МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРАЕКТОРИИ ПОЛЁТА РАКЕТЫ «ВОЗДУХ – ВОЗДУХ»

II Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРАЕКТОРИИ ПОЛЁТА РАКЕТЫ «ВОЗДУХ – ВОЗДУХ»

Лобков И.О. 1
1ОГБПОУ "Волгореченский промышленный техникум Костромской области"
Савельев С.А. 1
1ОГБПОУ "Волгореченский промышленный техникум Костромской области"
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Аннотация

В настоящей работе рассматривается задача о траектории погони, которую необходимо получить, составляя и решая соответствующее дифференциальное уравнение. Рассматривается математическая модель, применяемая для однозначного описания траектории полёта снаряда до цели, и определяется время, необходимое для поражения цели снарядом при определённых начальных условиях.

В результате исследования получена функциональная зависимость, представляющая собой траекторию полёта самонаводящегося снаряда до цели при условии, что цель, впоследствии, должна быть поражена зарядом.

Оглавление

  1. Постановка задачи 4

  2. Описание вычислительного эксперимента 5

  3. Построение математической модели 6

  4. Нахождение семейства кривых, являющихся решением исходной задачи 7

  5. Решение задачи о времени поражения снарядом цели 8

  6. Вывод 9

  7. Список литературы 10

  1. Постановка задачи

Необходимо поразить запеленгованную радаром цель (вражеский истребитель-бомбардировщик) с помощью самонаводящейся ракеты (далее – снаряд). Зададим прямоугольную систему координат. Пусть в начальный момент времени (в момент пуска снаряда) цель находится в начале координат и движется в положительном направлении оси OY. Снаряд является самонаводящимся и, поэтому, в каждый момент времени мгновенная скорость снаряда направлена по прямой, соединяющей его мгновенное положение с мгновенным положением цели. Примем для удобства исследования, что скорость снаряда в два раза больше скорости цели (рис. 1).

Необходимо:

  1. Найти форму траектории погони (её уравнение, заданное в декартовой системе координат).

  2. При заданных начальных значениях скоростей цели и поражающего её снаряда определить время, через которое цель будет поражена после запуска снаряда.

 

y

 

Рис. 1

x

 

  1. Описание вычислительного эксперимента

В некоторых задачах физики непосредственную связь между величинами, описывающими процесс, установить не удается. Но существует возможность получить равенство, содержащее производные исследуемых функций. Так возникают дифференциальные уравнения и потребность их решения для нахождения неизвестной функции.

Таким образом, мы сталкиваемся с задачей решения дифференциального уравнения, в котором неизвестная функция является функцией одной переменной. Составив дифференциальное уравнение, мы сможем решить поставленную задачу.

Сначала рекомендуем ознакомиться с определениями и понятиями теории дифференциальных уравнений. Далее можно переходить к видам дифференциальных уравнений.

Каждому виду дифференциальных уравнений поставлен в соответствие свой уникальный метод решения. Нам необходимо определить вид дифференциального уравнения нашей задачи, и решить полученное дифференциальное уравнение.

Для успешного решения дифференциальных уравнений с нашей стороны также потребуется умение находить множества первообразных (неопределенные интегралы) некоторых функций.

Здесь и всюду далее полагаем, что производная , если y является функцией аргумента x.

Рассматриваемая в работе задача сводится к определению линии погони, представляющей собой траекторию движения снаряда от момента его запуска до момента попадания в цель. Для решения поставленной задачи сделаем дополнительное допущение. Пусть полёт снаряда и цели происходят в одной горизонтальной плоскости, то есть снаряд представляет собой ракету «воздух – воздух» и запущен с самолёта истребителя.

  1. Построение математической модели

Пусть начало координат совпадает с перекрестком, и в начальный момент времени цель находится в точке (0;0), а в дальнейшем движется вверх по оси ординат. Когда цель находится в произвольной точке (0,Y), её скорость ʋ - это производная , т. е. ʋ= .

Самонаводящийся снаряд начинает движение из точки (a;0) оси абсцисс. Его траектория описывается уравнением y= y(x), которое нам и нужно составить.

Пусть в произвольный момент времени снаряд находится в точке (x;y); его скорость 2ʋ можно разложить на горизонтальную составляющую и вертикальную ; тогда

Наконец, поскольку снаряд постоянно сам наводится на цель, его скорость в любой момент времени направлена по касательной к траектории; тогда AB – касательная к кривой y=y(x) (рис. 2) и

Рис. 2

Итак, получаем систему:

Прежде всего, исключим из системы Y. Из третьего уравнения находим Y=y-xy.

Продифференцируем это равенство по t:

Поскольку

а

имеем

Таким образом, первое уравнение системы принимает вид

Подставляя во второе уравнение, имеем:

или, после деления на

ввиду того, что

Имеем уравнение 2-ого порядка, в которое явно не входит y. Замена y’=p(x) дает

или

Данное уравнение представляет собой математическую модель так называемой траектории погони при исследовании полёта самонаводящегося снаряда.

Иначе это уравнение запишем в следующем виде:

  1. Нахождение семейства кривых, являющихся решением исходной задачи

Интегрируя, получаем или .

Преобразуем это равенство, уединяя радикал и возводя обе части в квадрат, имеем:

отсюда и, поскольку , получаем

Интегрирование дает: , откуда

Для нахождения констант используем данные задачи: во-первых, y(a)=0 (начальное положение снаряда в точке (a,0)); во-вторых, y’(a)=0 (в начальный момент цель находится в начале координат и боеголовка снаряда направлена по направлению вдоль оси абсцисс).

Это приводит к соотношениям

Из второго условия находим ; тогда из первого .

Таким образом, решением задачи является кривая

  1. Решение задачи о времени поражения снарядом цели

Неизбежный вопрос: поразит ли снаряд цель? Ясно, что поражение произойдет там, где найденная кривая y(x) пересечет ось Oy, т. е. при x=0, y=.

Какое время для этого потребуется? Ровно такое, которое нужно, чтобы цель, летящая со скоростью ʋ, преодолела расстояние . Поскольку (имея в виду, что здесь y- ордината её положения), и искомое время .

Если скорость цели не зависит от времени и координаты и равна ʋ0, то естественно, .

Пусть, к примеру, ʋ0= 300 (м/с), a=5000 (м), тогда 11,11 (сек).

  1. Вывод

Мы установили, что траектория погони описывается дифференциальным уравнением второго порядка, допускающим понижение порядка. Мы также в результате полученного решения можем , что чем меньше разница в скоростях цели и снаряда, тем больше потребуется времени на поражение цели снарядом.

  1. Список литературы, использованной при исследовании

  1. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: «Наука», 1970.

  2. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: «URSS», 2010.

  3. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.: «URSS», 2014.

  4. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: «URSS», 2011.

  5. Бибиков Ю.Н. Общий курс обыкновенных дифференциальных уравнений. ЛГУ, 1981.

Просмотров работы: 970