НАЗВАНИЕ: "ЛИСТ МЕБИУСА".

II Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

НАЗВАНИЕ: "ЛИСТ МЕБИУСА".

Павлов В.С. 1
1МКОУ СОШ № 105 Купинского района
Павлова И.А. 1
1МКОУ СОШ № 105
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

 Аннотация.

Цель исследования: рассказать и показать, что на вид простая лента, повёрнутая на полоборота со склеенными концами, может заключать в себе много неожиданностей.

Задачи:

  • познакомиться с историей возникновения листа Мёбиуса;

  • изучить разнообразные свойства листа Мёбиуса;

  • найти, где используются его свойства;

  • провести опыты с листом Мёбиуса;

  • выявить источники и литературу по данной теме и проанализировать их.

Предмет исследования: лист Мёбиуса.

Объект исследования: односторонние поверхности

Гипотеза: доказать, что лист Мебиуса обладает необычными свойствами

Методы: анализ, опыт, эксперимент, моделирование.

Оглавление

Введение

4

Глава 1. Лист Мебиуса

4

1. История создания Листа Мёбиуса.

4

2. Что такое лист Мёбиуса?

5

3. Свойства листа Мёбиуса.

5

Глава 2. Применение листа Мебиуса

6

1. Применение листа Мёбиуса на производстве

6

2. Применение листа Мебиуса в архитектуре, скульптуре, искусстве

7

3. Применение листа Мебиуса в астрономии

10

Заключение

11

Список литературы

12

Приложение. Проведение опытов.

13

"Где начало того конца, которым оканчивается начало?"

Козьма Прутков

Введение

При просмотре телепередачи «Галилео» я услышал о кольце с необычными свойствами под названием лист Мёбиуса. Я был очень удивлен, как из обычного листа с лицевой и изнаночной сторонами получилась поверхность, имеющая только лицевую сторону. Поэтому я решил провести исследование и выявить интересные свойства листа Мёбиуса. Так возникла идея проведения исследовательской работы, в которую вошли бы теоретический материал и эксперименты.

Моё исследование связано с решением творческой, исследовательской задачи в области математики.

Основными этапами исследования были:

  • постановка проблемы,

  • овладение методикой исследования,

  • сбор собственного материала,

  • проведение экспериментов.

Глава 1. Лист Мебиуса

1. История создания Листа Мёбиуса.

Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса (иногда говорят: "лента Мёбиуса") придумал в 1858 г. немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), ученик Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие из тех, кому математика была обязана своим развитием. Мёбиус стал одним из крупнейших геометров XIX века. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. В 1858 году Август Фердинанд Мёбиус послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения о нем. Семь лет он дожидался ответа, и, не дождавшись, опубликовал результаты. Речь идет об односторонних поверхностях. Одна из них, впоследствии, была названа его именем – лист Мёбиуса. А подтолкнуло его к этому открытию то ли созерцание лихо завязанного шарфика его домоправительницы, то ли неправильно сшитая служанкой ленточка. Одновременно с Мёбиусом изобрел этот лист и другой ученик Гаусса – Иоганн Бенедикт Листинг. Свою работу он опубликовал на три года раньше Мёбиуса. Но лента получила имя Мёбиуса. Таковы превратности судьбы.

Что же поразило этих двух профессоров? У Листа Мёбиуса только одна сторона. Мы привыкли к тому, что у всякой поверхности – две стороны. А у Листа Мёбиуса (или ленты Мёбиуса) – одна.

2. Что такое лист Мёбиуса?

Лист Мёбиуса - это простейшая односторонняя поверхность с краем. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края. Самое же удивительное, пожалуй, то, что я смог её сделать своими руками и это совсем несложно. Надо лишь взять полоску бумаги и для ясности обозначим углы с одной стороны ленты А и В, а с другой – А1 и В1. Далее склеить её концы, предварительно повернув один из них на 180о. Точка А1 наложится на точку А, а точка В1- на точку В. Полученное кольцо и есть лист, или лента Мёбиуса.

3. Свойства листа Мёбиуса.

Из статьи «Элементы топологии на примере листа Мёбиуса» я узнал о свойствах этого объекта.

1. Односторонность

В своей работе «Об объёме многогранников» Август Мёбиус описал геометрическую поверхность-лист Мёбиуса, обладающую совершенно невероятным свойством: она имеет только одну сторону! И я наглядно могу убедиться, что у этой ленты Мёбиуса действительно всего одна сторона. Попробую закрасить перекрученную ленту в два цвета – одним с внутренней стороны, а другим с внешней. Чтобы я не придумывал, мне это не удастся. Приложение 1.

2. Непрерывность

На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой. Разрывов нет – непрерывность полная.

3. Связность

Любой удар ножом разделит яблоко на две части. А лист Мёбиуса? Если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту.

4. Ориентированность

Ориентированность – свойство, отсутствующее у листа Мёбиуса. Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем изгибам листа Мёбиуса, то тогда он вернулся бы в исходную точку, но превратился бы в своё зеркальное отражение.

Глава 2. Применение листа Мёбиуса

  1. Применение листа Мёбиуса на производстве

У входа в музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная в полвитка. И это не случайно. Патентная служба зарегистрировала немало изобретений, в основе, которых лежит Лента Мёбиуса.

Представьте себе обыкновенную ленту, образующую кольцо. На наружную сторону ленты нанесён шлифовальный порошок. Ленту прижимают к изделию, прокручивают, идёт шлифовка. Через какое-то время стирается и сам шлифовальный слой на ленте. Приходится прерывать процесс, менять ленту. Как сделать, чтобы лента работала вдвое дольше, если размеры ленты увеличивать нельзя? Несколько лет назад изобретателю А. Губайдуллину было выдано авторское свидетельство на шлифовальное устройство с лентой Мёбиуса: размеры ленты увеличились вдвое.

А 18 лет назад ленточке нашли совсем другое применение- она стала выполнять роль пружины, вот только пружины особенной. Как известно, взведенная пружина срабатывает в противоположном направлении. Лента Мебиуса же, поправ все законы, направления срабатывания не меняет, подобно механизмам с двумя устойчивыми положениями. Такая пружина могла бы стать бесценной в заводных игрушках - ее нельзя перекрутить, как обычную- своего рода вечный двигатель. Такой же механизм пригодится и в конструкции стабилизатора штурвала рулевого привода, обеспечив возвращение рулевого колеса в начальное положение в случае отсутствия обратной связи между рулем и управляемыми элементами . Такой стабилизатор можно скомпоновать прямо на валу рулевого колеса , что уменьшит нагрузки и упростит конструкцию.

Есть фильтры, в которых жидкость пропускают сквозь ленту из фильтрующего материала. Постепенно эта лента засоряется, приходится её менять. На фильтр с лентой Мёбиуса тоже выдано авторское свидетельство.

Есть авторское свидетельство и на магнитофон с лентой Мёбиуса. Магнитофонная пленка, соединенная таким образом, записывает звук на обеих сторонах. Магнитофон прокручивает пленку в виде ленты Мебиуса вдвое дольше, чем обычную. Благодаря ленте Мебиуса возникло множество самых разнообразных изобретений. Так, например, были созданы особые кассеты для магнитофона, которые дали возможность слушать магнитофонные кассеты с “двух сторон” не меняя их местами.

Скольких людей приводили в восторг аттракционы “Американские горки”. Лента Мебиуса вполне благополучно наблюдается в форме абразивных ремней для заточки инструмента, красящей лентой для печатающих устройств.

А всего в разных странах за последние годы выдано более ста патентов и авторских свидетельств на использование этой удивительной ленты.

Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно.

Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид ленты Мёбиуса для увеличения её ресурса.

  1. Применение листа Мебиуса в архитектуре, скульптуре и искусстве

Проект библиотеки в Казахстане. Изгибы музея образуют лист Мёбиуса. Там внутреннее пространство переходит во внешнее и обратно; подобным образом стены переходят в крышу, а крыша трансформируется обратно в стены! Естественный свет проникает во внутренние коридоры сквозь геометрические отверстия во внешней оболочке, создавая прекрасно освещённые пространства, идеальные для чтения.

Вскоре в китайском городе Тайчанге появится необычный буддийский храм. Его неординарность заключается в том, что он примет форму знаменитой ленты Мебиуса. В этом случае она будет отражать основные принципы философии буддизма и идею реинкарнации. Авторами проекта выступили архитекторы из студии Miliy Design. В своей работе специалисты использовали современные методы цифрового проектирования. Стоит отметить, что с помощью таких методов развивается пространственная логика здания, уходящая корнями в бесформенность. Форма структуры позволяет внутренней и внешней поверхностям беспрепятственно встретиться в одной точке и развивается далее по спирали. Применяя такие технологии, здание буддийского храма может получить различные возможности. Изучая листы Мебиуса в различных конфигурациях, специалисты из Miliy Design стремились создать знаковое динамичное пространство, которое бы соответствовало современным тенденциям развития Китая и одновременно несло бы в сооружение дух новаторства. Кроме того, в проекте четко прослеживается концепция реинкарнации: обращение здания храма вращается снаружи внутрь через пространство так же, как реинкарнация через различные формы жизни.

Лист Мёбиуса в искусстве служит вдохновением для скульптур и для графического искусства. Мауриц Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил ему работы. Одна из известных, показывает муравьёв, ползающих по поверхности листа Мёбиуса - «Лента Мёбиуса-II». Замкнутая кольцеобразная полоса на первый взгляд имеет две поверхности-внешнюю и внутреннюю. Вы видите, как 9 красных муравьёв один за другим ползут по той и по другой. Тем не менее, это полоса с односторонней поверхностью.

В литературе лист Мёбиуса имеет не маловажное значение. Для многих писателей фантастов эта лента послужила главным источником вдохновения.

Лист Мёбиуса-символ математики,

Что служит высшей мудрости венцом…

Он полон неосознанной романтики:

В нём бесконечность свёрнута кольцом.

В нём простота, и вместе с нею- сложность,

Что недоступна даже мудрецам:

Здесь на глазах преобразилась плоскость

В поверхность без начала и конца. (Н.Ю.Иванова)

С лентой Мёбиуса сравнивается течение романа современного русского писателя Алексея Шепелёва «Echo». Из аннотации к книге: «„Echo“ — литературная аналогия кольца Мёбиуса: две сюжетные линии — „мальчиков“ и „девочек“ — переплетаются, перетекают друг в друга, но не пересекаются».

Лента Мёбиуса также встречается в эссе Харуки Мураками «Облади Облада» из книги-сборника «Радио Мураками», выпущенного в 2010 году, где лента Мёбиуса образно сравнивается с бесконечностью.

Даже мастерицы-рукодельницы изготавливают шарфики, закрученные в эту чудо ленту. Писатели-фантасты сочиняют о ней произведения, поэты посвящают ей стихи.

  1. Применение листа Мебиуса в Астрономии

Если космический корабль полетит все время прямо, никуда не сворачивая, то будет ли он все более удаляться от Земли?

"Не обязательно, - решил Эйнштейн. - Корабль может вернуться, даже если он все время будет лететь прямо". В такой Вселенной, как и полагал Эйнштейн, космический корабль, все время летящий прямо, мог бы вернуться к месту старта. Если наше пространство перекручено наподобие листа Мёбиуса, то вернувшийся на Землю астронавт может оказаться собственным зеркальным отражением.

Астрономы пока не пришли к единому мнению относительно того, замкнута ли наша Вселенная, как полагал Эйнштейн, или открыта.

Заключение

В своей работе я описал лист Мёбиуса и процесс его изготовления, раскрыл опытным путём свойства этого поразительного открытия. Моё предположение подтвердилось: лента Мёбиуса обладает не только свойством односторонности, но и такими, действительно, неожиданными свойствами, как непрерывность и связность. Мы показали значение этого открытия в современном мире.

Существует гипотеза о том, что спираль ДНК также имеет фрагмент ленты Мебиуса, в связи с чем, генетический код сложен для восприятия и расшифровки. Кроме того, подобная структура логично объясняет причину биологической смерти – замыкающаяся сама на себя спираль приводит к самоуничтожению.

Ученые-физики утверждают, что в основе всех оптических законов лежит принцип ленты Мебиуса. К примеру, отражение в зеркале является своеобразным переносом во времени, так как человек видит своего зеркального двойника перед собой. Математики сравнивают ленту Мебиуса со знаком бесконечности.

Философы и астрономы, историки и психологи – все они применяют в своих гипотезах небезызвестную ленту Мебиуса. Например, Альберт Эйнштейн считал, что вселенная замкнута в виде кольца, подобно ленте Мебиуса, а философами строятся целые теории, основанные на удивительных свойствах этого математического объекта.

При изучении литературы я также узнал о том, что в трёхмерном пространстве существует аналог листа Мёбиуса - бутылка Клейна.

Конечно же, главная ценность листа Мёбиуса, представленного в работе, состоит в том, что он дал толчок новым исследованиям. Благодаря "ленте" был открыт новый раздел геометрии - топология.

Математические исследования продолжаются и в наши дни.

Список литературы

  1. М. В. Величко «Математика 9-10 классы. Проектная деятельность учащихся»: Волгоград: «Учитель», 2006. – С. 122.

  2. Б. А. Кордемский «Математическая смекалка»: М.: «В - 71», 1957. –

С. 576.

  1. «Математика «Большой справочник для школьников поступающих в вузы»»: М.: «Дрофа», 2002. – С. 864 «Энциклопедия для детей «МАТЕМАТИКА»» том 11, М.: Аванта +; 2002. С. 687.

  2. В. В. Трошин «МАГИЯ ЧИСЕЛ И ФИГУР «Занимательные материалы по математике»»: М.: «Глобус», 2007. – С

  3. «Я познаю мир «Математика»»: Минск: «АСТ – ЛТД», 1998. – С.475.

  4. Материалы сайтов:

http://arbuz.uz/t_lenta.html

http://www.frei.ru/golos/books/

http://umiranie.chat.ru/sphere.htm

http://www.websib.ru/noos/math/listmebiusa/

https://yandex.ru/images

Приложение 1

Проведение опытов

Опыт №1

Поставим точку на одной стороне каждого кольца и начертим непрерывную линию вдоль него, пока не придём снова в отмеченную точку.

Обычное кольцо

Линия проходит вдоль кольца по одной стороне, сходясь в точке начала.

Вторая остаётся чистой.

Лист Мёбиуса

Непрерывная линия проходит по двум сторонам, заканчиваясь в начальной точке.

Опыт 2

Закрасим полностью только одну сторону колец.

Обычное кольцо

Одна сторона закрашена, другая нет.

Лист Мёбиуса

Закрашенной оказалась весь лист целиком.

Опыт 3

Закрасим непрерывной линией только один край колец

Обычное кольцо

Один край кольца закрашен, второй край нет.

Лист Мёбиуса

Линия края получилась, непрерывно закрашена на всём кольце.

Опыт 4

На внутренней поверхности стоит некто Х, а по внешней идёт в любую сторону некто У

Обычное кольцо

Х и У никогда не встретятся, не пересекая края

Лист Мёбиуса

Х и У встретятся, не пересекая края в любом случае.

Опыт 5

Разрезание по середине

Обычное кольцо

После разреза два обычных кольца

Лист Мебиуса

После разреза одно перекрученное кольцо

Опыт 6

Разрезание на 2 неравные части

Обычное кольцо

После разреза – 2 обычных кольца

Лист Мебиуса

После разреза – 2 перекрученных соединенных кольца

Опыт 7

Разрезание листа Мебиуса с двойным перекручиванием по середине

После разрезания – 2 сцепленных перекрученных листа

Опыт 8

Разрезание листа Мебиуса с двойным перекручиванием на 2 неравные части

После разрезания – 2 сцепленных перекрученных кольца

Вывод: количество перекрутов влияет на результат

Опыт 9

Разрезание большего кольца из опыта № 6

После разрезания – 2 сцепленных перекрученных больших кольца на маленьком

Опыт 10

Разрезание склеенных между собой листа Мебиуса и обычного кольца

До После

Эксперименты с веревкой и жилетом. Для выполнения экспериментов необходимы шарф, жилет, веревки, бумажные полоски, клей и ножницы. Сначала ставим перед собой проблемную ситуацию. С помощью экспериментов ищем выход из сложившейся ситуации. Эксперимент 1. Проблема завязывания узлов. Как завязать на шарфе узел, не выпуская из рук его концов? Это можно сделать так. Положите шарф на стол. Скрестите руки на груди. Продолжая держать их в таком положении, нагнитесь к столу и возьмите поочередно по одному концу шарфа каждой рукой. После того как руки будут разведены, в середине шарфа сам собой получится узел. Пользуясь топологической терминологией, можно сказать, что руки зрителя, его корпус и шарф образуют замкнутую кривую в виде "трехлистного” узла. При разведении рук узел только перемещается с рук на платок. Эксперимент 2. Вывертывание жилета на изнанку, не снимая с человека. Владельцу жилета необходимо сцепить пальцы рук за спиной. Окружающие должны вывернуть жилет наизнанку, не разнимая рук владельца. Для демонстрации этого опыта необходимо расстегнуть жилет и стянуть его по рукам за спину владельца. Жилет будет висеть в воздухе, но, конечно, не снимется, потому что руки сцеплены. Теперь нужно взять левую полу жилета и, стараясь не измять жилет, просунуть ее как можно дальше в правую пройму. Затем взять правую пройму и просунуть ее в ту же пройму и в том же направлении. Осталось расправить жилет и натянуть его на владельца. Жилет окажется вывернутым на изнанку.

14

Просмотров работы: 1666