"ИНВАРИАНТ – НЕОБЫЧНОЕ В ПРОСТОМ"

II Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Личный портфель

"ИНВАРИАНТ – НЕОБЫЧНОЕ В ПРОСТОМ"

Змеевская А.В. 1
1МАОУ СОШ №3 г. Черепанова
Петухова О.А. 1
1МАОУ СОШ №3
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Диплом школьникаСвидетельство руководителя
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение 

Начиная с 5-го класса, я занимаюсь в школьном математическом кружке. Там мы изучаем математику более углубленно, чем на уроках и решаем олимпиадные задачи. Именно там, на одном из занятий мы познакомились с понятием инвариант – это величина, неизменяемая при выполнении определенных операций. Нам объяснили, что инварианты - это довольно сложный и интересный раздел математической науки, задачи которого часто встречаются в различных конкурсах и олимпиадах. Затем мы попробовали решить несколько таких подобных заданий.

Я уже кое-что знала об инвариантах, так как в прошлом году проводила исследование по теме «Математические игры – познавательный досуг», и в моем сборнике присутствовали инвариантные игры, поэтому мне было немного проще решать задачи на кружке. Но все-таки мои знания были довольно поверхностными. Мне захотелось лучше разобраться в этой непростой теме, ведь она очень заинтересовала меня, поэтому я считаю свою тему актуальной, а исследование результативным.

Объект исследования: математические задачи, решаемые инвариантом.

Предмет исследования: инварианты в решениях.

Цель моей работы: научиться решать инвариантные задачи, создать обучающий видеоролик на соответствующую тематику.

Задачи, над которыми я работала:

  1. Вспомнить точное определение термина «инвариант» составленное мною в прошлом году.

  2. Попытаться классифицировать инварианты, опираясь на свой личный опыт.

  3. Узнать, насколько практичны и применяемы в повседневной жизни инварианты, и чем они полезны.

  4. Подумать в каких науках также применяются инварианты.

  5. Понять, как находить инвариант в задачах.

  6. Самостоятельно решить несколько инвариантных задач и описать их решение.

  7. Обобщить полученную информацию и в качестве результата моего исследования создать обучающий видеоролик об инвариантах.

Гипотеза: предположу, что если я внимательно изучу инварианты, пойму, как найти инвариант и с его помощью решить задачу, то смогу достичь своей цели.

Новизна: раньше я никогда не рассматривала инварианты как конкретный раздел математики, поэтому вся работа с ними будет для меня новой деятельностью.

Методы исследования: размышления, поиск информации в Интернете, изучение специальной литературы, практический метод, анализ результатов.

  1. Основная часть

2.1. Толкование термина «инвариант»

Итак, свое исследование я решила начать с уточнения смысла понятия инвариант. Слово инвариант не часто встретишь в повседневной жизни, и некоторым людям оно может показаться непонятным, поэтому так важно включить определение в свою работу. Для выполнения этой задачи мне пришлось вспомнить определение, которое я составила в прошлом году. Инвариант – это свойство объекта, неизменяемое в процессе определенных операций. Но не следует думать, что если компонент является чем-то неизменным, то все инварианты одинаковы. На самом деле их существует бесчисленное множество - ведь каждая математическая задача особенна и ее условие зависит от фантазии автора. И все же инварианты можно классифицировать, что я и попыталась сделать, опираясь на свой личный опыт в решении подобных задач и на дополнительную литературу. Инварианты могут сразу присутствовать в условии, а бывает так, что он надежно спрятан в решении задачи. Согласно моей классификации все инварианты делятся на 4 основные группы: четность, разбиение на пары, раскраска объекта в 2 цвета, чередование состояний. И сейчас я расскажу вам отдельно о каждой из этих групп.

  1.  

    1. Классификация инвариантов

Инварианты с четностью в решениях задач могут являться четностью суммы, разности, остатка, произведения, частного и др. Эти инварианты являются четностью некоторого объекта изначально или путем простейших преобразований, таких как умножение, деление, вычитание и сложение. Четность или нечетность результата этих операций очень часто влияет на решение задачи, и, как и все инварианты имеет свои особенности решения, о которых я расскажу позже.

Инварианты с разбиением на пары чаще всеговстречаются в геометрических задачах с пересекающей стороны фигуры ломанной.

Инварианты с раскраской объектов в 2 цвета можно встретить в тех задачах, где есть предпосылки для раскраски (например, круг, поделенный на несколько секторов) или где используется шахматное поле.

Инварианты с чередованием состояний объекта часто соседствуют с инвариантами на четность. Эти инварианты характеризуют несколько состояний объекта, которые всегда сменяют друг друга в определенном порядке. Например, мяч сначала летит к стене в одном направлении, а потом отскакивает от нее и летит в руки в другом направлении.

  1.  

    1. Практичность инвариантов

Итак, ознакомившись с основной информацией об инвариантах и классифицировав их, мне захотелось узнать, встречаются ли инварианты в других науках. Для этого я воспользовалась тематическими интернет-сайтами. Оказалось, что инвариант чаще встречается в информатике, физике, топологии - точных науках. Но и в сфере гуманитарных наук инвариант тоже есть. Он присутствует в фольклористике, лингвистике, экономике.

После изучения данной информации я подумала, что если инвариант присутствует в самых разных науках, то возможно и в нашей повседневной жизни тоже есть что-то неизменяемое? Поразмыслив еще немного, я нашла несколько случаев использования инвариантов в повседневной жизни. Это количество дней в месяцах, смена времен года, некоторые праздничные даты (Новый год, Рождество, Ваш день рождения). Также инвариантами являются количество часов в сутках, порядок течения дня (вечер не может наступить раньше, чем утро), режим дня и др.

Таким образом, мы можем утверждать, что в нашей жизни каждый день мы сталкиваемся с множеством инвариантов, а я могу доказать этим практичность своей темы.

  1.  

    1. Полезность инвариантов

После того, как я удостоверилась в актуальности и практичности моего исследования я решила рассмотреть его влияние на умственную деятельность. Как влияет на наш мозг решение инвариантных задач? Какие качества развивает в человеке работа с инвариантами? Сейчас мы это узнаем.

Итак, обычно в условии задачи не говорится, как ее решать. Вдруг эта задача вовсе не на инвариант, а на принцип Дирихле или это вообще не задача, а игра на центральную симметрию? Поэтому в процессе выбора способа решения задачи мы развиваем свое логическое мышление. Далее, чтобы найти инвариант требуется выполнить несколько раз требуемые в условии операции. Для этого нужна усидчивость и внимательность. После этого нужно попытаться отыскать общее во всех этих решениях – тренировка абстрактного мышления, терпения и трудолюбия. Особенно терпения, ведь бывает, что нужный компонент находится не сразу. Потом, чтобы до конца решить задачу требуется умение логически мыслить и устанавливать причинно-следственные связи. Вот мы и определили качества, тренируемые решением инвариантных задач. Таких качеств довольно много, поэтому можно сказать, что решение задач данного типа полезно для мозговой деятельности.

  1.  

    1. Решение инвариантных задач

После того, как я узнала немного больше об инвариантах и их видах, я решила рассмотреть решения нескольких инвариантных задач разных типов, чтобы затем сравнить их и попробовать составить алгоритм решения инвариантных задач, который будет присутствовать в моем фильме.

Итак, начнем с инварианта на четность. Рассмотрим условие классической задачи подобного типа. Задача: «На столе 6 стаканов, Из них 5 стоят правильно, а один перевернут вверх дном. Разрешается переворачивать одновременно 4 любых стакана. Можно ли все стаканы поставить правильно?». Попробуем решить данную задачу. Итак, предположим, что у нас получилось выполнить условие задачи и все стаканы стоят правильно. Тогда «правильных» стаканов будет 6, а «неправильных» будет 0. Попробуем решить задачу практическим путем – схематично изобразим стаканы и их расположения.

Мой эксперимент показан в этой таблице. Теперь нужно поискать то, что остается неизменным. Это нечетность количества «неправильных» стаканов. А так как их должно быть 0, что является четным числом, то все стаканы поставить правильно нельзя. Ответ: нельзя.

Итак, значит, чтобы решить задачу на четность надо сравнить по четности результаты эксперимента и результаты, нужные по условию задачи.

Рассмотрим другой тип задач – с разбиением на пары. Задача: «Может ли прямая пересекать (во внутренних точках) все стороны невыпуклого: а) 2007-угольника; б) 2008- угольника?»

Итак, предположим, прямая пересекает все стороны многоугольника, который обозначим как m. Рассмотрим все вершины, лежащие по одну сторону от нее. Каждой из этих вершин можно поставить в соответствие пару сторон, из нее выходящих. При этом получим разбиение всех сторон многоугольника на пары. Поэтому если прямая пересекает все стороны m-угольника, то m четно. Значит для 2008-угольника это возможно, а для 2007-угольника нет. Ответ: для 2008-угольника возможно, для 2001-угольника нельзя.

Для решения задачи с разбиением на пары, нужно попробовать разбить объекты по парам и сравнить, в каких случаях это возможно.

Попробуем решить задачу типа раскраски в 2 цвета. Задача: «Дана шахматная доска размером 5*5. Можно ли замостить доску плиточками домино размером 2*1?». Важно знать, что каждая плитка занимает одну черную и одну белую клетку, следовательно, количество белых и черных клеток должно быть равным. А так как на нашей доске размером 5*5 всего 25 клеток, значит количество черных и белых клеток неравное. Следовательно, этого сделать нельзя. Ответ: нет. И для решения подобных задач требуется «раскрасить» объекты в два цвета (обычно в чёрный и белый цвета) и сравнить количество объектов разных цветов.

И последний тип задач, который мы рассмотрим – задачи с чередованием состояний. Задача: «На плоскости лежат три шайбы А, В и С. Хоккеист бьёт по одной из шайб так, чтобы она прошла между двумя другими и остановилась в некоторой точке. Могут ли все шайбы вернуться на свои места после 25 ударов?

В этой задаче нужно понять, что после каждого удара изменяется ориентация (т.е. направление обхода) треугольника АВС. Даже если шайбы будут проходить одинаковый путь, то они не вернутся на свои первоначальные места, т.к. число 25 не делится на 3 и какие-то шайбы останутся не на своем месте. Ответ: не могут. А для решения подобных задач надо лишь найти несколько состояний объекта, и исходя из их чередования, решить задачу.

  1.  

    1. Алгоритм решения инвариантных задач

После того, как я решила несколько задач разных типов и нашла особенности решения задач каждого типа, я попробовала составить алгоритм решения всех инвариантных задач, ведь алгоритм значительно упрощает решение задач. Итак, мой алгоритм:

  1. Удостоверьтесь, что ваша задача – инвариантная, ведь если это не так, то мой алгоритм окажется для вас бесполезным. В инвариантных задачах всегда бывают эксперименты: переворачивать что либо, считать довольно большие суммы чисел и другие похожие задания.

  2. После того, как вы удостоверились, что ваша задача инвариантная, выполните условия эксперимента. Желательно несколько раз. Это очень важно! Только эксперимент поможет вам найти инвариант. Так что не поленитесь и на практике раскрасьте клетки, переверните стаканы или раздайте пирожки детям (кстати, это можно сделать и схематично, в тетради).

  3. После выполнения условий детально разложите требуемые условия для решения задачи. Например, если все стаканы должны стоять правильно, то правильных стаканов будет n, а неправильных 0.

  4. Затем попытайтесь найти что-либо неизменяемое во всех ваших экспериментах. Это должно быть логичным по отношению к вашим условиям для решения.

  5. Соотнесите инвариант и условия для решения. Сделайте вывод исходя из этого соотношения. Например, число неправильных стаканов всегда нечетно, а их должно быть 0 – четное количество. Значит, все стаканы не могут стоять правильно.

  6. Если вашего вывода достаточно для решения задачи, то вы правильно решили задачу с помощью нахождения инварианта. Если нет, то попробуйте дальше дополнить ее логичными рассуждениями и поисками. Бывает, что после нахождения инварианта нужно еще немного додумать задачу и все получится. В противном случае попробуйте найти инвариант еще раз. Возможно, в этом и есть ваша ошибка. Желаю вам удачи!

  1.  

    1. Создание обучающего видеоролика.

Финальным этапом моего исследования стало создание обучающего фильма, с помощью которого другие люди тоже смогли бы научиться решать инвариантные задачи. Такой фильм я решила создать сначала в виде презентации Microsoft Power Point, а потом с помощью какой-либо программы для записи видео с экрана монитора записать показ моей презентации. Программу для записи видео я выбрала HyperCam 4. Я выбрала именно ее, потому что эта программа имеет интуитивно-понятный интерфейс, включает в себя функцию записи видео и звука.

Для начала я скачала HyperCam 4 и установила ее на свой компьютер. Затем я настроила ее так, как мне было нужно: убрала показ курсора мыши и звук щелчка, ведь мне ни к чему посторонние шумы в фильме. Потом я отрегулировала область записи видео. Программа была настроена, и мне оставалось лишь успеть создать фильм пока не истечет срок бесплатного использования.

Далее я перешла к созданию презентации – основы для моего будущего фильма. Я создала новый файл, определила дизайн и наполнила презентацию данными из моей работы. Также я вставила в презентацию много музыки, анимации и картинок, чтобы зрителю было приятно смотреть мой фильм. К каждому слайду я с помощью микрофона и программы «Звукозапись» записала звуковое сопровождение, в котором преподносится основная информация и отредактировала громкость и формат звука. В целом, я постаралась сделать свой фильм красивым и познавательным.

После выполнения основной части работы мне осталось лишь снять показ презентации на видео с помощью HyperCam 4. Я записала показ, и у меня получился небольшой познавательный фильм. Но в нем также было записано, как я включаю презентацию и другие ненужные моменты. С помощью онлайн редактора видео я вырезала все бесполезные части фильма и сохранила на жесткий диск окончательный вариант. Затем я с помощью программы Microsoft Publisher создала буклет, в котором также были включены основные мысли моей работы. Буклет я украсила своей эмблемой и постаралась сделать ярким и познавательным.

  1. Заключительная часть

3.1. Вывод

В дальнейшем, может быть, я продолжу эту работу для того, чтобы усовершенствовать свои знания об инвариантах. Я думаю, что достигла своей цели, так как научилась решать инвариантные задачи и создала обучающий видеоролик про инварианты. Работа над проектом показала мне, что инварианты не так сложно искать, как это кажется новичку, и на самом деле инварианты - один из самых занимательных разделов математики. Мне понравилось исследовать инварианты, так как это очень интересно, развивает логику, трудолюбие и практическое мышление.

  1.  

    1. Медиа ресурсы

http://www.myshared.ru/slide/300605/

https://yandex.ru/images/search?p=1&text=математические%20картинки&img_url=http%3A%2F%2Freferat.znate.ru%2Fpars_docs%2Ftw_refs%2F12%2F11928%2F11928-18_1.jpg&pos=47&rpt=simage&_=1454855037230

https://yandex.ru/search/?text=инвариант%20задачи%20с%20разбиением%20на%20пары&clid=1955453-080&win=82

http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=58160

Просмотров работы: 5568