II Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ЯЗЫКА ГРАФИКОВ ПРИ РЕШЕНИИ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Вишнякова Д.А. 1

---

1

Шарова С.Г. 1

---

1

Работа в формате PDF

554.7 KB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Многие математические задачи допускают несколько вариантов решения. Часто первый избранный бывает далеко не самым удачным. Нахождение «наиболее простых», оригинальных путей решения не­редко является результатом длительной и кропотливой работы. Уме­ние решать задачу различными способами является одним из призна­ков хорошей математической подготовки. Существуют способы решения арифметических и алгебраических задач методами, ос­нованными на наглядно-геометрических интерпретациях.

В работе рассматривается применение некоторых геометрических (графических и графико-вычислительных) приемов к решению разнообразных арифметических и алгебраических задач. Решение задач осуществляется при помощи чертежей – диаграмм и графиков. Построение этих чертежей дает возможность «увидеть» задачу – установить и исследовать связи, существующие между величинами, входящими в задачу, выбрать кратчайший путь решения.

Актуальность: Математика – предмет, изучающийся с первого по выпускной класс. Объем материала, терминов, которыми должен оперировать старшеклассник по математике, чрезвычайно велик. Необходимо знать и уметь применять такие методы для решения задач, которые позволят сэкономить время и будут наглядны, т.е. решение задачи будет выглядеть очевидным. Многие задачи алгебры очень трудно решить аналитическим путем. Поэтому любое представление условия задачи в виде рисунка или чертежа облегчает решение задачи. Многие задачи ЕГЭ из части 2 можно решить геометрическим методом. Геометрический (графический и графико-вычислительный) метод состоит в том, что само доказательство или решение задачи направляется наглядным представлением. (В старин­ных индийских сочинениях бывало так, что доказательство сводилось к чертежу, подписанному одним словом «Смотри!».) Цель работы: рассмотреть один из методов решения текстовых задач – графический, позволяющий переводить условие задачи на геометрический язык графиков.

Задачи:

1. Найти и изучить литературу по данной теме..

2. Научиться переводить алгебраическое условие задачи на геометрический язык графиков.

3. Отработать приемы применения графического метода на серии текстовых задач на равномерные процессы.

4. Рассмотреть ряд приемов решения нестандартных и конкурс­ных задач.

5. Развивающая задача: повысить свое интеллектуальное развитие.

Предмет исследования: графический метод решения текстовых задач.

Объект исследования: текстовые задачи на равномерные процессы.

Гипотеза: с помощью графического метода можно получить простой алгоритм построения уравнения для определения искомых величин при решении текстовых задач на равномерные процессы.

Методы исследования: аналогия, обобщение, анализ научной литературы.

Построение диаграмм и графиков, а также применение их к решению арифметических и алгебраических задач основаны на законах геометрии. Решение геометрических задач, как известно, осуществляется двумя приемами: либо точными построениями при помощи инструментов (конструктивный прием), либо обоснованными вычислениями (вычислительный прием). Эти же приемы используются и в решении арифметических задач геометрическими способами:

1. Конструктивный приём (чисто графический). Диаграмма или график вычерчивается как можно более точно непосредственно по значениям величин, входящих в условие задачи. Построения делаются циркулем, линейкой на миллиметровой бумаге. Ответ получается обычно приближенный, но приемлемый для практических целей; мы находим его при помощи измерений длин отрезков или других элементов чертежа, или просто «читаем» ответ на чертеже.

2. Вычислительный прием (графико – вычислительный). Диаграмма или график применяется как условное изображение связи между рассматриваемыми величинами. Решение задачи осуществляется на точных геометрических соотношениях.

1. Применение одномерных диаграмм

Простейшим геометрическим изображением величины и ее частей, входящих в условие задачи, является одномерная (линейная) диаграмма. Одномерная диаграмма – это отрезок или несколько отрезков, длины которых соответствуют численным значениям рассматриваемой величины (отрезки могут быть заменены прямоугольниками одинаковой ширины).

Задача 1. Косцы.

Профессор физики А. В. Цингер в своих воспоминаниях о Л. Н. Толстом приводит задачу, сообщенную ему великим писателем:

«Артели косцов надо было скосить два луга – один в двое более другого. Половину дня вся артель косила большой луг. После полудня артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца, а вторая половина косила малый луг, на котором к вечеру остался участок, скошенный на другой день одним косцом, проработавшим целый день. Сколько косцов было в артели?»

Предполагается, что полдень делит рабочий день косцов на две равные части; производительность труда всех косцов одинакова. По-видимому, А. В. Цингер предложил Льву Николаевичу какое – то наглядно – геометрическое решение этой задачи, так как далее в своих воспоминаниях он пишет: «Берём клочок бумаги, чертим. На чертеже Лев Николаевич сразу ясно понимает неожиданную простоту задачи.

- Ах, как хорошо, - говорит он. Теперь все совершенно просто и ясно.

И Лев Николаевич идет рассказывать задачу гостям за почетным столиком графини».

(Из книги «Л. Н. Толстой в воспоминаниях современников»)

Решение.

Нам неизвестно, как именно была решена эта задача. Вот наше решение. Пусть число косцов . За первую половину дня косцов скосят на большом лугу площадь, которую изобразим прямоугольником с высотой, равной . Основание прямоугольника обозначим через За вторую половину дня половина косцов (т. е. ) скосит на том же лугу площадь, соответствующую прямоугольнику со сторонами и . Следовательно, левый составной прямоугольник соответствует площади большого луга. Высота этого прямоугольника равна . За вторую половину первого дня косцов скосят на малом лугу площадь, соответствующую прямоугольнику со сторонами и . За две половины второго дня один косец скосит на втором лугу площадь, соответствующую прямоугольнику, одна сторона которого по - прежнему , другая 1+1=2. Правый составной прямоугольник имеет высоту и соответствует площади малого луга. По условию, малый луг вдвое меньше большого луга, следовательно,.. Итак, число косцов .

2

1

1

Малый луг

k

Большой луг

1. Применение двумерных диаграмм

Очень часто рассматриваемая величина является произведением двух других величин. Например, вес груза равен произведению количества ящиков на вес одного ящика; стоимость покупки равна произведению количества купленных килограммов на цену одного килограмма; путь, пройденный при равномерном движении равен произведению скорости на время и т. д. С другой стороны, известно, что площадь прямоугольника равна произведению двух его сторон. Поэтому, в тех задачах, где одна из рассматриваемых величин является произведением двух других, целесообразно представлять такое произведение в виде площади прямоугольника, т. е. в виде двумерной диаграммы.

Вспомогательная теорема.

Если через произвольную точку Е диагонали АС прямоугольника ABCD проведены прямые FG ║AB и HJ║AD, то

1. образовавшиеся при этом прямоугольники HBGE и FEJD равновелики;

2. прямоугольники ABGF и AHJD равновелики;

3. отрезки FH, DB, JG параллельны.

Доказательство.

1). Диагональ АС делит каждый из трех прямоугольников ABCD, AHEF и EGCJ на два равных треугольника, т. е. ∆ ABC = ∆ ADC, ∆ AHE = ∆ AFE, ∆ FGC = ∆ EJC. Вычитая из первого равенства второе, а затем и третье равенство, получим: площадь HBGE равна площади FEJD. 2). Дополним каждый из двух равновеликих прямоугольников HBGE и FEJD прямоугольником AHEF; полученные таким способом два прямоугольника ABGF и AHJD также будут равновеликими; следовательно, площадь ABGF равна площади AHJD.

F

J

G

E

H

D

C

A

Основываясь на этой теореме, выполним несколько построений.

Первое построение. Преобразовать данный прямоугольник ABGF в равновеликий прямоугольник с заданным основанием AH, лежащим на стороне АВ, причем AH < AB.

Решение.

Проведём прямую HH^/ , перпендикулярно стороне AH, она пересечёт сторону FG в точке Е. Проведём прямую АЕ до пересечения с продолжением BG в точке С. Точка С определяет высоту ВС искомого прямоугольника AHH^/D с основанием AH.

E

Второе построение. Преобразовать данную фигуру AEFGCD (зелёную), составленную из двух смежных прямоугольников ABCD и BEFG в равновеликий прямоугольник с основанием АЕ.

Решение.

G

M

K

L

H

J

D

C

F

E

А

Продолжим FG до пересечения со стороной AD в точке H. Построим прямоугольник HFJD и проведём его диагональ HJ. Точка К пересечения HJ и ВС определяет высоту ВК искомого прямоугольника AELM с заданным основанием АЕ. На основании вспомогательной теоремы прямоугольники GFLK и MKCD равновелики, следовательно, прямоугольник AELM равновелик первоначально данной фигуре AEFGCD.

Задача 1. Поезд

Поезд проходит расстояние от города А до города В за 10 часов 40 минут. Если бы скорость поезда была на 10 км/ч меньше, то он пришёл бы в В на 2 часа 8 минут позже. Определите расстояние между городами и скорость поезда.

Решение. Применим к решению задачи двумерную диаграмму.

10 км/ч

Пусть в первом случае, предусмотренном условием задачи, продолжительность хода поезда (10 ч 40 мин) изображается отрезком OL, а скорость поезда – отрезком ОК. Тогда площадь прямоугольника OLMK соответствует расстоянию между городами А и В.

Пусть во втором случае скорость поезда изображается отрезком ON, а соответствующе время (10ч 40 мин + 2ч 8 мин) – отрезком OP. В этом случае то же расстояние между городами А и В определяется площадью прямоугольника OPQN. На основании вспомогательной теоремы NL║MQ и тогда ∆OLN ~∆ RQM. Из подобия треугольников следует: ON км/ч : 10 км/ч = 10ч 40мин: 2ч 8мин, или ON:10 = 640:128, ON=50 (км/ч ) и ОК = 50+10 = 60 (км/ч) 10ч 40 мин + 2ч 8 мин = 12ч 48мин. Значит, расстояние между городами равно 50∙ 12 = 640 (км)

Ответ: 60 км/ч; 640 км.

Задача 2. Работа выполнена досрочно.

Для выполнения работ поставили 57 рабочих, которые могли окончить работу за 45 дней. Но через15 дней добавили ещё нескольких рабочих, и работа была закончена на 12 дней раньше. Сколько рабочих добавили?

Решение. Выполненная работа прямо пропорциональна числу рабочих и числу рабочих дней, отработанных каждым из них. Следовательно, всю работу можно изобразить в виде прямоугольника ОАВС со сторонами ОА (57 рабочих) и ОС (45 дней). По условию, через 15 дней (т.е. когда была выполнена работа, изображаемая прямоугольником OADE, где отрезок ОЕ обозначает 15 дней) добавили рабочих. Оставшаяся часть работы изображается прямоугольником EDBC, где ЕС обозначает 45-15=30 дней. После того, как добавили рабочих, работа была закончена на 12 дней раньше срока, т. е. через 30-12=18 дней (EF обозначает 18 дней). Следовательно, второй период работ изобразится прямоугольником EHFG (где EH обозначает (57+) рабочих), равновеликим прямоугольнику EDBC. Но у этих прямоугольников есть общая часть - прямоугольник EDJF; отсюда получается, что прямоугольники FJBC и DHGJ равновелики. Следовательно, 57∙ 12 = ∙ 18 и = 38 (рабочих)

Число рабочих

A

45

12

18

15

57

E

F

C

J

G

H

D

O

Число дней

Ответ: 38 рабочих.

1. Применение графика линейной функции

В природе и технике широко распространены равномерные процессы. Например, равномерно накапливается вода в цилиндре, поставленном под водопроводный кран, если струя создается неизменным напором. Это значит, что за равные промежутки времени, считая от любого начального момента, в цилиндр поступают равные объёмы воды. Равномерность действия, процесса может рассматриваться не только по отношению ко времени. Например, в пружинных весах пружина изменяет свою длину под действием изменяющейся нагрузки равномерно; это значит, что равным изменениям нагрузки (веса), считая от любого начального момент, соответствуют равные изменения длины пружины. Если одна величина изменяется равномерно по отношению к другой, то такое соответствие между величинами называется линейной функцией. Основное свойство линейной функции: равным изменениям одной величины соответствуют равные изменения другой величины.

Задача 1. Олимпиада.

На школьной олимпиаде было предложено для решения 10 задач. За каждую правильно решённую задачу участнику олимпиады засчитывалось по 5 очков, а за каждую нерешённую задачу списывалось по 3 очка. Сколько задач было правильно решено учащимся, который получил при окончательном подсчете 34 очка? 10 очков?

Решение.

Примем за аргумент число решенных задач; функцией будет соответствующее число полученных очков. Здесь аргумент может принимать только целые значения (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10), всего – одиннадцать значений, функция – также только одиннадцать значений (например, 10, 34 и др.); следовательно, графиком данной функции будет не сплошная линия, а только одиннадцать отдельных точек. Из условия задачи ясно, что равным разностям между значениями аргумента всегда будут соответствовать равные разности между соответствующими значениями функции. Например, когда число правильно решенных задач увеличится на 1, число очков увеличится на 8 (не будет убавлено 3 очка и прибавится 5 очков). А это и есть характерное свойство линейной зависимости. Таким образом, для решения данной задачи мы можем воспользоваться графиком линейной функции, но учитывать на нем только те точки, которые соответствуют одиннадцати целым значениям аргумента – от 0 до 10. Решивший все 10 задач получит 5∙10 = 50 очков; отмечаем точку А (10; 50). Не решивший ни одной задачи получит (-3) ∙10 = -30 очков; отмечаем. В (0;-30). Проводим через точки A и В прямую линию и отмечаем точки, соответствующие всем промежуточным случаям: когда решена только 1 задача, 2 задачи и т. д. Ответ считываем с графика: 8 задач, 5 задач

В

А

Число очков

Число решённых задач

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

У

Х

-30

-20

-10

50

40

30

20

10

0

Ответ: 8 задач, 5 задач.

1. График равномерного движения

Графики очень удобны для геометрической иллюстрации равномерного движения.

На графике обычно по направлению оси абсцисс отсчитывают время, а по направлению оси ординат – расстояние.

Время

C

M

C

М

Y

А

в)

a)

O

O

O

X

X

X

Y

Y

расстояние

В таком случае абсцисса любой точки A графика движения (велосипедиста, пешехода, самолета и т. п.) указывает момент времени, а ордината её – в каком месте пути в этот момент времени находится велосипедист, пешеход, самолёт и т. п. (рис. а)) Следовательно, график движения дает возможность ответить на вопрос: «где в данный момент находится путешественник?», а также на вопрос: «когда он находился в данном месте?» Если на одном чертеже построены два графика движения, например графики движения двух пешеходов M и N, и если эти два графика пересекаются в некоторой точке С, то координаты точки С показывают время и место встречи пешеходов. Это будет и в том случае, когда M и N шли друг другу навстречу (рис. б)), и в том случае, когда один из них обогнал другого, который шёл впереди, но с меньшей скоростью (рис. в)).

Задача 1. Два туриста. Два туриста выезжают одновременно навстречу друг другу из двух пунктов A и В. При встрече оказалось, что первый проехал на 30 км больше второго и что через 4 дня он будет в B. Второй попадает в А через 9 дней после встречи. Найти расстояние АВ.

C

Берем произвольный отрезок АВ, изображающий расстояние между пунктами А и В, прямую АВ^/ в качестве графика движения первого туриста и прямую ВА^/ в качестве графика движения второго туриста. Место и момент встречи определяются точкой O пересечения графиков. Через точку O проведем KL║AB. По условию КА^/ = 9 дней и LB^/ = 4 дня. Обозначим число дней от момента выхода туристов до их встречи через . Тогда = AK = BL. Имеем две пары подобных треугольников: ∆AOK~∆ B^/OL, откуда: 4 = ОК: OL, ∆A^/OK ~∆ BOL, откуда 9: = ОК: OL, Получаем: 4 = 9: , (дней) Обозначим расстояние ВС через . Тогда LO = BC = и AC = KO= . Из подобия треугольников ∆АОК и ∆В^/ОL следует OK: OL = AK: B^/L или, (км). Таким образом, АВ = (км).

Ответ: 150 км

Задача 2. Туристы – пешеходы. Два пешехода идут навстречу друг другу: один из пункта A, другой из пункта В. Первый выходит из А на 6 часов позже, чем второй из B, и при встрече оказывается, что он прошел на 12 км меньше второго. Продолжая после встречи дальнейший путь с той же скоростью, первый приходит в B через 8 часов, а второй в A– через 9 часов. Найти скорость каждого пешехода.

Решение.

Изобразим расстояние между пунктами A и B произвольным отрезком АВ. На перпендикуляре АЕ, восстановленном к АВ, отмечаем точку C, принимая, что АС = 6 час. Пусть прямая CD является графиком движения первого пешехода, а прямая BE – графиком движения второго. Точка G – проекция на AB точки F пересечения графиков – соответствует месту встречи пешеходов. Через точку F проведём HJ ║ условию, HE = 9 час, JD = 8 час и GB-AG = 12 км. Пусть CH = огда DJ = AH = (час. ∆BGF ~ ∆ FHE. ∆FJD ~ ∆ FHC. Получаем: (, следовательно, ( часов

. FH = 36км, FJ = 48км. FH – это путь, который прошел первый пешеход за время, равное час; FJ – путь, который прошел второй пешеход за час. Следовательно, первый пешеход шел со скоростью 36:6 = 6 км/ч, а второй – со скоростью 48:12 = 4 км/ч.

Ответ: 6 км/ч и 4 км/ч.

1. Применение графиков кусочных функций

Во многих задачах вся рассматриваемая совокупность значений аргумента делится на несколько отдельных промежутков, причем на каждом промежутке зависимость линейная, но на втором промежутке она другая, чем на первом, на третьем – другая, чем на втором, а может быть и на первом, и т. д. Функцию, определяющую такого рода зависимость, называют кусочно-линейной, а соответствующий график – кусочно-линейным.

Задача 2. Репетитор. Так называется рассказ А. П. Чехова. Петя Удодов пытается решить заданную ему на дом задачу, а его репетитор также не может сообразить, как приступить к решению.

Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 рублей. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное – 3 руб.?

Решение. Один аршин синего сукна стоит 5 руб., следовательно, 100 аршин стоят 500 руб. Отмечаем точку М(100;500) и строим луч ОМ – график стоимости синего сукна. Один аршин черного сукна стоит 3 руб.; следовательно, 100 аршин стоят 300 руб. Отмечаем точку N(100; 300) и строим луч ON-график стоимости черного сукна. Так как точка С (138; 540) оказывается между лучами ON и OM, то, следовательно купили и синее и черное сукно. Проведём CA║NO до пересечения с OM, получим точку A. Ломаная OAC – график нарастающей стоимости сукон – синего (ОА) и черного (АС). Проекции точки A на оси OX и OY указывают, что синего сукна купили 63 аршина за 315 рублей. Задача решена: найти количество и стоимость черного сукна теперь легко. Можно поступить иначе: провести CB║MO; тогда ломаная OBC – график нарастающей стоимости сукон – черного (ОВ) и синего (ВС). Проекции точки B на оси OX и OY показывают, что черного сукна купили 75 аршин на 225 рублей. Проверка: 63+75 =138 (аршин) и 315+225 = 540 (руб.)

Синее сукно

Синее сукно

Черное сукно

Черное сукно

63

75

225

315

A

C

540

138

M

рубли

аршины

500

400

300

100

200

140

130

120

110

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0

Ответ:63 аршина синего сукна и 75 аршин черного.

Заключение

В процессе работы мы научились переводить алгебраическое условие задачи на геометрический язык графиков, позволяющий оптимизировать процесс решения задач. Нами была подтверждена выдвинутая перед началом исследования гипотеза – с помощью графического метода можно получить простой алгоритм решения для определения искомых величин при решении текстовых задач на равномерные процессы. Достоинство геометрического решения задачи – в его наглядности: на графике видна связь между величинами, входящими в условие задачи; чертеж помогает расширить задачу – поставить и решить более общие вопросы, глубже проникнуть в существо задачи, оценить реальность результата и промежуточных действий. И, наконец, традиционные решения алгебраическим или арифметическим способом зачастую являются громоздкими и сложными, требуют больших временных затрат, что недопустимо в условиях сдачи экзаменов в форме ЕГЭ, когда время ограничено. Графический способ экономит время.

Литература

1. книга «Л. Н. Толстой в воспоминаниях современников»/Художественная литература. Москва, 1978

2. задачи математических олимпиад разных лет.

19