II Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

ПЕРВИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОБ АТТРАКТОРАХ

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Поддубная М.В. 1

---

1

Кузнецова С.В. 1

---

1

Работа в формате PDF

2.1 MB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

 Введение

"... сегодняшнее трепетание крыльев

мотылька в Пекине через

месяц может вызвать ураган

в Нью-Йорке..."

Ричард Ф. Фейнман.

Математика является неотъемлемой и значительной частью современной общечеловеческой культуры. Накопление математических фактов на протяжении тысячелетий развития человечества привело к становлению математики как науки около двух с половиной тысяч лет тому назад. На протяжении многих веков она рассматривалась как составная часть философии, которая служила средством познания мира. Нет сомнений, что математика имеет особое значение для тех, кто занимается экономикой, техникой, точными науками. Однако, стоит отметить, что математика, как наука существенно развивающая логическое мышление, способная обучить человека мыслить абстрактными понятиями, очень полезна и для тех, кто связывает себя с гуманитарной и творческой деятельностью. Всем известно, что математика – прикладная наука. На стыке математики и наук, где она применяется, возникают новые отрасли знания: математическая физика, математическая логика, математическая биология, математическая лингвистика, математическая психология и другие науки. Число таких отраслей знания в наше время постоянно растет. Одной из особенностей математических знаний является их универсальность, состоящая в том, что математические методы в наше время проникают во все сферы жизни людей. В своей повседневной деятельности человек постоянно пользуется понятиями и выводами математики, нередко даже не задумываясь об этом. Однако в последнее время всё чаще и чаще можно встретить мнение, что классическое математическое образование устарело, что получаемые в школе знания формальны и оторваны от реальных жизненных процессов, что школьные учебники не отражают современного прогресса в науке. «Фрактал», «аттрактор», «бифуркация», «динамическая система» и т.д. – термины в основном не знакомые ни обывателю, ни современному школьнику. И мы даже не предполагаем, что прогноз погоды, тенденции рынка, компьютерные спецэффекты в кинофильмах, медицинские исследования и многие другие, обыденные для нас вещи существуют именно благодаря новому витку в развитии математики. Мало кто знает принципы и способы создания и расчета этих, казалось бы, хаотичных систем. Незнание таких вещей, даже на ознакомительном уровне и является актуальной проблемой нашей современности.

Цель данной работы рассмотреть понятие «аттрактор» и его практическую значимость в современном мире.

1. «Эффект бабочки»

В последние несколько лет мы все испытали на себе всю нестабильность и переменчивость погоды, которая удивляла нас своим непостоянством. Синоптики испытывали настоящий ужас, делая прогнозы, которые, однако, были достаточно верны. Случись эти природные явления веком раньше, никто бы не смог предсказать всех нюансов погоды.

Более двух столетий наука об атмосфере ждала появления машины, способной снова и снова производить тысячи вычислений, повинуясь указаниям человека. Лишь компьютер мог доказать, что погода подчиняется законам, столь же незыблемым, как и принципы движения планет, наступления солнечных и лунных затмений, морских приливов и отливов.

В 1960-м году Эдвард Нортон Лоренц (23.05.1917-16.04.2008) -американский математик и метеоролог, профессор Массачусетского технологического института, член Американской академии гуманитарных и естественных наук, Американского метеорологического общества и Национальной академии наук США создал мини-модель погоды. Он выбрал двенадцать уравнений, описывающих связь между температурой и атмосферным давлением, а также между давлением и скоростью ветра и применил на практике законы Ньютона. Значение переменных в следующий момент времени зависело от их значения в предыдущий момент и рассчитывалось по этим уравнениям. Таким образом, модель была полностью детерминирована.

Коллеги Лоренца от модели пришли в восторг. Машине задавались несколько начальных параметров, а она начинала выдавать ряды чисел, описывающие погоду в некотором воображаемом мире. Эта погода была, а именно её непредсказуемость была приблизительно такой же, ка и в реальном мире. Студенты и преподаватели Массачусетского института заключали пари, пытаясь угадать, каким будет состояние модели в следующий момент. [4]. Однажды, зимой 1961-го года, намереваясь изучить определенную последовательность событий, Лоренц несколько сократил исследование – приступил к построению не с начальной точки, а с середины. В качестве исходных данных ученый ввел цифры из предыдущей распечатки. Когда он через час вернулся, то увидел нечто неожиданное. Новый отрезок должен был полностью повторить предыдущий, ведь Лоренц собственноручно ввел в компьютер числа, и программа оставалась неизменной. Тем не менее, график (рис. 1) существенно расходился с ранее полученным им графиком.

Рис. 1 Расхождение двух графиков погоды, берущих начало из одной точки. Распечатка Лоренца 1961 года, воспроизведенная в книге Джеймса Глейка "Хаос: Создание новой науки" (СПб., "Амфора", 2001).

Машина работала нормально, а разгадка заключалась в числах, заложенных им в компьютер. Машина могла хранить в памяти шесть цифр после запятой, например …,506127. На распечатку же, в целях экономии места, выдавалось всего три: …,506. Лоренц ввел округленные значения с распечатки, предположив, что разница в тысячных долях несущественна. Предположение выглядело вполне разумно. Следовало предполагать, что при незначительном отличии начальной точки от введенной ранее точки модель будет чуть-чуть расходиться с предыдущим вариантом. И все-таки в системе Лоренца малые погрешности оказались катастрофическими. Удивленный своим открытием метеоролог написал статью под названием «Предсказание: Взмах крыльев бабочки в Бразилии вызовет торнадо в штате Техас» и передал ее в Вашингтон. Эта статья опровергла собой утверждение о том, что все, что случается в мире, подчинено строгим законам, а все причины исключительно четко проистекают из следствий. Свое открытие Э.Н. Лоренц назвал «Эффектом бабочки».

Сама идея зависимости от начальных условий впервые была озвучена в 1952 году у американского писателя-фантаста Рэя Брэдбери в рассказе «И грянул гром», где, попав в прошлое, охотник на динозавров раздавил бабочку и тем самым повлиял на судьбу американского народа: избиратели выбрали вместо лояльного кандидата – ярого фашиста.

Еще несколько десятков лет назад ученые предполагали, что в начале двадцать первого века компьютеры смогут делать точные прогнозы погоды на полгода вперед. Однако в настоящее время из-за подобного эффекта невозможно сделать абсолютно точный прогноз даже на несколько дней. Современное оборудование помогает составить прогноз наиболее вероятного «поведения» погоды, но далеко не единственного.

Эффект бабочки призван объяснить, что любое незначительное воздействие на окружающий мир может привести к глобальным последствиям. В естественных науках существует понятие, которое обозначает собой свойство ряда хаотичных систем. Именно этим понятием и является так называемый эффект бабочки, теория которого подразумевает под собой, что любое, даже самое мелкое и незначительное действие, может привести к самым невероятным, масштабным и значимым изменениям в другое время и в другом месте. Эффект бабочки имеет и строгое научное название – «сильная зависимость от начальных условий». Зависимость эту превосходно иллюстрирует детский стишок:

Не было гвоздя – подкова пропала,Не было подковы – лошадь захромала,Лошадь захромала – командир убит,Конница разбита, армия бежит,Враг вступает в город, пленных не щадя,От того что в кузнице не было гвоздя.(Перевод С.Я. Маршака)

1. Теория Хаоса

Вместе с выражением «Эффект бабочки» часто можно встретить и такое понятие, как Теория хаоса. Теория хаоса гласит, что сложные системы чрезвычайно зависимы от первоначальных условий, и небольшие изменения в окружающей среде могут привести к непредсказуемым последствиям.

Теория хаоса представляет собой особую ветвь исследований, в которой между собой связаны физика и математика. Согласно ей, в сложных системах (примерами которых могут послужить общество, атмосфера или популяция биологического вида), все зависит в первую очередь от изначальных условий.

Говоря проще, такой математический аппарат необходим для того, чтобы описывать поведение некоторых физических систем, которые невозможно описать, используя лишь одни законы физики. Даже сверхмощные компьютеры не справляются с такой сложной системой. Прогнозы, которые можно получить при помощи теории хаоса являются скорее обобщенными, поскольку они основываются лишь на вероятном поведении той или иной системы. Причина такой неточности кроется в том, что выяснить абсолютно досконально, какими же были начальные условия невозможно.

Схожесть понятий Теории хаоса и Эффекта бабочки заключается в том, что само по себе понятие динамического хаоса, которое как раз и применяется в теории хаоса, одним из своих основных свойств имеет тот факт, что несущественные изменения основополагающих условий системы вызовут собою такую последовательность событий, которая приведет в дальнейшем к масштабным переменам.

Получается, что эффект бабочки представляет собой свойство хаотичной системы. А сам по себе хаос в этом случае представляется не иначе как случайностью, которую теоретически можно предсказать, или спрогнозировать

То есть можно сказать, что кажущиеся очень маленькими и незаметными различия в первоначальных условиях, в конечном счете, станут причиной невероятно больших отличий. Любое изменение, внесенное нами сейчас, однажды отразится на нашем будущем. Но когда это произойдет, и какими будут масштабы этих изменений, сейчас мы знать не можем.

1. Как предсказать непредсказуемое?

Но как исследовать такие системы, которые по природе своей проявляют плохо предсказуемую, хаотичную динамику, как предсказывать такие процессы, управлять ими, хотя бы достоверно описывать их? Действительно ли этот процесс совершенно непредсказуем? Никогда не повторяющаяся кривая динамики климата в модели Лоренца мало что даёт исследователю, кроме факта её хаотичности и непредсказуемости.

Лоренц максимально упростил свою модель, оставив лишь систему из трёх нелинейных уравнений (рис. 2).

Переменная X пропорциональна скорости конвективного потока, Y - описывает разность температур для потоков вверх и вниз, а Z - характеризует отклонение профиля температуры от линейного в продольном направлении, вдоль приложенного градиента температуры.

Рис. 3 Изменение переменных с течением времени

Рис. 2

Изменение каждой переменной во времени представляло собой непредсказуемую кривую (рис. 3), из которой трудно было вычленить полезную информацию, тогда Лоренц объединил все три переменные в одном графике в трёхмерном пространстве, отражающем взаимозависимость изменения значений трёх переменных. Если бы между переменными не было никакой связи, мы бы получили бы на графике хаотичное облако точек, если бы взаимозависимости была однозначна и строго линейна, это выразилось бы в появлении на графике линии, либо уходящей в пространство, либо образующей замкнутую петлю, но Лоренц не обнаружил ни того, ни другого. Вместо ожидаемого эффекта появился график (рис. 4), всегда расположенный в определенных границах, имевший весьма характерные очертания, напоминавшие два крыла бабочки, но линии его никогда не проходили по одним и тем же траекториям, что отражало лишь частичную упорядоченность системы, ведь состояние системы никогда точно не повторялось.

Рис. 4

Полученный график получил название аттрактор (англ. attract — привлекать, притягивать).

1. Аттрактор

Понятие «аттрактор» близко к понятию «цель». Это термин появился в XX веке и используется как для описания поведения нелинейных систем, так и в качестве широкой научной метафоры. Аттрактор - точка или замкнутая линия, притягивающая к себе все возможные траектории поведения системы, определяемые разными начальными условиями.Пространство внутри аттрактора, в котором каждая частица, туда попавшая, постепенно смещается в заданном направлении, называют "зоной аттрактора". Различают простые (рис. 5) и странные аттракторы (рис. 6). При состояниях системы, определяемых простым аттрактором, траектория развития системы является предсказуемой. Примером простого аттрактора является точка. При состояниях системы, определяемых странным аттрактором, "становится невозможным определить положение частиц (их поведение) в каждый данный момент, хотя мы, и уверены, что они находятся в зоне аттрактора или в зоне исследования. Фазовый портрет странного аттрактора - это не точка и не предельный цикл... а некоторая область, по которой происходят случайные блуждания".

Кажущиеся фантастическими рассуждения о хаосе, непривычные графики и сложные определения на самом деле - это не «математический абсурд» и не прихоть учёного, а вполне применимые на практике понятия. Например теория Хаоса широко применима в экономике. В частности, для описания процессов на биржевом рынке.

1. Хаос – повелитель рынка

Рынок, как явление реального мира, - основательно беспорядочен и свободен. Хаос правит над предсказуемостью. Простые линейные подходы к торговле на рынке не работают. Из хаоса всегда рождается более высокий порядок, но этот порядок возникает спонтанно и непредсказуемо. Подобно погоде, фондовый и товарный рынки, а также и другие хаотичные системы, могут порождать непредсказуемые последствия при пренебрежимо малых изменениях в количествах, помноженных на реакцию на них. В настоящее время биржевые игроки используют нелинейные методы в инвестировании и торговле, например фракталы. Слово «фрактал» хорошо известно в науке, ведь ученые уже довольно давно определили существование некоторых закономерностей в казалось бы, абсолютно хаотичных природных явлениях. По сути своей, фракталы образуют сложные по форме геометрические фигуры, составными элементами которой являются меньшие по размерам объекты, имеющие такую же форму (рис. 7). Простая и неопровержимая логика фрактальной природы стала основополагающим тезисом в Теории Хаоса. Фракталы Форекс (рис. 8) – фракталы, которые применяются на рынке межбанковского обмена валют. Фракталы Форекс нашли широкое применение сразу после того, как принцип их действия представил известный аналитик и чрезвычайно успешный практикующий трейдер Билл Вильямс. Поскольку к международному валютному рынку прекрасно подходят эпитеты: сложный, хаотичный, непредсказуемый, живой и так далее, то Билл Вильямс, автор «Торговой теории Хаоса» счел вполне логичным применить фракталы Форекс для нахождения новых эффективных путей прогнозирования цены. Специфическая фрактальная организация создается при помощи механизмов, которыми в науке о хаосе являются аттракторами.

1. Аттрактор – структура мира

Основную структуру внешнего мира, характер поведения и движения формируют Четыре аттрактора. Теория хаоса находится в полном противоречии с аналитической теорией. Она даем нам новую метафизику. Она концентрируется на происходящем в данный момент, что значительно важнее при анализе рынка. Рынок часто кажется таким же хаотичным, как и наш внутренний мир, наш поток сознания. Чтобы извлечь из этого хаоса какой-либо смысл, мы должны обнаружить базовую структуру для реальности и рынка - несущую структуру, которая вскрывает порядок, лежащий в основе хаоса. Чтобы использовать мышление для сортировки явлений и научиться понимать смысл происходящего в разных сферах нашей жизни, в том числе и на финансовом рынке, мы должны, прежде всего, найти основную структуру реальности. Структуру, вскрывающую порядок, который лежит в основе хаоса. Существует четыре нелинейные функции, которые помогают нам определить этот порядок в нашем собственном сознании. Ученые, исследующие хаос, обнаружили, что кажущиеся хаотичными, не подчиняющимися никаким законам процессы, в действительности, следуют скрытому порядку. Порядок, который они открыли, четырехкратный: все внешние явления действуют в соответствии с тем, что они называют четырьмя аттракторами - силами, которые извлекают порядок из беспорядка. Они называются точечным аттрактором, циклическим аттрактором, аттрактором Торас, и странным аттрактором.

Точечный аттрактор (рис. 9) - это простейший способ привнести порядок в хаос. Он живет в первом измерении линии, которая составлена из бесконечного числа точек. Под воздействием этого аттрактора человек испытывает склонность к одной деятельности, и отвращение к другой. Это аттрактор первой размерности, и он может использоваться для торговли на рынках.

Характеристика циклического аттрактора (рис. 10) - движение взад-вперед, подобно маятнику или циклическому магниту. Он притягивает, затем отталкивает, затем опять притягивает и т.д. Он живет во втором измерении плоскости, которая состоит из бесконечного числа линий. Им характеризуется рынок, заключенный в коридор, где цена движется вверх и вниз в определенном диапазоне в течение некоторого промежутка времени. Этот аттрактор более сложен, чем точечный, и является основной структурой для более сложного поведения. Одна деятельность автоматически ведет к другой в повторяющемся порядке. На рынке зерна это явление носит годичный характер.

Третий, более сложный, вид аттрактора известен как аттрактор Торас (рис. 11). Он начинает сложную циркуляцию, которая повторяет себя по мере движения вперед. Он живет в третьем измерении, которое состоит из бесконечного числа плоскостей. По сравнению с циклическим и точечным аттракторами, аттрактор Торас вводит большую степень беспорядочности, и его модели более сложны. На этом уровне, предсказания носят более точный характер, а модели имеют тенденцию казаться более законченными. Графически он выглядит как кольцо или рогалик. Он образует спиралевидные круги на ряде различных плоскостей, и иногда возвращается сам к себе, завершая полный оборот. Его основная характеристика - повторяющееся действие. Подобные явления можно также наблюдать в стремлении мировых активов к безопасности. Если ставка по государственным бумагам повышается, они привлекают больше инвесторов. Затем повышаются цены на них, что опускает процентную ставку, и делает их менее привлекательными и т. д.

Рис. 11 Аттрактор Торас

Странный аттрактор из четвертого измерения - самоорганизующий. Это место рождения свободы и понимания, как в действительности работает рынок. То, что поверхностный взгляд воспринимает как абсолютный хаос, в котором не заметно никакого порядка, имеет определенный порядок, базирующийся на странном аттракторе, когда наблюдение ведется из четвертого измерения. Другая характеристика странного аттрактора -это чувствительность к начальным условиям, которая иногда называется "эффектом бабочки". Малейшее отклонение от изначальных условий может привести к огромным различиям в результате. Различия начальных условий при заключении сделок могут влиять на рентабельность торговой системы в пятикратном размере. Другими словами, заключение сделок при чувствительных начальных условиях может привести к увеличению прибыли на 500 процентов.

Рис. 12 Странный аттрактор

Заключение

В данной работе представлена лишь «верхушку айсберга», который называется теория Хаоса. Абстрактные на первый взгляд понятия имеют огромное практическое значение. Всё, что происходит вокруг нас, можно считать процессами самоорганизации материи, то есть процессами, идущим за счёт внутренних стимулов, не требующих вмешательства внешних, не принадлежащих системе факторов. Наш мир в целом претерпевает непрерывные изменения, и мы наблюдаем его непрекращающуюся эволюцию. К настоящему времени странные аттракторы обнаружены в самых разных фрагментах мира природы и человека, начиная с метеорологии и кончая нейрофизиологией. Выяснилось, что множество систем нашего организма работают в хаотическом или близком к нему режиме. Мы не можем полностью контролировать окружающий нас мир, но изучение теории аттракторов расширит наши представления о возможности предвидеть дальнейший ход событий и воздействовать на ситуацию.

Список использованных источников и литературы:

1. fund-intent.ru›Document/Show/3642

2. http://fxbook.su/baza-znanii/fraktaly-foreks-chto-yeto-za-zver.html

3. http://www.kakprosto.ru/kak-831117-chto-takoe-effekt-babochki#ixzz4Qg0U5IwG

4. http://lenta.ru›articles/2008/04/18/lorenz/

5. namerenie9.ru›publ/nauka…ehdvarda_nortona_lorenca…

6. http://pandia.ru/text/77/417/34496.php

7. Ильяшенко Ю.С. Аттракторы и их фрактальная размерность. – М.: МЦНМО, 2005. – 16с.

8. http://chaos.phys.msu.ru/loskutov/PDF/Lectures_math_found_of_chaot_dyn_syst.pdf

16