ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ПРЕДПОСЫЛОК РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ

II Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ПРЕДПОСЫЛОК РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ

Макарова Д.Ю. 1
1
Верютина Е.В. 1
1
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Математика (греч- наука, знание, изучение) - наука, которая первоначально возникла как одно из направлений поиска (в греческой философии) в сфере пространственных отношений (геометрии) и вычислений (арифметики), для практических потребностей человека считать, вычислять, измерять, исследовать формы и движение физических тел. История математики тесно связана с историей других наук, техники, культуры, искусства многих стран и народов, больших и малых, историей жизни и деятельности выдающихся и рядовых математиков.

Развитие математики началось с создания практических искусств счёта (арифметика) и измерения линий, поверхностей и объёмов (геометрия), потому что знания в этих областях были необходимы людям в их повседневной жизни.

Дальнейшее развитие математики, как науки, принесло в нашу жизнь много новых разделов: алгебра, математический анализ и т.д. Соответственно, появилось много новых понятий, формул, алгоритмов.

Существуют математические понятия, история возникновения которых с точки зрения практических потребностей людей в процессе развития человеческого общества недостаточно изучена. Анализ различных материалов по истории развития математики показал, что в работах Рыбникова К.А., Юшкевича А.П., Глейзера Г.И излагаются только историко-математические сведения и освящаются основные, определяющие моменты и стороны развития математики. Кроме того, для работы с данными книгами требуется достаточная математическая подготовка.

Цель данной работы - уточнить роль и влияние практических потребностей людей на появление в математике некоторых понятий, встречающихся в ходе изучения математики в учебных заведениях.

Задачи: выявить исторические предпосылки возникновения логарифмов и проследить путь развития понятия «логарифм»; обобщить сведения о практической необходимости тригонометрии; наглядно представить историю развития интегрального исчисления с помощью ленты времени.

Глава I. История возникновения математических понятий.

  1.  
    1. Возникновение понятия «логарифм»

Изобретение логарифмов в начале 17 века тесно связано с развитием в 16 веке производства и торговли, астрономии и мореплавания, требовавших усовершенствования методов вычислительной математики. Всё чаще требовалось быстро производить громоздкие действия над многозначными числами, всё точнее и точнее должны быть результаты действий. Вот тогда-то и нашла воплощение идея логарифмов, ценность которых состоит в сведении сложных действий 3 ступени (возведения в степень и извлечения корня) к более простым действиям 2 ступени (умножению и делению), а последних – к самым простым, к действиям 1 ступени (сложению и вычитанию).

Принцип, лежащий в основе любой системы логарифмов, известен очень давно и может быть прослежен в глубь истории вплоть до древневавилонской математики (около 2000 до н. э.). В те времена интерполяция между табличными значениями целых положительных степеней целых чисел использовалась для вычисления сложных процентов. Гораздо позже Архимед (287-212 до н.э.) воспользовался степенями числа 108 для нахождения верхнего предела числа песчинок, необходимого для того, чтобы целиком заполнить известную в те времена Вселенную. Архимед обратил внимание на свойство показателей степеней, лежащее в основе эффективности логарифмов: произведение степеней соответствует сумме показателей степеней. В конце Средних веков и начале Нового времени математики все чаще стали обращаться к соотношению между геометрической и арифметической прогрессиями. М. Штифель в своем сочинении Арифметика целых чисел (1544) привел таблицу положительных и отрицательных степеней числа 2, представленных на рисунке 1:

Рис.1. Таблица М.Штифель

Штифель заметил, что сумма двух чисел в первой строке (строке показателей степени) равна показателю степени двойки, отвечающему произведению двух соответствующих чисел в нижней строке (строке степеней). В связи с этой таблицей Штифель сформулировал четыре правила, эквивалентных четырем современным правилам операций над показателями степеней или четырем правилам действий над логарифмами: сумма в верхней строке соответствует произведению в нижней строке; вычитание в верхней строке соответствует делению в нижней строке; умножение в верхней строке соответствует возведению в степень в нижней строке; деление в верхней строке соответствует извлечению корня в нижней строке. По-видимому, правила, аналогичные правилам Штифеля, привели Дж. Непера к формальному введению первой системы логарифмов в сочинении Описание удивительной таблицы логарифмов, опубликованном в 1614. Но мысли Непера были заняты проблемой превращения произведений в суммы еще с тех пор, как более чем за десять лет до выхода своего сочинения Непер получил из Дании известие о том, что в обсерватории Тихо Браге его ассистенты располагают методом, позволяющим превращать произведения в суммы. Метод, о котором говорилось в полученном Непером сообщении, был основан на использовании тригонометрических формул типа

поэтому таблицы Непера состояли главным образом из логарифмов тригонометрических функций. Хотя понятие основания не входило в явном виде в предложенное Непером определение, роль, эквивалентную основанию системы логарифмов, в его системе играло число, приближенно равное 1/e. Независимо от Непера и почти одновременно с ним система логарифмов, довольно близкая по типу, была изобретена и опубликована Й.Бюрги в Праге, издавшем в 1620 Таблицы арифметической и геометрической прогрессий. Это были таблицы антилогарифмов по основанию (1 + 10-4)*10 4, достаточно хорошему приближению числа e. В системе Непера логарифм числа 107 был принят за нуль, и по мере уменьшения чисел логарифмы возрастали. Когда Г. Бриггс (1561-1631) навестил Непера, оба согласились, что было бы удобнее использовать в качестве основания число 10 и считать логарифм единицы равным нулю. Тогда с увеличением чисел их логарифмы возрастали бы. Таким образом мы получили современную систему десятичных логарифмов, таблицу которых Бриггс опубликовал в своем сочинении Логарифмическая арифметика (1620). Логарифмы по основанию e, хотя и не совсем те, которые были введены Непером, часто называют неперовыми. Термины "характеристика" и "мантисса" были предложены Бриггсом. Первые логарифмы в силу исторических причин использовали приближения к числам 1/e и e. Несколько позднее идею натуральных логарифмов стали связывать с изучением площадей под гиперболой xy = 1, представленной на рисунке 2.

Рис. 2. График ветви гиперболы

В 17 в. было показано, что площадь, ограниченная этой кривой, осью Оx и ординатами точек x = 1 и x = a (на рис. 1 эта область покрыта более жирными и редкими точками) возрастает в арифметической прогрессии, когда a возрастает в геометрической прогрессии. Именно такая зависимость возникает в правилах действий над экспонентами и логарифмами. Это дало основание называть неперовы логарифмы "гиперболическими логарифмами".

xy = 4. Площади под гиперболой на отрезках от x =1 до x = 2, от x = 2 до x = 4 и от x = 4 до x = 8 равны; общая площадь заштрихованной фигуры возрастает в арифметической прогрессии (1, 2, 3, 4), тогда как длина отрезков на оси x возрастает в геометрической прогрессии (1, 2, 4, 8).

Таким образом, история логарифмов говорит о том, что великие открытия являются результатом труда не одного человека и даже не одного поколения. С течением времени актуальность и глобальность данного открытия стали меньше для вычислительных работ, но сохранились для развития теоретических вопросов математики.

  1.  
    1. Возникновение тригонометрии

Слово «тригонометрия» греческого происхождения. В переводе на русский язык оно означает «измерение треугольников». Как и все другие разделы математики, зародившиеся в глубокой древности, тригонометрия возникла в результате попыток решить те задачи, с которыми человеку приходилось сталкиваться на практике. Среди таких задач следует прежде всего назвать задачи землемерия и астрономии.

В том, что тригонометрия относится к древним наукам, нас убеждает хотя бы такой факт. Для предсказания момента наступления солнечного или лунного затмения необходимо произвести расчеты, требующие привлечения тригонометрии. Весьма точно предсказывали затмения еще древне-вавилонские ученые. По-видимому, они уже владели элементарными тригонометрическими понятиями.

Первые достоверно засвидетельствованные тригонометрические таблицы были составлены во втором веке до н. э. Их автором был греческий астроном Г и п п а р х. Таблицы эти до нас не дошли, но в усовершенствованном виде они были включены в «Альмагест» («Великое построение») александрийского астронома Птолемея. Таблицы Птолемея подобны таблицам синусов от 0° до 90°, составленным через каждые четверть градуса. В «Альмагесте», в частности, есть формулы для синуса и косинуса суммы двух углов, содержатся также элементы сферической тригонометрии.( Сферическая тригонометрия рассматривает углы и другие фигуры не на плоскости, а на сфере.)

В средние века наибольшие успехи в развитии тригонометрии были достигнуты учеными Средней Азии и Закавказья. В это время к тригонометрии начинают относиться как к самостоятельной науке, не связывая ее, как прежде, с астрономией. Большое внимание уделяется задаче решения треугольников. Одним из самых примечательных сочинений по тригонометрии этого периода является «Трактат о четырехугольнике» Насир Эддина (XIII век). В этом трактате введен ряд новых тригонометрических понятий, по-новому доказаны некоторые уже известные результаты. Основные работы по тригонометрии в Европе были выполнены почти на два столетия позднее. Здесь следует прежде всего отметить немецкого ученого Региомонтана (XV век). Его главное произведение «Пять книг о различного рода треугольниках» содержит достаточно полное изложение основ тригонометрии. От наших нынешних учебников по тригонометрии это сочинение отличается в основном лишь отсутствием удобных современных обозначений. Все теоремы сформулированы словесно. После появления «Пяти книг» Региомонтана тригонометрия окончательно выделилась в самостоятельную науку, не зависящую от астрономии. Региомонтаном составлены также довольно подробные тригонометрические таблицы.

Развитие алгебраической символики и введение в математику отрицательных чисел позволило рассматривать отрицательные углы; появилась возможность рассматривать тригонометрические функции числового аргумента. Развитие математики позволило вычислять значения тригонометрических функций любого числа с любой наперед заданной точностью.

Существенный вклад в развитие тригонометрии внес Эйлер. Им дано современное определение тригонометрических функций и указано на тесную связь этих функций с показательными функциями.

В настоящее время тригонометрические функции лежат в основе специального математического аппарата, так называемого гармонического анализа, при помощи которого изучаются различного рода периодические процессы: колебательные движения, распространение волн, некоторые атмосферные явления и пр.

Таким образом, практическая необходимость тригонометрического исчисления сохранилась с античных времён и до наших дней.

  1.  
    1. Возникновение дифференциального и интегрального исчисления.

В математике XVII в. самым же большим достижением справедливо считается изобретение дифференциального и интегрального исчисления. Сформировалось оно в ряде сочинений Ньютона и Лейбница и их ближайших учеников. Введение в математику методов анализа бесконечно малых стало началом больших преобразований. Но наряду с интегральными методами складывались и методы дифференциальные. Вырабатывались элементы будущего дифференциального исчисления при решении задач, которые в настоящее время и решаются с помощью дифференцирования. В то время такие задачи были трех видов: определение касательных к кривым, нахождение максимумов и минимумов функций, отыскивание условий существования алгебраических уравнений квадратных корней.

В 1638 году Ферма сообщил в письме Декарту, что решил задачу определения экстремальных значений f(x).

Первый в мире печатный курс дифференциального исчисления опубликовал в 1696 г. Лопиталь. Этот курс состоит из предисловия и 10 глав, в которых излагаются определения постоянных и переменных величин и дифференциала, объясняются употребляющиеся обозначения dx, dy, и др. Большим достоинством книги является простота и строгая последовательность изложения, обилие примеров различной сложности. Появление анализа бесконечно малых революционизировало всю математику, превратив ее в математику переменных величин.

Дифференциальное и интегральное исчисление разрабатывалось на протяжении многих веков и связано с именами большого количества ученых, как это представлено на рисунке 3.

Рис.3. Ученые, внесшие вклад в развитие дифференциального и интегрального исчисления

Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объемов. Ряд задач такого рода был решен математиками древней Греции. Античная математика предвосхитила идеи интегрального исчисления в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл исчерпывающий метод, созданный Евдоксом Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н. э.) и широко применявшийся Архимедом (ок. 287 - 212 до н. э.).

Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приемов и понятий об интеграле, а тем более не создал алгоритма интегрального исчисления. Ученые Среднего и Ближнего Востока в IX - XV веках изучали и переводили труды Архимеда на общедоступный в их среде арабский язык, но существенно новых результатов в интегральном исчислении они не получили.

Деятельность европейских ученых в это время была еще более скромной. Лишь в XVI и XVII веках развитие естественных наук поставило перед математикой Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахождение квадратур (задачи на вычисление площадей фигур), кубатур (задачи на вычисление объемов тел) и определение центров тяжести .

Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 (на латинском и греческом языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов развития интегрального исчисления. Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления.

Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод – метод неделимых, который также зародился в Древней Греции. Например, криволинейную трапецию они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной f(x) , которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине f(x)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной сумме бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме - нули, но нули особого рода, которые сложенные в бесконечном числе, дают вполне определенную положительную сумму.

На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе И.Кеплер (1571 - 1630 гг.) в своих сочинениях “Новая астрономия” (1609 г.) и “Стереометрия винных бочек” (1615 г.) правильно вычислил ряд площадей (например площадь фигуры, ограниченной эллипсом) и объемов (тело резалось на бесконечно тонкие пластинки).

Эти исследования были продолжены итальянскими математиками Б.Кавальери (1598 - 1647 годы) и Э. Торричелли (1608 -1647 годы).

В XVII веке были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П. Ферма уже в 1629 году решил задачу квадратуры любой кривой (т. е. вывел формулу , и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет, фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1603-1677 года), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функции в виде степенных рядов.

Однако при всей значимости результатов, полученных математиками XVII столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно точный алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона - Лейбница.

Тем самым окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т. п. Но главное уже было сделано: дифференциальное иинтегральное исчисление создано.

Методы математического анализа активно развивались в следующем столетии (в первую очередь следует назвать имена Л. Эйлера, завершившего систематическое исследование интегрирования элементарных функций, и И.Бернулли). В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М. В. Остроградский (1801 - 1862 гг.), В. Я. Буняковский (1804 - 1889 гг.), П. Л. Чебышев (1821 - 1894 гг.). Принципиальное значение имели, в частности, результаты Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции.

Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке, Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков немецкого ученого Б. Римана (1826 - 1866 гг.), французского математика Г. Дарбу (1842 - 1917).

Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1826 - 1922 гг.) .

Таким образом, история развития интегрального исчисления прошла традиционные этапы - постановка практических задач, выделение общих идей, лежащих в основе решения разных задач, введение символики, оформление общих методов.

Заключение

Обобщая содержание первой главы, нами сделаны следующие выводы.

Обзор исторического развития науки с точки зрения практических потребностей человека позволяет увидеть условия, а иногда и причины зарождения тех или иных понятий, идей и методов математики. История возникновения различных составляющих математики является результатом труда нескольких поколении людей, практические предпосылки по-прежнему актуальны, и традиционные этапы развития от зарождения к применению просматриваются в формировании понятий и методов.

Помимо этого знание истории математики способствует повышению интереса к предмету, углубляет понимание изучаемой дисциплины, повышает общую культуру человека.

Схематическое представление некоторых аспектов данного вопроса отвечает требованиям нынешнего поколения студентов о наглядном представлении большого объёма информации.

Список литературы:

  1. Гейзер Г.И.История математики в школе. – М.: «Просвещение», 1982

  2. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11кл. общеобразоват. учреждений/ Под ред. Колмогорова – М.: Просвещение, 1996

  3. Рыбников К.А. История математики (в 2-х томах). – М: Издательство Московского университета – 1960 г. – т.1, 1963 г. – т.2 .

  4. Юшкевич А.П. История математики. – М.: Наука – 1970 г. – т.1, т.2, – 1972 г. – т.3

17

Просмотров работы: 512