II Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА СЕЧЕНИЙ В СТЕРЕОМЕТРИИ

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Хализова М.А. 1

---

1

Шарова С.Г. 1

---

1

Работа в формате PDF

1.3 MB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Использование метода сечений в стереометрии

Введение

В школьном курсе стереометрии встречается не более 10 достаточно простых задач на построение сечений в многогранниках. Но на Едином государственном экзамене, на вступительных экзаменах в престижные технические высшие учебные заведения России, на математических олимпиадах обязательно предлагаются задачи по стереометрии на сечения многогранников высокого уровня сложности.

Был проведен анализ демонстрационных, диагностических и тренировочных вариантов ЕГЭ с 2009-2016гг, который показал, что 70% предложенных задач составляют задачи на построение сечений (ежегодно в 5 вариантах из 7 предложенных).

Изучению темы «Сечение многогранников» в программе средней школы отводится минимум часов, что не соответствует объему, необходимого для усвоения материала.

В федеральный перечень учебников по геометрии для 10-11 классов входят учебники авторов:

• Атанасян Л.С., Бутузова В.Ф., Кадомцева С.Б. и др. (Геометрия, 10-11);

• Погорелов А.В. (Геометрия, 7-11);

• Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. (Геометрия, 10-11);

• Смирнов И.М. (Геометрия, 10-11);

• Шарыгин И.Ф. (Геометрия, 10-11).

Рассмотрим подробнее учебники Л.С. Атанасян и Погорелова А.В.

В учебнике Л.С. Атанасян на тему “Построение сечений многогранников” выделено два часа. В 10 классе в теме “Параллельность прямых и плоскостей” после изучения тетраэдра и параллелепипеда отводится один час на изложение параграфа “Задачи на построение сечений”. Рассматриваются сечения тетраэдра и параллелепипеда. И тема “Параллельность прямых и плоскостей” завершается решением задач на одном или двух часах (всего задач на построение сечений в учебнике восемь).

В учебнике Погорелова А.В. на построение сечений отводится около трех часов в главе “Многогранники”: один – на изучение темы “Изображение призмы и построение ее сечений”, второй – на изучение темы “Построение пирамиды и ее плоских сечений” и третий – на решение задач. В списке задач, приведенных после темы, задач на сечение насчитывается всего около десяти.

Цель работы: проанализировать методы построения сечений, исследовать зависимость сечения от расположения секущей плоскости в многограннике, классифицировать задачи по группам, провести стандартизацию подхода к решению отдельных типов задач, составив задачи для многовариантного применения.

Объектом исследования являются геометрические задачи единого государственного экзамена (задача № 14),

Предметом исследования являются задачи на построение сечений многогранников и вычисление элементов – площадей, длин, объемов, двугранных углов многогранников и т. д.

Методы исследования:

1. Изучение литературных источников.

2. Метод анализа, синтеза, обобщения.

3. Метод сравнения.

Метод сечения универсален, широко применяется в математике, физике, других естественных науках, технических дисциплинах высшего образования. Что понимается под сечением многогранника? Что значит – построить сечение многогранника плоскостью? Секущей плоскостью многогранника назовем любую плоскость, по обе стороны от которой, имеются точки многогранника. Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.

Построить сечение многогранника плоскостью – это значит построить прямые, являющиеся следами пересечения граней многогранника данной плоскостью.

Секущая плоскость может быть задана различными способами:

- тремя точками, не лежащими на одной прямой;

- прямой и точкой, не лежащей на ней;

- двумя пересекающимися или параллельными прямыми и т. д.

Для построения сечений многогранников плоскостью применяются два метода:

- построения следов;

- метод внутреннего проектирования.

Метод построения следов состоит в том, что на плоскости нижнего основания многогранника (иногда на какой-либо другой плоскости), выполняется построение следов (линий пересечения секущей с плоскостью). С помощью этих следов легко выполняется построение точек пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника и линий пересечения секущей плоскости с гранями многогранника.

Одним из недостатков метода следов является тот факт, что при малом наклоне плоскости сечения к плоскости основания след оказывается весьма далеко от основной части чертежа. Это вынуждает выполнять изображение многогранника менее крупно, что нежелательно, так как может привести к ошибкам в решении.

Метод внутреннего проектирования не имеет этого недостатка. Каждой точке сечения ставится в соответствие некоторая точка основания рассматриваемого многогранника. (Приложение № 1).

Наиболее часто встречающиеся задачи – это задачи на построение сечений в пирамиде, параллелепипеде, призме. (Приложение № 2).

При исследовании расположения секущей плоскости в многограннике сечением могут быть разные многоугольники.

Задача. На боковых ребрах АА₁, ВВ₁, СС₁ четырехугольной призмы АВСДА₁В₁С₁Д₁ точки К, Р, Т. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через данные точки.

Решение.

При построении плоских сечений многогранников могут быть использованы: параллельность, перпендикулярность, задание величины двугранных углов и углов между секущей плоскостью и ребрами многогранника и т. д.

Задачи можно условно классифицировать по девяти группам.

1. Нахождение площади сечений в многогранниках.

Задача 1. Найдите площадь сечения куба АВСДА₁В₁С₁Д₁ с ребромa и плоскостью, проходящей через вершину Д и точки Е и F на ребрах А₁Д₁ и С₁Д₁ соответственно, если А₁Е = k·Д₁Е и С₁F = k·Д₁F.

Решение.

1. Так как точки Д и Е лежат в плоскости (АДД₁), то в этой плоскости лежит прямая ЕД. Так как точки Д и F лежат в плоскости (ДД₁С), то в этой плоскости лежит прямая ДF. Так как точки Е и F лежат в плоскости (А₁В₁С₁), то в этой плоскости лежит прямая EF. ΔЕFД – искомое сечение. 2) А₁Е = k·Д₁Е и С₁F = k·Д₁F (условие), А₁Д₁=Д₁С₁ (АВСДА₁В₁С₁Д₁- куб), следовательно, Д₁Е=Д₁F. 3) Рассмотрим ΔДFЕ. ΔДFЕ

2. равнобедренный. S_ДFE= ha. 4) Из ΔДД₁F: Д₁=90º, Д₁Д = a, Д₁F = · C₁F =; ДF=.5) Из ΔЕД₁F_: Д₁=90º, Д₁Е = Д₁F=. EF= .

6) ДH⊥FE. HE = FE =

ДН = ·.

7) S_ДFE= ·h = ·.

1. Использование свойств подобных треугольников.

Задача 1. Построить сечение куба АВСДА₁В₁С₁Д₁ плоскостью, проходящее через вершины В₁ и Д₁ и середину ребра АД. В каком отношении эта плоскость делит отрезок, соединяющий вершину А₁ с точкой F на ребре СС₁, если С₁F = k·CF ?

Решение. 1 Построение сечения: в плоскости (АВС) через точку Е, середину АД, проводим прямую RE║B₁Д₁(AR :RB = 1:1); равнобокая трапеция RB₁Д₁Е – сечение.

2. Нахождение S_сеч.: А₁С₁ В₁Д₁ = О₁, О₁ (АА₁С₁)

АСRE = N, N(АА₁С₁). FA₁(АА₁С₁), AFO₁N = M.

C₁F = k·CF, C1F +CF = CC₁= a, CF =, C1F =.

ER║ВД, ER: ВД = 1: 2 ⇒ AN: АО = 1: 2. AN =,

следовательно, NC = . Рассмотрим ΔO₁ZT O₁ON

TF║AC, TNO₁, TFOO₁= Z. O₁Z: OO₁= TZ: NO (1).

O₁Z= C₁F=.OO₁=a, TZ= TF –FZ=NF- A₁C₁= TF-,

Таким образом, из (1) получим , TF= ·( ).

ΔА₁О₁МFZM ⇒=, = .

k=1⇒4:5; k=2⇒3:4; k=3⇒8:11; k=1,5 ⇒10:13 ; k=0,5 ⇒6:7 ; k=⇒5:6.

1. Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми в многогранниках

В физике, механике часто необходимо найти расстояние и угол между скрещивающимися прямыми. Например, момент силы в пространстве, линия действия силы и некоторый элемент конструкции, на который она воздействует, могут быть скрещивающимися прямыми, между которыми необходимо уметь видеть и находить расстояние и угол. С такими примерами человек сталкивается ежедневно, не подозревая об это, например, вращая руль автомобиля или поворачивая рукоятку крана, заводя механические часы и т. д., не говоря уже о наличии большого количества скрещивающихся прямых в окружающем мире.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми можно выделить четыре основных способа решения задач:

1. Нахождение длины общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых, то есть отрезка с концами на этих прямых и перпендикулярного обеим.

2. Нахождение расстояния от одной из скрещивающихся прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через другую прямую.

3. Нахождение расстояния между двумя параллельными плоскостями, проходящими через заданные скрещивающиеся прямые.

4. Нахождение расстояния от точки, являющейся проекцией одной из скрещивающихся прямых на перпендикулярную ей плоскость, до проекции другой прямой на ту же самую плоскость.

Авторы тех редких учебников, пособий и сборников задач, в которых рассматриваются примеры (образцы) решения задач данным способом, проецируют скрещивающиеся прямые (или весь многогранник) на некоторую воображаемую плоскость, расположенную вне многогранника, что сообразуется с принципами черчения и других дисциплин, но слишком трудно для большинства учащихся.

Гораздо легче и проще, на мой взгляд, проецировать прямые на плоскость, пересекающую данный многогранник, т. е. на плоскость сечения, при этом только по необходимости продолжать это сечение за пределы многогранника.

Построение (или поиск) плоскости проекций необходимо начинать с построения (или поиска уже имеющейся) прямой, перпендикулярной одной из скрещивающихся прямых: затем – другой прямой, не параллельной первой, а затем через обе построенные (или найденные) прямые провести секущую плоскость, перпендикулярную одной из скрещивающихся прямых по теореме о двух перпендикулярах (признак перпендикулярности прямой и плоскости). Как правило, в построении такой плоскости проекций участвуют общеизвестные элементы многогранников высота, боковое ребро, апофема и т. д. Проекцией одной из скрещивающихся прямых на эту плоскость будет точка. Затем необходимо вторую прямую спроецировать на плоскость сечения. В некоторых, менее трудных задачах, вторая прямая уже оказывается принадлежащей плоскости проекций – в случае перпендикулярности скрещивающихся прямых, - т.е. совпадает со своей проекцией на плоскость сечения. Если же этого нет, т. е. вторая прямая по отношению к плоскости сечения является наклонной, то ее проекцию можно строить с помощью прямой (или двух прямых), проводимой параллельно первой из скрещивающихся прямых. Затем после построения проекций второй из скрещивающихся прямых на плоскость сечения, проводится перпендикуляр из указанной выше точки к проекции второй прямой. Последний построенный отрезок перпендикулярен первой из скрещивающихся прямых, так как принадлежит перпендикулярной к ней плоскости и перпендикулярен второй из скрещивающихся прямых по теореме о трех перпендикулярах. (Приложение № 3). Недостатком данного способа является трудность в определении местоположения отрезка с концами на двух данных скрещивающихся прямых и перпендикулярного обеим, так как для этого найденный (построенный) выше перпендикуляр надо еще, и перемещать в пространстве параллельно самому себе до пересечения с обеими прямыми.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Теорема 1

Для любых скрещивающихся прямых k и n существует единственный отрезок АС

( где А є k,C є n) перпендикулярный этим прямым, и его длина есть расстояние между ними, т. е. ρ (k;n)=AC, ACk, ACn.

k

Данная теорема дает практический способ нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми.

Возьмем любую точку на прямой n и проведем через неё прямую m, параллельную прямой k. Тогда прямые n и m задают новую плоскость, параллельную прямой k, расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от любой точки прямой k до этой плоскости.

Теорема 2

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми k и n равно расстоянию между ортогональными проекциями этих прямых на плоскость, перпендикулярную одной из этих прямых.

Если плоскость перпендикулярна, например, прямой k, то ортогональная проекция последней на плоскость есть точка В – точка пересечения прямой k и плоскости. Тогда искомое расстояние между k и n равно расстоянию от В до прямой n ₁, являющейся ортогональной проекцией n на плоскость, т. е. равно ВВ₁.

Для построения действительного перпендикуляра к скрещивающимся прямым k и n проведем NB₁ α (NB₁ k, NA BB₁): AN и есть общий перпендикуляр n и k.

Основные методы решения задач на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми:

1. по определению;2. метод проекций;3. метод объемов; 4. координатно – векторный метод,5. метод координат;6. векторный метод.

Метод объемов.

• построить пирамиду, в которой высота, опущенная из вершины этой пирамиды на плоскость основания, является искомым расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми;

• доказать, что эта высота и есть искомое расстояние;

• найти объём этой пирамиды двумя способами и выразить эту высоту.

Метод проекций.

1. Выбираем плоскость, перпендикулярную одной из скрещивающихся прямых.

2. Проецируем каждую прямую на эту плоскость.

3. Расстояние между проекциями будет расстоянием между скрещивающимися прямыми.

4. Определение угла между плоскостями.

Для характеристики двугранного угла, образованного двумя пересекающимися плоскостями, необходимо с помощью двух перпендикуляров, проведенных в указанных плоскостях к их линии пересечения, построить соответствующий линейный (плоский) угол и найти его величину.

Поскольку находить величину линейного угла удобно из какого–нибудь треугольника (лучше – прямоугольного) то, во-первых, упомянутые перпендикуляры необходимо проводить к линии пересечения плоскостей так, чтобы они попали в одну и ту же точку на ней, т. е. чтобы они пересеклись; и если это не получилось, то в одной из плоскостей надо строить еще один перпендикуляр, параллельный уже построенному в данной плоскости и пересекающийся с перпендикуляром другой плоскости; а во-вторых, пересекающиеся перпендикуляры должны быть такими отрезками, чтобы, соединив их концы и получив при этом некоторый треугольник, можно было бы найти в нем необходимые для определения искомого угла элементы. Указанный способ построения и определения угла между плоскостями является стандартным. Однако пользоваться стандартным способом иногда трудно, а потому выгодно применять способ, который условно назовем «Вставкой прямоугольного треугольника», суть которого в следующем:

Из какой-нибудь точки одной плоскости надо опустить перпендикуляр на вторую плоскость; затем из конца этого перпендикуляра провести второй перпендикуляр (принадлежащий второй плоскости) к линии пересечения плоскостей; затем конец второго перпендикуляра соединить отрезком с началом первого (отрезок будет принадлежать первой плоскости и будет перпендикулярен линии пересечения плоскостей по теореме о трех перпендикулярах). Угол между последним отрезком и вторым перпендикуляром и будет искомым; полученный треугольник будет прямоугольным. Трудность применения данного способа состоит в первом шаге: выбор места построения первого перпендикуляра должен быть обоснованным, а его длину можно быстро и просто находить; для этого надо использовать свойства многогранника и особенности секущих плоскостей. А затем достаточно найти длину любой из двух сторон «вставленного» треугольника, построенных после первого перпендикуляра. Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру.

• Величина двугранного угла принадлежи промежутку (0⁰; 180⁰).

• Величина угла между пересекающимися плоскостями принадлежит промежутку (0⁰; 90⁰].

• Угол между двумя параллельными плоскостями считается равным 0⁰.

1. Нахождение площади сечения в многогранниках.

(С применением теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника).

Если в сечении многогранника фигура получилась достаточно простого вида и можно вычислить ее площадь обычным путем, то применение указанной теоремы не является целесообразным. Известные трудности вызывает применение этой теоремы в пирамидах, так как там сложно найти площадь проекции многоугольника. Легче всего использовать теорему в призмах простейшего вида, но для этого необходимо сделать «вставку прямоугольного треугольника» между плоскостью сечения и плоскостью той грани призмы (как правило, ее основания), на которую проецируется фигура в сечении, - причем со стороны острого угла между плоскостями. (Приложение № 4).

1. Отношение объемов частей многогранника.

В задачах этой группы используются геометрические конструкции, в которых, во-первых, построено не более двух секущих плоскостей многогранника; во-вторых, все части многогранника не оказались равновеликими; в-третьих, решение задачи не должно быть труднодоступным; в-четвертых, хотя бы одна из частей многогранника должна быть хорошо известным геометрическим телом или с помощью дополнительных построений могла быть разбитой на такие тела.

В этих задачах, как правило, размеры многогранника не задаются, - кроме характеристик мест прохождения секущих плоскостей и, в некоторых случаях, соотношений между размерами многогранника. Рассмотрим пример.

В задаче 1 группы I в условии поставим дополнительный вопрос, который можно выделить в самостоятельную задачу: найти отношение объемов частей куба.

V₁ = V_D1EFD = S_осн· H = ·a= (пирамида);

V₂ = V_куба – V₁ = - = (оставшаяся часть).

Ответ: V₁: V₂=, k = 0⇒ V₁: V₂=1: 5, k = 1⇒ V₁: V₂=1: 23 и т. д.

1. Наибольшее и наименьшее значения площади переменного сечения в многогранниках.

На примере конкретной задачи покажем, как исследовать зависимость площади сечения от какой-либо переменной координаты с помощью производной.

Задача.

В кубе с ребром a найти множество значений площадей фигур, образованных сечением куба плоскостью, проходящей через главную диагональ D.

Воспользовавшись теоремой косинусов, имеем = ; = ;

S = 2S_Δ = 2··D··= ··=. Итак, имеем S=.

Полученная формула выражает площадь переменного сечения, проходящего в кубе через три точки – две неподвижные (концы главной диагонали D) и одну подвижную с координатой х, отсчитываемой от выбранного нулевого положения в начале скрещивающегося с главной диагональю ребра до положения x=a в конце этого же ребра. Очевидно, что все другие возможные положения поворачивающегося вокруг главной диагонали сечении, т. е. такие, при которых третья точка находится на других скрещивающихся с главной диагональю ребрах, - будут повторять положения данного сечения при x. Поэтому указанный промежуток можно считать и областью определения, и заданным для исследования функции промежутком одновременно.

В данном случае, достаточно, не прибегая к помощи производной, исследовать знакомую функцию y=на отрезке , используя готовые формулы координат вершины параболы или же применив прием «выделения полного квадрата»- с учетом у; у = Функция у = на отрезке имеет экстремум – в данном случае минимум, являющийся одновременно и наименьшим ее значением, везде положительна. Ее значения на концах отрезка у(0) = у(a)= и значение в точке минимума у_min= y(= .

Итак, получаем у_min= y(= при х = , у_max = при х = 0 и х = a. Следовательно, для площади сечения S= имеем: S_min= при х =; S_max= при х = 0 и х = a. Значит, S.

Иногда при решении таких задач можно обходиться и без производной и без функции. (Приложение № 5).

1. Нахождение угла между прямой и плоскостью.

По определению угол между прямой и плоскостью – это угол между самой прямой и ее ортогональной проекцией на эту плоскость.

Пусть прямая l, наклонная к плоскости α пересекает ее в точке А. Точку А называют основанием наклонной. Для построения проекции l на α берем любую точку Вl и проецируем ее на α; ВВ₁⊥ и В_1. Тогда по определению АВ₁ – есть проекция АВ на , а значит, ∠ВАВ₁ – угол наклона прямой l к плоскости α. (Приложение № 6).

• Углом между плоскостью и неперпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.

• .

• Угол между взаимно перпендикулярными прямой и плоскостью равен 90⁰.

• Если прямая параллельна плоскости (или лежит в ней), то угол между ними считается равным 0⁰.

1. Нахождение расстояния между прямой и плоскостью.

Задачи нахождения расстояния между прямыми и плоскостями сводятся к нахождению расстояния от точки до плоскости. (Приложение № 7).

• Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

• Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости.

• Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости.

• Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно длине их общего перпендикуляра.

• Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно расстоянию между точкой одной из этих плоскостей и другой плоскостью.

Созданные геометрические конструкции могут использоваться неоднократно при рассмотрении различных тем.

Использованная литература.

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 10-11. М.:Просвещение,2005.

2. Бескин Л. Н. Стереометрия. М.: Просвещение, 1971.

3. Зив Б. Г., Мейлер В, М., Баханский А. Г. Задачи по геометрии для 7-11 классов. М.: Просвещение, 1998.

4. Погорелов А. В. Геометрия 7-11. М.: Просвещение,2003.

5. Открытый банк задач ФИПИ

Приложение № 1.

Задача. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через точки M, K, L. Точка M – точка грани АВВ₁А₁, точка К – грани ВВ₁С₁С, точка L – точка грани СС₁Д₁Д.

Построение сечения выполним методом следов. Построим точки встречи прямых МК и LK с плоскостью основания призмы. М₁ и L₁ – проекции точек M и L. M₁K₁ MK=X. L₁K₁ LK = X_1. XX₁ – «след», линия пересечения плоскостей (MKL) и (АВС). АВХХ₁ = Х₂, А₂Х₂ ВВ₁ = В₂, В₂КСС₁ = С₂, C₂LДД₁=Д₂, ЕСХХ₁=Х₃, С₂Х₃ ЕЕ₁=Е₂. Пятиугольник А₂Е₂Д₂С₂В₂ – искомое сечение.

Решим задачу вторым методом – методом внутреннего проектирования.

Спроектируем точки М, К и L на плоскость основания. Тогда отрезку МК соответствует отрезок М₁К₁, а отрезку В₂L- отрезок ВL₁где В₂-точка на ребре ВВ₁. М₁К₁ ВL₁=F₁, F₁- проекция точки пересечения МК и В₂L, поэтому восстанавливаем перпендикуляр FF₁, FMK. FLBB₁=B₂. B₂MAA₁=A₂, B₂KCC₁=C₂, C₂LДД₁=Д₂. Найдем точку на ребре ЕЕ₁. ВЕ – проекция В₂Е₂ на плоскость основания (Е₂ЕЕ₁). ВЕМ₁К₁= Q, QQ₁║FF₁, Q₁ MK, B₂Q₁EE₁=E_2. Пятиугольник А₂Е₂Д₂С₂В₂ – искомое сечение.

Приложение №2

Задача 1. В правильной шестиугольной пирамиде проведите сечение через середины двух смежных сторон нижнего основания и середину бокового ребра, выходящего из вершины противоположной той, из которой выходят две первые стороны основания.

Пусть P - середина ЕД, Q- середина СД, Y – середина AR. Построим сечение, проходящее через P, Q,Y. АДPQ=O₂. В (АRД) проводим YO₂ , которая пересекает высоту пирамиды в точке О₁. Через О₁ проводим ММ₁║ PQ, М(RFE), M₁(BRC). В плоскости основания проводим прямую PQ=S и BCPQ=S_1. В плоскости грани FREпроводим прямую , которая пересекает ребра RF и RE в точках Z и L.В плоскости RBC проводим М_1S1, которая пересекает ребра RBи RC соответственно в точках X и G. Семиугольник PLZYXGQ – искомое сечение.

Приложение № 3.

Задача.

В правильной треугольной пирамиде ТАВС высота основания равна высоте пирамиды и равна h. Найдите расстояние между медианой АМ грани АТС и ребром ВС.

Решение.

1. Построим плоскость, перпендикулярную одной из скрещивающихся прямых: (АТК)⊥ВС.

2. Проектируем на эту плоскость прямую АМ. ММ₁║ВС ВС⊥ТК⇒ММ₁⊥ТК. АМ₁ – проекция АМ на плоскость (АТК). Ортогональной проекцией ВС на эту плоскость является точка К. Тогда расстояние между ВС и АМ равно расстоянию от точки К до АМ₁, т. е. равно ЕК, ЕК⊥АМ₁.

3. Построим истинный перпендикуляр к скрещивающимся прямым АМ и ВС: ЕЕ₁⊥(АТК) (ЕЕ₁║ММ₁║ВС и E₁L║EK) – E₁L есть общий перпендикуляр к АМ и ВС.

4. Рассмотрим АСК: ∠К=90º, ∠С=60º, АК=h, АС=.

5. MM₁║BC (построение), М – середина ТС ⇒по теореме Фалеса М_{1 -} середина ТК.

6. АО=АК=h

7. _ММ₁⊥АК (построение),M₁F=Th, FK=Fh, AF=AO+Oh/

8. S_АМ1К= М₁F·AK= EK·AM₁, EK=·AK. AM₁=, EK=.

Ответ: .

Приложение № 4.

Задача. Основанием пирамиды ТАВС служит равносторонний треугольник АВС, а ее высота совпадает с боковым ребром ТА. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через медиану ТД боковой грани ТАВ и параллельной медиане АМ боковой грани ТАС, если расстояние между АМ и секущей плоскостью равно 1, а сторона пирамиды равна .

Решение.

1. Первый способ построения заданного сечения.

1). Через точку Д проведем плоскость, параллельную плоскости АТС: ДС₁║АС, ДТ₁║ТА. 2). В плоскости ДТ₁С₁ проводим ДМ₁║АМ, М₁Т₁=М₁С_1. 3). В плоскости ВТС проводим прямую ТМ₁, которая пересекает ВС в точке L. ΔТДL- искомое сечение.

Второй способ построения сечения.

1). В (АТС) проведем через точку Т прямую l║АМ, lАС=Р, АР:АС=1:1.

2). В (АВС) проведем прямую РД, РДВС= L, ΔТДL- искомое сечение.

2. Построение расстояния между прямой АМ и секущей плоскостью ТДL.

1). Через точку А проведем плоскость, перпендикулярную ТДL.

2). Искомое расстояние есть перпендикуляр, опущенный из точки А на линию пересечения плоскостей. АЕ⊥PL, AT⊥(ABC) ⇒ TE⊥PL, (FTE)⊥(TLД), (АТЕ)(TLД)=ТЕ, АН⊥ТЕ, ρ(АТ, (TДL))=AH=1. 3. Вычисление площади сечения. АВ=АС=ВС=a=. S_ТДL=, где φ=∠ТЕА (угол между плоскостью проекции и плоскостью основания). 1). Из ΔРАД: РА=a, АД=, ∠A=120º. По теореме косинусав находим: РД= . 2). S_ΔPAД= ·РА·АД·sinA= ·AE·PД, АЕ= . 3). Из ΔАНЕ: ∠Н=90º, АЕ= .АН=1, sinφ= = . Cosφ=. 4). По теореме Менелая: = 1. =2, CL=CB= a, BL=a. 5) S_{проекции}= S_ABC – (S_ДВL + S_ACL), S= . S_{сечения} = . При a= S_{сечения} =.

Приложение № 5.

Задача. В основании пирамиды ТАВС лежит прямоугольный треугольник АВС с катетами АС = 2, ВС= 1, а все боковые ребра пирамиды равны 1,5. Найдите наименьшую площадь сечения пирамиды плоскостью. Проходящей через гипотенузу основания и установите, в каком отношении эта плоскость делит ребро ТС.

ΔАВС – прямоугольный, ∠С=90º. Так как все боковые ребра равны, то вершина пирамиды проецируется в центр описанной около ΔАВС окружности, т. е. на середину гипотенузы. (АТВ)⊥(АВС). Пусть плоскость проходит через точку МТС, тогда сечение- ΔАВМ и его площадь S_ABM= ·AB·h, h-высота ΔАВМ.

Минимальная площадь будет при минимальной высоте, которая есть расстояние между скрещивающимися прямыми прямыми АВ и ТС. Построим это расстояние. Строим вспомогательную плоскость α, перпендикулярную одной из скрещивающихся прямых и проецируем на эту плоскость все интересующие нас элементы задачи. ДС₁⊥АВ, ТД⊥АВ, α(ДС₁ ТД), ⇒α⊥АВ. СС₁⊥ДС₁. ДМ₁⊥ТС₁. ДМ₁= h_min (проекция истинного расстояния между ТС и АВ). ММ₁║СС₁, MN║М₁Д, MN- истинное расстояние между ТС и АВ.

1). ΔАВС, ∠С=90º, ВС=1, АС=2, АВ=, СК⊥АВ, КС=С₁Д, sinB==, CK=, ДС₁=.

2). ΔВТА – равнобедренный, ТВ=ТА=1,5. ТД= =1. 3). ΔТДС₁, ∠Д=90º, S_ТДС1= ·ТД·ДС₁= ·ДМ₁·ТС₁, ТС₁= =. ДМ₁=. S_min= · ДМ₁·AB =. 4).ΔTMM₁TCC₁, TM₁=, =, = . Ответ: , 5:4.

Приложение №6

Задача. В прямоугольном параллелепипеде АВСДА₁В₁С₁Д₁ через диагональ АС₁ проведено сечение, параллельное диагонали основания ВД и образующее с диагональю основания АС угол 60º. Найдите площадь поверхности сферы, описанной около параллелепипеда, если его высота в 2 раза больше диагонали основания, а площадь сечения равна 0,8 кв. ед.

Решение.

1. Построение сечения: 1). Перенесем ВД параллельно себе в точку А, т. е. проведем линию l║ВД. Тогда две пересекающиеся прямые l и С₁А задают плоскость α. ВСl=Р, СДl= Р₁, С₁РДД1=К, В₁М: МВ=1:1, Д₁К:КД = 1:1.

2) Параллелограмм МС₁КА – искомое сечение, его площадь 0,8 кв. ед.

2. Построение угла между АС и плоскостью сечения.

Для построения угла необходимо спроецировать АС на плоскость α. Так как Аα, то она проецируется на себя. Для того, чтобы спроецировать точку С на плоскость α, проведем через эту точку плоскость, перпендикулярную плоскости α. Из точки С опускается перпендикуляр CL на РР₁, тогда С₁L⊥РР₁ по теореме о трех перпендикулярах. Плоскость (СС₁L)⊥α. С₁L=(СС₁L), тогда проекция точкиС на α –это основание перпендикуляра СН (СН⊥С₁L) и АН– проекция АС на α, а значит, ∠САН = ∠(α, АС) = 60º.

3.Вычисление площади поверхности сферы.

1). ΔВСДРСР₁; 2). Пусть АС=a, тогда СС₁=2a (из условия), CL=b.

3). АС=ВД=a; РР₁=2a.4)ΔМРВС₁РС; =⇒=⇒РМ=МС_1.

5). ΔРМВ=ΔС₁МВ₁⇒В₁М=ВМ. Аналогично,С₁К=КР_1. 6). ΔРМА=ΔАКР₁=ΔКАМ=ΔМС₁К (по трем сторонам) S_сеч = 2SΔ, S_ΔPC1P1=4S_Δ. S_ΔPC1P1= 0,5·C₁L·PP_1. 7). Рассмотрим СLC₁. По теореме Пифагора С₁L=, С₁L=.8). ·2a= 1,6, 9). ΔACH, ∠H=90º, sinCAH = CH:A C, CH=AC·sin60º=. 10). S_CC1L = 0,5·CC₁·CL=0,5·CH·C₁L, 2b= 11). 12). ΔCC₁A: ∠С = 90º, С₁А= = . 13). R = 0,5·C₁A=0,5. 14). S_сфера=π.

Приложение № 7.

Задача. Основаниемпирамиды ТАВС служит равносторонний треугольник АВС, а ее высота совпадает с боковым ребром ТА. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через медиану ТД боковой грани ТАВ и параллельной медиане АМ боковойграни ТАС, если расстояние между АМ и секущей плоскостью равно , а сторона основания равна 4

1. Построение сечения:1). Вплоскости ТАС проведем через точку Т прямую l║AM.2). lАС=S, AC(ABC), Д(ABC)⇒SДВС =F. 3).ΔFДТ-искомое сечение

2. Построение расстояния: 1). АЕ⊥SF, AT⊥ (ABC),⇒TE⊥SF.2) TE⊥SF, AE⊥SF,⇒(TEA)⊥SF. 3). ДF(TFД), ДF⊥ (TEA)⇒(TFД) ⊥ (TEA), (TFД) (TEA)=ТЕ, АН⊥ТЕ, ρ(АМ, сеч) = НА = .

3. Вычисление площади сечения. S_сеч = ·ТЕ·ДF.

1). ΔAMCSTC (TS║AM) ⇒ , AB=AC=BC=4

2). ΔASД. По теореме косинусов находим SД=2. S_ASД=0,5АS·АД·= 0,5АЕ·SД, АЕ=2. 3). ΔАЕД, ∠Е=90º, = = , α=arcsin. 4). ΔFBД, ∠В=60º, ∠Д= arcsin. ДВ=2. ∠F=120º- arcsin. По теореме синусов ДF= = . 5).ΔEHAEAT, , EH= =, ET== . 6). S_сеч = 0,5·· = . Ответ: .