ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДЬ КРУГА

II Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДЬ КРУГА

Крутько И.В. 1
1
Легович М.В. 1
1
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

 

Надо только постараться и запомнить

Всё, как есть: 3, 14, 15, 92 и 6.

Введение

Данная тема представляет определенный интерес, поскольку её истоки относятся к древности:с давних пор люди пытались решать задачи, связанные с кругом – измерять длину окружности, находить площадь круга.

Любой школьник сегодня должен уметь находить длину окружности и площадь круга, первый опыт вычислений происходит в 6 классе. Но, к сожалению, эти знания остаются для многих формальными, и уже через годмало кто помнит не только то, что отношение длины окружности к её диаметру одно и то число, но даже с трудом вспоминают численное значение числа π, равное 3,14.

В ходе работы над проектом появляется возможность не только усвоить формулы для нахождения длины окружности и площади круга, нои приподнять завесу богатейшей истории числа π, которым человечество пользуется уже много веков.

Актуальность проекта заключается в том, что появляется возможность не только усвоить формулы для нахождения длины окружности и площади круга, но и создать информационный продукт в виде буклета, который будет содержать не только основные понятия и формулы по теме «Длина окружности и площадь круга», но и интересные факты и исторические сведения.

Гипотеза: Длина окружности, её радиус и площадь связаны между собой посредством формул.

Цель работы: Исследование числа π и выявление его роли в окружающей среде . Задачи работы: 1. Познакомиться подробнее с числом π. 2. Провести практическую работу нахождения числа π. 3. Найти занимательные факты и правила для запоминания числа π.

4.Изучить формулу площади круга.

5.Научится создавать буклеты с помощью текстового процессора MicrosoftWord.Предмет исследования: окружность.

Объект исследования: отношение длины окружности к диаметру.

Методы исследования: эксперимент, наблюдение, анализ.

Ожидаемые результаты: Некоторые данные и формулы достаточно трудно запоминаются, но с помощью открытия интересных фактов о числах или понятиях, можно лучше запомнить формулы, правила. Создание буклета с помощью MicrosoftOffice.

Глава 1. Теоретическая часть

У круга есть одна подруга.

Известна всем её наружность.

Она идёт по краю круга

и называется ……

1.1. Понятие окружности

Окружность – это замкнутая кривая линия, все точки которой находятся на равном расстоянии от данной точки плоскости, называемой центром окружности.

Точка О – центр окружности. R –радиус окружности (это отрезок, соединяющий центр окружности с любой ее точкой). По-латыни radius – это спица колеса.

1.2. Длина окружности.

Если разрезать окружность в какой-либо точке и распрямить её, то получим отрезок, длина которого и есть длина окружности.

Отношение длины окружности к её диаметру есть одно и то же число для всех окружностей. Установлено, что какой бы ни была окружность, отношение ее длины к диаметру является постоянным числом. Это число принято обозначать буквой π.

Более точное его значение 3,1415926535897932… [1, стр.189]

Обозначим длину окружности буквой С, а ее диаметр буквой d , то, тогда формулы для вычисления длины окружности С = πd.

Если известен радиус окружности, то формула длины окружности будет выглядеть следующим образомC = 2πr.

1.3. Круг. Площадь круга

Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Площадь круга вычисляется по формуле: S=R2[2, «Окружность. Круг»]

1.4. Исторические сведения

Ещё в древности пытались решать задачи связанные с кругом. Измерение длины окружности имеет чисто «практическое» решение: можно уложить вдоль окружности нить, а потом развернут её и приложить к линейке ил же отметить на окружности точку и «прокатить» её вдоль линейки (можно, наоборот, «обкатить» линейкой окружность). Так или иначе измерения показывали, что отношение длины окружности к её диаметру одно и то же для всех окружностей. Древние египтяне считали, что длиннее диаметра в 3,16 раза, а римляне – в 3,12 раза. Однако древнегреческих математиков такой опытный подход к определению длины окружности не удовлетворял. К тому же такой подход не позволял определить площадь круга. Выход был найден, впервые известным учёным Архимед предложил первый математический метод вычисления числа π, с помощью расчета вписанных в круг многоугольников.

Это позволяло вычислять значение π не практически – ниткой и линейкой, а математически, что обеспечивало гораздо большую точность. [3, стр. 65-72]

Известный ученый Архимед нашел значение π =, что дает величину 3.1428. В Древней Греции вскоре после Архимеда было получено более точное приближение к числу π = .

В V веке н.э. китайским математиком Цзу Чунчжи было найдено более точное значение π =3,1416927… .

Спустя полтора столетия в Европе нашли число π только с 9 правильными десятичными знаками, сделав 16 удвоений числа сторон многоугольников, но при этом Ф.Виету принадлежит первенство в открывшейся возможности отыскания π. Это открытие имело огромное значение, так как позволило вычислять число π с какой угодно точностью. [4]

Вначале XVII в. Голландский математик из Кельна (Кейлен) Лудольф ван Цейлен затратил 10 лет на вычисление числа Пи и нашел 32 правильных знака после запятой. Изложив свои результаты в сочинении «Об окружности», Лудольф закончил его словами: « У кого есть охота, пусть идёт дальше». С тех пор (1615г.) значение числа π с 32 десятичными знаками получило название числа Лудольфа. [5]

В настоящее время число Пи вычислено с точностью до 10 триллионов знаков после запятой.

  1.  
    1. Интересные факты
  2. Первый миллион знаков после запятой в числе Пи состоит из: 99959 нулей, 99758 единиц, 100026 двоек, 100229 троек, 100230 четвёрок, 100359 пятёрок, 99548 шестёрок, 99800 семёрок, 99985 восьмёрок и 100106 девяток.

  3. Если рассчитать длину экватора с точностью до 1 см – предполагая, что мы знаем длину его диаметра вполне точно – нам достаточно было бы взять π всего с 9 цифрами после запятой. А взяв вдвое больше цифр (18) , мы могли бы вычислить длину окружности, имеющей радиусом расстояние от Земли до Солнца, с погрешностью не свыше 0,0003 мм (волос в 100 раз толще этой возможной ошибки!)

  4. В штате Иллинойс (США) официально принят закон о том, чтобы чисто Пи считать равным 4! [6]

  5. Многие математики утверждают, что правильным будет такая формулировка: «круг – фигура с бесконечным количеством углов». Здорово, правда?!

  6. Есть такая поговорка английского математика Моргана: «Число π лезет в дверь, в окно и через крышу».

  7. 14 марта объявлено Всемирным днем числа π. [7]

Вывод: Число π захватывает умы гениев всего мира.

(приложение 1. Портрет числа π)

Глава 2. Исследовательская часть 2.1. Эксперимент 1. Нахождение длины окружности с помощью нити

Практическая работа состояла в том, чтобы найти отношение длины окружности к её диаметру.

  1. Берём шесть круглых предметов, в частности вазу, несколько стаканов и чашек разных размеров.

  2. С помощью нити измеряем длину окружности.

  3. Поставив предмет на лист бумаги, обводим его карандашом, вырезаем бумажный круг, сгибаем пополам и линейкой измеряем длины диаметров.(приложение 2)

Составим таблицу с измеренными данными, последний столбец таблицы вычислительного характера: вычислим с помощью калькулятора отношение длины окружности (столбец 2) к диаметру (столбец 3) .

 

Длина окружности

(длина нити в см)

Диаметр окружности

Отношение длины окружности к диаметру

1

2

3

4

Измерение №1

30,2

9,5

3,17894

Измерение №2

26,5

8,4

3,15476

Измерение №3

24

7,6

3,15795

Измерение№4

37,7

12,5

3,11362

Измерение №5

20,5

6,3

3,15068

Измерение № 6

66,7

33,1

3,12035

Вывод: Результаты оказались близки к числу 3,14 но с числом 3,14 ни одно измерение не совпало.

Я представила, что если бы мне попалась, например, ваза с круглым дном, диаметром в 100 мм, а длиной окружности 314мм, то при измерении ниткой длины окружности ошибка хотя бы в 1 мм весьма вероятна, тогда число π окажется равным 3,13 или 3,15, а если принять во внимание, что и диаметр вазы нельзя измерить вполне точно, для «пи» получаются довольно широкие пределы : от . В десятичных дробях число от 3,09 до 3,18. И это измерение с погрешностью всего в 1 мм.

2.2. Эксперимент 2. «Ищем взаимосвязь величин» с помощью робота NXT

Для следующего эксперимента нам потребуется три вида колёс конструктора EducationMindstormsNXT (перворобот NXT). На них есть маркировки «56», «43,2», «74» – это указан диаметр колеса в миллиметрах. По форме колесо нашего робота является окружностью. Поэтому, если запрограммировать робот на «вращение» колеса один раз, то расстояние, которое пройдёт робот будет равно длине окружности (в данном случае колеса).

Эксперимент «Ищем взаимосвязь величин» заключается в том, что необходимо измерить путь, пройденный роботом за один оборот колеса, используя при этом колёса разного диаметра. [8, стр. 163-165]Приложение 3

  1. Программируем робота NXT следующим образом: движение вперёд, ровно на один оборот мотора (в этом случае одно полное вращение колеса).

  2. Располагаем на столе рулетку.

  3. Ставим робота, чтобы его движение было параллельно расположению измерительной части рулетки.

  4. Измерение перемещения робота проводим точно по оси колеса.

  5. Результаты записываем в таблицу.

 

Диаметр колеса, мм

Пройденное расстояние роботом NXT, мм

Отношение пройденного расстояния к диаметру колеса

Вывод:

min

max

Округление до двух знаков

1

2

3

4

5

6

1

56

177

3,160714

 

3,16

2

56

176

3,142857

min

3,14

3

43,2

136

3,148148

 

3,15

4

43,2

137

3,171296

max

3,15

5

74

233

3,148649

 

3,15

6

74

234

3,162162

 

3,16

Вывод: Минимальный результат вычислений после проведения эксперимента 3,142857, а максимальный 3,171296. Если данные ответы отношений округлить до сотых, то число 3,14 будет ответом второго опыта-заезда робота.

Теперь понятно, почему Древний мир не знал правильного отношения длины окружности к диаметру и понадобился гений Архимед, который нашёл значение «пи» без всяких измерений, а одним лишь геометрическим рассуждением.

2.3. Немного истории. Число π и ЭВМ

В настоящее время с помощью компьютеров число π вычислено с точностью до миллионов знаков. Эпоха цифровой техники в ХХ веке привела к увеличению скорости появления рекордов вычисления количества цифр числа π. Например, Джон фон Нейман в 1949 году, используя первую ЭВМ «ЭНИАК» за 70 часов вычислил 2037 цифр числа π. В 1973 году было вычислено более миллиона цифр. Таков прогресс имел место благодаря более быстрым компьютерам (аппаратное обеспечение) и новым алгоритмам вычислений (программное обеспечение).

Заключение

В ходе работы над проектом я узнала, что длина окружности и диаметр связаны между собой посредством числа π. Зная формулы, я смогу применять их при решении практических задач, а если понадобится, то и в повседневной жизни. Кроме того, я узнала много интересных фактов о числе π, а также прочла об учёных, которых раньше не знала.

Познакомившись с темой длина окружности и площадь круга, я создала информационный продукт в виде буклета, который может быть использован в дальнейшем на уроках математики, при решении задач. Кроме того, в нем содержатся интересные факты о числе π, и исторические сведения. Поскольку, следующий раз с темой «Длина окружности и площадь» круга мы встретимся в 9 классе, этот буклет можно использовать как памятку.

Литература
  1. Энциклопедический словарь юного математика. А. П. Савин, М: 1989 г

  2. Виленки Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбург С.И. Математика, 6 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций. М.: Мнемозина, 2014г.

  3. Занимательная геометрия на вольном воздухе и дома. М: 2011 г.

  4. http://i-fakt.ru/interesnye-fakty-o-chisle-pi/

  5. http://school-assistant.ru/?predmet=matematika&theme=dlina_okruznosti_i_ploshad_kruga

  6. http://sitefaktov.ru/index.php/home/515-chislopi

  7. http://ppt4web.ru/matematika/dlina-okruzhnosti-i-ploshhad-kruga0.html

  8. Колосов Д.Г. Первый шаг в робототехнику. Практикум для 5-6 кл. М.: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2015.

  9. Епифанов Е. «Портрет» числа π. Коллекция головоломок // Квант, научно-популярный журнал . №4, 2014г.

Приложение

Приложение 1

Портрет числа π

Таким необычным способом изобразил первые 10000 знаков числа π румынский художник Кристиан Василе. Принцип простой: дуги соединяют сектора, соответствующие последовательным цифрам в десятичной записи числа π. Например, так как π≈3,1415…, то первая дуга идёь из сектора 3 в сектор 1, вторая – из 1 в 4 и так далее. Цвет дуги совпадает с цветом сектора, из которого она стартует. Этот «портрет» был получен при помощи программы Circos (www.circos.ca), разработанной специально для построения круговых диаграмм. [9, обложка журнала, стр. 31]

Приложение 2

Исследование 1. Практическая работа

Приложение 3

Исследование 2. Практическая работа
Просмотров работы: 5730