II Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

ИГРА ЧИСЕЛ

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Терехов Т.Д. 1

---

1

Рылова И.Г. 1

---

1

Работа в формате PDF

329.8 KB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Задачи исследования:1). Убедиться в том, что написание цифр связано с многоугольниками.2). Изучить правило написания фигурных чисел и изучить закономерности их записи.3).Ознакомиться с «золотой» теоремой Ферма.4). Ознакомиться со свойствами пифагоровых треугольников, связанных с натуральными числами.5). Ознакомиться с алгоритмом нахождения героновых троек.6). Найти оригинальные способы сложения, умножения и возведения в степень натуральных чисел.7). Ознакомить учащихся младшей школы с таблицами умножения и сложения Пифагора.

ГЛАВА I. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

§ 1. Геометрия написание чисел

Автор «Универсологии» академик В. Поляков считает, что формой для написания арабских цифр была «сота». Правильный шестиугольник в границах, которого и вписывались все числа от ноля до 9. Для написания современной формы арабских чисел использовался такой стиль письма как римский квадратный капитул, где каждая цифра отражает определенный порядок действия. Основной формой для написания цифры был квадрат, в котором основные линии соединялись «серифами» (более тонкими линиями) указывающими очередность цифры в системном построении.Например, написание всем известного почтового индекса в единой квадратной (прямоугольной) форме. В такой же прямоугольной форме построены и римские цифры, но тогда когда арабские цифры показывают очередность системного развития, то римские цифры, по мнению исследователей, являются, пиктографическим изображением пальцев рук при счете.Римские цифры, изображающие один, два, три и четыре, в точности похожи на выпрямленные пальцы. Изображение числа пять выглядит как раскрытая ладонь с оттопыренным большим пальцем, а цифра десять это две скрещенные руки. Хотя мы уже видели подобный символ изображения ноля в позиционном счете древних вавилонян. Математическая сторона пифагорейского учения о числе: числа изображались в виде точек (возможно, камешками, расположенными на песке), которые группировались в геометрические фигуры. Так возникли числа, называемые сегодня фигурными.§ 2. Фигурные числа Фигурными мы называем числа, которые можно изобразить на плоскости или в пространстве в виде правильного многоугольника (многогранника соответственно) с помощью точек или шаров одинакового размера. Числа такого рода были известны ещё в Древней Индии и Вавилоне, возникнув в связи с практическими потребностями строительства сложных архитектурных деталей из прямоугольных блоков. Вероятно, именно во время своих путешествий по Азии этими числами заинтересовался Пифагор, который и построил первую теорию многоугольных чисел. Ими увлекались греческие математики Эрастофен, Пенсикл, Сократ, Опунтиус, Диофант и другие. В фигурных числах разность между каждым последующим и предыдущим членами равна одному и тому же натуральному числу (арифметическая прогрессия), например.1, 2, 3, 4, 5,…………………..(разность d = 1),1, 3, 5, 7, 9, ………………….(разность d = 2),　1, 4, 7, 10, 13,………………..(разность d = 3).Пифагорейцы, предавшись математическим занятиям, считали началами всего -числа, так как в числах они находили много сходства с тем, что существует и происходит, и в числах первичные элементы всех математических начал.

Главным пифагорейским символом и опознавательным знаком –была пентаграмма или пифагорейская звезда –звездчатый пятиугольник, образованный диагоналями правильного пятиугольника. Звездчатый пятиугольник обладает замечательными математическими свойствами. Он содержит все пропорции, известные пифагорейцам: арифметическую, геометрическую, гармоническую и так называемую золотую. Видимо, поэтому пентаграмма и была выбрана в качестве пифагорейского символа.

Начав с одной точки, на следующем шаге изобразим три точки так, чтобы при их попарном соединении получался правильный треугольник (рис. 1.1).Рис.1.1 «Шеститочечный» треугольник поучим из «трехточечного» добавлением трех точек (с линейным увеличением последнего в два раза). Сколько еще точек нужно добавить, чтобы «впечатление» треугольника сохранилось? Ответ найти нетрудно: четыре. Соот­ветствующий треугольник получается линейным увеличением ис­ходного в три раза. Условившись считать треугольником и фигуру, состоящую из одной точки, и сопоставив каждому треугольнику число, выражающее количество точек в нем, мы получим числовую последовательность 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ... , элементы которой назовем треугольными числами. Аналогичным образом, добавляя к «Отдельно взятой точке» три точки, пять точек, семь точек и т.д., можно построить последователь­ность квадратов (рис. 1.2).

Рис.1.2 Подсчитывая количество точек в них, мы получим последо­вательность чисел 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ... , которые назовем квадратными числами. Рассматривая последовательность правильных пятиугольников, получающуюся добавлением к единичной точке сначала четырех точек, затем семи точек и т. д., и подсчитывая количество точек в каждом из них, мы получим последовательность пятиугольных чисел 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, ... (рис. 1.3).

Рис.1.3 Так же можно построить шестиугольные числа 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, ... (рис.1.4),

Рис. 1.4

семиугольные числа 1, 7, 18, 34, 55, 81, 112, 148, 189, 235, ... , восьмиугольные числа 1, 8, 21, 40, 65, 96, 133, 176, 225, 280, ... , в общем случае, n-угольные числа. Заметим, что в основе наших построений лежит следующий принцип пере­ хода от п-гоm-угольного числа к (п+ 1)-му m-угольному числу: продолжить две стороны имеющегося многоугольника, выходящие из одной вершины, и добавить недостающие стороны. Легко ви­деть, что при этом мы добавляем n(m - 2)+ 1 точку. Таким образом, треугольные числа получаются как последова­тельные суммы элементов арифметической прогрессии 1, 2, 3, ... ; квадратные числа - как последовательные суммы элементов ариф­метической прогрессии 1, 3, 5, ... ; пятиугольные числа - как по­следовательные суммы элементов арифметической прогрессии 1, 4, 7, ... ; шестиугольные числа - как последовательные суммы эле­ментов арифметической прогрессии 1, 5, 9, ... , и т.д. Заметим, что, располагая точки в линию, мы можем говорить о линейных числах: любое натуральное число является линейным, и может быть полу­чено как сумма элементов арифметической прогрессии 1, 1, 1, .... Известно, что каждое натуральное число представимо в виде суммы не более трех знакопеременных квадратов. Существует ровно 31 число, не представимое в виде суммы различных квадратов: 2, 3, 6, 7, 8, 11, 12, 15, 18, 19, 22, 23, 24, 27, 28, 31, 32, 33, 43, 44, 47, 48, 60, 67, 72, 76, 92, 96, 108, 112, 128. Заметим также, что каждое натуральное число представимо в виде суммы не более 9 кубических чисел. Только два числа нуждаются для представления в 9 кубах: 23 (23 = 2 ³ +2³ +1 ³ +1³ +1 ³ +1³ +1 ³ +1 ³ +1 ³) и 239. Только 15 чисел требуют 8 кубов: 15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428 и 454. Таким образом, любое натуральное число большее 454 представимо в виде суммы не бо­лее 7 кубических чисел. Самой важной теоремой теории фигурных чисел считается теорема, которую Ферма, впервые сформулировавший ее в 1654 году, на­звал «золотой»: всякое натуральное число есть или треугольное, или сумма двух или трех треугольных чисел; или квадратное, или сумма двух, трех или четырех квадратных чисел; или пятиугольное, или сум­ма двух, трех, четырех или пяти пятиугольных чисел и т. д. Другими словами, каждое натуральное число представимо в виде суммы не бо­лее n n-угольных чисел.§ 3. Пифагоровы треугольники

Числа Пифагора, или пифагоровы тройки (х, y,z) натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению Пифагораприводят нас в алгебру, связанную с реше­нием неопределенных (диофантовых) уравнений.Теорема Пифагора - фундаментальное геометрическое утверждение, которое запечатлелось в мозгу милли­онов, если не миллиардов, людей: в любом прямоугольном треуголь­нике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Несмотря на простоту формулировки и доказательства, тео­рема Пифагора является наиболее важным из всех взаимосвязей между числами и природой, полученных членами пифагорейского братства: она дает нам соотношение, которое выполняется для всех прямоугольных треугольников и, следовательно, определяет пря­мой угол; в свою очередь, прямой угол определяет перпендикуляр, т. е. отношение вертикали к горизонтали, а в конечном счете - отношение между тремя измерениями нашего мира, т. е. самую структуру пространства, в котором мы живем.Во тьму веков уходит история прямоугольного треугольника со сторонами (3, 4, 5). По одной 3 из версий, в древнем Египте для построения прямого угла использовали разделенный на 12 равных 4 частей замкнутый шнур, натягивая его между тремя кольями так, чтобы заключенные между кольями части шнура находились в соотношении 3: 4: 5. Видимо, с тех пор треугольник со сторонами (3, 4, 5) называют египетским. Архитекторы и строители тысячи лет использовали эти про­ порции при возведении храмов в Египте, Вавилоне, Китае и других странах. В одном из выдающихся памятников мировой архитек­туры - пирамиде Хеопса, гробнице жившего в III тысячелетии до н. э. египетского фараона, царская комната устроена так, что прямоугольный треугольник, образованный диагональю меньшей боковой стены, линией пересечения пола большей боковой стеной и диагональю всей комнаты, имеет размеры, находящиеся в от­ношении 3 : 4 : 5. Пропорции египетского треугольника находят и в размерах тесаных плит пирамиды другого египетского фараона, Хефрена, брата Хеопса. Свойствами египетского треугольника восхищались многие: его славил древнеримский архитектор Витрувий (1 в. до н. э.), древ­негреческий философ Платон (IV в. дон.э.) считал его символом супружества, древнегреческий писатель, историк и философ Плу­тарх (1 в.) называл его прекраснейшим из всех треугольников. Пифагорова тройка (3, 4, 5) обладает рядом замечательных свойств. Так, площадь египетского треугольника равна 6 - совер­шенному числу, непосредственно следующему за 3, 4, 5. Периметр египетского треугольника равен 12 - числу, которое считалось символом счастья, достатка, полноты (вспомним 12 месяцев года, 12 знаков Зодиака, 12 апостолов Христа, 12 книг диалога Плато­на «Законы»). Тройка (3, 4, 5) - единственная пифагорова трой­ка, состоящая из трех последовательнЬ1х натуральных чисел. Более того, она - единственная тройка последовательных натуральных чисел, сумма кубов которых равна кубу следующего за ними числа: 3³ + 4³ + 5³ = 6³ • Уравнение 3^х + 4^y = 5^z не имеет других натураль­ных решений, кроме х =у= z = 2. Конечно, тройка (3, 4, 5) не была единственной пифагоровой тройкой, известной древним. В археологической коллекции Колум­бийского университета хранится клинописная табличка, датируе­мая примерно 1500 г. до н. э. При ее изучении оказалось, что она содержит список пифагоровых троек. В этом списке, помимо трой­ки (3, 4, 5), имеется, например, и тройка (4961, 6480, 8161). Это показывает, что список был составлен каким-то методом, отличным от метода проб и ошибок. Таким образом, вавилоняне знали теорему Пифагора за тысячу лет до Пифагора и владели каким-то способом нахождения пифагоровых троек. В античный период задачу нахождения прямоугольных тре­угольников со сторонами, выражаемыми натуральными числами, рассматривали, помимо Пифагора, Евклид и Платон. Задача нахождения пифагоровых троек - записать квадрат в виде суммы двух квадра­тов - была сформулирована и в книге Диофанта «Арифметика». Источником получения формул, позволяющих древнегрече­ским математикам находить различные множества пифагоровых троек, служили те или иные арифметические тождества. Так, Пифагор, используя тождество (2п + 1)² + (2п² + 2n)² = (2п² + 2п + 1)² , указал формулы (2п + l, 2n(n + 1), 2n(n + 1) + 1), описывающие все «священные» тройки, содержащие два последо­вательных числа, одно из которых - гипотенуза. Некоторые свойства пифагоровых треугольников:1. Поскольку одна из сторон пифагорова треугольника делится на 4, то не существует пифагоровых треугольников, все стороны которых - простые числа.Существуют, однако, треугольники, у которых гипотенуза и один из катетов - простые числа, например (3, 4, 5), (11, 60, 61), (19, 180, 181), (61, 1860, 1861), .... Неизвестно, конечно или бесконечно множество всех таких треугольников. 2. Поскольку числа 3, 4, 5 попарно взаимно просты, мы можем заключить, что произведение катетов любого пифагорова треуголь­ника делится на 12, а произведение всех трех сторон делится на 60. 3. Отсюда немедленно следует, что площадь ху/2 любого пифаго­рова треугольника - натуральное число, делящееся на 6. 4. Кроме того, периметр х +у + z любого пифагорова треугольни­ка - четное натуральное число.§ 4. Героновы треугольникиВсякий пифагоров треугольник, т. е. пря­моугольный треугольник, стороны которого выражаются натураль­ными числами, имеет площадь, выражаемую натуральным числом. Существуют и непрямоугольные треугольники, стороны и площадь которых выражаются натуральными числами. Такие треугольники называются героновыми.Наименьшими треугольниками такого рода являются треуголь­ники со сторонами

(3, 4, 5), (5, 5, 6), (5, 5, 8), (6, 8, 10), (10, 10, 12), (5, 12, 13), (10, 13, 13), (9, 12, 15), (4, 13, 15), (13, 14, 15), (10, 10, 16), ... , имеющие площади 6, 12, 12, 24, 48, 30, 60, 54, .... Очевидно, что каждый пифагоров треугольник является геро­новым. Более того, «склеивая» два пифагоровых треугольника с об­щим катетом, мы можем получить два новых героновых треуголь­ника, один из которых - тупоугольный. Например, из треуголь­ников (5, 12, 13) и (9, 12, 15) мы можем получить остроугольный треугольник со сторонами 13, 14, 15 и площадью 84, и тупоуголь­ный треугольник со сторонами 13, 4, 15 и площадью 24.

Если числа

где являются длинами отрезков, то из x,yиz формируется геронова триада (a, b, c) сторон треугольника:

Подберем данные сразу к двум задачам для получения натуральных результатов.

Решение. Пусть , тогда Возьмем вариант Тогда

Для геронова треугольника:

Естественным обобщением уравнения Пифагорав которое все три натуральных числа х, у и z входят во вто­рой степени, является уравнение с фиксированным натуральным . Найти целочисленные решения уравнения для n = 2, т. е. пифагоровы тройки, было сравни­тельно легко, но если степень повысить с 2 до любого большего натурального числа, то решение уравнения в нату­ральных числах становится невозможным. В ходе наших рассуждений мы доказали неразрешимость урав­нения в натуральных числах для n = 4, откуда не­ медленно следует его неразрешимость для любого n = 4, т. е. . Великий математик XVII в. Пьер Ферма утверждал (1637), что уравнение неразрешимо в натуральных числах для любого .ГЛАВА II. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ

«Познай самого себя», – было записано на храме Аполлона в греческих Дельфах. Эти принципы осуществлял использующий в своей работе пифагорейские традиции Сократ, проповедовавший учение о том, что «человек –мера всех вещей не потому, что существуют или не существуют вещи, а потому, что он существо мыслящее».Весь запас множества чисел состоит из цифрового ряда: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.1 и 2 не считались числами у пифагорейцев. Пифагорейские числа начинаются с 3, треугольника, и 4, квадрата. Сложенные между собой и плюс 1 и 2, они дают число 10, великое число всех вещей, архетип Вселенной. Три мира были названы вместилищами. Первый был вместилищем принципов, второй –разума, а третий –низший –вместилищем количества. Что еще мог увидеть любопытный человек, стремившийся к самопознанию, из оставленных на песке следов своих собственных рук? Если положить обе руки рядом и вытянуть пальцы, считая их слева направо, каждый палец будет означать порядковое число: первый слева –1, второй –2, третий –3, четвёртый –4, и так до десятого, который будет обозначать число 10.Например, надо умножить любое число из первого десятка на 9. Для этого, не сдвигая рук с места, приподнять вверх тот палец, который обозначает множимое. Тогда число остальных пальцев, лежащих налево от поднятого пальца, будет числом десятков произведения, а число пальцев направо –числом единиц. Умножим 2 на 9 и поднимем 2-й палец, налево от поднятого пальца лежит 1 палец, а направо –8. Повторим пример, умножим 9 на 9 и поднимем 9-й палец, налево от поднятого пальца лежат 8 пальцев, а направо –1. Результат умножения –18 и 81.Таблица умножения Пифагора:　

Теперь посмотрим на таблицу умножения, которая также состоит из двух зеркальных треугольников. Второй ряд = 18, а девятый ряд = 81. Вне всякого сомнения, все численные показатели математических таблиц сложения и умножения Пифагора имеют определённое значение, где каждая цифра несёт определённую смысловую нагрузку. Здесь можно увидеть побудительные мотивы для построения разных рядов и расчетов. Сами же таблицы Пифагора имеют не только линейные и квадратные, но и угловые измерения, которые используются в геометрии, астрологии. При желании здесь можно найти и стрелки часовТаблица сложения Пифагора:　

Зеркально расположенные числовые ряды таблицы аналогичны ранее указанным зеркальным отпечаткам ладоней человека. Общая сумма чисел таблицы сложения составляет 729. Это число является возведённым в куб числа 9: 9³=729. Учитывая важный вопрос при работе с таблицами Пифагора, что они являются зеркальными или симметричными треугольниками, разделим полученную сумму пополам: 729 : 2 = 364,5. То есть, получаемчисло, равное числу дней в году, и, соответственно, сразу просматривается соотношение таблицы сложения с календарём.Одним из самых древних и самых совершенных видов кросс-сумм является так называемый магический квадрат, который в большом количестве используется практически во всех видах гаданий, ворожбы, оккультных работ. Впервые магические квадраты использовались, по всей видимости, китайцами, так как самое раннее упоминание о них встречается в китайской книге, написанной за 4000-5000 лет до нашей эры.Вариантов начертания магических квадратов много и включают они различные комбинации чисел, создающие в сумме не только квадраты, но и кубы этих чисел. Одним из вариантов имеет «дьявольский» квадрат:11х99 =　1　0　8　9　22х99 =　2　1　7　8　33х99 =　3　2　6　7　44х99 =　4　3　5　6　55х99 =　5　4　4　5　　　　　　　66х99 =　6　5　3　4　　　　　　　77х99 =　7　6　2　3　　　　　　　88х99 =　8　7　1　2　　　　　　99х99 =　9　8　0　1　　Следуя математической стороне пифагорейского учения число изображалось в виде точек (возможно, камешками, расположенными на песке), которые группировались в геометрические фигуры. Так возникли числа, о которых говорилось выше, фигурные. Линейные числа, которые делятся на единицу и на самих себя и, следовательно, представимы только в виде последовательности точек, выстроенных в линию.Линейное число 5Плоское число 6Телесное число 8Треугольные числа 1, 3, 6, 10, 15;Квадратные числа 1, 4, 9, 16, 25;Пятиугольные числа 1, 5, 12, 22, 25 и т.д.Именно от фигурных чисел пошло выражение «возвести число в квадрат или куб». Такое фигурное представление чисел часто помогало найти различные числовые закономерности. Например, написав последовательность квадратных чисел, легко увидеть (именно увидеть глазами!) доказательство следующего математического утверждения: 1=1=1²1+3=4=2²1+3+5=9=3²1+3+5+7=16=4²1+3+5+7+9=25=5²После рассмотрения этих нескольких частных случаев напрашивается следующий общий вывод:1+3+5+...+(2n-1)=n²　Если ряд нечетных чисел, начиная с 1 разделить на группы, отделив для первой группы одно число, для второй –два, для третьей –три, и т.д. то сумма чисел каждой группы будет равна кубу номера группы (теорема Никомаха):1³=12³=3+53³=7+9+114³=13+15+17+195³=21+23+25+27+29. Магический треугольник:1²= 111²= 121111²= 12321

1111²= 123432111111²= 123454321111111²= 123456543211111111²= 123456765432111111111²= 123456787654321111111111²= 12345678987654321ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе исследования в направлении «число - фигура – слово» можно убедиться в том, что числу, действительно, можно поставить в соответствие определенную геометрическую фигуру и, часто, из этого «единства» следует свойство, объединяющее эту пару. Более того, если натуральные числа располагать симметрично в определенном порядке в виде прямоугольников, квадратов или треугольников, то значительно упрощаются некоторые математические действия и операции над числами.Фигурные числа тесно связаны со многими свойствами геометрических фигур, а также со свойствами натуральных чисел, процесс построения фигурных чисел тоже закономерен и определен арифметической прогрессией. Таблицу умножения удобно учить не по привычным девяти таблицам умножения на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а с помощью таблицы умножения Пифагора, что и демонстрируют учащиеся младших классов.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ1.Фигурные_числа (Электронный ресурс) https://ru.wikipedia.org/wiki/(дата обращения 19.06.2016)2. Пузырев С. Тайны пифагорейской школы (Электронный ресурс) http://www.litprichal.ru (дата обращения 19.06.2016)3. Журнал «Математика в школе». 2004. - №7