НЕТРАДИЦИОННЫЕ СПОСОБЫ ГРАФИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

II Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Личный портфель

НЕТРАДИЦИОННЫЕ СПОСОБЫ ГРАФИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Гришина Е.В. 1
1МКОУ Ордынского района Новосибирской области - Ордынской средней общеобразовательной школы №1 имени Героя Советского Союза А.Д.Гаранина
Протасова Н.В. 1
1МКОУ Ордынского района Новосибирской области – Ордынская средняя общеобразовательная школа №1 имени Героя Советского Союза А.Д. Гаранина
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Диплом школьникаСвидетельство руководителя
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

 Введение

Математическое образование, получаемое в школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений. [10]

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Сила теории уравнений в том, что она не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит конкретным практическим целям. Большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, люди находят ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.).[9]

Актуальность исследования заключается в том, что современное общество имеет потребность в самостоятельной, постоянно развивающейся и творческой личности. Наличие развитого воображения способствует успешности любого вида профессиональной деятельности человека. А умение находить новые нестандартные пути решения разных задач – это возможность для дальнейших открытий не только в научной деятельности, но и других областях жизни. Графический способ решения – одна из возможностей для исследования и математического моделирования нестандартных ситуаций.

Гипотеза: Существует не один десяток различных способов графического решения уравнений.

Объект исследования: Раздел алгебры «Графическое решение квадратных уравнений»

Предмет исследования: Квадратные уравнения.

Методы исследования:

  1. Поиск разных способов решения уравнений

  2. Сравнение найденных способов и выявление их преимущества и недостатков

  3. Анализ полученных данных и разработка своих способов

Цель исследования: Выявить и изучить новые способы графического решения квадратных уравнений

Задачи:

  • Изучить всю литературу и материалы сайтов Интернета по данному вопросу.

  • Собрать необходимый материал по теме, проанализировать и обобщить.

  • Смоделировать и рассмотреть особенности каждого найденного способа, описать его технологию и алгоритм выполнения.

  • Показать практическое применение полученных знаний и оценить степень сложности в использовании различных способов.

  • Познакомить с результатами полученных исследований одноклассников и преподавателей.

  • Создать брошюру по итогам исследования с иллюстрациями в программе DESMOS .

Глава 1. Историческая справка о квадратных уравнениях

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. "Ищется куча, которая вместе с двумя третями ее, половиной и одной седьмой составляет 37...", - поучал во II тысячелетии до новой эры египетский писец Ахмес. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами. Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов.[1]

Первые упоминания о способах решения уравнений, которые мы сейчас называем квадратными, относятся ко II тысячелетию до н.э. Это эпоха расцвета Вавилонии и Древнего Египта. Необходимость решать уравнения не только первой, но и вто­рой степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.

I тысячелетие н.э. – Римские завоевательные войны. К этому периоду относится творчество Диофанта. Его трактат “Арифметика” содержит ряд задач, решаемых при помощи квадратных уравнений. В IX веке узбекский математик Аль - Хорезми в Трактате “Алгебра” классифицирует квадратные уравнения. (Приложение № 1)

Все это время отличные по записи уравнения считались различными. Не было единого подхода к их решению. И только в XVI веке французский юрист, тайный советник короля Франции и математик Франсуа Виет впервые вводит в обращение буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для данных, то есть коэффициентов уравнения. Тем самым заложил основы буквенной алгебры. [9]

Глава 2. Пять известных способов графического решения квадратных уравнений

Изучая многочисленные справочники и учебники по данной теме, стало ясно, что выделяют пять самых известных способов графического решения квадратных уравнений.

Стоит заметить, что все пять способов подробно представлены в учебнике А.Г. Мордкович «Алгебра 8 класс». Для дальнейшего моделирования уравнений и статистики исследований, необходимо просмотреть эти способы.

Решим уравнение x² − 2x −3 = 0.

Первый способ

Построим график функции x²−2x−3=0.

Построим графики функций у = x²−2x−3 и у = 0

Через точки (−1;0),(1;−4),(3;0) проводим параболу.

Корнями уравнения x²−2x−3=0 являются абсциссы точек пересечения параболы с осью х; значит, корни уравнения таковы: x₁= −1; x₂ = 3.

Второй способ

Преобразуем уравнение к виду x² = 2x+3. Построим в одной системе координат графики функций: y = x²; y = 2x+3.

Они пересекаются в двух точках C(−1;1) и D(3;9). Корнями уравнения служат абсциссы точек C и D,

значит, x₁= −1; x₂=3.

Третий способ

Преобразуем уравнение к виду x²−3 = 2x. Построим в одной системе координат графики функций: y = x²−3; y = 2x.

Они пересекаются в двух точках C(−1;−2) и D(3;6). Корнями уравнения являются абсциссы точек C и D, поэтому x₁ = −1; x₂ = 3.

Четвёртый способ

Преобразуем уравнение к виду x²−2x+1−4=0 и далее x²−2x+1= 4→(x−1)² = 4.Построим в одной системе координат параболу y=(x−1)² и прямую y = 4.

Они пересекаются в двух точках C(−1;4) и D(3;4). Корнями уравнения служат абсциссы точек C и D, поэтому x₁ = −1; x₂=3.

Пятый способ

Разделив почленно обе части уравнения на x, получим x−2−= 0

Построим в одной системе координат гиперболу y = и прямую y = x−2.

Они пересекаются в двух точках A(−1;−3) и B(3;1). Корнями уравнения являются абсциссы точек A и B, следовательно, x₁ = −1; x₂ = 3. [2]

Итак, квадратное уравнение x² − 2x – 3 = 0 во всех справочниках [2], сайтах [3] и учебниках [4] решается графически пятью способами. А сколько их всего?

Глава 3. Исследование других способов решения графически

Чтобы убедиться в правильности и оригинальности своего пути исследования, я провела небольшой опрос среди старшеклассников моей школы на предмет степени знакомства с графическими способами решения уравнений и их оценки значимости при решении заданий на уроках математики и при подготовке к олимпиадам и экзаменам.

В опросе приняли участие 42 человека. (Приложение № 2)

Результаты опроса показали следующие интересные выводы. Оказывается, несмотря на достаточно глубокое изучение различных способов графического решения уравнений в школе, графический способ никто из опрошенных не применяет для решения квадратных уравнений. Этот способ используют очень многие при решении квадратных неравенств или заданий, приводящих к решению таких неравенств. Причину все указали очень чётко и понятно: требует дополнительного построения координатной плоскости, не всегда точен (любое построение в тетради несёт возможность неточного построения кривых и поэтому допускает погрешность при вычислении корней), занимает много места и времени, тем самым проигрывая более популярным способам решения через дискриминант и теорему Виета. Но, несмотря на такую низкую популярность, почти все опрошенные отметили, что это самый наглядный и красивый способ решения из всех, с которыми знакомят в школе.

Результаты моего исследования и привели меня к мысли, посмотреть на графические способы решения уравнений более глубоко, и попытаться найти другие способы. Внимательно рассматривая пять самых известных способов, можно заметить, что в преобразовании уравнения возможны и другие варианты перемещения частей уравнения из одной части в другую, что даёт совершенно новую «картинку» взаимного расположения различных функций, доступных в построении на обычном листе тетради.

Вот такие 7 комбинаций мне удалось найти и построить:

  1. x² − 2x = 3

  2. − 2x − 3 = − x²

  3. − 2x = − x² + 3

  4. − 3 = 2х − x²

  5. х = +2 (при делении на х)

  6. −= − х + 2 (при делении на х)

  7. − − 2 = − х (при делении на х)

 

Моделируя данное уравнение и используя прямой переброс из части в часть, деление на х, х², х³ и так далее, стали получаться модели новых бесконечных комбинаций, построить которые уже не удалось обычным способом, ведь при моделировании получались графики функций, которые не изучаются в школьном курсе.

Глава 4. Современные информационные технологии-помощники в решении сложных задач

За помощью в исследовании пришлось обратиться к другим источникам информации.

Очень интересным показался компьютерный онлайн - калькулятор для решения квадратных уравнений «Fxyz»[5]

Но он предлагал один стандартный способ решения с иллюстрацией.

Другие современные информационные технологии указывали на решение в среде Microsoft Excel, что делало построение таким же простым,[6]

а также заставляли составлять блок – схемы для программирования на языке Pascal, чтобы найти решение квадратного уравнения с помощью Microsoft Office Excel. [7]

Глава 5. Моделирование заданий любой сложности и решение их с помощью компьютерной программы DESMOS

Самой интересной и универсальной оказалась компьютерная программа DESMOS .[8]

Все преобразованные части уравнения удалось не только построить с ювелирной точностью, но и определить координаты точек пересечения с точностью до тысячных, и, как следствие прийти к точному решению данного уравнения. А ещё возможности этой программы позволяют не останавливаться на делении всего уравнения на х или х², а делить на любые степени и строить любые возможные модели этого уравнения.

По результатам построения, я собрала коллекцию иллюстраций, сделанных в этой программе, которые демонстрируют наглядность и точность возможностей современных образовательных ресурсов для свободного моделирования по преобразованию.

Предлагаю рассмотреть различные способы графического решения одного уравнения

х² -2х -3 = 0 в программе DESMOS. Сначала 5 самых известных способов:

Ещё можно смоделировать 7 способов, которые получаются путём перестановок и прямого переброса из части в часть. Эти способы, как и предыдущие легко можно построить в тетради (все учащиеся знакомы с этими построениями и легко справляются за несколько минут). Но программа их строит за доли секунды.

Остальные способы (начиная с 13) построить в тетради невозможно, так как получившиеся функции не изучаются в школьном курсе алгебры. Следующий шаг исследования – испытать возможности программы, а также проверить точность вычислений.

Для следующих способов продолжаю делить почленно уже не на х, а на х², х³ и так далее, создавая новые способы представления данного уравнения и моделируя части под разные новые графики.

Представленные 5 популярных и 20 новых способов решения доказывают широкие возможности моделирования квадратного уравнения и мгновенное построение получившихся во время преобразования графиков. В результате моего исследования я перепробовала и разные «самые невероятные» степени, и разные перебросы. Моему удивлению не было конца, а моё сознание не могло вместить масштабы бесконечного числа способов, полученных таким способом. Вот несколько «безумных» моделей данного уравнения и точный ответ.

Изучая работу в программе, я открыла для себя новые возможности подготовки к экзаменам и олимпиадам. В частности быструю и проверку 23 задания ОГЭ с графиками функций, содержащими модуль: [11,12.13]

и для перспективы решение с проверкой 18 задания ЕГЭ (бывшего С 6): [14]

Также в программе можно рисовать графиками и делать самостоятельно динамические апплеты – анимационные картинки, которые двигаются: [15,16,17]

Заключение.

Пробные эксперименты по изучению возможностей программы DESMOS показали, что новый подход к нетрадиционному решению квадратного уравнения даёт не один и не два десятка способов решения, а бесконечное множество, полученное при дальнейшем делении на более высокие степени и переброс выражений из части в часть. Таким образом, выдвинутая в начале исследования гипотеза более чем доказана. Программа DESMOS, которая так легко помогает справиться с возникающими ранее проблемами по построению сложных графиков, становится универсальным средством на всех этапах обучения. В ней можно решать уравнения и системы уравнений, моделировать, исследовать, проверять и прогнозировать результаты проектной деятельности. С её помощью можно готовиться к экзаменам и рисовать мультфильмы. Я уверена, что за такой программой будущее. Работая с решением одного уравнения, я немного заглянула в этот новый мир программирования и компьютерных технологий, который оказался таким интересным и полезным для обучения.

Список источников:

  1. http://firs.ucoz.com/publ/obuchenie/vsjo_o_kvadratnykh_uravnenijakh/13-1-0-27

  2. http://www.yaklass.ru/p/algebra/8-klass/kvadratichnaia-funktciia-funktciia-y-k-x-11012/graficheskoe-reshenie-kvadratnykh-uravnenii-12306/re-1506d463-d8fc-4275-a3d9-6542d27dcba6

  3. http://school.xvatit.com/index.php?title=Графическое_решение_квадратных_уравнений

  4. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. — 12-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2010. — 215 с.: ил.

  5. http://www.fxyz.ru/формулы_по_математике/уравнения/решение_квадратного_уравнения/графическим_способом/

  6. http://festival.1september.ru/articles/564361/

  7. https://www.google.ru/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=33&ved=0ahUKEwj38JG_m4nLAhVJWRoKHebSB044HhAWCCcwAg&url=http%3A%2F%2Fuchportfolio.ru%2Fdownload%2F%3Fs%3Dmaterials%26id%3D1219&usg=AFQjCNE8suRF9I9D6puO50IUNIoUWR932A&bvm=bv.114733917,d.ZWU

  8. https://www.desmos.com/calculator

  9. http://nsportal.ru/sites/default/files/2015/06/03/issledovatelskaya_rabota_na_temu.doc

  10. http://umigan.tulunr.ru/files/Rabota.pdf

  11. https://sites.google.com/site/mkdrugaamatematikasdesmos/5-klassiceskaa-matematika-v-desmos/zadania-2-etapa/gruklvzadanie23oge

  12. https://sites.google.com/site/mkdrugaamatematikasdesmos/5-klassiceskaa-matematika-v-desmos/zadania-2-etapa/irinapodlesnaaprimerzadanieno23ogepomatematike

  13. https://sites.google.com/site/mkdrugaamatematikasdesmos/5-klassiceskaa-matematika-v-desmos/zadania-2-etapa/stepanovasvetlanazadanie23probnogogia

  14. https://sites.google.com/site/mkdrugaamatematikasdesmos/5-klassiceskaa-matematika-v-desmos/zadania-2-etapa/verneririnafeedorovna

  15. https://www.desmos.com/calculator/uwkoy6fhis

  16. https://www.desmos.com/calculator/2bymmmyzq8

  17. https://www.desmos.com/calculator/jtxkhxeez9

Приложение №1

Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения

В “Арифметике” Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд за­дач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи со­ставления уравнений разных степеней.При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач. “Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, апроизведение — 96”.

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким об­разом, одно из них будет больше половины их суммы, т. е. 10 + х, другое же меньше, т. е. 10 — х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение

 

или же

 

Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = —2 для Диофанта не существует, так как греческая матема­тика знала только положительные числа.Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полу разность ис­комых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести за­дачу к решению неполного квадратного уравнения .

Квадратные уравнения в Индии.

Задачи на уравнения встречаются уже в астрономическом трактате “Ариабхаттаим”, составленном в 449 г. индийским математиком и астрономом Арибхаттой. Но это уже раннее средневековье.

В Алгебраическом трактате ал-Хорезми даётся классификация линейных и квадратных уравнений.

Индий учёные знали решения неопределённых уравнений в целых числах (в том числе и в отрицательных, чего сам Диофант избегал).

Греческий математик Герон (I или II век нашего летоисчисления) вывел формулу для решения квадратного равнения ax2 + bx = c умножением всех членов на а и прибавлением к обеим половинам уравнения :

В Индии пришли к более простому способу вывода, который встречается в школьных учебниках: они умножали на 4a и к обеим половинам по b2. Это даёт: Индийские математики часто давали задачи в стихах. Задача о лотосе.

Над озером тихим, с полмеры над водой,

Был виден лотоса цвет.

Он рос одиноко, и ветер волной

Нагнул его в сторону – и уж нет

Цветка над водой.

Нашёл его глаз рыбака

В двух мерах от места, где рос.

Сколько озера здесь вода глубока?

Тебе предложу я вопрос. Ответ:

Кстати, в одном из древних рукописных сборников задач в стихах жизнь Диофанта описывается в виде следующей алгебраической загадки, представляющей надгробную надпись на его могиле:

Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей — и камень

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая, с подругою он обручился.

С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец;

Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.

Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,

Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Задача-загадка сводится к составлению и решению уравнения:

откуда х = 84 = вот сколько лет жил Диофант [1]

Приложение № 2

 

0

 

Какие способы решения квадратных уравнений вы используете чаще всего?

 

0

 

Какие способы решения квадратных уравнений на ваш взгляд самые эффективные?

Почему?

Просмотров работы: 914