II Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

ТОЧКА ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ В ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ ПОСТРОЕНИИ СКРИПКИ

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Шишкина М.С. 1

---

1Новгородская обл. г.Старая Русса МАОУ Гимназия №10

Шишкина А.В. 1

---

1МАОУ Гимназия №10 г.Старая Русса

Работа в формате PDF

1 MB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Актуальность темы

На определенном этапе своего развития человек начал задаваться вопросом: почему тот или иной предмет является красивым и что является основой прекрасного? Ещё у древних греков родилось представление о том, что основой прекрасного является гармония, в основе которой лежит формула золотого сечения.

Что это за идеальное, божественное сочетание?

Может быть, это закон красоты?

Или все-таки он — мистическая тайна?

Научный феномен или этический принцип?

Ответ неизвестен до сих пор. Точнее — нет, известен.

«Золотое сечение» — это и то, и другое, и третье. Только не по отдельности, а одновременно... И в этом его подлинная загадка, его великая тайна.

Я очень люблю гармонию, красоту и всё, что связано с ними. Я очень люблю и играть на скрипке и, взяв инструмент я задумываюсь, «Как человек смог создать инструмент? От чего зависит красота звучания. Мне захотелось узнать больше о влиянии золотой точки сечения на внешнюю красоту формы инструмента и особенности его звучания. Результатом моей деятельности и явилась данная исследовательская работа.

Гипотеза

За красоту и гармонию в природе «отвечает» математика. То есть особые числовые закономерности существуют во всем, что нас окружает.

Цели исследования

Выявить принципы применения «золо­того сечения» в математике, а так же значение формулы в создании музыкального инструмента.

Задачи исследования:

• описать геометрический смысл «золотого сечения»;

• изучить теоретический материал по данной теме

• выяснить, как формула золотого сечения влияет на красоту формы и звучания инструмента.

Объект исследования:

Инструмент скрипка

Предмет исследования:

Место нахождения точки золотого сечения на инструменте, а так же влияние её математической формулы на мастерство создания скрипки.

Методы исследования:

1. Поисковый

2. Наблюдения

3. Анализ информации

Глава 1. ТЕОРИТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

Что такое Золотое сечение?

На протяжении многих веков, для построения гармоничных композиций художники пользуются понятием "Золотого сечения".

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ - пропорция, которой древние маги приписывали особые свойства. Если произвести деление объекта на две неравные части так, что меньшая будет относиться к большей, как большая ко всему объекту, возникнет так называемое золотое сечение. Упрощенно такое соотношение можно представить как 2/3 или 3/5. Замечено, что объекты, содержащие в себе "золотое сечение", воспринимаются людьми как наиболее гармоничные. "Золотое сечение" обнаружено в египетских пирамидах, многих произведениях искусства - скульптурах, картинах, и даже кинофильмах. Большинство художников использовали пропорции "золотого сечения" интуитивно. Но некоторые делали это сознательно. Так С.Эйзенштейн искусственно построил фильм "Броненосец Потемкин" по правилам "золотого сечения". Он разбил ленту на пять частей. В первых трех действие разворачивается на корабле. В двух последних - в Одессе, где разворачивается восстание. Этот переход в город происходит точно в точке золотого сечения. Да и в каждой части есть свой перелом, происходящий по закону золотого сечения. В кадре, сцене, эпизоде происходит некий скачок в развитии темы: сюжета, настроения. Так как такой переход близок к точке золотого сечения, он воспринимается как наиболее закономерный и естественный.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СУЩНОСТЬ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ

Понятие золотого сечения

Золотое сечение - деление непрерывной величины на две части в таком отношении, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине (рис.2.1). [12]

Рис. 2.1

a : b = b : c или с : b = b : а

Эта пропорция равна: (формула 2.1)

≈1.61803398874989484…

Золотое сечение тесно связано с числами Фибоначчи. Числа 0.618 и 0.382 являются коэффициентами последовательности Фибоначчи. На этой пропорции базируются основные геометрические фигуры.

Рассмотрим взаимосвязь «золотого сечения с числами Фибоначчи.

Числа, образующие последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,... называются «числами Фибоначчи», а сама последовательность - последовательностью Фибоначчи. Суть последовательности Фибоначчи в том, что начиная с 1, 1 следующее число получается сложением двух предыдущих.

Данная последовательность асимптотически (приближаясь все медленнее и медленнее) стремится к некоторому постоянному соотношению. Однако, это соотношение иррационально, то есть представляет собой число с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифр в дробной части. Его невозможно выразить точно.

Если какой-либо член последовательности Фибоначчи разделить на предшествующий ему (например, 13:8), результатом будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1.61803398875... и через раз то превосходящая, то не достигающая его. [10]

Интерес человека к природе привёл к открытию её физических и математических закономерностей. Красота природных форм рождается во взаимодействии двух физических сил - тяготении и инерции. Золотая пропорция - это математический символ этого взаимодействия, поскольку выражает основные моменты живого роста: стремительный взлёт юных побегов сменяется замедленным ростом «по инерции» до момента цветения.

Рассматривая расположение листьев на общем стебле многих растений, можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев третья расположена в месте «золотого сечения».

Одним из первых проявлений золотого сечения в природе подметил разносторонний наблюдатель, автор многих смелых гипотез немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер (1571 - 1630). С XVII в. наблюдения математических закономерностей в ботанике и зоологии стали быстро накапливаться.

В 1850 г. немецкий учёный А. Цейзинг открыл так называемый закон углов, согласно которому средняя величина углового отклонения ветки растения равна примерно 138°. Величина среднего углового отклонения ветки соответствует меньшей из двух частей, на которые делится полный угол при золотом сечении. [10]

2.2 .Золотое сечение в геометрии

«Золотой треугольник» - это равнобедренный треугольник, у которого отношение длины боковой стороны к длине основания равняется 1.618 (рис.2.5.).

Рис. 2.5

Возможны два типа золотых треугольников (рис. 2.5.а, б):

в первом случае , а во втором .

Последовательно отсекая от «золотых прямоугольников» квадраты до бесконечности, каждый раз соединяя противоположные точки четвертью окружности, можно получить довольно изящную кривую. Первым внимание на неё обратил древнегреческий ученый Архимед, имя которого она и носит. Он изучал её и вывел уравнение этой спирали (рис.2.7.)

Рис. 2.7

В настоящее время «спираль Архимеда» широко используется в технике. В гидротехнике по «золотой спирали» изгибают трубу, подводящую поток воды к лопастям турбины. Благодаря этому напор воды используется с наибольшей производительностью.

«Золотую спираль» также можно заметить в созданиях природы.

Например, расположение семечек в корзине подсолнечника. Они выстраиваются вдоль спиралей, которые закручиваются как слева направо, так и справа налево. В одну сторону у среднего подсолнечника закручено 13 спиралей, в другую - 21. Отношение 13: 21 - отношение Фибоначчи. У более крупных соцветий подсолнечника число соответствующих спиралей больше, но отношение числа спиралей, закручивающихся в разных направлениях также равно числу j.

Похожее спиральное расположение наблюдается у чешуек сосновых шишек или ячеек ананаса. По золотой спирали свёрнуты раковины многих моллюсков, некоторые пауки, сплетая паутину, закручивают нити вокруг центра по золотым спиралям. Рога архаров закручиваются по золотым спиралям. [11]

Природа повторяет свои находки, как в малом, так и в большом. По золотым спиралям закручиваются многие галактики, в частности и галактика Солнечной системы.

Таким образом, многие геометрические фигуры имеют пропорции золотого сечения и используются при построении архитектурных зданий, как, например,здание военного ведомства США «Пентагон».

Глава 2. Практическая часть.

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ СКРИПКИ

Проектирование скрипки - это скорее теоретическая стадия. основываясь на уже известных фактах и своих собственных исследованиях, я представляю вашему вниманию математическую модель скрипки, которая, я думаю, будет отвечать всем требованиям скрипичного конструирования. Эта простая геометрическая модель выполнена на персональном компьютере. Более сложная модель, та, которая имитирует поведение акустической системы в динамике, должна производится на мощных ЭВМ (электронно вычислительных машинах). Такая модель может быть использована для наблюдения за теми изменениями, которые возникают в системе при изменении её отдельных параметров.

Для вычерчивания контурных кривых скрипки я использовал шаблоны клотоиды (рис.1 в главе "Скрипка как конструкция"). Все операции проводились при помощи двух компьютерных программ: Adobe Photoshop (редакция картинки) и Adobe Illustrator (наложение чертежа на картинку). Клотоиду я вычерчивал в программе Illustrator при помощи Spiral tool по нижеприведенным координатам (таблица 1).

s X Y R

0.00 0.0000 0.0000

10 1000 0005 3.1831

20 1999 0042 1.5915

30 2994 0141 1.0610

40 3975 0334 0.7958

0.50 4923 0647 6366

60 5811 1105 5305

70 6597 1721 4547

80 7228 2493 3978

90 7648 3398 3537

1.00 7799 4383 3183

10 7638 5365 2894

20 7154 6234 2653

30 6386 6863 2449

40 5431 7135 2274

1.50 4453 6975 2122

60 3655 6389 1989

70 3238 5492 1872

80 3336 4509 1768

90 3945 3733 1675

2.00 4883 3434 1592

Таблица 1. Координаты клотоиды.

Данная таблица составлена в относительных размерах a = 1 Чтобы вычертить заданную клотоиду, надо числа, приведенные в таблице, умножить на значение масштаба клотоиды.

ЗАВИТОК ГОЛОВКИ

Анализируя конфигурацию скрипичной головки я пришел к выводу, что она была вычерчена с применением двух спиралей: логарифмической спирали или спирали Бернулли (рис.1) и спирали Корню или клотоиды.

Рис.1. Спираль Бернулли.

Эту спираль я вычерчивал в программе Illustrator при помощи Spiral tool по следующим параметрам:

radius = 16.8 mm, decay = 83.7%, segments =11, rotate = 90º.

Каждый сегмент равен четверти окружности.

В процессе анализа различных завитков я применял различные исходные радиусы и процент их уменьшения (decay).

Алгоритм вычерчивания скрипичной головки по рисунку Страдивари показан на рис. 2. Проводим две параллельные линии AB и ED так, чтобы они обе касались завитка, причем первая совпадала с линией шейки. Первая клотоида в масштабе 106 (а = 106) описывает внешнюю сторону завитка от места его касания с линией AB (точка В) до тыльной стороны колковой коробки (рис.10а). Внутренняя часть волюты описывается спиралью Бернулли, параметры которой приведены на рисунке. Верхнюю сторону колковой коробки я также вычерчиваю клотоидой a-106 которая своим основанием лежит на линии ED и касается линии AB. Заканчиваем чертить тыльную сторону колковой коробки клотоидой a-58. И последнее, соединяем верхнюю сторону коробки с завитком клотоидой a-51 так, чтобы ее основание лежало на линии EF, а завиток клотоиды плавно вписывался в волюту скрипичной головки. Отрезки OC и AD находятся в пропорции золотое сечение (1.6180339...) и равны соответственно 82.25мм и 50.83мм. Клотоида a-50 моделирует подручное место между головкой и шейкой скрипки. OC/AD = ф.

Рис.2. Геометрическая реконструкция рисунка скрипичной головки А.Страдивари.

Рис. 3. Геометрическая реконструкция скрипичной головки А.Страдивари, 1715.

На рис.3, где изображен анализ скрипичной головки А.Страдивари 1715 года, видно, что расположение и размеры клотоид соответствует предыдущему построению по рисунку. Здесь и далее я добавил еще одну клотоиду a-50 которая моделирует подручное место между головкой и шейкой скрипки. OC/AD = ф. Спираль Бернулли несколько отличается от предыдущего построения и ее параметры легко читаются на рисунке.

Рис. 4. Геометрическая реконструкция головки скрипки 'Emperor' А.Страдивари, 1715 г.

Хотя головка скрипки 'Emperor' 1715 г. сделана по той же модели, что и предыдущая, ее очертания несколько отличны, что легко читается по тем размерам, которые я привел на рисунке. Методика анализа скрипки, которую я избрал и которая требует наложения чертежа на изображение как целого инструмента, так и его отдельных частей.

Я уже не раз замечала, что кривая верхней части колковой коробки описывается клотоидой, расположенной как в направлении к завитку, так и в обратном направлении.

(рис.19).

Рис.19: рисунок тыльной стороны скрипичной головки.

Особой сложности в этой геометрии нет. Подручное место шейки очерчивается циркулем с радиусом около 12-13 мм, а ширина самого тонкого места в завитке равна около 11мм. Бóльшую сложность представляет распределение ширин завитка головки (рис.20) от самого тонкого места (точка M) до самого широкого в центре завитка.

Как уже было видно на примере скрипичной головки, для ее построения я использовал пропорцию "золотое сечение", которое определяется по отношению между высотой завитка головки (50.83 мм) и расстоянию между верхним порожком шейки и центром завитка (82.25 мм). Размер 50.83 мм получается умножением числа Пи (3,14159...) на 1.6180339 см (золотая пропорция).

Конечно, не все скрипки подпадают очень точно под это отношение, но разница невелика и выявленная закономерность прослеживается на большинстве инструментов.

Таким образом, для построения скрипки мы будем пользоваться двумя модусами: числом Пи для выявления размеров основных частей инструмента и клотоидой для вычерчивания контурных кривых. В качестве модулера мы будем использовать "золотую пропорцию", ее производные и отношения 1/2; 2/3;3/4; 4/5; 3/5; 5/8 и др.

Исходя из сказанного, основные размеры скрипки мы будем определять как геометрическую прогрессию числа Пи в пропорциональном отношении золотого сечения.

КОРПУС СКРИПКИ

Геометрический анализ корпуса скрипки начинаем с построения эфов. Такую последовательность я избрали потому, что она (как это будет видно в дальнейшем) определяет размеры и положение С-образных вырезов, так называемую талию скрипки. Это будет иметь немаловажное значение при дальнейших расчетах геометрии всего инструмента.

Как было показано выше, местоположение внутренних зарубок эфов мы находим по линии Е. Тогда мензура инструмента (расстояние между внутренними зарубками эфов до верхнего края деки) будет 192.6 мм + 3.5 мм = 196.1 мм при длине корпуса 355.41 мм (348.41 мм + 3.5 мм + 3.5 мм). Ниже я привожу сводную таблицу соотношения длины инструмента с мензурой различных мастеров Италии и моей скрипкой.

Мастер Длина инструмента, мм Мензура, мм

А.Страдивари

1686 354 195

1688 358 193

1688 357 198

1700 358 197

1706 356 196

1707 356 196

1708 353.5 195

1710 358 197

1705 351 190

1708 362 196

1711 359 195

1716 354.5 192

1718 350 188

без года 354 196

после 1727 357.5 195

после 1727 356.5 195

1736 358 198

Н.Амати

1658 356 195

1663 354.5 197

без года 353 196

1678 351 190

А.и И.Амати

1628 352 196

1629 351 195

А.Гварнери

1665 353 193

Гварнери дель Джезу

Моя скрипка 357.5 196

(фабричка) 350 188

ЭФЫ

Корпус скрипки мы будем рассматривать как восьмеркообразный двойной резонатор. Причем, верхний и нижний овалы представляют собой две "луковицы" соединенные вместе.

Ширина верхнего овала (F¹F²) = 155 мм, ширина нижнего овала (G¹G²) = 193.2 мм, талия = 101.5 мм. Причем G¹G²/ F¹F² = 5/4.

Точка М (начало нижней луковицы) - делит длину патрона на два отрезка в пропорции 2/ф (1,2360678) тогда MD = 189.6 мм, а СМ = 153.4 мм.

Для вычерчивания нижней луковицы я использовала клотоиду a-200. Начало клотоиды лежит в точке М, касается С- образного выреза талии и далее вписывается в овал патрона почти до самого нижнего клеца. Причем угол КMP = 58º.

Аналогичное построение производим и с противоположной стороной луковицы. Участок около нижнего клеца дорисовываем клотоидой a-130 так, чтобы она плавно вписывалась в клотоиду a-200 и касалась горизонтальной линии D.

Как видно из рисунка, нижний овал построен довольно симметрично.

ВЫВОД

• Вышеприведенный анализ головки, эфов и корпуса скрипки позволяет сделать вывод о целенаправленном применении великими мастерами некоторых пропорциональных отношений и геометрических углов, применении ими клотоид, как неких шаблонов, для вычерчивания контурных кривых инструмента.

• Анализируя строение своей скрипки и сравнивая её со скрипкой Страдивари и Амитти поняла, что все современные скрипки являются копией инструментов этих великих мастеров.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Золотое сечение нельзя рассматривать само по себе, отдельно, без связи с симметрией. Великий русский кристаллограф Г.В. Вульф (1863...1925) считал золотое сечение одним из проявлений симметрии. Золотое деление не есть проявление асимметрии, чего-то противоположного симметрии Согласно современным представлениям золотое деление – это асимметричная симметрия.

В науку о симметрии вошли такие понятия, как статическая и динамическая симметрия. Статическая симметрия характеризует покой, равновесие, а динамическая – движение, рост. Так, в природе статическая симметрия представлена строением кристаллов, а в искусстве характеризует покой, равновесие и неподвижность. Динамическая симметрия выражает активность, характеризует движение, развитие, ритм, она – свидетельство жизни. Статической симметрии свойственны равные отрезки, равные величины. Динамической симметрии свойственно увеличение отрезков или их уменьшение, и оно выражается в величинах золотого сечения возрастающего или убывающего ряда.

Работать над этим проектом мне было очень интересно. В процессе исследования я узнала, что использование математической формулы золотого сечения в проектировании скрипки не только делает инструмент красивым но и на прямую влияет на красоту его звучания

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Д. Пидоу. Геометрия и искусство. – М.: Мир, 1979.

2. Журнал "Наука и техника"

3. Журнал «Квант», 1973, № 8.

4. Журнал «Математика в школе», 1994, № 2; № 3.

5. Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи. К.: Выща школа, 1989.

6. Стахов А. Коды золотой пропорции.

7. Воробьев Н.Н. "Числа Фибоначчи" - М.: Наука 1964

8. "Математика - Энциклопедия для детей" М.: Аванта +, 1998

9. К. Флеш, Искусство скрипичной игры (том 2) — Классика-XXI, М., 2007.Витачек Е.Ф.

10. Очерки по истории изготовления струнных инструментов. М., 1964 (второе издание)Леман А.И. О скрипке (1889-1906). СПб., 1906 – музыкальная энциклопедия.

21