II Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА "ШАХМАТЫ И МАТЕМАТИКА"
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Я занимаюсь шахматами пятый год. Игра в шахматы мне очень нравится. Обучаясь шахматам, мы превращаемся в полководцев. Как всякие полководцы, мы хотим одерживать победу. Цель игры - объявить мат королю, обдумывая ходы. Наш учитель Александр Александрович говорит, что занимаясь в кружке, у нас развивается логическое мышление, внимание, память. Шахматы развивают и тренируют мысль. Мы хорошо должны решать задачи на смекалку, задачи повышенной сложности, математические кроссворды, головоломки. Я добился некоторых успехов. В настоящее время имею 3 разряд по шахматам.
А из учебных предметов мне больше всего нравится математика. Но некоторые задачи бывают сложными, тогда я представляю математические объекты фигурами на шахматной доске, и решение становится понятным. Мне захотелось найти связь между шахматами и математикой, разобрать на примерах в чём заключается эта связь. Воспользоваться этой связью при решении математических задач.
Цель работы: – найти связь между шахматами и математикой, воспользоваться этой связью при решении математических задач.
Задачи.
1. Изучить литературу по теме и узнать историю шахмат.
2. Установить и рассмотреть связь шахмат с математикой. Разобрать на примерах в чём заключается эта связь.
3. Показать, как решаются математические задачи на шахматной доске.
4. Изучить шахматные «головоломки».
5. Попробовать самому составить шахматные задачи и головоломки.
6. Обобщить результаты исследований и сделать выводы.
Методы исследования:
- наблюдение
- сравнение
- логическое мышление
Шахматная доска – объект нашего исследования. Предмет исследования – математические задачи и головоломки, связанные с шахматной доской и шахматными фигурами.
Новизна работы заключается в том, что тема математики и шахмат недостаточно освещена в современной литературе. По этой проблеме было найдено небольшое количество книг. Практическая значимость работы состоит в том, что задачи с применением шахматной теории часто встречаются на олимпиадах по математике. Данное исследование будет полезным для учащихся, интересующихся математикой и шахматами. Материалы данной работы могут быть использованы в работе кружка «Шахматы» как информационно - практический материал.
Актуальность работы заключается в том, что игра в шахматы является одним из эффективных способов мыслительной деятельности.
Начнем с экскурсии в историю.
Шахматы - одна из самых древних и мудрых игр на Земле. Она существует уже многие века. Ей увлекается и стар и млад. Однако шахматная доска сама по себе также представляет достаточно интересный математический объект. Поэтому рассказ о шахматной математике я начну с задач о шахматной доске. Прежде всего, вспомним одну старинную легенду. Индусский царь Шерам узнал, что его подданный - мудрец изобрел новую игру. Царь познакомился с нею. Он был восхищён её остроумием и разнообразием возможных в ней положений, обилием красивых комбинаций. Царь чтобы лично наградить за гениальную выдумку позвал мудреца. Властелин пообещал выполнить любую просьбу мудреца, и был удивлён его скромностью, когда тот пожелал получить в награду пшеничные зёрна. На первое поле шахматной доски – одно зерно, на второе – два, и так далее, на каждое последующее вдвое больше, чем на предыдущее. Царь приказал по - быстрее выдать изобретателю шахмат его ничтожную награду. Однако на следующий день придворные математики сообщили своему повелителю, что не в состоянии исполнить желание хитроумного мудреца. Оказалось, что для этого не хватит пшеницы, хранящейся не только в амбарах всего царства, но и во всех амбарах мира. Мудрец скромно потребовал число, которое записывается двадцатью цифрами и является фантастически большим. Подсчёт показывает, что амбар для хранения необходимого зерна должен простираться от Земли до Солнца. Конечно, связь с математикой здесь несколько условна, однако неожиданная развязка истории наглядно иллюстрирует грандиозные математические возможности, скрывающиеся в шахматной игре. Это было мое первое открытие о связи шахмат и математики, которое я сделал, читая книгу Гика Е.Я. «Шахматы и математика».
Математические свойства шахматной доски.
Симметрия в шахматах.
Моё следующее открытие было при изучении темы «симметрия», когда я увидел симметрию на шахматной доске. Симметрия относительно точки – центральная симметрия, а относительно оси - осевая симметрия.
На шахматной доске можно провести прямую, разделяющую левый и правый фланги доски (граница между вертикалями «d» и «e») или нижнюю и верхнюю части (граница между четвертой и пятой горизонталями). Если, скажем, белый конь стоит на с2, а черный на с7, то мы говорим, что эти кони расположены симметрично. В данном случае мы можем говорить о таком математическом явлении, как осевая симметрия, где осями будут являться прямые, разделяющие фланги и горизонтали. Осями являются и большие диагонали.
Симметрия на шахматной доске.
Симметрией обладает и исходное расположение шахматных фигур.
Известна такая забавная история. Некто явился в шахматный клуб и объявил, что нашел верный способ не проигрывать черными. «Каким образом?» - спросили его. «Очень просто, - ответил гость, - повторяя ходы противника!» Сыграть с наивным изобретателем вызвался С.Ллойд, который и объявил ему мат в 4 хода. Неясно, как Ллойд это сделал. Я могу поставить мат за 6 ходов при полной симметрии фигур.
1) с2-с4 с7-с5
2) е2-е3 е7-е6
3) Кg1-е2 Кg8-е7
4) Кb1-с3 Кb8с6
5) Кс3-е4 Кс6-е5
6) Ке4-d6х
Система координат.
Более чем за 100 лет до н.э. греческий ученый Гиппарх предложил опоясать на карте земной шар параллелями и меридианами, и ввести хорошо теперь известные географические координаты: широту и долготу – и обозначить их числами. В ХIVв. Французский математик Н. Оресм ввел, по аналогии с географическими, координаты на плоскости. Он предложил покрыть плоскость прямоугольной сеткой и называть широтой и долготой то, что мы теперь называем абсциссой и ординатой. Это нововведение оказалось чрезвычайно продуктивным. На его основе возник метод координат, связавший геометрию с алгеброй.
При изучении темы «Координатный угол» я узнал, что положение любой точки определяется двумя числами: первое указывается по горизонтальной оси ОХ, а второе - по вертикальной оси ОУ. Например, расположение точки А можно описать парой чисел 2 и 4.
Играя в шахматы, я увидел на доске координатный угол. А на занятии Александр Александрович научил нас записывать расположение фигур на шахматной доске: a4; d7 - координаты фигуры на шахматном поле.
С урока я понял, что система координат – это описание того, где расположен тот или иной объект (предмет, шахматная фигура, место).
Эти знания я могу использовать в жизни. Так на билете в театр, кино номер ряда и номер места в ряду - координаты этого места.
Чётность и нечётность.
На шахматной доске так же есть и чётность и нечётность. Числа, которые оканчиваются цифрами 0, 2, 4, 6, 8 называются четными, а те, которые оканчиваются цифрами 1, 3, 5, 7, 9 -нечетными. Из признака делимости на 2 следует, что натуральные числа, которые делятся на 2, называются четными, остальные – нечетными. На шахматной доске так же есть чётность и нечётность. Тут они связаны с номером хода. При каждом ходе король меняет четность хода. Например, первый ход – нечётный, второй – чётный и т.д.
Чётность, нечётность на шахматной доске ещё раз подтверждают прямое отношение шахмат к математике.
Тут она связана с номером хода. При каждом ходе конь меняет четность клетки, на которой он стоит. Например, первый ход – нечётный, второй – чётный и т.д. Одновременно с этим конь меняет цвет клетки, на которой он стоит.
Задачи на четность и нечетность. Конь вышел на поле А8 и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал четное число ходов.
Решение:
Вы наверное, заметили, что, делая каждый ход, конь меняет цвет клетки, на которой он стоит. Следовательно: каждый нечетный ход конь будет вставать на белую клетку. Исходя из этого я узнал то, что конь должен вернуться на клетку А8, черного цвета. Мы можем сказать, что он вернется через четное число ходов.
Математические задачи в шахматах.
Шахматная доска, фигуры и сама игра часто используются для иллюстрации разнообразных математических понятий и задач. Ещё одна точка соприкосновения шахмат и математики – это один из популярных жанров занимательной математики, к которому относятся математические игры, задачи и развлечения на шахматной доске. Этот жанр называется шахматной математикой. Почти в каждом сборнике олимпиадных математических задач или книге головоломок и математических досугов можно найти красивые и остроумные задачи с участием шахматной доски и фигур.
Первая из них также связана с легендой.
Задача 1. Один восточный властелин был таким искусным игроком, что за всю жизнь потерпел всего четыре поражения. В честь своих победителей, четырех мудрецов, он приказал вставить в его шахматную доску четыре алмаза — на те поля, на которых был заматован его король (см. рис., где вместо алмазов изображены кони). После смерти властелина его сын, слабый игрок и жестокий деспот, решил отомстить мудрецам, обыгравшим его отца. Он велел разделить им шахматную доску с алмазами на четыре одинаковые по форме части так, чтобы каждая заключала в себе по одному алмазу.
Хотя мудрецы выполнили требование нового властелина, он все равно лишил их жизни. Эта задача о разрезании доски часто встречается в занимательной литературе.
Задача 2.
Из шахматной доски 8х8 вырезали две противоположные угловые клетки. Докажите, что остаток доски нельзя разделить на доминошки (прямоугольники1х2).
Решение:
На шахматной доске, при удалении двух угловых клеток (а это либо две белых, либо две чёрных клетки), у нас получится 30 белых (чёрных) и 32 чёрных (белых). А это значит, что мы не сможем разделить оставшуюся часть доски на доминошки (так как неравное количество чёрных и белых клеток).
Правило квадрата.
При этой композиции неопытные шахматисты рассуждают так: пешка идет сюда, король туда, пешка сюда, король туда и т.д. и при этом они часто путаются и, в конце концов, просчитываются.
Однако исход игры легко оценить при помощи «правила квадрата».
Достаточно выяснить, может ли король при своем ходе попасть в квадрат пешки? В данном случае, изображенном на рисунке. И так в нашей композиции черные при ходе делают ничью (попадают в квадрат), а при ходе противника - проигрывают.
Головоломка "Шахматный конь по загадке".
Конь самая удивительная шахматная фигура. Это - не случайно, выражение «ход конем» стало крылатым и прочно вошло в наш быт. А один из самых остроумных гроссмейстеров, С. Тартаковер, прямо считал, что «вся шахматная партия - это один замаскированный ход конем». Основное отличительное свойство коня в том, что он на каждом ходу меняет цвет своего поля. Вот почему мы можем назвать его хамелеоном.
Поэтому, переходя к математическим головоломкам на шахматной доске, мы прежде всего остановимся на таких, в которых участвует конь.
Многие головоломки удается эффектно решить, если воспользоваться этим важным свойством коня.
Необходимо отыскать буквы загадки, начиная от первой помеченной буквы (в данном случае - это буква "Ш"). Двигаться по буквам загадки необходимо подобно шахматному коню, т.е. буквой "Г".
На поле помечены цифрами по порядку начальные буквы слов.
После того, как вы составите загадку - необходимо ее разгадать.
Уверен, что вам это понравится!
Кстати, загадка на летнюю тему.
Отгадка:
Шевелились у цветка, все четыре лепестка. Я сорвать его хотел, а он вспорхнул, и улетел.
Шахматные пятнашки.
Перед вами белые и черные пешки. Поменяйте их местами. Переставлять фигуры можно только на свободные клетки (по горизонтали, вертикали или диагонали).
Решение:
Разрезание шахматной доски.
Разделите фигуру на две одинаковые части, и из полученных частей сложите шахматную доску.
Решение:
Полимино.
Играя в шахматы, я не устаю удивляться возможностям не только шахматных фигур, но и шахматной доски. Недавно я открыл для себя новую головоломку на шахматной доске – Полимино.
Термин «полимино» ввел в употребление известный математик Соломон В. Голомб в своей статье «Шахматные доски и полимино». Голомб определил полимино как «односвязную» фигуру, составленную из квадратов. Шахматист, добавляет Голомб, сказал бы, что квадраты составлены «ходом ладьи», потому что ладья могла бы обойти все квадраты полимино за конечное число ходов.
ЧАСТИ ПОЛИМИНО.
Основная задача головоломки «Полимино», которая позволяет игрокам раскрыть весь творческий потенциал, состоит в том, что нужно собрать квадрат 8x8 из 13 элементов так, чтобы белые и черные клетки при этом чередовались в шахматном порядке.
Головоломку можно решить многими способами. В нее можно добавить дополнительное ограничение, чтобы сделать ее еще интереснее: квадратный элемент должен располагаться по центру доски.
.
Практическая часть.
Составление шахматных задач и головоломок.
1 задача: поставить мат черному королю за 2 хода белых.
Черные: Ф- a8. К-с8, d6, e7, КР –d8
Белые: Кр-a1. a2, b6, Л- с1, К- f4, К-d5. Ф-h6
Решение:
1ход белых Фh6-f8,
2ход чёрных КРd8 –d7
3ход белых Л с1- с7
2 задача: поставить мат черному королю за 2 хода белых.
Черные: Ф- h2 . К- f4, С-e3, КР –b8
Белые: Кр-d7, b7, b5, Л- d1
Решение:
1ход Л- d1- d8
2ход КР –b8-a7
3ход b7-b8
Головоломка на шахматной доске.
Необходимо отыскать буквы загадки, начиная от первой помеченной буквы (в данном случае - это буква "Е"). Двигаться по буквам загадки необходимо подобно шахматному коню, т.е. буквой "Г".
На поле помечены цифрами по порядку начальные буквы слов.
После того, как вы составите загадку - необходимо ее разгадать.
У
Е1
И
И
Т
Г
Т
Ч
Л
И
Д
Д
Ы
А
О
И
П4
Е
Ч
Р2
З
Л
Т
О
С3
В5
Решение:
Загадка: Едет, рычит, сзади плуги волочит… (трактор).
Математика помогает шахматистам играть и выигрывать. А шахматы в свою очередь помогают нам решать простейшие и даже самые сложные математические задачи, помогают ребятам развивать логику, внимание. А в жизни шахматы учат нас планировать свои действия и поступки наперёд. Я стал усидчевее, самостоятельнее и могу составить план действий на день и на неделю.
В самом начале своей работы я поставил себе цель найти связь между шахматами и математикой, и считаю, что выполнил поставленную задачу. На примерах я подробно разобрал эту связь. Шахматы - это очень увлекательная, настольная игра для интеллектуалов. Я обязательно буду продолжать заниматься шахматами.
Список литературы:
1. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. – М., Наука, 1978. – 127 с.
2. Гик Е. Я. Занимательные математические игры. – М., Знание, 1982. – 143 с.
3. Гик Е.Я. Шахматы и математика. - М., Наука, 1983. - 173 с.
4.Гусев В. А. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах/ В. А. Гусев, А. И. Орлов, А. Л. Розенталь – М., Просвещение, 1984. – 164 с.
5. Гусев В.А. Математика – справочные материалы/ В.А. Гусев, А.Г. Мордкович – М., Просвещение, 1986. - 271с.
6.Игнатьев Е. И. В царстве смекалки. – М., Наука, 1984. – 189 с.
7. Лойд С. Математическая мозаика. – М., Мир, 1984. – 311 с.
8. Лангин В. Легенда о шахматном автомате. СПб., 1993.- 118 с.
14