II Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Альдебенева А.Н. 1

---

1ГБОУ СОШ ж.-д.ст. Погрузная Самарской области

Степанова Г.А. 1

---

1ГБОУ СОЩ ж.-д.ст. Погрузная

Работа в формате PDF

593.3 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека так или иначе связано с математикой. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов квадратных уравнений, которые необходимо научиться решать.

В данной работе я попыталась обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме. Я расположила материал по степени его сложности, начиная с самого простого. В него вошли как известные мне способы решения квадратных уравнений из школьного курса алгебры, так и нестандартные нетрадиционные способы решения, которые не изучаются в школьном курсе, но знание которых сокращает процесс решения квадратных уравнений. Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественной здание алгебры.

Для выявления актуальности темы моей работы я провела исследование среди учащихся 8-11 классов нашей школы. Им было предложено решить полное квадратное уравнение любым известным способом. В исследовании приняло участие 72 учащихся из 86 (84 %) .

Таким образом, ясно, что при решении квадратных уравнений учащиеся нашей школы используют традиционно формулы дискриминанта и корней уравнения, что требует громоздких вычислений и как следствие больших затрат времени, что непозволительно в процессе сдачи экзаменов.

Проблемный вопрос: существуют ли кроме общепринятых приемов решения квадратных уравнений другие, которые позволяют быстро и рационально решать квадратные уравнения? Какие существуют рациональные способы решения квадратных уравнений?

Гипотеза: установление связи между коэффициентами и корнями квадратного уравнения позволит найти эффективные приемы быстрого решения квадратного уравнения.

Цель: установив связь между коэффициентами и корнями квадратного уравнения, найти новые рациональные приемы решения уравнений.

Задачи:

1.Изучить литературу по истории приемов решения квадратных уравнений

2. Обобщить накопленные знания о квадратных уравнениях и способах их решения.

3. Установить зависимость корней квадратного уравнения от его коэффициентов и найти эффективные приемы быстрого решения квадратного уравнения, в том числе с большими коэффициентами.

4.Изложить наиболее известные способы решения квадратных уравнений.

3.Показать нестандартные способы решения квадратных уравнений. Сделать выводы.

5. Разработать дидактический материал для проведения практикума по решению квадратных уравнений с использованием новых приемов в помощь ученикам, увлеченным математикой.

Объект исследования: квадратные уравнения

Предмет исследования: методы и приемы решения квадратных уравнений, в том числе с большими коэффициентами

Актуальность темы: тема «Квадратные уравнения» является одной из самых актуальных. Она находит широкое применение в разных разделах математики, имеет теоретическую и практическую значимость. Ведь почти все, что окружает человека так или иначе связано с математикой. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать.

Тема исследования:

Нетрадиционные способы решения квадратных уравнений.

Методы исследования: анкетирование, сбор статистических данных, обработка собранных сведений и информации, оформление результатов исследования.

Итог работы.

Каждый ученик должен прийти к выводу «Мой способ решения квадратного уравнения – понятный, но я хочу найти для себя самый рациональный»

Глава 1. Историческая справка.

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах, содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. "Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37...", - поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами. Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: "Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом смысле исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово "аль-джебр" из арабского названия этого трактата – "Китаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга о восстановлении и противопоставлении") – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово "алгебра", а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

Основной материал, связанный с изучением темы «Квадратные уравнения» находится в УМК под редакцией С. А. Теляковского за 8 класс. В учебнике разобраны все основные вопросы по теме:

1. Определение и виды квадратных уравнений

2. Основные методы решения квадратных уравнений

Однако, дополнительный материал, связанный с историей вопроса о возникновении квадратных уравнений можно найти в «Энциклопедия по математике» «Занимательная математика», М., 2007. Способы решения задач на квадратные уравнения в полном объёме раскрыты в изданиях «Сборник элективных курсов» Волгоград, 2006 г. Рациональные приемы решения квадратных уравнений в полном объеме освещены на сайтах интернет.

Таким образом, изученная литература позволила приобрести новые интересные знания по истории возникновения квадратного уравнения, приобрести опыт по решению различных квадратных уравнений и перейти к следующему этапу в исследовании – перенести полученные знания в нестандартную ситуацию.

Глава 2.Обобщение имеющихся знаний о квадратных уравнениях и способах их решения

2.1. Определение квадратного уравнения

Определение: Квадратным уравнением называется уравнение вида

аx ² + bx + c = 0, где х – переменная, а, b и с– некоторые числа, причем, а ≠ 0.

Числа а, b и с - коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, число b– вторым коэффициентом и число c – свободным членом.

● Пример. 8x² – 7x + 3 = 0

В каждом из уравнений вида ax ² + bx + c = 0, где а ≠ 0, наибольшая степень переменной x – квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х ² равен 1, называют приведенным квадратным уравнением.

● Пример. х ² – 11х+30=0, х² – 8х= 0.

2.2. Решение квадратных уравнений с помощью выделения квадрата двучлена

Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения, в котором оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля. Такой способ решения квадратного уравнения называют выделением квадрата двучлена.

Пример. Рассмотрим уравнение 7х ² – 6х – 1= 0.

Разделив обе части этого уравнения на 7, получим равносильное ему приведенное квадратное уравнение

Х² – х – = 0.

Выделим из трехчлена х² – x- –квадрат двучлена. Для этого разность

х² – х представим в виде х ² – 2· х, прибавим к ней выражение и вычтем его. Получим

х² – 2· х + – – = 0.

Отсюда х ² – 2· х + = + ,

= .

Следовательно, х - = – или х - = , ,

х – = - или х - = ,

х = – или х = 1.

Уравнение имеет два корня: – и 1.

2.3. Решение квадратных уравнений по формуле

Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена часто приводит к громоздким преобразованиям. Поэтому поступают иначе. Решают уравнение в общем виде и в результате получают формулу корней. Затем эту формулу применяют при решении любого квадратного уравнения. Решим квадратное уравнение

аx ² + bx + c = 0.

Разделив его обе части на а, получим равносильное ему приведенное квадратное уравнение

х ² + х + = 0.

Выделим из трехчлена х ² + х + квадрат двучлена. Для этого сумму

х ² + х представим в виде х ² +2х∙ ,прибавим к ней выражение

и вычтем его. Получим

х² +2х∙ + – + = 0,

х ²+2х∙ + = – ,

= – ,

= ,

Уравнение = равносильно уравнению ax ² + bx + c = 0.

Число его корней зависит от знака дроби . Так как а ≠ 0, то 4a–положительное число, поэтому знак этой дроби определяется знаком его числителя, т. е. выражения b² – 4ас. Это выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0. Его обозначают буквой D, т.е.

D = b – 4ас. Дискриминант квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0

– выражение b² – 4ас= D – по знаку которого судят о наличии у этого уравнения действительных корней.

Различные возможные случаи в зависимости от значения D.

1.Если D>0, то уравнение имеет два корня:

X₁ =и x₂ =

Пример. Рассмотрим уравнение 2x ² –3x + 1= 0.

а=2; b= –3; с=1,

D= b – 4ас =(–3) – 4ас= 9–8= 1; 2 корня.

X₁= = = = 0,5

X₂ = = = =1

Ответ: 0,5;1

2.Если D= 0, то уравнение имеет один корень:

х = – .

Пример. Рассмотрим уравнение 9х² +6х+1= 0.

а=9; b= 6; с=1,

D= b – 4ас=6 – 4ас=36–36= 0; 1 корень.

X= = = -0,3

Ответ: -0,3

3. Если D 0. тогда это уравнение имеет два корня:

x₁ =и x₂ =

Найдем сумму и произведение корней:

x₁ + x ₂= + = = –p;

x₁ . x ₂ = . = = = =q.

Следовательно,

x₁ + x ₂ =-p, x₁ . x ₂ =q .

Пример. Рассмотрим уравнение х ² – 3х + 2 = 0.

D =1, уравнение имеет два корня. х₁ = 2 и х₂ = 1, p= –3; q= 2.

По теореме Виета x₁ + x ₂ =-p , значит 2 + 1= 3;

x₁ . x ₂ =q , значит 2 ∙ 1 =2.

Следовательно, х ₁ = 2 и х₂ = 1 являются корнями уравнения х² – 3х + 2 = 0.

При D = 0 корни уравнения можно вычислить по формуле

х = и x= .

Квадратное уравнение ax ² + bx + c = 0 имеет корни х₁ и х ₂ равносильное ему приведенное квадратное уравнение имеет вид

х + х = – , х ∙ х = .

Справедливо утверждение, обратное теореме Виета:

Теорема: Если числа m и n таковы, что их сумма равна –p, а произведение

равно q, то эти числа являются корнями уравнения х ² + px + q = 0.

Пример. Рассмотрим уравнение х ² +3х – 40=0.

D= 32+4 ∙40= 169.

По формуле корней квадратного уравнения получаем

х = ; х = .

Отсюда х ₁ =-8 ; х ₂ =5.

Покажем, что корни уравнения найдены правильно. В уравнении

х² +3х – 40=0 коэффициент р равен 3, а свободный член q равен –40. Сумма найденных чисел –8 и 5 равна –3, а их произведение равно –40. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, эти числа являются корнями уравнения

х² +3х – 40=0.

Итак, квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать уравнения. Имеется десять способов решения квадратных уравнений. Подробно в своей работе я разобрала некоторые из них, которые сама очень активно применяю.

Глава 3. Рациональные способы решения квадратного уравнения.

3.1.Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

1) Если а+ b+c= 0, х₁ = 1 , х ₂ =

Пример. Рассмотрим уравнение х² +4х – 5= 0.

a+ b+c= 0, х ₁ =1 , х ₂ = . 1+4+ (-5) =0 .

Значит, корнями этого уравнения являются 1 и –5. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:

D= b – 4ас= 4 – 4∙1∙(–5)= 36.

х = = = – 5.

х = = =1.

Отсюда следует, что если а+b+c= 0 , то х ₁ =1 , х ₂ =

2) Если b= а+c, то х₁ =-1, х ₂ = -

Пример. Рассмотрим уравнение 2х² +8х +6 = 0.

2) Если b= а+c, то х₁ =-1, х ₂ = - . 8= 2+6

Значит корнями этого уравнения являются –1 и –3. Проверим это с помощью нахождения дискриминанта:

D= b – 4ас=8 – 4∙2∙6= 16.

х = = = –3.

х = = = –1.

Отсюда следует, что если b= а+c , то х₁ = -1 , х ₂ =

Пример 345х² – 137х – 208 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то

х₁ = 1, х₂ = c/a = -208/345.

Ответ: 1; -208/345.

Пример 132х2 – 247х + 115 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то

х₁ = 1, х₂ = c/a = 115/132.

Ответ: 1; 115/132

3). Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней

Пример. Решим уравнение 3х² — 14х + 16 = 0.

Решение. Имеем: а = 3, b = — 14, с = 16, k = — 7;

D = k² – ac = (- 7)² – 3 • 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, два различных корня;

Ответ: 2; 8/3

3.2. Способ «переброски».

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Если а±b+c≠0, то используется прием переброски:

1. 2х² – 11х+5=0 х² – 11х+10= 0

х = 10; х =1. Корни уравнения необходимо поделить на 2.

Ответ: 5; 0,5.

1. 4х² -37 х +9 =0 Ответ: ¼, 9

3.3.Закономерность коэффициентов

1) Если в уравнении ax ²+ bx + c = 0 коэффициент b равен (а² +1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны

х = –а; х = – .

ах ² + (а² +1)∙ х+ а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 6х² +37х +6 = 0.

х = –6; х = – .

2) Если в уравнении ax² – bx + c = 0 коэффициент b равен (а² +1),а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны

х = а; х = .

ax ²– (а² +1)∙ х+ а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 15х ²–226х +15 = 0.

х = 15; х = – .

3) Если в уравнении ax² + bx – c = 0 коэффициент b равен (а² –1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны

х = –а; х = .

ax² + (а² –1)∙ х– а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 17х² +288х – 17 = 0.

х = –17; х = .

4) Если в уравнении ax ²– bx – c = 0 коэффициент b равен (а² –1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны

х = а; х = – .

ax ²+ (а²–1)∙ х– а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 10х²–99х – 10 = 0.

х = 10; х = – .

3.4.Графическое решение квадратного уравнения.

Если в уравнении

х² + px + q = 0

перенести второй и третий члены в правую часть, то получим

х² = - px - q.

Построим графики зависимости у = х² и у = - px - q.

График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости -

прямая (рис.1). Возможны следующие случаи:

- прямая и парабола могут пересекаться в двух точках,

абсциссы точек пересечения являются корнями квад- ратного уравнения;

- прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

- прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

Примеры.

1) Решим графически уравнение х² - 3х - 4 = 0 (рис. 2).

Решение. Запишем уравнение в виде х² = 3х + 4.

Построим параболу у = х² и прямую у = 3х + 4. Прямую

у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и

N (3; 13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках

А и В с абсциссами х1 = - 1 и х² = 4. Ответ: х1 = - 1;

х² = 4.

2) Решим графически уравнение (рис. 3) х² - 2х + 1 = 0.

Решение. Запишем уравнение в виде х² = 2х - 1.

Построим параболу у = х² и прямую у = 2х - 1.

Прямую у = 2х - 1 построим по двум точкам М (0; - 1)

и N(1/2; 0). Прямая и парабола пересекаются в точке А с

абсциссой х = 1. Ответ: х = 1.

3) Решим графически уравнение х² - 2х + 5 = 0 (рис. 4).

Решение. Запишем уравнение в виде х² = 5х - 5. Построим параболу у = х² и прямую у = 2х - 5. Прямую у = 2х - 5 построим по двум точкам М(0; - 5) и N(2,5; 0). Прямая и парабола не имеют точек пересечения, т.е. данное уравнение корней не имеет.

Ответ. Уравнение х² - 2х + 5 = 0 корней не имеет.

Итак, квадратным уравнением называется уравнение вида ax² + bx + c = 0. Квадратные уравнения бывают полными, неполными и приведенными. Способы решений полных уравнений различны: выделение квадрата двучлена, по формуле, по теореме Виета, способ переброски, способы, основанные на свойствах и закономерностях коэффициентов квадратного уравнения. В данной работе я изложила и показала на примерах все эти способы. Проанализировав дополнительный материал, я пришла к выводу, что с помощью рациональных способов решения квадратных уравнений , решать уравнения стало намного намного проще и быстрее.

Предложенные методы решения квадратных уравнений просты в применении, и они, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников. Моя работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.

Заключение.

Таким образом, я считаю, что тема данного исследования полностью раскрыта. При работе над темой я узнала много нового из истории квадратных уравнений, а также научилась их решать более удобным способом. Полученные знания пригодятся мне в будущем.

В процессе работы мною создана система нестандартных приемов решения квадратных уравнений и разработан банк заданий, на основе которого мною проведена успешная апробация этих приемов. Хочется отметить и то, что излагаемая тема в этой работе еще полностью не изучена, она таит в себе много скрытого и неизвестного, что дает прекрасную возможность для дальнейшей работы над ней.

Данный материал можно рекомендовать для внеклассных занятий по математике. Материалом могут воспользоваться те, кто любит математику и хочет знать о математике больше.

1.Алгебра 8 класс: учебник для общеобразовательных учреждений. Авторы: Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Издательство «Просвещение», Москва 2009 г.

2.Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы: для сред.шк.-57-е изд. – М.: Просвещение, 1990.

3. Штейнгауз В.Г. Математический калейдоскоп. – М.: Бюро «Квантум», 2005.