II Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

ГУЛЛИВЕР, ЛИЛИПУТЫ И МАТЕМАТИКА

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Попова Э.Р. 1

---

1

Лидовская Н.А. 1

---

1

Работа в формате PDF

225.6 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Гуманитарные науки… только тогда будут удовлетворять человеческую мысль, когда в движении своём они встретятся с точными науками и пойдут с ними рядом.

А.П. Чехов

В мае 2015 года¹, в конце учебного года, будущими шестиклассниками нашей школы (и мной в том числе) был получен список литературы для прочтения летом. Одной из книг этого списка «Из зарубежной литературы» был роман Джонатана Свифта «Путешествия Гулливера», который заинтересовал меня математическими задачками (приложение 1, 28 задач).

Перечитав книгу глазами математика, замечая и анализируя забавные ситуации, эпизоды, связанные с числами, я заинтересовалась: а какова же роль математических данных в тексте? Эти данные используются с достоверной точностью или просто так, «к слову»? Каковы размеры предметов в стране «Лилипутии»? Верно ли проведены вычисления, рассуждения и сделаны выводы? Эти вопросы и определили тему моей исследовательской работы: «Гулливер, лилипуты и математика».

Проблема: 1) насколько точны расчёты самого автора; 2) все ли утверждения рассчитаны по правилам математики или выбор математических величин случаен; 3) используются ли автором научные знания в процессе написания романа.

Гипотеза: все утверждения автора в романе «Путешествия Гулливера. Путешествие в Лилипутию» верны и рассчитаны по законам математики.

Цель: проверить правильность расчетов математических величин в романе.

Задачи:

1. Изучить старинные меры длины, встречаемые в книге.

2. Выбрать математические задачи в книге Дж. Свифта «Путешествие в Лилипутию.

3. Сравнить реальный мир с миром лилипутов (с точки зрения математики).

4. Провести исследование решения задач, предложенных автором книги.

5. Сделать вывод о правильности решения задач.

Объект исследования: литературное произведение Джонатана Свифта «Путешествия Гулливера. Путешествие в Лилипутию». Предмет исследования: математические задачи. Методы: работа с литературным источником, поиск, изучение, анализ, обобщение, сравнение. Практическая значимость: решение математических задач.

Актуальность исследования заключается в том, что в работе показано отношение площадей и объёмов прямо пропорциональных величин непосредственно при решении задач.

Джонатан Свифт (1667 – 1745), величайший английский сатирик, родился в Дублине в семье англичан.

В знаменитом романе «Путешествия Гулливера» герой Лемюэль Гулливер совершает увлекательные путешествия. Отплывая каждый раз из вполне конкретного, реально существующего на карте портового города, он неожиданно попадает в диковинные страны. Сначала – в Лилипутию, где живут очень маленькие люди, и он предстаёт перед ними как человек-гора. Потом оказывается в государстве Бробдингнег, населённом людьми-великанами, и превращается там в лилипута. В третьем путешествии Гулливера занесло на летающий остров Лапуту, а в четвёртом — в страну гуингнмов, где миром правят лошади.

Гулливер попадает в страну лилипутов. Что это за страна? Что за люди в этой стране? «…Отпустив глаза как можно ниже, я различил перед собою человеческое существо ростом не более 6 дюймов, с луком и стрелой в руках и колчаном за спиной» [8, стр.11] (приложение 1, задача 1)

В стране лилипутов футу соответствовал дюйм. 1фут=12 дюймов. То есть все люди, все вещи, все объекты природы в 12 раз меньше нормальных.

1фут = 30,48 см = см 1 дюйм = 2,54 см 1фут=12 дюймов.

Рост лилипута: 2,54*6 = 15,24 см Рост Гулливера 12*15,24= 182,88 (не выше 183 см)

Рост лилипута : Рост Гулливера = 15,24 : 182,88 = 1 : 12

В стране лилипутов размеры – высота, ширина и толщина всех людей, животных, растений и вещей были в 12 раз меньше, чем у нас.²

Вывод: все расчеты вычислений для сравнения маленьких людей страны Лилипутии и людей «нашего» мира (мира главного героя Гулливера) необходимо проводить в отношении 1:12.

Дюйм – мера длины, которой пользуются во многих странах долгие века. Произошёл дюйм от ширины большого пальца. Само слово по-голландски означает «большой палец». В Англии его размер определили более точно. Дюйм – это длина трёх сухих зёрен ячменя, вынутых из средней части колоса. Дюйм равен 2,54 см.В Англии, Америке и некоторых других странах дюйм – основная мера длины в технике. Дюйм равен 1/12 фута. [2]

Фут – мера длины, произошла она от английского слова foot – «ступня», то есть фут – это длина ступни человека.

В разных странах существуют разные футы – от 28 до 33 см. Но самый главный фут – английский, равный 30,48 см. Такой же величины был и русский фут, существовавший до перехода нашей страны на метрическую систему мер. [5]

Ярд – эта мера длины была введена королем Эдгаром и равнялась расстоянию от кончика носа его величества до кончика среднего пальца вытянутой в сторону руки.

Как только сменился король, ярд удлинился, так как новый монарх был более крупного телосложения. Такие изменения длины внесли большую путаницу, поэтому король Генрих1 узаконил постоянный ярд и приказал изготовить из вяза эталон. Этим ярдом в Англии пользуются до сих пор(длина его равна 0,9144 м). [3]

Ми́ля (от лат. mille passuum – тысяча двойных римских шагов «тростей») — путевая мера для измерения расстояния, введённая в Риме. Величина мили различна в различных странах и колеблется от 0,58 км (Египет) до 11,3 км (старонорвежская миля). Ещё в XVIII веке в Европе было 46 разновидностей миль. Морская миля: 1 миля = 1852 м [6]

Пи́нта – единица объёма в системе английских мер. Используется, в основном, в США, Великобритании и Ирландии. Однако величина американской и английской пинт неодинакова: 1 английская пинта = 0,56826125 литра [4]

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз. [7, стр. 128]

Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.

Вывод: описанный Свифтом мир лилипутов прямо пропорционален миру главного героя Гулливера, линейное отношение соответствующих величин 1:12.

Во второй главе рассмотрим решение математических задач (приложение 1), выбранных при чтении романа части первой «Путешествие в Лилипутию», разделив их по решению на три типа: линейное отношение, квадратное отношение и кубическое отношение прямо пропорциональных величин. К 1-ому типу относятся задачи 1, 2, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 16-19, 21, 24-26, ко 2-ому типу – задачи 20, 22, 23, а к 3-ьему – 3, 7, 8, 13-15.

Задача 4.Гулливер на довольствии у лилипутов, часть 2

«Триста поваров, – рассказывает Гулливер, – готовили для меня кушанье. Вокруг моего дома были поставлены шалаши, где происходила стряпня и жили повара со своими семьями». [8, стр. 45]

Чтобы накормить Гулливера, необходимо приготовить 1728 обедов (задача 3). При условии, что один повар-лилипут может сварить полдюжины (или 6) лилипутских обедов, то чтобы приготовить 1728 обедов, требуется не менее 300 поваров (1728 : 6).

Задача 16.Замок для Гулливера

«Выходившие на север двери этого здания имели около 4 футов в вышину и около 2 футов в ширину, так что я довольно легко мог в них пролезть. По обе стороны дверей на высоте всего 6 дюймов от земли было два окошка. … Я имел возможность… заползать в храм и лежать в нем, вытянувшись во весь рост». [8, стр. 24-25]

Высота: см. Округлим результат до целых 1м 22см.

Ширина была 2 фута, а, значит, в 2 раза меньше высоты. Следовательно, ширина двери:122:2=61см. Конечно, такие двери для нас низкие и узкие, но в такое отверстие можно пролезть и нормальному человеку.

Окна в этом здании были на высоте 6 дюймов от земли. см . Смотреть в такое окно Гулливер мог только лежа на земле.

Интересно, как смогли лилипуты построить здания таких размеров? Гулливер мог лежать в здании, вытянувшись во весь рост. Значит, длина здания была примерно 2 метра, а ширина не меньше 1метра 50 сантиметров. Видимо, лилипуты были, как пишут в книге, хорошими математиками и механиками.

Задача 25.Главный город Лилипутии

«Город имеет форму правильного четырехугольника. Каждая сторона городской стены равна 500 футов. Две главные улицы, шириной 5 футов каждая, пересекаются под прямым углом и делят город на 4 квартала. В боковые улицы и переулки я не мог пробраться и видел их только сверху. Они имеют в ширину от 12 до 18 дюймов. Город может вместить до 500 тысяч жителей. Дома трех – и пятиэтажные…. Главное здание с двумя внутренними дворами стоит посередине обширной площади, обнесенной стеной в два фута вышины». [8, стр. 62]

Город имеет форму квадрата, разделенного основными улицами на 4 квартала, с Императорским дворцом в самом центре.

Городская стена длиной:

Ширина главной улицы:

Ширина боковых улиц:

Ширина ворот: Высота ворот:

Вывод: Для решения задач типа «Линейное отношение прямо пропорциональных величин» необходимо использовать отношение величин 1 : 12 (мир лилипутов в двенадцать раз меньше мира главного героя Гулливера).

Для перевода величин из футов и дюймов в сантиметры необходимо умножить исходную величину на 30,48 или 2,5, соответственно. [6, 5, соответственно]

Задача 22. Жесткая постель

О том, как лилипуты приготовили ложе своему гостю-великану, читаем следующее: «Шестьсот тюфяков обыкновенных лилипутских размеров было доставлено на подводах в мое помещение, где портные принялись за работу. Из полутораста тюфяков, сшитых вместе, вышел один, на котором я мог свободно поместиться в длину и ширину. Четыре таких тюфяка положили один на другой, но на этой постели мне было так же жестко спать, как на каменном полу». [8, стр. 44]

Почему Гулливеру было на этой постели так жестко? И правилен ли приведенный здесь расчет? Расчет сделан вполне правильно. Если тюфяк лилипутов в 12 раз короче и в 12 раз уже тюфяка обычных размеров, то поверхность его в 12 × 12 раз меньше поверхности нашего тюфяка. Чтобы улечься, Гулливеру нужно было, следовательно, 144 (круглым счетом 150) лилипутских тюфяка. Но такой тюфяк очень тонок – в 12 раз тоньше нашего. Теперь понятно, почему даже 4 слоя подобных тюфяков не сделали ложе достаточно мягким. Тюфяк получился втрое тоньше, чем наш обыкновенный.

Задача 23. Триста портных

«Ко мне было прикомандировано 300 портных-лилипутов с наказом сшить мне полную пару платья по местным образцам». [8, стр. 49] Неужели нужна такая армия портных, чтобы сшить один костюм на человека, ростом всего в дюжину раз больше лилипутов?

Поверхность тела Гулливера была не в 12 раз больше поверхности тела лилипутов, а в 12 × 12, т. е. в 144 раза. Это станет ясно, если мы представим себе, что каждому квадратному дюйму поверхности тела лилипута соответствует квадратный фут поверхности тела Гулливера, а в квадратном футе 144 квадратных дюймов. Раз так, то на костюм Гулливера должно было пойти в 144 раза больше сукна, чем на костюм лилипута, и, значит, соответственно больше рабочего времени. Если один портной шьет костюм за 2 дня, то, чтобы сшить за один день 144 костюма (или один костюм Гулливеру), могло понадобиться около 300 портных.

Вывод: Задачи «Квадратное отношение прямо пропорциональных величин» – это задачи об отношении площадей. Отношение площадей прямо пропорциональных величин равно квадрату линейного отношения, в романе этого отношение составляет 1:144 или 1:12² (площади фигур в мире лилипутов в сто сорок четыре раза меньше площади фигур мира главного героя Гулливера).

Задачи данного типа – задачи 3, 7, 8, 13, 14, 15.

Задача 3.Гулливер на довольствии у лилипутов, часть 1

Лилипуты установили для Гулливера следующую норму отпуска продуктов: «Ему будет ежедневно выдаваться столько съестных припасов и напитков, сколько достаточно для прокормления 1728 подданных страны лилипутов». [8, стр.31]

Не надо забывать, что лилипуты представляли собой точное, хотя и уменьшенное подобие обыкновенных людей, а значит, имели нормальную пропорцию частей тела. Следовательно, они были не только в 12 раз ниже, но также в 12 раз уже и в 12 раз тоньше Гулливера. Объем их тела был меньше объема тела Гулливера не в 12 раз, а в 12 × 12 × 12, т. е. в 1728 раз. Значит, и съедал Гулливер в 1728 раз больше лилипута.

Задачи 7,8. Бочка и ведро лилипутов

«Наевшись, – рассказывает Гулливер, – я показал знаками, что мне хочется пить. Лилипуты с большой ловкостью подняли на веревках до уровня моего тела бочку вина самого большого размера... Я выпил все одним духом. Мне подкатили другую бочку. Я осушил ее залпом, как и первую, и попросил еще, но больше у них не было». В другом месте Гулливер говорит о ведрах лилипутов, что они были «не больше нашего большого наперстка». [8, стр.17, 18]

Бочки и ведра лилипутов в 12 раз меньше наших не только по высоте, но и по ширине и толщине, а, следовательно, их объем меньше в 12 × 12 × 12 = 1728 раз. В нашем ведре приблизительно 60 стаканов, и мы легко можем определить, что ведро лилипутов вмещало всего 60:1728, или круглым числом 1/30стакана. Это немногим больше чайной ложки и действительно не превышает вместимости крупного наперстка.

Если вместимость ведра лилипутов почти равна чайной ложке, то вместимость винного бочонка, даже если он был 10-ведерный, не превышала стакана. Не удивительно, что Гулливер не мог утолить жажду даже двумя такими бочками.

Задачи 14, 15. Животные страны лилипутов. Перевоз Гулливера

«Полторы тысячи самых больших лошадей было прислано, чтобы отвезти меня в столицу», – рассказывает Гулливер о стране лилипутов.

Не кажется ли вам, что 1500 лошадей чересчур много для этой цели, даже принимая во внимание соотношение размеров Гулливера и лилипутских лошадей?

Мы уже подсчитали в задаче №3, что Гулливер по объему тела был больше лилипутов в 1728 раз, разумеется, во столько же раз и тяжелее. Перевезти его тело на лошадях лилипутам было так же трудно, как перевезти 1728 лилипутов, но ведь каждая лошадь может в повозке вести, как минимум, двух человек-лилипутов, следовательно, в повозку с Гулливером понадобилось бы впрячь 1728 : 2 = 864 лошади.

Вывод: Задачи типа «Кубическое отношение прямо пропорциональных величин» – это задачина отношения объёмов(1:1728 или 1:12³ объёмы стереометрических тел в мире лилипутов в одна тысяча семьсот двадцать восемь раз меньше объёма тел мира главного героя Гулливера). Отношение объёмов прямо пропорциональных величин равно кубу линейного отношения

Задача 27. Лодка Гулливера

«Гулливер покинул страну лилипутов на лодке, которую случайно прибило к берегу. Лодка эта казалась лилипутам чудовищным кораблем». [8, стр. 83] Рассчитаем приблизительно, сколько лилипутских тонн водоизмещения имела эта лодка, если исходить из того, что она могла поднять груз в 20 пудов?

Лодка Гулливера могла поднять 20 пудов; следовательно, ее водоизмещение – 20:60 = 1/3тонны. Тонна – это вес кубического метра воды; значит, лодка вытесняла 1/3м³. Но все линейные меры лилипутов в 12 раз меньше наших, кубические же в 1728 раз. Легко сообразить, что 1/3 нашего кубометра заключала около 575 кубометров страны лилипутов, и что лодка Гулливера имела водоизмещение 575 т (или около того, так как исходное число 20 пудов мы взяли произвольно).

В наши дни, когда океаны бороздят суда в десятки тысяч тонн, корабль таких размеров никого не удивит, но нужно иметь в виду, что в те времена, когда было написано «Путешествия Гулливера» (в начале XVIII века), суда водоизмещением в 500–600 т были редкостью.

В книге Джонатана Свифта «Путешествие в Лилипутию» встречаются старинные меры длины дюйм (2,54 см) и фут (30,48 см), отношение которых друг к другу составляют отношение 1:12.

Джонатан Свифт и вместе с ним Гулливер проводили расчеты в книге «Путешествие в Лилипутию» правильно. Надобность производить такие вычисления в книге возникают очень часто, в книге приведено 28 задач. Все размеры и соизмерения согласованы с правилами математики: линейное отношение прямо пропорциональных 1:12; квадратное отношение линейных величин 1:12² (отношение площадей); кубическое отношение 1:12³ (отношение объёмов).

Найдено три несоответствия: 1) гусь получился выше овцы (приложение 3); 2) количество лошадей, перевозивших Гулливера необходимо убавить в 2-3 раза (пункт 2.2., задачи 17, 18); 3) суда водоизмещением в 500–600 т были редкостью в начале XVIII в.

Задача на будущее: проанализировать правильность расчетов с точки зрения математики, проведенных Джонатаном Свифтом в романе «Путешествие в Великанию». (приложение 4)

1. http://www.lawinrussia.ru/node/325784

2. https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Дюйм

3. https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Миля

4. https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Пинта_(единица_объёма)

5. https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Фут

6. https://ru.m.wikipedia.org/wiki/Ярд

7. Виленки Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбург С.И. Математика, 6 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций. М.: Мнемозина, 2014г.

8. Джонатан Свифт. Путешествия Гулливера. Ассоциация Уральских издателей: Екатеринбург, Средне-Уральское книжное издательство, 1992г.

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

«Средний рост лилипутов немного выше 6 дюймов. Этому росту соответствует величина всех животных и растений: так, например, лошади и быки там не выше 4 или 5 дюймов, а овцы полутора дюймов; гуси равняются нашему воробью. Мелкие же животные, птицы и насекомые были для нашего глаза почти не видимы».

«Самые огромные деревья в Лилипутии не превышают 7 футов: я имею в виду деревья в большом королевском парке, верхушки которых я едва мог достать рукой. Вся остальная растительность имеет соответствующие размеры; но я представляю читателю произвести расчеты самому».

Читая описание роста лилипутов и животных в этой стране, можно определить размеры объектов природы по заданному соотношению и сравнить их с размерами настоящих животных, растений.

см это приблизительный рост лилипута.

см рост лошади.

см рост быка.

см рост овцы.

см высота самых высоких деревьев.

Округлим результаты до целых величин и вычислим возможные размеры в реальном мире.

см = 1м 56 см рост лошади.

см = 1м 20 см рост быка.

см рост овцы.

=25м 66 см высота самого высокого дерева.

Составим таблицу размеров некоторых животных и деревьев.

Выбранное отношение соответствует действительности, поэтому эти расчеты Гулливер выполнил правильно. Единственное несоответствие размеров и существующей действительности это то, что гусь у лилипутов, получился выше овцы.

Приложение 4

В книге «Путешествие Гулливера в Великанию» яблоко упало на Гулливера с высоты пятиэтажного дома и не повредило его, хотя яблоко было в 12 раз больше нашего обычного яблока. По законам физики такого быть не может, т.к. масса яблока такого размера будет примерно 80 кг. Значит, и Джонатан Свифт допускал ошибки при решении задач.

1 2015 год объявлен в России Годом литературы [1]

2 Почему Свифт избрал именно число 12, легко понять, если вспомнить, что это как раз отношение фута к дюйму (автор «Путешествий» – англичанин).