II Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ПЕРЕЛИВАНИЯ МЕТОДОМ БИЛЛИАРДНОГО ШАРА

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Очнев В.В. 1

---

1

Малыгина Т.В. 1

---

1

Работа в формате PDF

783.2 KB

Автор работы награжден дипломом победителя I степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

С помощью математики мы исследуем окружающий мир и продвигаем технический прогресс. И конечный результат деятельности людей зависит, в частности, от того, как совершается данный процесс, какие способы, приемы, средства при этом применяются. Многие люди не являясь математиками, но так или иначе используют математические приемы и методы, при этом упрощая свою работу в практической жизни.

Например, решая проблемы на переливания.

Однажды на факультативе решали задачу на переливание «как, используя два сосуда 5 л и 3 л, налить 7 л?» методом рассуждения. Показалось, сложно на первый взгляд. Куда наливать, в какой сосуд сначала? Что дальше? Решение задачи заняло почти 20 минут, и не сразу класс пришел к верной цепочке умозаключений. Вскоре такие задачи мы решали на школьном туре олимпиад. Проблема как научиться решать и решать быстро такие задачи привела нас к поиску более простых методов, чем метод рассуждений.

Изучая информационные источники, оказалось, что есть метод биллиардного шара. Даже название метода заинтриговало. В чем состоит этот способ решения задач на переливания? Есть ли еще другие методы? Какой самый универсальный, применим к любым задачам, простой в применении и на практике?

Так возникло решение написать учебный проект на тему «Решение задач на переливание методом бильярдного шара».

Актуальность данного учебного проекта состоит в том, что результат исследования применения разных методов решения задач на переливания поможет обстоятельно ответить на вопрос, какой способ самый универсальный и простой, какой применим на практике, в жизни, на уроках математики, при решении олимпиадных задач 5-6 классов.

Объект исследования – логические задачи на переливания.

Предмет исследования – методы решения задач на переливания.

Цель исследования: исследовать разные способы решения задач на переливания и определить универсальность одного из них.

Гипотеза: метод бильярдного шара является универсальным.

Для достижения поставленной цели исследования необходимо было решить следующие задачи:

1. На основе анализа научно-методической литературы по проблеме исследования выявить все методы решения задач на переливания;

2. Использовать все способы для решения задач такого рода;

3. Провести анализ способов и доказать универсальность одного из способов решения задач на переливания;

4. Проверить применение универсального способа на решении других задач и для других участников учебного процесса.

5. Наметить пути использования универсального способа в учебном процессе.

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы работы:

- теоретический анализ научной и научно-популярной литературы по данному вопросу;

- анализ методов решения задач на переливания и сравнение методов по предложенным критериям;

- экспериментальная проверка и доказательство универсальности метода бильярдного шара;

- статистическая обработка результатов исследования.

Практическая значимость учебного проекта состоит в том, что

-обоснована универсальность метода бильярдного шара;

-разработано учебное пособие к решению задач на переливания;

-выявление универсальности метода бильярдного шара может быть использовано для повышения эффективности методики обучения решению задач на переливание в факультативном курсе по математике.

В жизни каждого человека встречались задачи, где было необходимо налить определенное количество жидкости, не имея нужной мерки. В такой ситуации в ход идут сосуды разной емкости. Как с помощью этих емкостей отлить нужное количество жидкости? Это задачи решаются человеком, в основном, логически. Но есть интересный метод решения таких задач называемый методом бильярдного шара.

Проследив историю бильярда и соответствующего математического метода на основе разных информационных источников, отметим следующее.

А к началу ХХ столетия игра в бильярд (катание шаров) становится в России едва ли не любимой забавой горожан. (Цит. по [11])

Подобно тому, как азартная игра в кости вызвала к жизни «исчисление» вероятностей, игра в бильярд послужила предметом серьезных научных исследований по механике и математике. (Цит. по [9])

Изучая проблему бильярда, ученые-математики задались ответом на вопрос, какой может быть траектория этого шарика? Поиски ответа на этот вопрос и послужили появлению теории математического бильярда или теории траекторий.

Но математическая теория бильярдного шара была создана не сразу. Попытки исследовать математический базис бильярдной игры предпринимались неоднократно.

Так в 1835 году французский физик Гаспар Густав Кориолис за год до избрания его академиком Парижской академии наук написал книгу "Theorie mathematique du jeu de billard" ("Математическая теория явлений бильярдной игры"). Однако работа Кориолиса, в которой автор использовал элементы теории вероятностей, теории пределов и общего анализа, не заинтересовала ни игроков, ни математиков. Лишь через 150 лет теория биллиардов стала неотъемлемой частью эргодинамической теории и теории динамических систем, соединяя разные разделы математики.

С 70-х годов XX столетия современная теория бильярдов в России является одним из актуальных направлений математической физики. Ее основы были заложены советским математиком Яковом Григорьевичем Синаем и его школой (Приложение 1).

Методы исследования бильярдных систем (например, анализ поведения бильярдных траекторий), с одной стороны, примыкают к традиционной геометрии, а с другой — лежат на стыке отраслей современной математики — теории чисел, топологии, эргодической теории и теоретической механики. Будучи, как правило, вполне элементарными, эти методы позволяют получить далеко не элементарные и интересные выводы. В частности, оказалось, что бильярдная траектория помогает решать задачи на переливания.[3]

Рассматривая научную и научно-популярную литературу по данному вопросу, можно выделить труды ученых Гальперина Г.А. и Землякова А.Н., которые рассматривали траектории движения бильярдного шара. [1,2,3,4].

Из интернет-источников можно выделить несколько научных статей, но ни в одной из них не рассматривается доказательство универсальности метода бильярдного шара, только упоминание или разбор задачи этим методом.[5,6].

В интернете имеется презентация и работы трех школьников по данному вопросу. [7,8,9]

В первой работе показано как используется метод бильяра на одной задаче, во второй – разобраны несколько задач этим методом, составлена программа для решения задач на переливание. В третьей работе подробно разобран метод бильярда, в основном, повторяя труды Гальперина Г.А. и ЗемляковаА.Н. Ни в одной работе не была доказана универсальность метода бильярда по сравнению с другими методами.

Есть несколько познавательных сайтов предлагающих информацию о задачах на переливания или решении логических задач, где рассматривается метод бильярда при решении задач на переливание.[10,11,12,13].

Итак, я изучил разные источники информации, они приведены в разделе Литература. Это и научные статьи, и научно-популярные статьи, интернет статьи, интернет сайты по решению логических задач. Познакомился с проектными работами учащихся по данному вопросу. В этих работах решено и предлагается решить несколько задач на переливание методом бильярдного шара, но ни в одной работе, статье не приведено доказательство универсальности метода бильярда.

Поэтому захотелось не просто изучить разные методы решения задач на переливание, но и доказать гипотезу «метод бильярдного шара является универсальным».

Задачи на переливания (Приложение 7) постоянно даются на олимпиадах 5-7 классов. Умение решать такие задачи быстро и послужило поводом создать этот проект. Олимпиадные задачи на школьном туре я решал методом рассуждений. А какие же еще существуют способы решения таких задач, есть ли среди них самый простой, не требующий для решения много времени?

Изучая научно-популярную литературу, я узнал, что существуют 4 способа решения логических задач на переливания:

• Метод рассуждений;

• Метод блок-схем;

• Метод таблиц;

• Метод бильярдного шара.

Расскажу немного подробнее о каждом способе.

Метод рассуждений

Способ рассуждений. Этим способом решаются самые простые

логические задачи. Но иногда задачи на переливания решаются не так быстро, а запись рассуждений может занять целый лист формата А4 в печатном виде. Так, задача, приведенная в работе Гальперина Г.А. и Землякова А.Н. «Математические бильярды» заняла 2 страницы объяснений.

Метод таблиц

Метод таблиц – основной прием, который используется при решении текстовых логических задач, заключается в построении таблиц. Таблицы не только позволяют наглядно представить условие задачи или ее ответ, но в значительной степени помогают делать правильные логические выводы в ходе решения задачи. Задачи на переливание решаются методом таблиц на основе того же метода рассуждений, только сопровождая рассуждения записью в таблице. Здесь также важно сразу выйти на «след» правильного решения. Решение задачи на переливания возможно двумя способами, то и таблиц должно быть две.

Метод блок-схем

Более систематический подход к решению задач «на переливание» заключается в использовании блок-схем.

Суть этого метода состоит в следующем. Сначала выделяются операции, которые позволяют нам точно отмерять жидкость. Эти операции называются командами. Затем устанавливается последовательность выполнения выделенных команд. Эта последовательность оформляется в виде схемы (см. рис. 1). Подобные схемы называются блок-схемами и широко используются в программировании. Составленная блок-схема является программой, выполнение которой может привести нас к решению поставленной задачи (но фактически это итог нашего рассуждения – первым методом - и оформляется графически). При этом обычно заполняют отдельную таблицу (опять работает табличный метод!), в которую заносят количество жидкости в каждом из имеющихся сосудов.

Рисунок 1

Блок-схема для задач подобного рода на пересыпание выглядит несколько иначе, в виде графа (Приложение 6), но в ней лучше отражены все мысли решающего задачу.

Итак, мы видим связь этих трех методов. Главное в них – рассуждение от

начала решения и до конца решения. Только метод таблиц и метод блок-схем

начала решения и до конца решения. Только метод таблиц и метод блок-схем помогают оформить метод рассуждений графически.

Чтобы рассказать о четвертом методе бильярдного шара, надо познакомиться с проблемой динамических систем – проблемой траекторий.

Бильярдный стол можно представить в виде различных плоских фигур, окружности, эллипса, и даже в виде пространственных. Мы же будем рассматривать математическую модель бильярдного шара только как горизонтальный бильярдный стол в виде параллелограмма, но без луз. По этому столу без трения движется точечный шар, абсолютно упруго отражаясь от бортов. Проходя по линиям параллелограмма по нанесенной сетке правильных треугольников, он попадает во все точки на сторонах параллелограмма (кроме точки, противоположной начальной).

В задачах на переливания горизонтальная и вертикальная сторона параллелограмма по длине означают вместимость данных двух пустых сосудов. Каждая такая точка на стороне параллелограмма имеет две координаты, что означает количество воды, налитое в каждый сосуд.

Доказана теорема Биркгофа: у бильярда в любой выпуклой области Q на плоскости, ограниченной замкнутой гладкой кривой Г, существуют периодические бильярдные траектории с любым числом звеньев.

Иными словами сказать: мы всегда решим любую задачу на переливание, обойдя весь параллелограмм от точки О, и возвратившись в точку О.

Так, используя схему бильярдного стола в виде параллелограмма (см. рис.3), можно проследить сразу два способа решения задач на переливания, имея сосуды в 3 и 5 литров: 1- налить сначала в сосуд 3 л, 2 – налить сначала в сосуд 5 л. Да еще и виден путь ответа на сразу все вопросы: как, имея пустые сосуды в 3л и 5 л, отмерить 1л, 2л, Рисунок 3 3л, 4л, 5л, 6л, 7л?

Имея сосуды 3 л и 5 л, мы можем налить самое большое количество жидкости 5+3=8. Т.е., видим, что налить 9 л, имея сосуды в 3 л и 5 л, мы уже не сможем. Но есть другие задачи с другими начальными данными – вместимостью пустых сосудов, когда можно налить нужное количество жидкости. Поэтому необходимо каждый раз помнить условие разрешимости задач на переливание.

Рассматриваемая литература приводит нас к выводу, что существуют 4 метода решения задач на переливания, из них один способ – метод бильярдного шара – указывается как универсальный, но попыток доказательства нигде в литературе не приводится. Говорят «очевидно, что…». И рациональность, и универсальность метода бильярдного шара раскрывается посредством разбора нескольких конкретных примеров без сравнения с тремя другими. Поэтому я решил в своем проекте в следующей главе рассмотреть доказательство универсальности метода бильярдного шара по выбранным мной критериям.

Решая задачи на переливания, я понял, что некоторые простые задачи можно решить быстро и устно, с помощью логических рассуждений, а некоторые задачи более сложные этим методом решить уже не удается. Сравнивая методы решения для одной задачи, мы покажем простоту использования метода бильярдного шара и, рассматривая круг задач, покажем универсальность этого метода, т.е. автоматизированность и применимость этого метода к любой, даже сложной, задаче на переливания.

Решим четырьмя методами задачу, приведенную в книге Гальперина Г.А. и Землякова А Н. «Математические бильярды»: «Имеются два сосуда вместимостью 7 и 11 литров и большая бочка, наполненная водой. Как с помощью этих двух сосудов отмерить ровно 2 литра воды?»

Методом рассуждений решал задачу практически 20 минут, подробно расписывая все ветви рассуждений в таблицу.2 способа решения задачи разделил основной вертикальной чертой:

1 способ – можно налить сначала в пятилитровую емкость;

2 способ – можно налить в 8 литровую емкость.

К задаче была составлена блок-схема:

Рисунок 4

Методом бильярда задача была решена быстро, решение задачи с помощью макета занимает не больше минуты (не считая пояснений). Рисунок 5

Проведем анализ каждого способа решения задачи по следующим 6 критериям:

1. На решение задачи требуется мало времени.

   Метод рассуждений	Метод таблиц	Метод блок-схем	Метод бильярдного шара
   Подчас требует много времени	В начале изучения требует достаточно много времени	Большие затраты на обдумывание и построение схемы	Решение автоматизировано, поэтому не требует много времени

2. Метод может использовать любой человек

   Метод рассуждений	Метод таблиц	Метод блок-схем	Метод бильярдного шара
   Может рассуждать любой человек	Оформлять рассуждение в виде таблиц может любой человек	Использование блок-схем требует высокого уровня математической подготовки	Использовать метод может даже не посвященный в математику

3. Простой и понятный

   Метод рассуждений	Метод таблиц	Метод блок-схем	Метод бильярдного шара
   нет	Не совсем	Нет	Да

4. Использование графической схемы (наглядность)

5. Метод рассуждений	Метод таблиц	Метод блок-схем	Метод бильярдного шара
   Нет	Да	Да	Да
   Лучше параллельно вести таблицу		Лучше параллельно вести таблицу

   Возможность проследить сразу два способа решения задачи.

   Метод рассуждений	Метод таблиц	Метод блок-схем	Метод бильярдного шара
   Нет	Да	Да	Да

6. Возможность создать макет для решения задач на переливание с разными параметрами, что в свою очередь сократит временные затраты на решение задачи.

Проведем сравнение методов по выбранным критериям и установим универсальность одного из методов, при условии отображения результатов анализа каждого способа по выбранным критериям следующим образом:

++ - если совершенно выдержан;

+ - если критерий выдержан;

+- - если критерий выдержат, но не совсем;

- - если критерий не выдержан.

Результат сравнения методов по выбранным параметрам показывает очевидность универсальности метода бильярдного шара. Но для проверки своих предположений необходимо провести исследования на большем массиве данных.

Поверка предположений универсальности метода бильярдного шара была подтверждена на основе оценки всех методов решения задач на переливание учащимися 6 класса (21 школьник).

На факультативных занятиях учащиеся 6 класса были ознакомлены со всеми способами решения задачи на переливания. На последнем факультативе было предложено решить типичную задачу на переливание четырьмя способами и провести анализ способов по выбранным мной ранее шести критериям (Приложение 3). Данные предпочтений учащихся я занес в таблицу:

Очевидно, что метод бильярдного шара универсальный (ему отдано 113 голосов), но очевидность не достаточна для доказательства универсальности. Универсальность метода нужно доказать статистическими методами.

Для доказательства универсальности метода использую данные анкет учащихся и критерий Хи-квадрат – один из методов статистики (он оказывается наиболее ценным при анализе ответов на вопросы анкет).[15].

1. Наша задача проверить, отличаются ли полученные эмпирические данные от теоретически равновероятных. Для этого необходимо найти теоретические частоты. Теоретические частоты – это равновероятностные частоты, которые находятся путём сложения всех частот (голосов) и деления на количество методов. В нашем случае: (I + II + III+IV)/4 = (54+74+55+113)/4 = 74.

2. Формула для расчета критерия Хи-квадрат: Хи-квадрат = ∑(Э - Т)² / Т.

Находим сумму последнего столбца: Хи-квадрат = 30,8.

1. Теперь нужно найти критическое значение критерия по таблице критических значений (Приложение 4). Для этого нам понадобится число степеней свободы (df): df= (R- 1) * (C - 1), где R – количество строк в таблице, C– количество столбцов.

В нашем случае 4 столбца (имеются в виду исходные эмпирические частоты) и 6 строк (критерии), поэтому: Df= (R- 1)*(С-1) = (6-1)*(4-1) = 15.

Для вероятности ошибки p≤0,05 и df= 15 критическое значение хи-квадрат = 25. Полученное эмпирическое значение больше критического (30,8  25) – значит, различия частот достоверны.

Мы доказали свою гипотезу: наше исследование достоверно, метод бильяда - универсальный метод решения задач на переливания.

Итак, решение нескольких задач четырьмя способами действительно подтвердило мнение об универсальности метода бильярдного шара.

Проведен анализ четырех методов решения задач на переливания по выбранным мной 6 критериям.

Мое предположение об универсальности метода бильярдного шара прошло проверку в форме анкетирования учащихся 6 класса, которые провели анализ всех методов по тем же 6 критериям.

Проведенный анализ предпочтений учащихся способов решения задачи на переливания также свидетельствовал об очевидности универсальности метода бильярдного шара.

Одним из статистических методов доказана достоверность исследования, т.е. доказана универсальность метода бильярдного шара.

Мне и учащимся 6 классов действительно понравился способ решения задач на переливания методом бильярдного шара. А созданное мной учебное пособие – макет бильярдного ромбического стола – помогло сократить время на решение таких задач.

Результатом проекта является доказательство гипотезы об универсальности метода бильярдного шара для решения задач на переливания одним из методов статистической обработки данных анкетирования. Цель исследования достигнута, исследования проведены, все поставленные задачи выполнены.

Выявлена практическая значимость проекта, которая заключается в использовании простого приема для решения практических задач на переливания, на пересыпание как в жизни, так и в учебном процессе в рамках факультативных занятий по математике в 6 классе, при подготовке к олимпиадам. Созданный макет бильярдного стола оформлен как учебное пособие для решения задач подобного рода (Приложение 5). Он помогал мне и поможет учащимся в дальнейшем решать различные задачи на переливания быстро и многократно.

Знание метода бильярдного шара поможет даже не посвященным в математику, тем, кто работает с растворами, сыпучими веществами и др.(домохозяйкам, в аптечном производстве, в строительстве, в сельском хозяйстве).

И, если бы знали Брюс Уиллис и его напарник метод бильярдного шара, они явно бы использовали данный метод для решения той задачи, которую задал им преступник в фильме «Крепкий орешек 3».

Как и где применяется метод бильярдного шара в других областях математики – об этом я решил узнать в 8-10 классах. И уж точно смогу в будущем написать программу для задач на переливания на уроках программирования.

1. Бильярд.//Мифы или реальность (сайт).-URL:http://www.molomo.ru;

2. Гальперин Г.А. Бильярды //Квант.- 1981.- №4.-С.34-37.

3. Гальперин Г.А. Периодические движения бильярдного шара// Квант.- 1989.- № 3.С.8-15.

4. Гальперин Г.А., Земляков А.Н. Математические бильярды. (Бильярдные задачи и смежные вопросы математики и механики).– М.: Наука, 1990.-288 с.-(«Библиотечка «Квант». Выпуск 77).ISBN 5-02-014080-5.

5. Глухова О.Ю. Система нестандартных задач по математике, приемы и методы решения.// НПК ученых и студентов с дистанционным участием. Коллективные монографии.-URL:http://www.sibac.info/sibac.info/2009-07-01-10-21-16/10116-

6. Земляков А.Н. Арифметика и геометрия столкновений // Квант.-1978.- №4-С.14-16.

7. Интернет библиотека МЦНМО.-URL:http://www.ilib.mccme.ru;

8. Интевики (образовательный портал сообщества). -URL:http://www.wiki.iteach.ru

9. Попов О.А. Критерий Хи-квадрат.//Статистика в психологии и педагогике(сайт).-URL:http://www.psystat.at.uaПедагогический клуб «Наука и творчество» (сайт)- URL:http://www.sites.google.com/site/klybnayka/

10. Решение задач на переливание методом бильярдного шара (презентация)//MyShared (база презентаций). – URL:.http://www.myshared.ru/slide/216701/

11. Решение задач на переливание методом бильярдного шара (исследовательская работа по информатике)//Официальный сайт МОУ СОШ№7 г. Копейска.-URL:http://www.school-7.ucoz.com.

12. Решение задач на переливание на бильярдном столе (реферат)// РЕФ.РФ. Единый реферат-центр России и СНГ.-URL:http://WWW.referatwork.ru/new/source/80926text-80926.html.

13. Учимся решать логические задачи (cайт).-URL:http://www.logika.vobrazovanie.ru

14. Шатова Н.Д. Логические задачи как средство развития рефлексивной деятельности учащихся 5-6 кл. при обучении математике//Библиотека авторефератов и диссертаций по педагогике.-URL:http://nauka-pedagogika.com/pedagogika-13-00-02/dissertaciya-logicheskie-zadachi-kak-sredstvo-razvitiya-refleksivnoy-deyatelnosti-uchaschihsya-5-6-klassov-pri-obuchenii-matematike#ixzz3Px5QtLHI

Синай Яков Григорьевич

Синай Я.Г. (д.р.1935 г.) - доктор физико-математических наук, академик РАН, действительный член Американского математического общества, работает в России и Америке, в 2014 году получил премию Абеля за фундаментальный вклад в изучение динамических систем и др.

Синай Я.Г., ученик Колмогорова А.Н., родился в 1935 году в Москве, закончил физмат МГУ, по настоящее время ведет плодотворную творческую работу и в России, и в Америке.

В 2014 году Яков Григорьевич получил премию Абеля за фундаментальный вклад в изучении динамических систем. Его ученик Земляков А.Н. вместе с Гальпериным Г.А., учеником Колмогорова А.Н., в 1990 году написали книгу «Математические бильярды», которая лежит в основе каждой работы по исследованию математической теории бильярдов. Эта работа прояснила и мне что такое метод бильярдного шара.

Наш класс решает задачи на переливания

Таблица критических значений критерия Хи-квадрата

df0.05 0.025 0.01 0.005 0.001

1 3.84 5.02 6.63 7.88 10.83

2 5.99 7.38 9.21 10.60 13.82

3 7.81 9.35 11.34 12.84 16.27

4 9.49 11.14 13.28 14.86 18.47

5 11.07 12.83 15.09 16.75 20.51

6 12.59 14.45 16.81 18.55 22.46

7 14.07 16.01 18.48 20.28 24.32

8 15.51 17.53 20.09 21.95 26.12

9 16.92 19.02 21.67 23.59 27.88

10 18.31 20.48 23.21 25.19 29.59

11 19.68 21.92 24.73 26.76 31.26

12 21.03 23.34 26.22 28.30 32.91

13 22.36 24.74 27.69 29.82 34.53

14 23.68 26.12 29.14 31.32 36.12

15 25.00 27.49 30.58 32.80 37.70

16 26.30 28.85 32.00 34.27 39.25.

Создан макет бильярдного стола

1 сторона

2 сторона

Блок-схема решения задачи на пересыпание

Понятие задачи на переливание

В математической среде имеется договоренность, какие задачи считать задачами на переливание и какие требования при решении их предъявляются.

Во-первых, в задачах на переливания требуется указать последовательность действий, при которой осуществляется требуемое переливание (указано сколько отлить вещества) и выполнены все условия задачи (какие имеются сосуды с веществами). Если не сказано ничего другого, считается, что

• все сосуды без делений;

• нельзя переливать жидкости "на глаз";

• невозможно ниоткуда добавлять жидкости и никуда сливать.

Во-вторых, мы можем точно сказать, сколько жидкости в сосуде, только в следующих случаях:

•  

  1. знаем, что сосуд пуст,

  2. знаем, что сосуд полон, а в задаче дана его вместимость,

  3. в задаче дано, сколько жидкости в сосуде, а переливания с использованием этого сосуда не проводились

  4. в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости, и после переливания вся жидкость поместилась в один из них;

  5. в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости, известна вместимость того сосуда, в который переливали, и известно, что вся жидкость в него не поместилась: мы можем найти, сколько ее осталось в другом сосуде.

27