номинациям участвуют 10 кинофильмов. Сколько существует вариантов распределения призов, если по каждой номинации установлены различные призы.
Решение. Каждый из вариантов распределения призов представляет собой комбинацию 5 фильмов из 10, отличающихся от других комбинаций, как составом фильмов, так и их порядком по номинациям (или и тем и другим). Причем одни и те же фильмы могут повторяться несколько раз (любой фильм может получить призы как по одной, так и по нескольким номинациям). Другими словами, представляет размещение с повторениями из 10 элементов по 5. Таким образом, варианты распределения призов в конкурсе кинофильмов находим:
Под сочетаниями из n элементов по mбудем понимать неупорядоченные наборы, состоящие из mэлементов, взятых из данных n элементов. При этом сочетания отличаются друг от друга только элементами.
Например, для множества из трех элементов сочетаниями по два будут являться наборы
Число сочетаний из n элементов по mопределяется по формуле:
Пример 6. На 9 вакантных мест по определенной специальности претендуют 15 безработных, состоящих на учете в службе занятости. Сколько возможных комбинаций выбора 9 из 15 безработных?
Решение. В связи с тем, что безработные выбираются по одной специальности, порядок выбора не важен. Поэтому, число возможных комбинаций будет равно
Если элементы повторяются, то получаем сочетания с повторениями. Для данного множества из mэлементов сочетаниями с повторениями порядка nназываются все наборы из nэлементов, взятых из множества mтак, что некоторые элементы наборов могут повторяться. Два сочетания считаются различными, если они отличаются хотя бы одним элементом.
Сочетания с повторениями определяется по формуле:
Пример 7. Сколькими способами можно приготовить стаканчики с двумя шариками мороженого, если всего доступно пять различных вкусов?
Решение. Так как порядок выбора вкуса шарика мороженого не важен и он может повторяться, то получим следующее число стаканчиков с двумя шариками мороженого:
Исследования показали, что для того, чтобы не сделать ошибки при выборе формулы решения задач по комбинаторике на размещение и сочетание, следует помнить следующую ситуацию.
Даны двенадцать различных цветов. Необходимо:
1). Изготовить трехцветные флаги с горизонтальными полосами;
2). Получить новые цвета путем смешивания трех различных цветов из уже имеющихся.
В первом условии порядок следования цветов имеет значение, то есть это размещение:
Во втором случае порядок следования цветов не важен, так как это не повлияет на конечный результат, то есть это сочетание:
Глава 3. Возможно ли выиграть в лотерею?
В течении жизни человек участвует во многих лотереях, порой даже не осознавая этого. Например, при выборе старосты в классе или наблюдателей на выборах. В европейских странах с помощью жеребьевки распределяется социальное жилье и вакансии государственных чиновников.
Само слово «лотерея» происходит от итальянского lotto и означает «доля», «судьба». Лотереи упоминаются уже в Ветхом Завете. В Китае лотереи использовались для сбора средств на постройку Великой Китайской стены.
В Европе история лотерей берет начало в 1498 году в Португалии. Средства, вырученные от первой лотереи, были направлены на помощь бездомным и поддержку экономики страны. В 1727 году в Нидерландах была основана старейшая в мире лотерея, которая проводится до сих пор. Ее целью был сбор средств, необходимых для пополнения казны, финансирования новых войн и проведения общественных работ.
В мире, да и в нашей стране, довольно популярны лотереи, в которых главный приз достается тому, кто угадает шесть чисел из сорока девяти или пять из сорока шести.
Сделаем подсчеты. Общее число способов, которыми можно выбрать шесть чисел из сорока девяти равен:
Вероятность угадать все шесть чисел очень мала: =0,000007.
От розыгрыша к розыгрышу вероятность не меняется. Так как в году 52 недели, то примерно раз в год будет выпадать билет с тремя верными числами. Другие вероятности настолько малы, что больших выигрышей не следует ожидать слишком часто. Например, чтобы угадать четыре числа, потребуется несколько лет.
Несмотря на это лотереи очень популярны. Как считают психологи, на подсознательном уровне из-за возможности моментально разбогатеть люди делают вывод, что игра стоит того, чтобы рисковать. В этом заключается популярность лотерей.
Глава 4. Роль методов теории вероятностей в обществе
В настоящее время одним из наиболее выгодных видов бизнеса является страхование. Страховые компании предлагают услуги по страхованию жизни, автомобиля, здоровья, имущества и т.д. В основе всех видов страхования лежит ряд математических расчетов, в которых учитываются два фактора. С одной стороны, риск, то есть вероятность того, что страховой компании нужно будет возмещать ущерб. С другой стороны, время, в течение которого мы можем получить возмещение ущерба.
В современном обществе очень востребовано страхование жизни, которое позволяет в случае смерти застрахованного лица его семье получить некоторую сумму денег. Данные выплаты определяются с помощью ряда математических расчетов, целью которых является предсказание по поводу продолжительности жизни застрахованного лица.
Конечно, продолжительность жизни отдельного человека предсказать нельзя, но на больших группах людей наблюдается ряд закономерностей. Они то и позволяют с помощью методов теории вероятностей оценить среднюю продолжительность жизни людей в определенной группе.
Мы согласны с мнением авторов, что страхование можно рассматривать как игру, которая почти всегда невыгодна для страхователя. Но за относительно небольшую сумму он избегает риска, то есть при аварии ему не придется выложить крупную сумму за ремонт автомобиля или покупку нового автомобиля.
При заключении страхового договора мы вносим сравнительно небольшую сумму каждый год и ожидаем, что если с нами произойдет несчастье, то благодаря страховому возмещению мы сможем справиться с ситуацией.
В общем случае страхование можно рассматривать как лотерею, игру, ставки в которой, возможно, оправданы.
В большинстве европейских стран, да и в нашей стране, время от времени возникает вопрос о повышении пенсионного возраста. В этих спорах, несомненно, учитывается продолжительность жизни человека в той или иной стране.
Как и в случае страхования жизни, составления точных таблиц смертности и расчет ожидаемой продолжительности жизни играют главную роль при разрешении споров на подобную тему.
Аналогом таблиц смертности в механике и инженерном деле является продолжительность функционирования какого-либо механизма или детали. Речь идет о среднестатистическом времени, которое пройдет до того момента, когда нашему холодильнику или пылесосу потребуется ремонт. Часто возникает ощущение, что поломка бытовой техники происходит именно тогда, когда заканчивается гарантийный срок.
Такая ситуация неслучайна. Любая компания тщательно анализирует срок службы своей продукции, поэтому, гарантия никогда не будет превышать ожидаемый срок службы устройства. В связи с этим, государственные организации, располагая информацией, предоставляемой экспертами, могут пресечь недобросовестных производителей и установить минимальный срок гарантии для товаров, который они должны будут соблюдать.
Другое применение методов теории вероятностей осуществляется в медицине. С середины 80-х годов прошлого столетия анализ ДНК начал активно использоваться в судебных разбирательствах для установления отцовства, родства между людьми, личностей жертв военных конфликтов, катастроф и несчастных случаев. Анализ ДНК с помощью методов теории вероятностей для определения доли вины подозреваемого дало начало отдельной дисциплине такой, как судебная статистика.
Заключение
Человечество прошло долгий и трудный путь в попытке понять скрытые закономерности. Случайность тесно связана с неопределенностью, с незнанием того, что произойдет, с неуверенностью, которая неприятна для человека. Ведь современный человек привык все держать под контролем. И тем сильнее мы раздражаемся, когда в нашей жизни происходит неопределенность (неожиданно в конце октября выпал снег, простудился, получил двойку по контрольной работе). Но ведь это часть нашей жизни. И, наверное, нам было бы трудно жить в мире, где слишком много событий были бы полностью непредсказуемы. К счастью, даже в нашем организованном обществе будущее является удивительным переплетением детерминированного и случайного. Как сказал индийский статистик Кальямпуди Радхакришна Рао, «случайность описывает порядок посреди беспорядка, хаос – беспорядок посреди порядка».
Список используемой литературы
-
Вихляева В.В., Попова С.В. Вероятность как инструмент поиска оптимального решения в условиях неопределенности. – Современные наукоемкие технологии. 2014. № 5-2. С. 146-148
-
Гулай Т.А., Мелешко С.В., Невидомская И.А. Развитие математического стиля мышления на занятиях по теории вероятностей/ The First International Conference on Eurasian scientific development. – Austria, Vienna. 2014. – C.53-57
-
Гулай Т.А. Мелешко С.В., Невидомская И.А. Случайные величины. Основные законы распределения случайных величин. - Ставрополь: ИП Светличная С.Г., 2014. – 60 с.
-
Мамаев И.И., Жукова В.А. Модели азартных игр на занятиях по теории вероятностей. В сборнике: Экономические и информационные аспекты развития региона: теория и практика Международная научно-практическая конференция. Ставропольский государственный аграрный университет. 2015. С. 172-176
-
Мир математики: в 40 т. Т.24: Фернандо Корбалан, Херардо Санц. Укрощение случайностей. Теория вероятностей./пер. с исп. – М.,: Де Агостини, 2014. – 160 С.
-
Мелешко С.В. Донец З.Г, Невидомская И.А. Организация самостоятельной работы студентов при решении задач теории вероятностей/ Финансово-экономические и учетно-аналитические проблемы развития региона: материалы Ежегодной 77-ой научно-практической конференции Ставропольского ГАУ «Аграрная наука Северо-Кавказскому федеральному округу». – Ставрополь, 2013. – С.486-489
-
Элементы теории вероятностей случайных событий: Учебно-методическое пособие. Невидомская И.А., Мелешко С.В., Гулай Т.А. – Ставрополь, 2012.- 74 с.