II Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

НАХОЖДЕНИЕ ОБЛАСТИ ЗНАЧЕНИЙ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Шатров А.А. 1

---

1

Рылова И.Г. 1

---

1

Работа в формате PDF

256 KB

Автор работы награжден дипломом победителя I степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

ВВЕДЕНИЕ

К свойствам функции относится область значений функции. Проблема нахождения области значений, например, дробно-рациональной функции, привела к необходимости ознакомиться со способами ее нахождения.

Цель исследования: найти различные методы нахождения области значений дробно-рациональных функций. Задачи исследования:1). Ознакомиться со способами решения задач на нахождение области значений функции;

2). Изучить инверсию функций;

3). Использовать алгебраические неравенства для нахождения области значений функции;

4). Составить банк функций с нахождением области значений функций различными методами. Сравнить эти методы с точки зрения затрат времени и трудоёмкости;

5). Использовать программу Graphи различные свойства функций для построения графиков функций.При ознакомлении с некоторыми методами нахождения области значений функции в различных источниках, указанных ниже, не нашлось таких примеров решения, в которых бы использовались различные методы. В данной исследовательской работе сопоставляются разные, возможные, методы нахождения области значений функции для выделения самого рационального.ГЛАВА I.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

§1. Некоторые сведения об области значений функции.Определение области значений функции.Областью (множеством) значений E(у) функции y = f(x) называется множество таких чисел y₀, для каждого из которых найдётся такое число x₀, что: f(x₀) = y₀.

Свойства функций, используемые при нахождении области значений функцииДля успешного нахождения области значений функции надо хорошо знать свойства основных элементарных функций, особенно их области определения и характер монотонности. Приведём свойства функции, которые учитываются при нахождении Е(у):непрерывность;монотонность;дифференцируемость;чётность, нечётность;обратимость;периодичность и т.д.Известны следующие способы нахождения областей значений функций:а) последовательное нахождение значений сложных аргументов функции;б) метод оценок;в) использование свойств непрерывности и монотонности функции;г) использование производной;д) использование наибольшего и наименьшего значений функции;е) графический метод;ж) метод введения параметра;з) метод обратной функции. Определение.Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается задан­ным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренно­му множеству.Определение. Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Например, если функция от x даёт y, то обратная ей функция от y даёт x. {displaystyle f^{-1}}§2. Инверсия. Известна теорема о том, что если функция возрастает и принимает только положительные значения, то функция убывает.

Целесообразно рассматривать преобразования плоскости, при которых точки с координатами переходят в точки с координатами , ибо легко заметить, что именно с помощью такого преобразования можно построить рассмотренный график.

Определение. Точка В называется инвертной точке А относительно данной прямой (оси) l, если:

1. эти точки лежат по одну сторону относительно оси l;

2. отрезок, их соединяющий, перпендикулярен оси l;

3. произведение расстояний от этих точек до оси lравно 1.

У точек оси инвертных точек нет.

Определение. Преобразование плоскости, при котором каждая точка переходит в инвертную ейотносительно данной прямой, называется инверсией. Для точек этой прямой преобразование не определяется.

Замечание. При инверсии относительно осиОх точка А с координатами , , переходит в точку В с координатами , где

В самом деле, , так как отрезок АВ перпендикулярен осиОх, должны быть одного знака, так как А и В лежат в одной полуплоскости относительно оси Ох, наконец, так как произведение расстояний от А и В до оси равно единице, т.е.

Свойства инверсии. Построение графиков.

А - неподвижная точка инверсии относительно осиОх тогда и только тогда, когда т.е. - неподвижная точка инверсии относительно оси Оутогда и только тогда, когда т.е.

Чем дальше от оси инверсии точка, тем ближе к ней инвертная ей точка.

Теорема.График функции получается из графика функции инверсией относительно осиОх.

Теорема.График функции получается из графика функции преобразованием инверсии относительно оси Оу.

§3. Некоторые неравенства, используемые в работе.

Доказательства некоторых неравенств (проведенные самостоятельно).Неравенство 1. .Доказательство.

Теорема о высоте: CD =.в частном случае, если,ч.т.д.

Неравенство 2. Доказательство.

Преобразуем выражение: . По теореме катета:. ПотеоремеПифагора:

В частности, если Ч. т. д.

Неравенство 3. Доказательство.

Значит, , ч. т. д.

ГЛАВА II.ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ§1.Примеры нахождения области значений функций, графики которых можно построить с помощью инверсии, представив в виде или представив в виде .

Пример 1.Построить график функции и найти область значений E(f) данной функции.

Решение. Строится график функции , отмечаются точки с ординатой, равной 1, замечается, что искомый график имеет асимптоты так как график функции при абсциссах, «близких» к , все ближе подходит к оси инверсии, а при «больших» абсциссах уходит от неё неограниченно далеко. Показывается, что надо, таким образом, от точки (0,1) «вести вправо и вверх» к прямой и «влево и вниз» к прямой и т.п.

Ответ:.

Пример 2.Построить график функции и найти область значений E(f) данной функции.

Решение.

График функции получается из графика функции смещением на 1 единицу вправо. Для построения графика функции заменим значения абсцисс графика функции на обратные числа. . Прямаяявляется асимптотой. Если сравнить выражение с единицей: то оно меньше ее при , значит, точки графика функции не поднимутся выше прямой которая является асимптотой графика рассматриваемой функции. Эта функция является неотрицательной, значит ниже осиОх точки графика не появятся.

Ответ:.

§2. Метод введения параметра для нахождения области значений функции.

Пример 3.Найти область значений E(f) функции.

Решение.Решим пример методом введения параметра, согласно которому E(f) совпадает с множеством значений параметра а, для которых уравнениеимеет хотя бы один корень.

Если_,уравнение является линейным с ненулевым коэффициентом при неизвестной, поэтому имеет решение. Если _, уравнение является квадратным, поэтому оно разрешимо тогда и только тогда, когда его дискриминант.

Так как точка принадлежит отрезку, то искомым множеством значений параметра а, значит, и областью значений E(f) будет весь отрезок.

Ответ:.

§3. Метод обратной функции. Как непосредственное развитие метода введения параметра при нахождении множества значений функции, можно рассматривать метод обратной функции, для нахождения которой надо решить относительно х уравнение f(x)= y, считая y параметром. Если это уравнение имеет единственное решение x =g(y), то область значений E(f) исходной функции f(x) совпадает с областью определения D(g) обратной функции g(y). Если же уравнение f(x)= y имеет несколько решений x =g₁(y), x =g₂(y) и т.д., то E(f) равна объединению областей определений функции g₁(y), g₂(y) и т.д.Пример4. (самостоятельное решение).Найдите область значений E(f) функции.

Решение.Решим уравнение относительно , учитывая, что

Неравенство методом интервалов, получаем, что

Ответ:.

§4. Использованиепроизводной, непрерывности и монотонности функции и графика функции

Пример 5. (самостоятельное решение с применением программы Grahf).Найти область значений E(f) функции .

Решение.График функции не пересекает ось абсцисс, т.к. уравнение не имеет решения.

Функция непрерывна на, значит, дифференцируема. Найдем производную функции:

Найдем критические точки первого рода:

Выясним характер монотонности функции:

Найдем асимптоты функции:

Вертикальных асимптот нет, т.к. .Наклонная асимптота:. Получили горизонтальную асимптоту .

Найдём

Заметим, что последний метод является наглядным, однако времяёмким и трудоемким.

Ответ:.

§ 5. Задачи на нахождение области значений функций с помощью алгебраических неравенств

Пример 6. Найти область значений E(f) функции(используя неравенство).

Решение.

Учитывая, что заданная функция является нечетной, получаем

Ответ:.

Пример 7. Найти область значений E(f) функции(используя неравенство).

Решение. Учитывая, что заданная функция является нечетной, получаем

А так у функции один нуль, , и она меняет монотонность от убывания к возрастанию, а затем от возрастания к убыванию, то можно определить, как меняются ее значения: .

Ответ:.

Пример 8. Найти область значений E(f) функции(используя неравенство).

Решение.

График имеет вертикальную асимптоту , не пересекает ось абсцисс.

Найдем производную функции

Найдем критические точки первого рода:

Выясним характер монотонности функции:

Ответ:.

§ 6. Нахождение области значений функций разными способами

Ранее решённые Примеры 3, 4, 5 указывают на то, что найти область значений функции можно было тремя способами: методом введения параметра, методом обратной функции, а также с использованием производной, непрерывности функции, монотонности и графика. Применить инверсию для построения графика этой функции не удается, так как она не представима в виде или в виде . Также не получится представить эту функцию в виде суммы двух слагаемых, к которой можно было бы применить одно из указанных алгебраических свойств. Наиболее рациональными являются первые два метода.

Решим и другие Примерыразличнымидоступнымиметодами и способами.Пример 1.Построить график функции и найти область значений E(f) данной функции. (См. стр. I-IIПРИЛОЖЕНИЕ 1)Пример 2.Построить график функции и найти область значений E(f) данной функции. (См. стр. II-IIIПРИЛОЖЕНИЕ 2)Пример 6.Найти область значений E(f) функции(См. стр. III-VПРИЛОЖЕНИЕ 3)Пример 7. Найти область значений E(f) функции(См. стр. V-VIIПРИЛОЖЕНИЕ 4)Пример 8. Найти область значений E(f) функции(См. стр. VII-VIIIПРИЛОЖЕНИЕ 5)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная тема имеет практическое применение, так как при изучении тех или иных процессов из реальной жизни, описываемых математическими формулами, чаще всего вычисляют значения функций. В школьном курсе математики изучается тема «Область значения функции». Такие задачи обязательно содержатся в заданиях различных математических тестов, в частности в заданиях единого государственного экзамена.Если выбирать универсальный способ нахождения области значений функции, то это графический с применением производной, таких свойств как четность, асимптоты, нули функции. Удобно использовать инверсию для построения график функций, но не все функции инвертируются. Если есть выбор способов, то к рациональным способам можно отнести и введение параметра и метод обратной функции. Знание различных способов решения одной и той же задачи позволяет осуществить проверку полученных результатов.СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сильвестров В.В. Множество значений функции: Учебное пособие./Сильвестров В.В. – Чебоксары: 2004. - 200-204 с.2. Карп А.П. Даю урокипо математике /Карп А.П. - М.: Просвещение, 1992. - 21-31с.3. Райский В. Математика: Сборник задач и упражнений для VI класса./Райский В. - Кишинёв:PrutInternaţional, 2002.- 25-33 с.4. Щербаков П.А. Нахождение области значений функции (Электронный ресурс) http://pandia.ru/text/77/355/6329.php (дата обращения 29.10.2016)5. Сикорский К.П. Факультатив. Математика 7-8 класс./Сикорский К.П. - М.: Просвещение, 1969.- 256-263 с.