II Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ОТНОШЕНИЙ МЕЖДУ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ФИГУРАМИ ОТНОШЕНИЯМИ МЕЖДУ КОМПОЗИЦИЯМИ ДВИЖЕНИЙ
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Использование свойств движений и их композиций при решении задач, что составляет основное содержание данной работы, представляет собой применение одной из интерпретаций (моделей) геометрии Евклида. Понятие модели и метод математического моделирования являются одними из основных в математике.
Одна из таких интерпретаций изучается в школе – это координатный метод в геометрии. Каждая точка плоскости интерпретируется упорядоченной парой действительных чисел. Тогда прямая задается уравнением первой степени с двумя неизвестными, а то, что точка принадлежит прямой, оказывается эквивалентным тому, что ее координаты удовлетворяют уравнению этой прямой: М(x,y) аАх + Ву + С = 0, и т. д. Эта модель служит для решения геометрических задач аналитическим (координатным) методом.
В данной работе точка интерпретируется центральной симметрией относительно этой точки, прямая – осевой симметрией относительно этой прямой, т. к. множество точек и прямых плоскости изоморфно (в смысле изоморфизма моделей) множеству центральных и осевых симметрий. Отношения принадлежности, перпендикулярности, параллельности и другие, инвариантные относительно движений, интерпретируются теоретико-групповыми отношениями. Эта интерпретация и используется при решении задач и доказательстве теорем в данной работе. При этом решение новым способом (с помощью теоретико-групповых свойств движений) часто оказывается проще традиционного решения (с помощью понятий и теорем евклидовой геометрии). Таким образом, происходит применение методов, возникших в одном разделе математики, при изучении других ее разделов, осуществляется решение той или иной задачи разными способами.
Все сказанное определяет актуальность выбранной темы.
Целью работы является применение теоретико-групповых свойств движений к решению геометрических задач.
Для достижения цели были поставлены следующие задачи:
-
углубить и расширить имеющиеся знания о понятии движения и композиции движений, видах движений, рассмотреть композиции различных движений,
-
познакомиться с понятием группы, ее простейшими свойствами, рассмотреть группы движений, группы самосовмещений фигур,
-
составить словарь перехода от отношений евклидовой геометрии к отношениям между композициями движений,
-
применить полученный словарь к решению геометрических задач теоретико-групповым методом.
Объектом является интерпретация некоторых отношений евклидовой геометрии с помощью теоретико-групповых отношений.
Предметом является применение построенной интерпретации к решению геометрических задач.
Метод исследования – метод математического моделирования.
Данная работа носит теоретический характер.
Значимость полученных результатов состоит в построении новой (теоретико-групповой) модели евклидовой геометрии, позволяющей получать другие, часто более простые, решения геометрических задач.
В имеющейся литературе [1], [2], [3], [4] описаны понятия движения и группы движений, их свойства, виды движений, группы самосовмещений фигур, идея моделирования. Однако в явном виде материал об интерпретации, рассматриваемой в данной работе, в этих книгах отсутствует.
Основная часть
-
Движения, свойства и виды движений
Дадим определение движения [1]: преобразование одной фигуры в другую называется движением, если оно сохраняет расстояние между точками, то есть переводит две точки X и Y одной фигуры в точки X/ , Y/ другой фигуры так, что XY = X/Y/. Два движения, выполненные последовательно, дают снова движение. Результат последовательного применения двух движений называется их композицией. Рассмотрим некоторые свойства движений.
Теорема. Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.
Доказательство. Пусть точка В прямой АС лежит между точками А и С. Докажем, что точки А1, В1 и С1 лежат на одной прямой.
Если точки А1, В1, С1 не лежат на одной прямой, то они являются вершинами треугольника. Поэтому А1С1