ПОСЛЕДНЯЯ ЦИФРА СТЕПЕНИ

II Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

ПОСЛЕДНЯЯ ЦИФРА СТЕПЕНИ

Старцев Д.В. 1
1МБОУ СОШ № 77
Кулагина О.А. 1
1МБОУ СОШ № 77
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

 Введение

«Математику уже затем учить следует,

что она ум в порядок приводит»

М. В. Ломоносов

Эти слова раскрывают сущность предмета математика, так как именно она, прежде всего, учит нас мыслить, рассуждать, анализировать, делать выводы, умозаключения и подводить итоги. Математика является одним из основных школьных предметов, потому, что все перечисленные качества необходимы не только математику, но и представителю любой другой науки. Развитием этих качеств занимается, прежде всего, математика. Существуют специальные задачи, которые направлены на формирование названных умений. Готовясь к различным математическим конкурсам, мы столкнулись с таким заданием « Какой будет последняя цифра числа ?» На первый взгляд эта задача может показаться достаточно сложной и я принялся за вычисления…

В ходе решения этой задачи возникла идея исследовать, а какой будет последняя цифра любого натурального числа в любой степени, есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра степени натурального числа?

Цели работы

Составить опорную таблицу «Последние цифры степени», найти закономерности в них, научится вычислять последние цифры степеней.

Актуальность темы исследования обусловлена насущной необходимостью поиска быстрых алгоритмов решения практически важных задач, отработки навыков устного счета.

2. Последняя цифра степени

Выясним есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра числа , где N , n – натуральные числа, с изменением показателя n. Для этого составим таблицу:

N n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

2048

4096

8192

3

3

9

27

81

243

729

2187

6561

19683

59049

177147

531441

1594323

4

4

16

64

256

1024

4096

16384

65536

262144

1048576

4194304

16777216

67108864

5

5

25

125

625

3125

15625

78125

390625

1953125

9765625

48828125

244140625

1220703125

6

6

36

216

1296

7776

46656

279936

1679616

10077696

60466176

362797056

2176782336

13060694016

7

7

49

343

2401

16807

117649

823543

5764801

40353607

282475249

1977326743

13841287201

96889010407

8

8

64

512

4096

32768

262144

2097152

16777216

134217728

1073741824

8589934592

68719476736

549755813888

9

9

81

729

6561

59049

531441

4782969

43046721

387420489

3486784401

31381059609

282429536481

 

10

10

100

1000

10000

100000

1000000

10000000

100000000

1000000000

10000000000

100000000000

1000000000000

 

11

11

121

1331

14641

161051

1771561

19487171

214358881

2357947691

25937424601

285311670611

   

12

12

144

1728

20736

248832

2985984

35831808

429981696

5159780352

61917364224

743008370688

   

13

13

169

2197

28561

371293

4826809

62748517

815730721

10604499373

137858491849

     

Для наглядности составим таблицу, где будут записаны цифры, которыми оканчиваются записи натуральных чисел:

N n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

4

8

6

2

4

8

6

2

4

3

3

9

7

1

3

9

7

1

3

9

4

4

6

4

6

4

6

4

6

4

6

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

7

7

9

3

1

7

9

3

1

7

9

8

8

4

2

6

8

4

2

6

8

4

9

9

1

9

1

9

1

9

1

9

1

10

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

11

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

12

2

4

8

6

2

4

8

6

2

4

13

3

9

7

1

3

9

7

1

3

9

14

4

6

4

6

4

6

4

6

4

6

Заполняя столбики получаем такой результат: пятая и девятая и т. д. степень числа оканчивается той же цифрой, что и первая степень числа; шестая, десятая, четырнадцатая степень и т. д степень оканчивается той же цифрой, что и вторая степень числа; седьмая степень числа будет оканчиваться той же цифрой, что и третья степень числа.

3. Закономерности возведения в степень

Результаты в таблице повторяются через каждые четыре столбца.

Про числа 1 и 10 писать не будем, т.к. результат всегда будет 1 или 0 соответственно.

Любая степень чисел 5 и 6 оканчивается соответственно на 5 и на 6.

Последние цифры степеней чисел 4 и 9 повторяются через каждые два шага, при возведении в четную степень последняя цифра не меняется, будет соответственно 4 или 9, при возведении в нечетную степень изменится на 6 или 1 соответственно.

Квадрат любого натурального числа может оканчиваться на 0, 1,4, 5, 6 и 9,

Куб натурального числа может оканчиваться любой цифрой

Используя полученные результаты попробуем найти последние цифры степени по остатку от деления её показателя на 4

 

24: 4=5(остаток 0)

1

 

48:4=12(остаток 0)

1

 

2016:4=504(остаток0)

6

 

28:4=7(остаток0)

6

Если остаток равен 0 и основание нечетное, то число будет оканчиваться на 1(кроме чисел оканчивающихся на цифру 5), если основание четное (кроме круглых чисел), то числа будут оканчиваться на цифру 6.

Теперь будем подбирать такие числа, что при делении показателя степени на 4 будут давать остатки 1, 2, 3

 

45:4=11 (остаток 1)

7

 

37:4=9 (остаток 1)

2

 

18:4=4 (остаток 2)

1

 

102:4=25 (остаток 2)

6

 

31:4=7(остаток3)

2

 

1199:4=299(остаток3)

9

Если остаток равен 1, то последняя цифра степени будет равна последней цифре в записи основания степени;

Если остаток равен 2, то последняя цифра степени будет равна последней цифре в записи квадрата основания;

Если остаток равен 3, то последняя цифра степени будет равна последней цифре в записи куба основания.

Значит чтобы найти последнюю цифру степени натурального числа с натуральным показателем, нужно найти остаток от деления показателя степени на 4.

Последние цифры степеней чисел 2 , 12, 22 и т. д. (3, 13, 23 и т.д.) и т. д. будут совпадать.

4. Последние две цифры степени

Мы видим, что последняя цифра рано или поздно будет повторяться, а как будет обстоять дело с 2-мя и 3-мя последними цифрами ? Вероятно, они тоже будут повторяться. Для наглядности составим таблицу, где будут записаны две цифры, которыми оканчиваются записи натуральных чисел:

N n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

4

8

16

32

64

28

56

12

24

48

96

92

84

68

36

72

44

88

76

52

04

08

16

3

3

9

27

81

43

29

87

61

83

49

47

41

23

69

07

21

63

89

67

01

03

09

27

81

4

4

16

64

56

24

96

84

36

44

76

04

16

64

56

24

96

84

36

44

76

04

16

64

56

5

5

25

25

25

25

25

25

25

25

25

25

25

25

25

25

25

25

25

25

25

25

25

25

25

6

6

36

16

96

76

56

36

16

96

76

56

36

16

96

76

56

36

16

96

76

56

36

16

96

7

7

49

43

01

07

49

43

01

07

49

43

01

07

49

43

01

07

49

43

01

07

49

43

01

8

8

64

12

96

68

44

52

16

28

24

92

36

88

04

32

56

48

84

72

76

08

64

12

96

9

9

81

29

61

49

41

69

21

89

01

09

81

29

61

49

41

69

21

89

01

09

81

29

61

10

10

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

11

11

21

31

41

51

61

71

81

91

01

11

21

31

41

51

61

71

81

91

01

11

21

31

41

12

12

44

28

36

32

84

08

96

52

24

88

56

72

64

68

16

92

04

48

76

12

44

28

36

13

13

69

97

61

93

09

17

21

73

49

37

81

53

89

57

41

33

29

77

01

13

69

97

61

14

14

96

44

16

24

36

04

56

84

76

64

96

44

16

24

36

04

56

84

76

64

96

44

16

15

15

25

75

25

75

25

75

25

75

25

75

25

75

25

75

25

75

25

75

25

75

25

75

25

16

16

56

96

36

76

16

56

96

36

76

16

56

96

36

76

16

56

96

36

76

16

56

96

36

17

17

89

13

21

57

69

73

41

97

49

33

61

37

29

93

81

77

09

53

01

17

89

13

21

18

18

24

32

76

68

24

32

76

68

24

32

76

68

24

32

76

68

24

32

76

24

24

32

76

19

19

61

59

21

99

81

39

41

79

01

19

61

59

21

99

81

39

41

76

01

19

61

59

21

20

20

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

21

21

41

61

81

01

21

41

61

81

01

21

41

61

81

01

21

41

61

81

01

21

41

61

81

Глядя на таблицу, замечаем что последние две цифры тоже повторяются, только период повторения увеличивается, кроме того у некоторых чисел 1-е не входит в период, так например:

Но начиная с 21 степени по 40 последние две цифры будут повторяться.

Последние цифры чисел 3,13 и 8 тоже будут повторятся с периодом 20, но последние две цифры чисел 3 и 13 совпадать не будут, не будут совпадать последние две цифры для степеней чисел 4 и 14 и т.д.

Последние цифры чисел 4 и 9 будут повторяться с периодом 10,последние цифры числа 6 будут повторятся с периодом 5, но число 6 не входит в период, последние цифры числа 7 будут повторятся с периодом – 4. Любая степень числа 5 (начиная со 2 –ой) и 25 будет оканчиваться на 25, а число 15 в четной степени будет оканчиваться на 25, а в нечетной на 75. Период чисел 11, тоже будет равен 10, но здесь есть еще одна закономерность:

Для числа 11 в степени – число десятков будет равно показателю степени

Для числа 21 – период равен 4, а число десятков будет равно числу, полученному , если число 2 умножить на показатель степени

.

5. Заключение

Определить последнюю цифру степени числа не сложно, мы легко составили алгоритм, для двух последних цифр степени числа такой алгоритм уже не составишь, закономерности есть , но их меньше. Считаю, что таблицу с тремя последними цифрами составлять не имеет смысла – не рационально.

Мы провели большую работу: составили таблицы для последней и двух последних цифр степеней и получили интересные с нашей точки зрения выводы. Результаты работы могут быть использованы на занятиях математического кружка и факультативах в 5- 7 классах для развития интереса к математике у учащихся, а так же для индивидуальной работы с теми учениками, кто интересуется математикой. Кроме того, данными выводами можно воспользоваться при подготовке к различным олимпиадам и конкурсам. Кроме того сам процесс проведённого исследования позволил нам ещё раз убедиться в своих возможностях.

6. Задачи

  1. Определите последнюю цифру в записи числа (ответ 8)

  2. Найдите последнюю цифру числа 2017 в степени 4207.(ответ 3)

  3. Найдите последнюю цифру числа 12^39+13^41 .

(8+3=11, последняя цифра 1)

  1. Найдите последнюю цифру суммы степеней числа 2 с показателями, равными 32, 69, 469, 1995, 19951995.

(6+2+2+8+8=26 последняя цифра 6)

  1. В книге рекордов Гиннеса написано, что наибольшее известное простое число равно (− 1). Не опечатка ли это?

(опечатка. Число 23021337 оканчивается единицей Поэтому последняя цифра числа (23021337 − 1) равна 0, а значит, это число делится на 10 и потому составное.)

  1. Делится ли число+ на 10 ?

(Число 4730 оканчивается цифрой 9, а число 3950 — цифрой 1 Значит, их сумма оканчивается на 0 и потому делится на 10.)

  1. Найдите последнюю цифру числа . Степени считаются сверху вниз: =

Последние две цифры числа 77 образуют число 43 (это можно вычислить непосредственно, отбрасывая при каждом умножении все цифры результата, кроме последних двух). Значит, число 77 делится на 4 с остатком 3. Степени семёрки могут оканчиваться на 7, 9, 3 или 1 (в зависимости от того, с каким остатком делится на 4 показатель степени). В нашем случае 43 делится на 4 с остатком 3, значит, и 77 делится на 4 с остатком 3 (согласно признаку делимости на 4). А у всех степеней семёрки, показатели которых делятся на 4 с остатком 3, последняя цифра равна 3).

  1. Найдите 2 последние цифры числа 81989 .

В таблице 2-х последних цифр, у числа 8 период 20, (1989:20=99 остаток 9 , число 8 в 9 степени оканчивается цифрами 28, последние 2 цифры числа 81989 – 28).

  1. На контрольной работе по перекрашиванию юный хамелеон перекрашивается по очереди из красного -> в желтый -> зелёный -> синий -> фиолетовый -> красный -> жёлтый -> зелёный и т.д. перекрасился он 2010 раз и начав с красного он в конце стал синим, но известно что он допустил ошибку, покраснел в тот момент, когда должен был приобрести другой цвет. Какого он был цвета перед этим покраснением?

(Заметим, что здесь период повторения цветов равен 5. Красный цвет будет встречаться на числах оканчивающихся на 0 и 5. Значит и должен он был закончить снова на красном. Поэтому чтобы найти ошибку перейдём сразу к 2005 перекрашиванию. Теперь просто будем считать по очереди меняя цвета до 2010-го. Сразу же смотрим что он сделал ошибку допустим после жёлтого, тогда получается 2005-красный, 2006 – жёлтый 2007- снова красный (это его ошибка), 2008 - жёлтый, 2009 -зелёный, 2010 – синий, перед ошибочным покраснением хамелеон был жёлтым).

  1. Сейчас на часах 10:00. Какое время они будут показывать через 102938475 часов?

(У часов период повторения равен 24, значит число 102938475 разделить на 24 = 4289103,12… 102938475 - (4289103 * 24) = 3. Значит время которое часы будут показывать через 102938475 часов равно 10+3 = 13 часов, через 102938475 часы будут показывать 13:00).

11. Доказать, что число кратно 2.

12. Доказать, что -1 кратно 5 (при натуральном n).

13. Верно ли, что 1,6*( -1 ) – целое число при любом (натуральном) n. 14. Какой цифрой оканчивается произведение всех двузначных чисел, каждое из которых оканчивается на 7?

7. Использованная литература

1. «Все задачи «Кенгуру» 1994-2008- Санкт-Петербург, 2008.

2. «Задачи для подготовки к олимпиадам. Математика 5-8 классы» сост. Н.В. Заболотнева. – Волгоград: Учитель, 2007.- 99с.

3. Лихтарников Л.М. Занимательные логические задачи. (Для учащихся начальной школы) Оформление С. Григорьева - СПб.: Лань, МИК, 1996.- 125с.

4. Л.М.Лоповок 1000 проблемных задач по математике. Книга для учащихся Москва : Просвещение, 1995

5. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Книга для учащихся 7-9 кл. средней школы - М.: Просвещение, 1990.- 224 с.: ил.

6. Чулков П.В. Математика. Школьные олимпиады: методическое пособие. 5- кл./ П.В. Чулков.- М.: Издательство НЦ ЭНАС, 2007.- 88с. (Портфель учителя).

7. Шуба М.Ю. Занимательные задачи в обучении математике: Книга для учителя. - 2-е изд.-М.: Просвещение, 1995.- 22с.

4

Просмотров работы: 49371