В настоящей работе рассматривается задача о траектории погони, которую необходимо получить, составляя и решая соответствующее дифференциальное уравнение. Рассматривается математическая модель, применяемая для однозначного описания траектории полёта снаряда до цели, и определяется время, необходимое для поражения цели снарядом при определённых начальных условиях.
В результате исследования получена функциональная зависимость, представляющая собой траекторию полёта самонаводящегося снаряда до цели при условии, что цель, впоследствии, должна быть поражена зарядом.
Оглавление
Постановка задачи 4
Описание вычислительного эксперимента 5
Построение математической модели 6
Нахождение семейства кривых, являющихся решением исходной задачи 7
Решение задачи о времени поражения снарядом цели 8
Вывод 9
Список литературы 10
Постановка задачи
Необходимо поразить запеленгованную радаром цель (вражеский истребитель-бомбардировщик) с помощью самонаводящейся ракеты (далее – снаряд). Зададим прямоугольную систему координат. Пусть в начальный момент времени (в момент пуска снаряда) цель находится в начале координат и движется в положительном направлении оси OY. Снаряд является самонаводящимся и, поэтому, в каждый момент времени мгновенная скорость снаряда направлена по прямой, соединяющей его мгновенное положение с мгновенным положением цели. Примем для удобства исследования, что скорость снаряда в два раза больше скорости цели (рис. 1).
Необходимо:
Найти форму траектории погони (её уравнение, заданное в декартовой системе координат).
При заданных начальных значениях скоростей цели и поражающего её снаряда определить время, через которое цель будет поражена после запуска снаряда.
y
Рис. 1
x
Описание вычислительного эксперимента
В некоторых задачах физики непосредственную связь между величинами, описывающими процесс, установить не удается. Но существует возможность получить равенство, содержащее производные исследуемых функций. Так возникают дифференциальные уравнения и потребность их решения для нахождения неизвестной функции.
Таким образом, мы сталкиваемся с задачей решения дифференциального уравнения, в котором неизвестная функция является функцией одной переменной. Составив дифференциальное уравнение, мы сможем решить поставленную задачу.
Сначала рекомендуем ознакомиться с определениями и понятиями теории дифференциальных уравнений. Далее можно переходить к видам дифференциальных уравнений.
Каждому виду дифференциальных уравнений поставлен в соответствие свой уникальный метод решения. Нам необходимо определить вид дифференциального уравнения нашей задачи, и решить полученное дифференциальное уравнение.
Для успешного решения дифференциальных уравнений с нашей стороны также потребуется умение находить множества первообразных (неопределенные интегралы) некоторых функций.
Здесь и всюду далее полагаем, что производная , если y является функцией аргумента x.
Рассматриваемая в работе задача сводится к определению линии погони, представляющей собой траекторию движения снаряда от момента его запуска до момента попадания в цель. Для решения поставленной задачи сделаем дополнительное допущение. Пусть полёт снаряда и цели происходят в одной горизонтальной плоскости, то есть снаряд представляет собой ракету «воздух – воздух» и запущен с самолёта истребителя.
Построение математической модели
Пусть начало координат совпадает с перекрестком, и в начальный момент времени цель находится в точке (0;0), а в дальнейшем движется вверх по оси ординат. Когда цель находится в произвольной точке (0,Y), её скорость ʋ - это производная , т. е. ʋ= .
Самонаводящийся снаряд начинает движение из точки (a;0) оси абсцисс. Его траектория описывается уравнением y= y(x), которое нам и нужно составить.
Пусть в произвольный момент времени снаряд находится в точке (x;y); его скорость 2ʋ можно разложить на горизонтальную составляющую и вертикальную ; тогда
Наконец, поскольку снаряд постоянно сам наводится на цель, его скорость в любой момент времени направлена по касательной к траектории; тогда AB – касательная к кривой y=y(x) (рис. 2) и
Рис. 2
Итак, получаем систему:
Прежде всего, исключим из системы Y. Из третьего уравнения находим Y=y-xy’.
Продифференцируем это равенство по t:
Поскольку
а
имеем
Таким образом, первое уравнение системы принимает вид
Подставляя во второе уравнение, имеем:
или, после деления на
ввиду того, что
Имеем уравнение 2-ого порядка, в которое явно не входит y. Замена y’=p(x) дает
или
Данное уравнение представляет собой математическую модель так называемой траектории погони при исследовании полёта самонаводящегося снаряда.
Иначе это уравнение запишем в следующем виде:
Нахождение семейства кривых, являющихся решением исходной задачи
Интегрируя, получаем или .
Преобразуем это равенство, уединяя радикал и возводя обе части в квадрат, имеем:
отсюда и, поскольку , получаем
Интегрирование дает: , откуда
Для нахождения констант используем данные задачи: во-первых, y(a)=0 (начальное положение снаряда в точке (a,0)); во-вторых, y’(a)=0 (в начальный момент цель находится в начале координат и боеголовка снаряда направлена по направлению вдоль оси абсцисс).
Это приводит к соотношениям
Из второго условия находим ; тогда из первого .
Таким образом, решением задачи является кривая
Решение задачи о времени поражения снарядом цели
Неизбежный вопрос: поразит ли снаряд цель? Ясно, что поражение произойдет там, где найденная кривая y(x) пересечет ось Oy, т. е. при x=0, y=.
Какое время для этого потребуется? Ровно такое, которое нужно, чтобы цель, летящая со скоростью ʋ, преодолела расстояние . Поскольку (имея в виду, что здесь y- ордината её положения), и искомое время .
Если скорость цели не зависит от времени и координаты и равна ʋ0, то естественно, .
Пусть, к примеру, ʋ0= 300 (м/с), a=5000 (м), тогда 11,11 (сек).
Вывод
Мы установили, что траектория погони описывается дифференциальным уравнением второго порядка, допускающим понижение порядка. Мы также в результате полученного решения можем , что чем меньше разница в скоростях цели и снаряда, тем больше потребуется времени на поражение цели снарядом.
Список литературы, использованной при исследовании
Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: «Наука», 1970.
Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: «URSS», 2010.
Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.: «URSS», 2014.
Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: «URSS», 2011.
Бибиков Ю.Н. Общий курс обыкновенных дифференциальных уравнений. ЛГУ, 1981.