II Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

ПРОЦЕНТЫ В ШКОЛЕ И В ЖИЗНИ

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Богачев В.Р. 1

---

1

Шкулепо В.Н. 1

---

1

Работа в формате PDF

232.9 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

 Введение.

Математика, давно став языком науки и техники, в настоящее время всё шире проникает в повседневную жизнь и обиходный язык, все более внедряется в традиционно далекие от нее области.

Проценты – это одна из сложнейших тем математики. Она является универсальной, так как связывает между собой многие точные и естественные науки, бытовые и производственные сферы жизни. Обучающиеся сталкиваются с процентами не только на уроках физики, химии, но и при чтении газет, просмотре телепередач. Каждый из нас ежедневно встречается с ценами на товары и услуги. С такими задачами приходится иметь дело при оформлении в банке сберегательного вклада или кредита, покупке товара в рассрочку, при выплате пени, налогов, страхования.

Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Вопросы инфляции, девальвации, повышения цен, снижения покупательской способности касаются каждого человека в нашем обществе. Планирование семейного бюджета, работы на предприятиях невозможно без умения производить несложные процентные вычисления.

Проценты творят чудеса. Зная их, бедный может стать богатым. Обманутый вчера в торговой сделке покупатель сегодня обоснованно требует процент торговой скидки. Вкладчик сбережений учится жить на проценты, грамотно размещая деньги в прибыльное дело.

Широкое использование процентов в наши дни побудило меня к более глубокому исследованию данной темы.

Цели и задачи исследования:

1. Познакомиться с историей возникновения процентов.

2. Научиться решать задачи на проценты разными способами.

3. Научиться решать задачи на сложные проценты.

4. Узнать в каких профессиях используются и как.

Методом исследования был поиск и чтение научной литературы, выписки и их осмысление.

История происхождения процентов.

Слово процент от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Изначально это понятие появилось в Древнем Риме, как термин юридический, именно столько должен был платить должник ростовщику за право пользоваться его деньгами. Ряд задач клинописных табличек посвящён исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти». От римлян проценты перешли к другим народам.

Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычисляли проценты, применяя так называемое тройное правило, т.е. пользуясь пропорцией. Они умели производить и более сложные вычисления с применением процентов.

В середине XVI века в Европе в связи с широким развитием торговли особенно большое внимание обращали на умение вычислять проценты. В то время приходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов, т.е. сложные проценты, как называют их в наше время. Отдельные конторы и предприятия для облегчения труда при вычислениях процентов разрабатывали свои особые таблицы, которые составляли коммерческий секрет фирмы. Впервые опубликовал таблицы для расчёта процентов в 1584 году Симон Стевин – инженер из города Брюгге (Нидерланды).

Употребление термина «процент» в России начинается в конце XVIII в. Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчётах, статистике, науке и технике. Ныне процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу).

Введение процентов было удобным для определения содержания одного вещества в другом; в процентах стали измерять количественное изменение производства товара, рост и спад цен, рост денежного дохода и т.д.

Интересно происхождение обозначения процента. Существует версия, что знак % происходит от итальянского procento(сто), которое в процентных расчетах часто сокращённо писалось cto. Отсюда путем дальнейшего сокращения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный знак процента.

Также есть предположение, что знак % возник в результате опечатки. В 1685г в Париже была напечатана книга «Руководство по коммерческой арифметике», где по ошибке вместо сtо было набрано %. После этого знак %, получил всеобщее признание и до сих пор мы пользуемся этим значком процента

Процесс решения задачи

Задачи с процентами можно решить разными способами: уравнением, составлением таблицы, применяя пропорцию, по действиям, используя правила.

Главное при решении текстовых задач – записывать словесные условия при помощи уравнений или неравенств. Для этого необходимо внимательно прочитать условие задачи, чтобы стало понятно её содержание. Затем, при очередном прочтении условия задачи, нужно постепенно вводить неизвестные и сразу записывать связи между известными и неизвестными величинами в виде уравнений или неравенств.

Проценты в школе.

Решение задач на проценты разными способами

При решении задач на проценты в 5 - 6 классах применяют следующие правила:

Нахождение процентов от числа: Чтобы найти проценты от числа нужно, проценты превратить в десятичную дробь и умножить на это число.

Нахождение числа по его процентам: Чтобы найти число по его процентам нужно, проценты превратить в десятичную дробь и число разделить на эту дробь.

Нахождение процентного отношения чисел: Чтобы найти процентное отношение чисел, надо отношение этих чисел умножить на 100.

Задачи с процентами можно решить разными способами: уравнением, составлением таблицы, применяя пропорцию, по действиям, используя правила. Некоторые из них:

Задача 1.

Собрали 100 кг грибов. Оказалось, что их влажность 99%. Когда

грибы подсушили, влажность снизилась до 98%. Какой стала масса этих грибов после подсушивания?

Решение.

Так как влажность грибов составляет 99%, это означает, что на так

называемое «сухое вещество приходится 1% грибов, т.е. 1 кг, после сушки

влажность составляет 98%, т.е. на «сухое вещество» приходится 2%, т.е. 1кг это 0,02 подсушенных грибов, 1 кг : 0,02=50 кг.

Ответ. 50 кг

Задача 2.

Вода при замерзании увеличивается на 1/9 своего объёма. На сколько процентов своего объёма уменьшится лёд при превращении в воду?

Решение.

Если V – объем воды, то (1 + 1/9) х V = 10/9 х V – объём льда.

объём льда – объём воды

Искомое решение = ________________________ х 100 %;

объём льда

подставив необходимые величины, получим, что объём льда уменьшится на 10%.

Ответ: на 10 %.

Задача 3.

Если первую цифру двузначного числа увеличить на 25 %, то получим его вторую цифру, а если вторую цифру этого двузначного числа уменьшить на 20 %, то получим первую цифру. Найдите это двузначное число.

Решение.

Пусть а– первая цифра двузначного числа;

b – вторая цифра двузначного числа.

Имеем систему уравнений:

1,25a = b;

0,8b = a,

учитывая, что а, b – цифры, получим, что а = 4 и b = 5.

Ответ: Искомое двузначное число – 45.

Задача 4.

В течение января цена на яблоки выросла на 30%, а в течение февраля – на 20%. На сколько процентов поднялась цена за 2 месяца?

Решение.

Утверждать, что цена выросла на 50%, нельзя, поскольку «первые» 30% подсчитываются от цены в конце декабря, а «вторые» 20% - от другой величины, цены на конец января.

Потом будем рассуждать последовательно, обозначив для удобства первоначальную ценуS. В конце января она стала равна 1,3S, а в конце февраля – 1,2 * (1,3S) = 1,56S. Следовательно, она выросла на 56%.

Решение можно записать так:

Пусть S – первоначальная цена.

1)1,3S – цена в конце января (130% от S).

2)1,2 * (1,3S) = 1,56S – цена в конце февраля (120% от 1,3S).

3)1,56S составляет 156% от S.

156% - 100% = 56%

Ответ: за 2 месяца цена выросла на 56%.

Задача 5.

В бассейн проведена труба. Вследствие засорения её приток воды уменьшился на 60%. На сколько процентов вследствие этого увеличится время, необходимое для заполнения бассейна

Решение.

Пусть Х – объем воды, который должен поступить за время Т при притоке А в единицу времени., т.е. Х=АТ. Так как приток уменьшился на 60%, т.е. стал составлять 0,4А, тогда время стало ТК. Получим АТ=0,4А*КТ, откуда К = 2,5, что составляет 250% от времени, необходимого на заполнение бассейна до засорения, т.е. время увеличилось на 150%

Ответ. 150 %

Решение задач по формуле сложных процентов.

Сложным процентом называется сумма дохода, которая образуется в результате инвестирования денег при условии, что сумма начисленного простого процента не выплачивается в конце каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в следующем платежном периоде сама приносит доход.

Сложные проценты - это проценты, полученные на начисленные проценты.

Формула сложного процента - это формула, по которой рассчитывается итоговая сумма с учётом начисления процентов.

х(1+ 0,01а)n - периодическое увеличение некоторой величины на одно и то же число процентов, где х - начальный вклад, сумма а – процент(ы) годовых, n - время размещения вклада в банке

Но, мы можем и уменьшать цену, поэтому эту формулу можно записать и по- другому: х(1- 0,01а)n - периодическое уменьшение некоторой величины на одно и то же число процентов.

Так как в задачах используется такое понятие, как депозит, поэтому необходимо разъяснить что это такое.

«Что такое депозит? Что такое депозит в банке? Что такое банковский депозит? Что такое вклад?» - ответ на эти вопросы знаком не всем, да и отличаются ли эти понятия друг от друга. Начнем с того, что слово депозит - это производная от латинского «depositum», которая означает "вещь, отданную на хранение". В соответствии с экономическими и толковыми словарями терминов рыночной экономики, а также в соответствии с малым энциклопедическим словарем, депозиты имеют более широкое толкование, одним из видов которого является «вклад».

Общее определение депозита

Депозиты - это денежные средства или ценные бумаги, отданные на хранение в финансово-кредитные, таможенные, судебные или административные учреждения, с правом возврата. Расширенное толкование этого понятия звучит приблизительно так:депозит, это взнос в таможенный орган в обеспечение оплаты таможенных пошлин и сборов;

Депозит - это взнос в судебные и административные учреждения в обеспечение иска, явки в суд, задатка для участия в аукционе.депозит, это вклад денежных средств или ценных бумаг предприятий, организаций и населения в коммерческие банки на определенных условиях с целью получения доходов или получения гарантий.

Задача 1.

Банк обещал своим клиентам годовой рост вклада 30%. Какую сумму денег может получить человек, вложивший в этот банк 450 тысяч рублей?

Решение.

1) 4500 * 0,3 = 1350 (руб.) – «прирост» за год.

2) 4500 + 1350 = 5850 (руб.)

Ответ: в конце года на счете будет находиться 5851 руб.

Задачу можно было бы решить и иначе: сначала найти, сколько процентов составит сумма на счете в конце года от первоначальной – 100% + 30% = 130%, а затем вычислить 130% от 1500 руб.

Задача 2.

Какую сумму следует положить в банк, выплачивающий 25% годовых, чтобы по истечении года получить 1000 руб.?

Решение.

100% + 25% = 125% - составляет 1000 руб. от первоначального вклада.

125% = 1,25 = 800 (руб.) – сумма вклада.

Ответ: сумма вклада 800 руб.

Задача 3.

В банке открыт срочный депозит на сумму 50000 рублей по 12% на 3 года. Рассчитать наращенную сумму, если проценты: а) простые; б) сложные.

Решение:

По формуле простых процентов:

Sn = (1 + 3*0.12)*50000 = 68000 рублей

По формуле сложных процентов:

Sn = (1 + 0.12)³*50000 = 70246 рублей .

Задача 4. В банке открыт срочный депозит на сумму 50000 рублей по 12 % на 3 года. Рассчитать наращенную сумму, если проценты начисляются ежеквартально.

Решение:

По формуле сложных процентов:

Sn = (1 + 0.12/4)^3*4*50000 = 1.03¹²*50000 = 71288 рублей .

Задача 5.

Банк предлагает два варианта депозита:

под 120% с начислением процентов в конце года.

под 100% с начислением процентов в конце каждого квартала.

Определить более выгодный вариант размещения депозитов на один год.

Решение:

Более выгодным считается тот вариант, при котором наращенная за год сумма будет больше. Для оценки вариантов начальную сумму примем равную 100 рублей.

По первому варианту наращенная сумма будет равна

(1+1.2)*100 = 220 рублей

По второму варианту проценты начисляются ежеквартально. По окончании первого квартала наращенная сумма равна

(1+1.0/4)*100 = 125 рублей

По окончании второго квартала (1+1.0/4)*125 = 156 рублей или (1+1.0/4)²*100 = 156 рублей

За год наращенная сумма равна

(1+1.0/4)⁴*100 = 244 рубля.

Решение задач на смеси и сплавы.

Задача1.

Сплав меди и цинка весом 20кг содержит 30% меди. Добавили 22кг цинка. Сколько нужно добавить меди, чтобы в сплаве стало 60% цинка.

Решение:

I способ:

30% 70%

20кг = 6кг + 36кг

Добавили цинка - +22кг

42кг = 6кг + 36кг

100% = 40% + 60%

36кг составляет 60%.

36:0.6=60кг – новый сплав.

60(кг) = 6(кг) + 36(кг) + x(кг)

x=18 (кг).

II способ:

Очень удобно в задачах на сплавы, смеси, концентрации составлять таблицу по условию задачи (жирным шрифтом), а затем заполнять пустые клетки, руководствуясь законом сохранения массы (объема) и формулами расчета «Процент от числа».

Для начала нужно определить количество объектов, которые участвуют в условии задачи (в нашем случае их 4), затем занести в таблицу все, что говорится о каждом объекте. По вопросу задачу вводится переменная (в нашем случае это x кг меди)

Теперь начинаем заполнение пустых клеток:

Нам, в принципе, достаточно заполнения четырех строк, чтобы составить уравнение. Обратим внимание на «желтую» клетку - эта клетка является ключом составления уравнения задачи, т.к. мы ее можем заполнить по формуле «40 % от числа 42+x», а также по закону сохранения массы: (20*30)/100+0+x. Следовательно, имеем уравнение:

Ответ: 18.

Применение процентов в жизни.

Исследование бюджета семьи:

Проценты широко применяются в повседневной жизни. Я покажу это на примере составления бюджета семьи, используя правило нахождения процентов от числа для того, чтобы узнать процентный доход в бюджет каждого из родителей.

Вычисления: для того чтобы найти в процентах зарплату, надо сумму умножить на 100 и разделить на 46000.

1. 31000*100/46000=67,4%;

2. 15000*100/46000=32,6%.

Вывод: составил бюджет своей семьи, применил свойство нахождения процентов от числа и представил данные в виде таблицы.

Распределение семейного бюджета можно наглядно увидеть в таблице:

Из таблицы видно, что наибольшее число процентов семейного бюджета расходуется на питание (19,6%), приобретение одежды (13,1%).

Применение процентов в сфере ЖКХ

на примере МУП “Удомельские коммунальные системы”.

Реализация отпущенной холодной воды за июль месяц 2016 года.

При составлении данных расчетов я использовал правило нахождения процентов от числа для того, чтобы узнать процентную реализацию объемов воды.

Составим по таблице диаграмму:

Анализ работы за 1 полугодие 2016 года

Для расчета сравнительного анализа я использовал способ нахождение процентного отношения чисел:

Вывод: из таблицы видно, что фактические затраты на заработную плату со страховыми взносами и материалы на технологические цели меньше чем по плану, а остальные позиции завышены. В результате этого убытки предприятия за 1 полугодие составляют 5,75% (1800,7тыс. руб.). Этот анализ нужен экономистам предприятия для того, чтобы скорректировать запланированные затраты на следующее полугодие без убытков.

В следующей диаграмме показано сравнение плана и факта:

Заключение.

Работа над этой темой помогла мне лучше узнать историю возникновения процентов. Столь близкое знакомство с широкой областью применения процентов позволило по-другому взглянуть на предметы школьного курса, более осмысленно воспринимать учебный материал на уроках. После проделанной работы я стал лучше понимать новостные программы, газетные статьи, рекламные издания, научился осознанно воспринимать предлагаемую числовую информацию, размышлять над ней, анализировать. Познакомился с новыми терминами, прикоснулся к разным областям окружающей жизни, исследовал бюджет семьи и анализ работы предприятия.

В ходе проделанной работы я узнал, что сложные проценты – это проценты, полученные на начисленные проценты. Формула сложного процента - это формула, по которой рассчитывается итоговая сумма с учётом начисления процентов. При решении задач подробнее изучил правила нахождения процентов.

Список использованных источников.

1.Википедия - интернет пособие.

2. Никольский С. М. Арифметика. Учебник для 6 кл. общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2000.

3. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре 8-9 класс. – Москва «Просвещение», 2006.

4. Виленкин Н.Я. Математика. Учебник для 6 класса средней школы. – М.: Просвещение, 2005.

17