ИССЛЕДОВАНИЯ СПОСОБОВ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

II Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

ИССЛЕДОВАНИЯ СПОСОБОВ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Тимиркаева А.В. 1Нигматуллина А.М. 1
1
Миронова Ю.Н. 1
1
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение.  

Матрицы и определители используются во многих областях знаний. Эти понятия изучаются на 1-ом курсе высших учебных заведений.

С их помощью решаются системы линейных уравнений, задачи классификации, геометрические задачи и пр. Именно поэтому свою научно-исследовательскую работу мы решили посвятить понятию определителя и изучению его свойств.

§1. Понятие определителя.

Рассмотрим понятие определителя.

Определение 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ – в математике запись чисел в виде квадратной таблицы, в соответствие которой ставится другое число («значение» определителя). Очень часто под понятием «определитель» имеют в виду как значение определителя, так и форму его записи. Определители позволяют удобно записывать сложные выражения, возникающие, например, при решении линейных уравнений в аналитической геометрии и в математическом анализе.

Определение 2. Матрица- это математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами.

§2. Способы вычисления определителей.

Символ вида

, где - некоторые действительные числа, называется определителем второго порядка, который вычисляется следующим образом:

.

Определителем третьего порядка называется число, которое вычисляется следующим образом:

При вычислении определителей третьего порядка пользуются правилом Саррюса (правило треугольников).

Пример 1.1. Вычислить определитель второго порядка:

=27.

Ответ: 27.

Пример 1.2. Вычислить определитель второго порядка:

Ответ: -27.

Пример 1.3. Вычислить определитель третьего порядка:

.

Ответ: 9.

Пример 1.4.Вычислить определитель третьего порядка:

§3 Понятие минора.

Определение 1.

Определитель, полученный из определителя вычеркиванием-ой строки и-го столбца, на пересечении которых стоит элемент называется минором элемента определителя

Пример 1:

Ответ: -6

Пример 2.

Ответ: -18.

Определение 2. Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, взятый со знаком «+» , если сумма (i+j) чётное число, и со знаком «-», если (i+j) нечётное число.

С их помощью понижается порядок определителей.

Пример 3.1.

Ответ: 98.

Пример 3.2.

Ответ: 0.

§4.Свойства определителей.

Свойства определителей.

  1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами или наоборот.

  2. При перестановке двух параллельных строк или столбцов определитель меняет свой знак.

  3. Определитель, имеющий две одинаковые строки или два одинаковых столбца равен нулю

  4. Общий множитель элементов какой-либо строки или столбца определителя можно вынести знак определителя.

  5. Если элементы какого-либо столбца(строки) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей.

  6. Определитель не изменится, если к элементам одной строки или столбца прибавить соответствующие элементы параллельной строки или столбца умноженное на любое число

  7. Определитель равен сумме произведений элементов некоторой строки или столбца на соответствующие или алгебраические дополнения.

Свойство 7 содержит в себе способ вычисления определителя высоких порядков.

  1. Сумма произведений элементов какого-либо столбца или строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельных рядов равна нулю.

Заключение

Таким образом, мы исследовали понятие определителя, иизучили его свойства, с помощью которых мы можем рассмотреть и вычислить примеры задач и их решения.

Список источников и литературы:

  1. StudFiles. URL: http://www.studfiles.ru/preview/4404558/ (Дата обращения 15.10.2016)

  2. Т.И. Анисимова. Лекции по высшей математике. (Линейная алгебра и аналитическая геометрия): Учебное пособие. – Елабуга: Изд-во ЕГПУ, 2007 г. – 48 с.

  3. В.П. Минорский. Сборник задач по высшей математике. - Москва, 1987 г.

Просмотров работы: 328