II Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Бурлаков А.А. 1

---

1

Зимовец Т.И. 1

---

1

Работа в формате PDF

586.6 KB

Автор работы награжден дипломом победителя I степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Миллионы людей занимаются математическими расчетами, иногда в силу влечения к таинствам математики и ее внутренней красоте, а чаще в силу профессиональной или иной необходимости, не говоря уже об учебе.

Многие теоретические и практические вопросы приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными. Особенно важен случай системы линейных алгебраических уравнений. Значение систем определяется не только тем, что они простейшие. На практике часто имеют дело с заведомо малыми величинами, старшими степенями которых можно пренебречь, так что уравнения с такими величинами сводятся в первом приближении к линейным. Не менее важно, что решение систем линейных уравнений составляет существенную часть при численном решении разнообразных прикладных задач. Ещё Г. Лейбниц (1693) обратил внимание на то, что при изучении систем линейных уравнений наиболее существенной является таблица, состоящая из коэффициентов, и показал, как из этих коэффициентов (в случае m = n) строить так называемые определители, при помощи которых исследуются системы линейных уравнений. Впоследствии такие матрицы стали предметом самостоятельного изучения, так как обнаружилось, что их роль не исчерпывается приложениями к теории систем линейных уравнений. Современная алгебра, понимаемая как учение об операциях над любыми математическими объектами, является одним из разделов математики, формирующих общие понятия и методы для всей математики. Для современной алгебры характерно то, что в центре внимания оказываются свойства операций, а не объектов, над которыми проводятся данные операции. Классическим разделом алгебры является линейная алгебра, т.е. теория векторных пространств и модулей, частью которых являются сформировавшиеся ещё в XIX веке теория линейных уравнений и теория матриц. Идеи и методы линейной алгебры применяются во многих разделах математики. Так, основным предметом изучения функционального анализа являются бесконечномерные векторные пространства.

Способы решения систем линейных уравнений – очень интересная и важная тема. Системы уравнений и методы их решения рассматриваются в школьном курсе математики, но недостаточно широко. На уроках алгебры мы использовали такие способы, как сложение, подстановка и графический.

Я решил узнать, какие еще существуют методы нахождения решений систем линейных алгебраических уравнений.

Целью работы является изучение различных способов решения систем линейных алгебраических уравнений для применения их на практике.

Актуальность заключается в том, что системы линейных алгебраических уравнений – это математический аппарат, который имеет широкое применение в решении многих задач практического приложения математики.

Задачи:

1. Изучить литературу по методам решения систем линейных алгебраических уравнений.

2. Рассмотреть способы решения систем линейных алгебраических уравнений различными методами.

3. Показать применение систем линейных алгебраических уравнений на практике.

4. Разработать компьютерную программу, которая на основе введённых числовых коэффициентов находит решение системы линейных уравнений.

5. Сделать вывод о проделанной работе.

Под системой линейных алгебраических уравнений(СЛАУ) подразумевают систему

x_1, х₂,…..,хn- неизвестные переменные, а_ij, i = 1,2,..,p, j = 1,2,…,n - коэффициенты, b₁,b₂,..bp – свободные члены. [2]

Такую форму записи СЛАУ называют координатной.

Решением системы линейных алгебраических уравнений называют набор значений неизвестных переменных x₁ = a₁, x₂ = a₂,…, xn = an, обращающий все уравнения системы в тождества.

Если система уравнений имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной.

Если система уравнений решений не имеет, то она называется несовместной.

Если СЛАУ имеет единственное решение, то ее называют определенной; если решений больше одного, то – неопределенной.

Если свободные члены всех уравнений системы равны нулю b₁ = b₂ = … = bn = 0, то система называется однородной, в противном случае – неоднородной.

Если число уравнений системы равно числу неизвестных переменных и определитель ее основной матрицы не равен нулю, то такие СЛАУ будем называть элементарными. Такие системы уравнений имеют единственное решение, причем в случае однородной системы все неизвестные переменные равны нулю.

Такие СЛАУ мы начинали изучать в средней школе. При их решении мы брали какое-нибудь одно уравнение, выражали одну неизвестную переменную через другие и подставляли ее в оставшиеся уравнения, затем брали следующее уравнение, выражали следующую неизвестную переменную и подставляли в другие уравнения и так далее. Или пользовались методом сложения, то есть, складывали два или более уравнений, чтобы исключить некоторые неизвестные переменные. Не будем подробно останавливаться на этих методах, так как они по сути являются модификациями метода Гаусса.

Основными методами решения элементарных систем линейных уравнений являются метод Крамера, матричный метод и метод Гаусса.

Матрица размерами m × n – совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов, например (обозначим за А)

- матрица

Числа, из которых состоит матрица, называются элементами матрицы. Они обозначаются буквами с двумя индексами: 1ый индекс указывает номер строки, а 2ой – номер столбца, в которых содержится этот элемент. В общем виде матрицы записываются в следующем виде:

Матрица A , имеющая i строк и j столбцов, называется матрицей размера i на j и обозначается A_ixj.

Элемент a_ij матрицы A = {a_ij} стоит на пересечении i - ой строки и j - го столбца.

Если i = j, то матрица называется квадратной, а число строк (или столбцов) – её порядком.

Две матрицы, имеющие одинаковое количество строк и столбцов, называются матрицами одинакового типа. Две матрицы А = {a_ij} и В = {b_ij} одинакового типа называются равными, если a_ij = b_ij при всех i и j. [3]

Матрица, состоящая из одной строки (одного столбца), называется матрицей-строкой (матрицей-столбцом), а матрица, у которой все элементы а_ij = 0, – нулевой или нуль матрицей.

Элементы квадратной матрицы, имеющие одинаковые значения индексов, составляют главную диагональ, а элементы квадратной матрицы порядка n,сумма индексов каждого из которых равна n+1, – побочную диагональ.

Сумма элементов главной диагонали квадратной матрицы называется следом матрицы. Квадратные матрицы, у которых все элементы вне главной диагонали равны нулю, называются диагональными (обозначается Е):

Квадратная матрица, все элементы которой, стоящие ниже (выше) главной диагонали, равны нулю, называется треугольной:

Диагональная матрица является частным случаем треугольной.

Транспонированием матрицы A={a_ij} называется операция, результатом которой является матрица A^T= {a_ji}.

Таким образом, если

Алгебра матриц:

1. Две матрицы А и В называются матрицами одного порядка, если они имеют одинаковое количество строк и одинаковое количество столбцов.

Матрицы А и В называются равными, если они одного порядка m´n, и a_{ij= bij},

где i = 1, 2, 3, …, m, а j = 1, 2, 3, …, n.

1. Умножение матрицы на число.

Умножение матрицы А на число λ приводит к умножению каждого элемента матрицы на число λ:

Из данного определения следует, что общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

Свойства умножения матрицы на число:

1) λА = Аλ;

2) (λμ)А = λ(μА) = μ(λА), где λ,μ R;

3) (λА)= λА;

4) 0xА = 0.

1. Сумма (разность) матриц.

Сумма (разность) определяется лишь для матриц одного порядка m´n.

Суммой (разностью) двух матриц А и В порядка m´n называется матрица С того же порядка, где c_ij = a_ij± b_ij(i = 1,2,3…m; j = 1,2,3…n).

Иными словами, матрица С состоит из элементов, равных сумме (разности) соответствующих элементов матриц А и В.

Из данных выше определений следуют свойства суммы матриц:

1) коммутативность А+В=В+А;

2) ассоциативность (А+В)+С=А+(В+С);

3) дистрибутивность к умножению на число λR: λ(А+В) = λА+λВ;

4) 0+А=А, где 0 – нулевая матрица;

5) А+(–А)=0, где (–А) – матрица, противоположная матрице А;

6) (А+В)= А+ В.

1. Произведение матриц.

Операция произведения определяется не для всех матриц, а лишь для согласованных.

называется матрица С порядка m´k: С_mnx= A_mnx ∙ B_mnx, элементы которой вычисляются по формуле:

c_ij= a_i1 ∙ b_1j+ a_i2 ∙ b_2j + …+ a_in∙ b_njгде (i = 1, 2, 3, …, m , j=1, 2, 3, …, k),

то есть элемент c_ij i –ой строки и j –го столбца матрицы С равен сумме произведений всех элементов i –ой строки матрицы А на соответствующие элементы j –го столбца матрицы В.

Рассмотрим свойства произведения матриц:

1) не коммутативность: АВ ≠ ВА, даже если А и В, и В и А согласованы. Если же АВ = ВА, то матрицы А и В называются коммутирующими (матрицы А и В в этом случае обязательно будут квадратными).

2) для любых квадратных матриц единичная матрица Е является коммутирующей к любой матрице А того же порядка, причем в результате получим ту же матрицу А, то есть АЕ = ЕА = А.

3) A·0 = 0·A = 0.

4) произведение двух матриц может равняться нулю, при этом матрицы А и В могут быть ненулевыми.

5) ассоциативность АВС=А(ВС)=(АВ)С:

6) дистрибутивность относительно сложения:

(А+В)∙С = АС + ВС, А∙(В + С)=АВ + АС.

7) (А∙В)= В∙А.

8) λ(АּВ) = (λА)ּ В = Аּ (λВ), λR.

Пусть А – квадратная матрица порядка n:

Каждой такой матрице можно поставить в соответствие единственное действительное число, называемое определителем (детерминантом) матрицы и обозначаемое

Отметим, что определитель существует только для квадратных матриц.

Рассмотрим правила вычисления определителей и их свойства для квадратных матриц второго и третьего порядка, которые будем называть для краткости определителями второго и третьего порядка соответственно.

Определителем второго порядкаматрицы А_2х2 называется число, определяемое по правилу:

т. е. определитель второго порядка есть число, равное произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.

Из определения определителя второго порядка следуют его свойства:

1. Определитель не изменится при замене всех его строк соответствующими столбцами:

2. Знак определителя меняется на противоположный при перестановке строк (столбцов) определителя:

3. Общий множитель всех элементов строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя:

4. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

5. Определитель равен нулю, если соответствующие элементы его строк (столбцов) пропорциональны:

6. Если элементы одной строки (столбца) определителя равны сумме двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей:

7. Значение определителя не изменится, если к элементам его строки (столбца) прибавить (вычесть) соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число :

так как по свойству 5.

Остальные свойства определителей рассмотрим ниже.

Введем понятие определителя третьего порядка: определителем третьего порядкаквадратной матрицы называется число

=

т. е. каждое слагаемое в формуле представляет собой произведение элементов определителя, взятых по одному и только одному из каждой строки и каждого столбца. Чтобы запомнить, какие произведения брать со знаком плюс, а какие со знаком минус, полезно знать правило треугольников и правило Саррюса.

Схематически правило треугольника можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "плюс"; аналогично, для второго определителя - соответствующие произведения берутся cо знаком "минус".

Правило Саррюса: справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком "плюс"; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус": [7]

Примеры расчета определителя с помощью правила Сюрраса и методом треугольников разобраны в Приложении 1.

Следует отметить, что свойства определителя второго порядка, рассмотренные выше, без изменений переносятся на случай определителей любого порядка, в том числе и третьего.

Рассмотрим еще два очень важных свойства определителей.

Введем понятия минора и алгебраического дополнения.

Минором элемента определителя называется определитель, полученный из исходного определителя вычеркиванием той строки и того столбца, которым принадлежит данный элемент.[5] Обозначают минор элемента α_ij через M_ij.

Пример. Тогда, например

Алгебраическим дополнением элемента α_ijопределителя |A| называется его минор M_ij, взятый со знаком (-1)^i+j. Алгебраическое дополнение будем обозначать A_ij, то есть

Таким образом, мы получаем восьмое свойство определителя:

Теорема Лапласа. Определитель равен сумме всех произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов этой строки (столбца).

Заметим, что данное свойство определителя есть не что иное, как определение определителя любого порядка. На практике его используют для вычисления определителя любого порядка. Как правило, прежде чем вычислять определитель, используя свойства 1 – 7, добиваются того, если это возможно, чтобы в какой-либо строке (столбце) были равны нулю все элементы, кроме одного, а затем раскладывают по элементам строки (столбца).

Девятое свойство определителя носит название теорема аннулирования:

сумма всех произведений элементов одной строки (столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю, то есть

Примеры вычислений определителя с помощью теоремы Лапласа и теоремы аннулирования представлены в Приложении 2 и Приложении 3 соответственно.

В теории чисел наряду с числом α определяют число, противоположное ему (-α) такое, что α +(- α ) = 0, и число, обратное ему , что .

Аналогично, в теории матриц мы уже ввели понятие противоположной матрицы, ее обозначение (– А).

Обратной матрицейдля квадратной матрицы А порядка n называется матрица , если выполняются равенства

Где Е – единичная матрица порядка n.

Обратная матрица существует только для квадратных невырожденных матриц.

Квадратная матрица называется невырожденной(неособенной), если det A ≠ 0. Если же det A = 0, то матрица А называется вырожденной(особенной).

Невырожденная матрица А имеет единственную обратную матрицу А^-1.

Найдем определитель обратной матрицы. Так как определитель произведения двух матриц А и В одинакового порядка равен произведению определителей этих матриц, т. е. , следовательно, произведение двух невырожденных матриц АВ есть невырожденная матрица.[4]

Определитель обратной матрицы есть число, обратное определителю исходной матрицы.

Отметим ряд особых свойств обратной матрицы:

1) для данной матрицы А ее обратная матрица А^-1является единственной;

2) если существует обратная матрица А^-1, то правая обратная и левая обратная матрицы совпадают с ней;

3) особенная (вырожденная) квадратная матрица не имеет обратной матрицы.

Основные свойства обратной матрицы:

1) определитель обратной матрицы и определитель исходной матрицы являются обратными величинами;

2) обратная матрица произведения квадратных матриц равна произведению обратных матриц сомножителей, взятому в обратном порядке:

3) транспонированная обратная матрица равна обратной матрице от данной транспонированной матрицы:

2.5 Матричный метод решения систем линейных уравнений

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными: , где

Будем предполагать, что основная матрица A невырожденная. Тогда существует обратная матрица A^-1. Помножив матричное уравнение на матрицу A^-1, получим формулу, на которой основан матричный метод решения систем линейных уравнений:

Пример.Решить систему линейных уравнений матричным методом.

Задана система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными , где

.

Основная матрица системы уравнений невырожденная, поскольку её определитель отличен от нуля:

Обратную матрицу A^-1 составим одним из методов, описанных выше:

По формуле матричного метода решения систем линейных уравнений получим

Ответ: х₁=1, х₂=2, х₃=3

Матричный метод подходит для решения СЛАУ, в которых количество уравнений совпадает с числом неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы отличен от нуля.[9] Если система содержит больше трех уравнений, то нахождение обратной матрицы требует значительных вычислительных усилий, поэтому, в этом случае целесообразно использовать для решения метод Гаусса.

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений, в которых число неизвестных переменных равно числу уравнений и определитель основной матрицы отличен от нуля.

Пусть нам требуется решить систему линейных уравнений вида

где x₁, x₂, …, xn – неизвестные переменные, a_{i j} , i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n – числовые коэффициенты, b₁, b₂, …, bn - свободные члены. Решением СЛАУ называется такой набор значений x₁, x₂, …, xn, при которых все уравнения системы обращаются в тождества.

В матричном виде эта система может быть записана как, где

- основная матрица системы, ее элементами являются коэффициенты при неизвестных переменных, - матрица – столбец свободных членов, а - матрица – столбец неизвестных переменных. После нахождения неизвестных переменных x₁, x₂, …, xn, матрица становится решением системы уравнений и равенство A ⋅ X = B обращается в тождество A ⋅ X = B.

Будем считать, что матрица А – невырожденная, то есть, ее определитель отличен от нуля. В этом случае система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера.

Метод Крамера основывается на двух свойствах определителя матрицы:

1. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

1. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю:

Итак, приступим к нахождению неизвестной переменной x₁. Для этого умножим обе части первого уравнения системы на А₁₁ , обе части второго уравнения – на А₂₁ , и так далее, обе части n-ого уравнения – на А_n1 (то есть, уравнения системы умножаем на соответствующие алгебраические дополнения первого столбца матрицы А):

Сложим все левые части уравнения системы, сгруппировав слагаемые при неизвестных переменных x₁, x₂, …, xn, и приравняем эту сумму к сумме всех правых частей уравнений:

Если обратиться к озвученным ранее свойствам определителя, то имеем

и предыдущее равенство примет вид

откуда

Аналогично находим x₂. Для этого умножаем обе части уравнений системы на алгебраические дополнения второго столбца матрицы А:

Складываем все уравнения системы, группируем слагаемые при неизвестных переменных x₁, x₂, …, xn и применяем свойства определителя:

Откуда

Аналогично находятся оставшиеся неизвестные переменные.

Если обозначить

то получаем формулы для нахождения неизвестных переменных по методу Крамера

.

Если система линейных алгебраических уравнений однородная, то есть b₁=b₂=…=bn=0, то она имеет лишь тривиальное решение =x₂=…=xn=0 (при |A|≠0). Действительно, при нулевых свободных членах все определители будут равны нулю, так как будут содержать столбец нулевых элементов. Следовательно, формулы дадут x₁=x₂=…=xn=0 .

Алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

1. Вычисляем определитель основной матрицы системы

и убеждаемся, что он отличен от нуля.

1. Находим определители

которые являются определителями матриц, полученных из матрицы А заменой k-ого столбца (k = 1, 2, …, n) на столбец свободных членов.

1. Вычисляем искомые неизвестные переменные x₁, x₂, …, xn по формулам .

2. Выполняем проверку результатов, подставляя x₁, x₂, …, xn в исходную СЛАУ. Все уравнения системы должны обратиться в тождества. Можно также вычислить произведение матриц A ⋅ X, если в результате получилась матрица, равная B, то решение системы найдено верно. В противном случае в ходе решения была допущена ошибка.

Пример решения системы уравнений методом Крамера представлен в Приложении 4.

Пусть нам требуется решить систему из n линейных алгебраических уравнений с nнеизвестными переменными вида

,

и пусть определитель ее основной матрицы отличен от нуля.

Будем считать, что α₁₁≠0, так как мы всегда можем этого добиться перестановкой местами уравнений системы. Исключим неизвестную переменную x₁ из всех уравнений системы, начиная со второго. Для этого ко второму уравнению системы прибавим первое, умноженное на - , к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на - , и так далее, к n-ому уравнению прибавим первое, умноженное на -. Система уравнений после таких преобразований примет вид

.

К такому же результату мы бы пришли, если бы выразили x₁ через другие неизвестные переменные в первом уравнении системы и полученное выражение подставили во все остальные уравнения. Таким образом, переменная x₁ исключена из всех уравнений, начиная со второго.

Далее действуем аналогично, но лишь с частью полученной системы

Будем считать, что (в противном случае мы переставим местами вторую строку с k-ой, где ). Приступаем к исключению неизвестной переменной x₂ из всех уравнений, начиная с третьего.

Для этого к третьему уравнению системы прибавим второе, умноженное на , к четвертому уравнению прибавим второе, умноженное на , и так далее, к n-ому уравнению прибавим второе, умноженное на . Система уравнений примет вид

Таким образом, переменная x₂ исключена из всех уравнений, начиная с третьего.

Так продолжаем прямой ход метода Гаусса пока система не примет вид

С этого момента начинаем обратный ход метода Гаусса: вычисляем xn из последнего уравнения как , с помощью полученного значения xn находим x_n-1 из предпоследнего уравнения, и так далее, находим x₁ из первого уравнения.

При использовании метода Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений следует избегать приближенных вычислений, так как это может привести к абсолютно неверным результатам.[8]

Решение системы уравнений методом Гаусса представлено в Приложении 5.

Системы уравнений, основная матрица которых прямоугольная или квадратная вырожденная, могут не иметь решений, могут иметь единственное решение, а могут иметь бесконечное множество решений.[1]

Метод Гаусса позволяет установить совместность или несовместность системы линейных уравнений, а в случае ее совместности определить все решения (или одно единственное решение).[7]

1. На определенном этапе исключения неизвестных переменных некоторые уравнения системы могут обратиться в тождества . Это говорит о том, что такие уравнения излишни, то есть, их можно смело убрать из системы уравнений и продолжить прямой ход метода Гаусса.

2. При проведении прямого хода метода Гаусса одно (или несколько) уравнений системы могут принять вид , где λ - некоторое число, отличное от нуля. Это говорит о том, что уравнение, которое обратилось в равенство , не может обратиться в тождество ни при каких значениях неизвестных переменных. Другими словами, система линейных алгебраических уравнений в этом случае несовместна (не имеет решения). Наиболее часто такие ситуации встречаются, когда число уравнений в системе больше числа неизвестных переменных.

3. Предположим, что мы выполняем прямой ход метода Гаусса, и мы подошли к моменту исключения неизвестной переменной x_k, а на каком-то предыдущем i-ом шаге (i < k) эта переменная уже исключилась вместе с x_i. В этом случае следует перейти к исключению неизвестной переменной x_k+1. Если x_k+1 также уже исключилась, то переходим к x_k+2 и так далее.

К примеру, после исключения неизвестной переменной x₁ система уравнений

принимает вид

Вместе с x₁ исключились x₂ и x₃. Так что прямой ход метода Гаусса продолжаем исключением переменной x₄ из всех уравнений, начиная с третьего:

Далее останется исключить x₅ из последнего уравнения для завершения прямого хода метода Гаусса.

Переходим к самому важному этапу.

Итак, допустим, что система линейных алгебраических уравнений после завершения прямого хода метода Гаусса приняла вид

и ни одно уравнение не свелось к 0=λ (в этом случае мы бы сделали вывод о несовместности системы).

Выпишем неизвестные переменные, которые стоят на первом месте всех уравнений полученной системы:

В данном примере это x₁, x₄ и x₅. В левых частях уравнений системы оставляем только те слагаемые, которые содержат выписанные неизвестные переменные x₁, x₄ и x₅, остальные слагаемые переносим в правую часть уравнений с противоположным знаком:

Придадим неизвестным переменным, которые находятся в правых частях уравнений, произвольные значения , где - произвольные числа:

После этого в правых частях всех уравнений нашей СЛАУ находятся числа и можно преступать к обратному ходу метода Гаусса.

Из последнего уравнений системы имеем , из предпоследнего уравнения находим , из первого уравнения получаем:

Решением системы уравнений является совокупность значений неизвестных переменных

Придавая числам различные значения, мы будем получать различные решения системы уравнений. То есть, наша система уравнений имеет бесконечно много решений.

Таким образом, при рассмотрении решения различных систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса можно сделать следующие выводы:

• Если в процессе прямого хода метода Гаусса одно или несколько уравнений принимают вид 0=λ, где λ - некоторое число, отличное от нуля, то система несовместна.

• Если в конце прямого хода метода Гаусса мы получаем систему, число уравнений в которой совпадает с числом неизвестных переменных, то система совместна и определена, то есть, имеет единственное решение, которое определяется при проведении обратного хода метода Гаусса.[10]

• Если после завершения прямого хода метода Гаусса в полученной СЛАУ число уравнений меньше числа неизвестных переменных, то система совместна и имеет бесконечное множество решений, которые находятся при обратном ходе метода Гаусса.

Метод Гаусса прекрасно подходит для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он обладает рядом преимуществ по сравнению с другими методами:

• во-первых, нет необходимости предварительно исследовать систему уравнений на совместность;

• во-вторых, методом Гаусса можно решать не только СЛАУ, в которых число уравнений совпадает с количеством неизвестных переменных и основная матрица системы невырожденная, но и системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равен нулю;

• в-третьих, метод Гаусса приводит к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Таким образом, Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений. Как мы помним, правило Крамера и матричный метод непригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. А метод последовательного исключения неизвестных влюбомслучаеприведет нас к ответу.

2.8.1 Применение СЛАУ к решению задач практического приложения математики

Системы линейных алгебраических уравнений широко используются в различных задачах.

Задача на нахождение оптимального плана перевозок.

С двух заводов поставляются автомобили для двух автохозяйств, потребности которых соответственно 200 и 300 машин. Первый завод выпустил 350 машин, а второй- 150 машин. Известны затраты на перевозку машин с завода в каждое автохозяйство (см. таблицу).

Минимальные затраты на перевозку равны 7950 ден.ед. Найти оптимальный план перевозок машин.

Решение. Пусть xij- количество машин, поставляемых с i – го завода j-му автохозяйству (i,j=1,2). Получаем систему:

Решая систему методом Гаусса, находим: x₁₁=50, x₁₂=300, x₂₁=150, x₂₂=0. Так как ранг системы r =4 , т.е. r=n, и система имеет единственное решение.

Задача. Распределение ресурсов.

Данная таблица может быть записана в виде матрицы

Так, например, элемент матрицы а₂₂ = 2,5 показывает, сколько водных ресурсов потребляет сельское хозяйство, а элемент матрицы а₁₃= 7,1 показывает, сколько трудовых ресурсов потребляет торговля.

2.8.2 Компьютерная программа

В связи с тем, что СЛАУ применяются во многих отраслях жизни и для экономии времени решения СЛАУ я решил написать программу, которая позволяет решать СЛАУ методом Крамера.

Данная программа будет полезна как ученику, так и учителю. Она позволит не только проверить правильность решения систем линейных алгебраических уравнений, но и быстро получить ответ на конкретную задачу.

Алгоритм работы программы представлен на блок-схеме.

Код программы представлен в Приложении 6.

Решим несколько систем уравнений с помощью разработанной программы.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Многие задачи практики приводят к необходимости решать системы линейных алгебраических уравнений. При конструировании инженерных сооружений, обработке результатов измерений, решении задач планирования производственного процесса и ряда других задач техники, экономики, научного эксперимента приходится решать системы линейных алгебраических уравнений.

Не счесть приложений математики, в которых решение систем уравнений является необходимым элементом решения задачи. Я выяснил, что способов решения систем уравнений существует много: сложения, подстановки, графический, с помощью обратной матрицы, метод Крамера, метод Гаусса и другие.

В результате выполнения работы:

1. Изучена литература по методам решения систем линейных алгебраических уравнений.

2. Подобраны и решены системы линейных алгебраических уравнений различными методами.

3. Показано применение систем линейных алгебраических уравнений на практике.

4. Разработана компьютерная программа, которая на основе введённых числовых коэффициентов находит решение системы линейных алгебраических уравнений.

5. На занятиях внеурочной деятельности учащимся было рассказано о системах линейных алгебраических уравнений и методов их решения, а в кабинете установлена компьютерная программа, с помощью которой учащиеся могут выполнять проверку результатов решения систем линейных алгебраических уравнений, что подтверждается справкой школы, приложенной к работе.

Таким образом, применение различных методов решения систем линейных алгебраических уравнений позволяет значительно сократить время решения различных практических задач.

1. Белько И.В., Кузьмич К.К. Высшая математика для экономистов. I семестр. М.: Новое знание, 2002

2. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике./издание двенадцатое, стереотипное. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1977г.

3. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц (издание третье)./Ф.Р.Гантмахер. Москва: „Наука”, главная редакция физико-математической литературы, 1967г.

4. Гусак А.А. Справочное пособие к решению задач: аналитическая геометрия и линейная алгебра. Мн.: Тетрасистемс, 1998г.

5. Жевняк Р.М., Карпук А.А. Высшая математика. – Мн.: Выш. шк., 1992

6. Коваленко Н.С., Минченков Ю.В., Овсеец М.И. Высшая математика. Учеб. пособие. -Мн.: ЧИУП, 2003

7. Марков Л.Н., Размыслович Г.П. Высшая математика. Часть 1. –Мн.: Амалфея, 1999

8. Малахов А.Н., Максюков Н.И., Никишкин В.А. Высшая математика: Учебное пособие/Московский государственный университет экономики, статистики и информатики. – М.:МЭСИ,2003г.

9. Цыпкин А.Г. Справочник по методам по математики для средней школы./под ред.С.А. Степанова.-3-е изд. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984г.

10. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по методам решения задач по математики для средней школы./под ред. В.И. Благодатских.-М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983г.

Задача 1.

Вычислить определитель с помощью правила Саррюса.

Решение

Ответ: 54

Задача 2.

Вычислить определитель методом треугольников.

Решение.

Ответ: 54

Задача. Используя теорему Лапласа, вычислить определитель

Решение. Выберем в данном определителе пятого порядка две строки - вторую и третью, тогда получаем (слагаемые, которые равны нулю, опускаем):

Ответ: 195

Задача. Используя теорему аннулирования, вычислить определитель

Решение.

Ответ: -2

Задача. Решить систему уравнений методом Крамера.

х₁ + 2x₂ + x₃ – x₄ = 1;

2x₁ + x₂ – x₃ – 3x₄ = 1;

х₁ – 3x₂ + 2x₃ + 2x₄ = –2;

3x₁ + x₂ + 3x₃ – 4x₄ = –3.

Решение.

Вычислим определитель системы:

Поскольку ∆ ≠ 0, система уравнений может быть решена по формулам Крамера.

Найдем определители ∆x₁ – ∆x₄:

Таким же образом высчитываем ∆х₄ и получаем: ∆х₁ = ∆х₂ = –∆х₃ = ∆х₄, и, следовательно, х₁ = х₂ = –х₃ = х₄ = 1.

Ответ: х₁ = х₂ = х₄ = 1, х₃ = -1

Задача. Решить систему уравнений методом Гаусса.

Решение.

Перепишем систему линейных алгебраических уравнений в матричную форму.

Путем вычитания первой строки, умноженной на 3, из второй строки, а затем вычитания первой строки из третей строки, получим:

Затем необходимо умножить вторую строку на (-1). И вычесть полученную строку из третьей строки.

Теперь необходимо умножить третью строку на (-1). Из второй строки вычесть третью строку, умноженную на 2. И из первой строки вычесть третью строку, умноженную на 3.

Получим:

Вычитаем из первой строки вторую, умноженную на 2.

Таким образом, в левой части матрицы по главной диагонали остались одни единицы. В правом столбце получаем решение уравнения х₁=-4, х₂=-13, х₃=11

Ответ: х₁=-4, х₂=-13, х₃=11

uses crt;

type

Tmass=array[1..20] of real;

Tmatrix=array[1..20] of Tmass;

procedure Per(k,n:integer;var a:Tmatrix;var p:integer);{перестановка строк если главный элемент = 0}

var z:Real;j,i:integer;

begin

z:=abs(a[k][k]);

i:=k;

p:=0;

for j:=k+1 to n do

begin

if abs(a[j][k])>z then{выбираем максимальный по модулю в данном столбце ниже }

begin

z:=abs(a[j][k]);

i:=j;

p:=p+1;{счетчик перестановок, при каждой перестановке меняется знак определителя}

end;

end;

if i>k then

for j:=k to n do

begin

z:=a[i][j];

a[i][j]:=a[k][j];

a[k][j]:=z;

end;

end;

function Znak(p:integer):integer;{определение знака определителя}

begin

if p mod 2=0 then

Znak:=1 else Znak:=-1;

end;

procedure Opr(n:integer;a:tmatrix;var det:real);{вычисление определителя}

var k,i,j,p:integer;r:real;

begin

det:=1.0;

for k:=1 to n do

begin

if a[k][k]=0 then Per(k,n,a,p);{перестановка строк}

det:=znak(p)*det*a[k][k];{вычисление определителя}

for j:=k+1 to n do {пересчет коэффициентов}

begin

r:=a[j][k]/a[k][k];

for i:=k to n do

begin

a[j][i]:=a[j][i]-r*a[k][i];

end;

end;

end;

end;

var a:Tmatrix;{матрица коэффициентов исходная}

c:array[1..20] of Tmatrix;{вспомогательные матрицы для вычисления корней}

b,x:Tmass;{свободные члены, корни}

det,det1:real;{определители}

n,k,j,i:integer;

begin

clrscr;

write('Порядок системы n= ');

readln(n);

writeln('Введите коэффициенты системы: ');

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

begin

write('a[',i,',',j,']= ');

read(a[i][j]);

end;

readln;

writeln('Введите свободные члены: ');

for i:=1 to n do

begin

write('b[',i,']= ');

read(b[i]);

end;

readln;

clrscr;

writeln('Расширенная матрица системы: ');

for i:=1 to n do

begin

for j:=1 to n do

write(a[i][j]:7:2);

write(b[i]:9:2);

writeln;

end;

Opr(n,a,det);{Определитель исходной системы}

for i:=1 to n do

begin

for k:=1 to n do

begin

for j:=1 to n do{Создаем вспомогательные матрицы, где i-столбец свободных членов}

c[i][k][j]:=a[k][j];

c[i][k][i]:=b[k];

end;

Opr(n,c[i],det1);{Определитель вспомогательной матрицы}

if(det=0)and(det1=0) then

begin

writeln('Система не определена!');

readln;

exit;

end;

if(det=0)and(det10) then

begin

writeln('Система не имеет решений!');

readln;

exit;

end;

x[i]:=det1/det;{корень}

end;

writeln('Корни системы:');

for i:=1 to n do

writeln('x',i,'=',x[i]:7:3);

readln

end.

43