II Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
ИССЛЕДОВАНИЯ СПОСОБОВ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Матрицы и определители используются во многих областях знаний. Эти понятия изучаются на 1-ом курсе высших учебных заведений.
С их помощью решаются системы линейных уравнений, задачи классификации, геометрические задачи и пр. Именно поэтому свою научно-исследовательскую работу мы решили посвятить понятию определителя и изучению его свойств.
§1. Понятие определителя.
Рассмотрим понятие определителя.
Определение 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ – в математике запись чисел в виде квадратной таблицы, в соответствие которой ставится другое число («значение» определителя). Очень часто под понятием «определитель» имеют в виду как значение определителя, так и форму его записи. Определители позволяют удобно записывать сложные выражения, возникающие, например, при решении линейных уравнений в аналитической геометрии и в математическом анализе.
Определение 2. Матрица- это математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами.
§2. Способы вычисления определителей.
Символ вида
, где - некоторые действительные числа, называется определителем второго порядка, который вычисляется следующим образом:
.
Определителем третьего порядка называется число, которое вычисляется следующим образом:
При вычислении определителей третьего порядка пользуются правилом Саррюса (правило треугольников).
Пример 1.1. Вычислить определитель второго порядка:
=27.
Ответ: 27.
Пример 1.2. Вычислить определитель второго порядка:
Ответ: -27.
Пример 1.3. Вычислить определитель третьего порядка:
.
Ответ: 9.
Пример 1.4.Вычислить определитель третьего порядка:
§3 Понятие минора.
Определение 1.
Определитель, полученный из определителя вычеркиванием-ой строки и-го столбца, на пересечении которых стоит элемент называется минором элемента определителя
Пример 1:
Ответ: -6
Пример 2.
Ответ: -18.
Определение 2. Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, взятый со знаком «+» , если сумма (i+j) чётное число, и со знаком «-», если (i+j) нечётное число.
С их помощью понижается порядок определителей.
Пример 3.1.
Ответ: 98.
Пример 3.2.
Ответ: 0.
§4.Свойства определителей.
Свойства определителей.
-
Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами или наоборот.
-
При перестановке двух параллельных строк или столбцов определитель меняет свой знак.
-
Определитель, имеющий две одинаковые строки или два одинаковых столбца равен нулю
-
Общий множитель элементов какой-либо строки или столбца определителя можно вынести знак определителя.
-
Если элементы какого-либо столбца(строки) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей.
-
Определитель не изменится, если к элементам одной строки или столбца прибавить соответствующие элементы параллельной строки или столбца умноженное на любое число
-
Определитель равен сумме произведений элементов некоторой строки или столбца на соответствующие или алгебраические дополнения.
Свойство 7 содержит в себе способ вычисления определителя высоких порядков.
-
Сумма произведений элементов какого-либо столбца или строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельных рядов равна нулю.
Заключение
Таким образом, мы исследовали понятие определителя, иизучили его свойства, с помощью которых мы можем рассмотреть и вычислить примеры задач и их решения.
Список источников и литературы:
-
StudFiles. URL: http://www.studfiles.ru/preview/4404558/ (Дата обращения 15.10.2016)
-
Т.И. Анисимова. Лекции по высшей математике. (Линейная алгебра и аналитическая геометрия): Учебное пособие. – Елабуга: Изд-во ЕГПУ, 2007 г. – 48 с.
-
В.П. Минорский. Сборник задач по высшей математике. - Москва, 1987 г.