«Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случаев делатьего немного занимательным». Б. Паскаль
Актуальность темы:
Устный счет – гимнастика для ума. Счет в уме является самым древним способом вычисления. Освоение вычислительных навыков развивает память и помогает усваивать предметы математического цикла.
Существует много приемов упрощения арифметических действий. Знание упрощенных приемов вычисления особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий не имеет в своем распоряжении таблиц и калькулятора.
Цель исследования:
Изучить способы умножения, для производства которых достаточно устного счета или применения карандаша, ручки и бумаги.
Гипотеза исследования:
Существуют способы умножения чисел, для которых достаточно наличие карандаша и бумаги.
Задачи исследования:
1. Познакомиться со старинными способами умножения, такими как: «Ревность, или решётчатое умножение», «Маленький замок», «Русский крестьянский способ»;
2. Рассмотреть метод умножения «круги», предложенный в Интернете. Расширить круг примеров, решенных указанным способом.
Методы:
- поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, интернета;
- исследовательский метод при определении способов умножения;
- практический метод при решении примеров.
Структура данной работы следующая:
- в первом разделе представлены старинные способы умножения;
- во втором разделе приведено исследование метода умножения «круги»;
- в заключение работы изложены основные выводы и результаты выполненного исследования;
- список литературы содержит 5 наименований.
1. Способы умножения многозначных чиселВзгляд в прошлое.
Прием перекрестного умножения при действии с двузначными числами
Древние греки и индусы в старину называли прием перекрестного умножения «способом молнии» или «умножение крестиком».
Пример: 51 х 23 = 1173 5 1
X
2 3
Последовательно производим следующие действия:
1. 1 х 3 = 3 – это последняя цифра результата.
2. 5 х 3 = 15; 1х 2 = 2; 15 + 2 = 17.
7 – предпоследняя цифра в ответе, единицу запоминаем.
3. 5 х 2 = 10, 10 + 1 = 11 – это первые цифры в ответе.
Ответ – 1173.
1.2. «Ревность, или решётчатое умножение»
За тысячелетия развития математики было придумано много способов умножения. Кроме таблицы умножения, все они громоздкие, сложные и трудно запоминаются. Считалось, что для овладения искусством быстрого умножения нужно особое природное дарование. Простым людям, не обладающим особым математическим даром, это искусство недоступно.
Итальянский математик 15 века Лука Пачоли приводит 8 способов умножения. На мой взгляд, самые интересные из них – «ревность или решетчатое умножение» и «маленький замок».
Рассмотрим эти способы при решении одинаковых чисел 987 и 1998 и сравним полученные результаты.
Умножение чисел 987 и 1998 методом «Ревность, или решётчатое умножение».
Последовательность действий.
Рисуем прямоугольник, делим его на квадраты, квадраты делим по диагонали. Получается картинка, похожая на решетчатые ставни венецианских домов. От этого и произошло название метода.
Вверху таблицы запишем число 987, а слева снизу вверх – 1998 (рис. 1).
В каждый квадрат впишем произведение цифр, расположенных в одной строке и одном столбце с этим квадратом. Десятки располагаются в нижнем треугольнике, а единицы – в верхнем. Цифры складываются вдоль каждой диагонали. Результаты записываются справа и слева от таблицы1.
Рис. 1 «Ревность, или решётчатое умножение».
Ответ – 1972026.
1.3 «Маленький замок»
Последовательность действий.
Одно число записывается под другим как при умножении столбиком (рис. 2). Затем цифры верхнего числа поочередно умножаются на нижнее число, причем начинают с цифры старшего разряда и каждый раз добавляют нужное число нулей.
Полученные числа складывают между собой. Ответ – 1972026.
Сравним результаты, полученные при умножении чисел 987 и 1998 этими двумя способами. Ответы равны 1972026.
Мы видим, что данные старинные способы умножения действительно очень сложны и требуют обязательного знания таблицы умножения.
Рис. 2 «Маленький замок»
Ответ – 1972026.
1.4 «Русский крестьянский способ»
В России среди крестьян был распространен способ, который не требовал знания всей таблицы умножения. Здесь необходимо лишь умение умножать и делить числа на 2.
Напишем одно число слева, а другое справа на одной строке (рис. 3). Левое число будем делить на 2, а правое – умножать на 2 и результаты записывать в столбик.
Если при делении возник остаток, то его отбрасывают. Умножение и деление на 2 продолжают до тех пор, пока слева не останется 1.
Затем вычеркиваем те строчки из столбика, в которых слева стоят четные числа. Теперь сложим оставшиеся числа в правом столбце.
рис. 3
Ответ – 1972026.
Этот способ умножения гораздо проще рассмотренных ранее способов умножения Луки Пачоли. Но он также очень громоздкий.
Исследовательская часть
Умножение при помощи кругов
Этот метод умножения я обнаружил в Интернете. Меня заинтересовал этот способ умножения, я дал ему свое название «Умножение при помощи кругов».
Именно благодаря этому способу темой моей исследовательской работы стали методы умножения с увлечением.
В Интернете был указан только один пример умножения двузначного числа на двузначное.
Я провел самостоятельное исследование и определил способ решения еще двух примеров:
Умножение трехзначного числа на двузначное.
Умножение трехзначного числа с нулем на двузначное.
Все примеры, приведенные для показа данного метода придуманы и решены мною самостоятельно.
2.2 Умножение двузначных чисел.
13 х 24 = 312
Последовательность работы.
Чертим круги, так как второй множитель двузначное число, то и два столбца. В первом ряду по одному кругу, во втором ряду по три круга (рис. 4).
Рис. 4
Второй множитель число 24, то круги, которые в первом столбце делим на две части, а круги, которые во втором столбце делим на четыре части (рис. 5).
Рис. 5
Проводим прямые и считаем точки (рис. 6).
Рис. 6 Рис. 7
Ответ записывается следующим образом (рис. 7), смотрим снизу вверх количество точек 12, 2 – последняя цифра результата, один в уме, количество точек во второй области 10 и +1, итого 11, 1 пишем и один в уме, количество точек в третьей области 2 и +1, итого 3. Ответ – 312.
2.3 Умножение трехзначного числа на двузначное.
123 · 21 = 2583
Решения примера данного типа не было, я доработал его самостоятельно.
Алгоритм.
Чертим круги, так как второй множитель двузначное число, то и два столбца. В первом ряду по одному кругу, во втором ряду по два круга, в третьем ряду по три круга (рис. 8).
Рис. 8
Второй множитель число 21, то круги, которые в первом столбце делим на две части, а круги, которые во втором столбце так и остаются (рис. 9).
Рис. 9
Проводим прямые и считаем точки (рис. 10).
2
5
3
8
Рис. 10
Ответ записывается следующим образом (рис. 10), смотрим снизу вверх количество точек 3-последняя цифра результата, количество точек во второй области 8, в третьей области 5, в четвертой области 2. Ответ – 2583.
2.4 Умножение трехзначного числа с нулем на двузначное
103 х 12 = 1236
Последовательность работы.
Алгоритм такой же, как при умножении трехзначного числа на двузначное, но круг, обозначающий ноль, чертим пунктирной линией - это воображаемая линия, точек на ней не существует.
2
1
6
3
Рис. 11 Ответ – 1236.
Заключение
При выполнении исследовательской работы мне понадобились не только те знания, которые имеются у меня, но и необходимая работа с дополнительной литературой.
В процессе выполненной исследовательской работы в соответствии с ее целью и задачами получены следующие выводы и результаты.
1. В ходе нашей работы мы нашли и освоили различные способы умножения многозначных чисел и можем констатировать следующее: - большинство способов умножения многозначных чисел основаны на знании таблицы умножения; - способ «решетчатое умножение» ничуть не хуже, чем общепринятый. Он даже проще, поскольку в клетки таблицы заносятся числа прямо из таблицы умножения без одновременного сложения, присутствующего в стандартном методе; - преимущество способа «маленький замок» в том, что уже с самого начала определяются цифры старших разрядов. Это бывает важно при прикидочных расчетах, если требуется быстро оценить величину; - «умножение крестиком» также основано на знании таблицы умножения, но позволяет быстро и легко перемножать двузначные числа. Это делается просто и постоянно встречается в жизни; - все приемы умножения, которые мы встретили в разных источниках, опираются на знание таблицы умножения. Только один «русский крестьянский способ умножения» не требовал знаний таблицы. Достаточно только уметь умножать и делить на два.2.Исследовав метод умножения «круги», предложенный в Интернете, я расширил круг примеров, решенных указанным способом. Доказал, что существуют способы умножения чисел, для которых достаточно наличие карандаша и бумаги.
Список литературы
1. Глейзер, Г. И. История математики в школе – М.: Просвещение, 1964. – 376 с.
2. Перельман Я. И. Занимательная арифметика: Загадки и диковинки в мире чисел. – М.: Издательство Русанова, 1994. – С. 142-144.
3. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика /Глав. ред. М. Д. Аксенова. – М.: Аванта+, 2003. – С. 130-131.
4. http://marketerka.livejournal.com/9154.html
5. http://math-school.narod.ru/history_of_mathematics
1