II Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

ТАКОЕ РАЗНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Кирина Е.С. 1Ткаченко Г.Р. 1

---

1

Рылова И.Г. 1

---

1

Работа в формате PDF

250.2 KB

Автор работы награжден дипломом победителя I степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

ВВЕДЕНИЕ

Прямая линия на плоскости – это одна из простейших геометрических фигур, знакомая вам ещё с младших классов, и сегодня мы узнаем, как с ней справляться с помощью математического анализа. Часто при изучении различных предметов, например, физики, (законы движения) требуется построить прямую; знать, каким уравнением задаётся прямая. Однако, часто построить прямую по заданной формуле линейной функции бывает затруднительно, если вычислять координаты точек прямой. Появилась гипотеза: уравнение прямой возможно задать не только по известной формуле . Цель исследования: рассмотреть способы, с помощью которых можно составить уравнение прямой на плоскости и овладеть практическими навыками, техническими приёмами, которые потребуются для построения графиков линейной функции. Задачи исследования:1. Ознакомиться с уравнением прямой с угловым коэффициентом.2.Ознакомиться с общим уравнением прямой.3. Ознакомиться с уравнением прямой в отрезках.4. Научиться решать диафантовые уравнения 1 степени в целых числах.5. Научиться строить прямую линию задаваемую формулой различными способами, переходя из одного вида уравнения прямой к другим. Выявить слабые и сильные стороны этих способов.

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ Всем известный «школьный» вид уравнения прямой называется уравнением прямой с угловым коэффициентом .  

Общее уравнение прямой имеет вид: , где – некоторые числа. При этом коэффициенты одновременно не равны нулю, так как уравнение теряет смысл.

В аналитической геометрии уравнение прямой почти всегда будет задано в общей форме. Ну, а при необходимости его легко привести к «школьному» виду с угловым коэффициентом (за исключением прямых, параллельных оси ординат). Уравнение прямой в отрезках: если в общем уравнении прямой , то, разделив на –С, получим: или , где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент является координатой точки пересечения прямой с осью , а – координатой точки пересечения прямой с осью. Легко усмотреть, что данная прямая однозначно определяется красным и зелёным отрезками, отсюда и название – «уравнение прямой в отрезках». Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий. Диафантовые уравнения Диофантовыми уравнениями называют алгебраические уравнения с целыми коэффициентами, для которых надо найти целые или рациональные решения. При этом число неизвестных в уравнениях должно быть не менее двух (если не ограничиваться только целыми числами). Диофантовы уравнения имеют, как правило, много решений, поэтому их называют неопределенными уравнениями. Диофантовы уравнения связаны с именем древнегреческого математика Диофанта Александрийского. Правило 1. Если не делится на , то уравнение не имеет решений в целых числах. .

Правило 2. Чтобы найти решение уравнения при взаимно-простых и , нужно сначала найти решение уравнения ; числа составляют решение уравнения.

Решить в целых числах уравнение (1)

Решение.

Первый способ. Нахождение частного решения методом подбора и запись общего решения.

Знаем, что если , т.е. взаимно-простые числа, то уравнение (1)

имеет решение в целых числах . Методом подбора находим частное решение:.

Итак, пара чисел - частное решение уравнения (1).

Значит, выполняется равенство: (2)

Вопрос: Как имея одно решение записать все остальные решения?

Вычтем из уравнения (1) равенство (2) и получим: .

Отсюда. Из полученного равенства видно, что число будет целым тогда и только тогда, когда делится на 5, т.е. . Итак,, Тем самым все целые решения исходного уравнения можно записать в таком виде:

Второй способ. Решение уравнения относительно одного неизвестного.

Решаем это уравнение относительно того из неизвестных, при котором наименьший (по модулю) коэффициент.

Остатки при делении на 5: 0,1,2,3,4. Подставим вместо эти числа.

Если, то

Если , то

Если , то

Если , то

Если ,то

Итак, частным решением является пара.

Тогда общее решение:

Третий способ. Универсальный способ поиска частного решения.

Для решения применим алгоритм Евклида. Мы знаем, что для любых двух натуральных чисел, таких, что существуют целые числа такие, что .

План решения:

1. Сначала решим уравнение используя алгоритм Евклида.

2. Затем найдем частное решение уравнения (1)по правилу 2.

3. Запишем общее решение данного уравнения (1).

1. Найдем представление: . Для этого используем алгоритм Евклида.

2. Из этого равенства выразим 1.

Итак, Частное решение уравнения (1): .

Отсюда получим: Пара - частное решение (1).

3. Общее решение уравнения (1):

Четвертый способ. Геометрический.

План решения.

1. Решим уравнение геометрически.

2. Запишем частное решение уравнения (1).

3. Запишем общее решение данного уравнения (1).

Отложим на окружности последовательно друг за другом равные дуги, составляющие-ю часть полной окружности. За 8 шагов получим все вершины правильного вписанного в окружность 8-угольника. При этом сделаем 5 полных оборотов.

На 5–ом шаге получили вершину, соседнюю с начальной, при этом сделали 3 полных оборота и еще прошли - ю часть окружности, так что

Итак, является частным решением уравнения .

2. Частное решение уравнения (1):

3. Общее решение уравнения (1):

ГЛАВА II. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

ПРИМЕР 1. Построить график функции_.1 способ.Определим две точки, принадлежащие графику данной функции, используя диафантовое уравнение: Легко подобрать частное решение: Составим систему, которая определяет все целые решения:Задавая различные значения переменной , получаем значения переменных Например,

2 способ. Выразим переменную через: Нетрудно заметить, что трудно, занимает продолжительное время подобрать целое значение переменной такое, чтобы значение переменной также было целым. Значение переменной будет принимать целое значение, если выражение поделится на 7 без остатка, т.е. Строим график функции по двум найденным точкам3 способ.Найдем две точки графика функции, заполняя таблицу:

Сложно подобрать целое значение переменной такое, чтобы значение переменной также было целым.

4 способ.

Преобразуем уравнение прямой к уравнению прямой в отрезках:. Как видим, знаменатели дробей приведены к общему знаменателю для удобства построения прямой. За единицу масштаба выбираем 14 делений. Число откладываем на оси , а число на оси :

Способ рациональный, но создалась проблема с масштабной единицей.5 способ. Запишем функцию в особый вид: в числителе дроби должна стоять переменная , если перед ней стоял знак «-», то его пишем в знаменателе дроби, содержащей переменную , свободный член не преобразуем. В нашем случае функция примет вид: .На оси откладывается число , от него вправо вдоль оси отступаем на 49 единиц, а затем вверх на 28 единиц вдоль оси .Как видим, стоит проблема с масштабной единицей, поэтому построение таким способом затруднительно, но возможно.6 способ. Построим график функции, используя точки пересечения с осями координат: .Пересечение с осью :

Пересечение с осью :

И вновь, видим, стоит проблема с масштабной единицей, поэтому построение таким способом затруднительно, но возможно. Данный способ приводит к уравнению прямой в отрезках. _{Итак, наиболее рациональными оказались 1 и 2 способы. Заметим, что функция, записанная с угловым коэффициентом, содержит дроби с одинаковыми знаменателями.}ПРИМЕР 2. Построить график функции1 способ.Определим две точки, принадлежащие графику данной функции, используя диафантовое уравнение: Легко подобрать частное решение: Составим систему, которая определяет все целые решения: Задавая различные значения переменной , получаем значения переменных Например, 2 способ. Выразим переменнуючерез: Нетрудно заметить, что трудно, занимает продолжительное время подобрать целое значение переменной такое, чтобы значение переменной также было целым. Значение переменной будет принимать целое значение, если выражение поделится на 5 без остатка, т.е.Строим график функции по двум найденным точкам3 способ.Найдем две точки графика функции, заполняя таблицу:

Необходимо подобрать целое значение переменной такое, чтобы значение переменной также было целым.

4 способ.

Преобразуем уравнение прямой к уравнению прямой в отрезках:. Как видим, знаменатели дробей приведены к общему знаменателю для удобства построения прямой. За единицу масштаба выбираем 4 деления. Число откладываем на оси , а число на оси :

Способ рациональный, но создалась проблема с масштабной единицей.5 способ. Запишем функцию в особый вид: в числителе дроби должна стоять переменная , если перед ней стоял знак «-», то его пишем в знаменателе дроби, содержащей переменную , свободный член не преобразуем. В нашем случае функция примет вид: .На оси откладывается число 3, от него вправо вдоль оси отступаем на 5 единиц, а затем вверх на 4 единиц вдоль оси :

6 способ. Построим график функции, используя точки пересечения с осями координат:.Пересечение с осью :

Пересечение с осью :

И вновь, видим, стоит проблема с масштабной единицей, поэтому построение таким способом затруднительно, но возможно.

_{Итак, наиболее рациональными оказались 1, 2, 3 и 5 способы. Заметим, что у функции, записанной с угловым коэффициентом, угловой коэффициент – дробь.}

_{ПРИМЕР 3.Построить график функции.}

1 способ.Определим две точки, принадлежащие графику данной функции, используя диафантовое уравнение: Легко подобрать частное решение: Составим систему, которая определяет все целые решения: Задавая различные значения переменной , получаем значения переменных Например, Способ рациональный.2 способ.Нетрудно заметить, что подобрать две точки графика функции с целыми значениями абсцисс и ординат не представляется трудным. Способ рациональный.3способ.Найдем две точки графика функции, заполняя таблицу:

Способ рациональный.4 способ.Преобразуем уравнение прямойк уравнению прямой в отрезках Число 3 откладываем на оси , а число -6 на оси : Способ рациональный.5 способ. Запишем функцию в особый вид: .На оси откладывается число-6, от него вправо вдоль оси отступаем на 1 единицy, а затем вверх на 2единиц вдоль оси :

Способ рациональный.

6 способ. Построим график функции, используя точки пересечения с осями координат: пересечение с осью : Пересечение с осью :

Способ рациональный. _{Итак, рациональными оказались все шесть способов. Заметим, что у функции, записанной с угловым коэффициентом, все числа – целые.}ВЫВОДВ школьном курсе алгебры построение графика линейной функции сводится к нахождению координат двух точек, так как её график — прямая. Легко построить прямую, если координаты полученных точек – целые числа. Однако, как показано выше, не всегда быстро можно подобрать такое значение аргумента, при котором и значение функции – целое число. В ходе исследований способов построения прямой, прибегая к различным видам задания линейной функции, рассмотрены шесть способов, с помощью которых можно построить график линейной функции и овладеть практическими примерами, техническими приёмами, которые для этого потребуются. Осуществлён переход от нахождения целых решений линейного уравнения с двумя переменными к построению прямой в прямоугольной системе координат. Выбор того или иного способа зависит от сложности заданной формулы линейной функции, а умение сделать выбор – от приобретенных навыков и умений. Для построения графиков линейных функций пользовались программой Graph и программой Paint, а также комбинацией этих программ.СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ