II Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
КРУГОВОЕ ЧИСЛО
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
У нас в школе проходила неделя математики. Мне поручили провести внеклассное мероприятие «Математические фокусы» в среднем звене (приложение №1).
Я стал подыскивать подходящую литературу. В районной библиотеке нашел книгу «В царстве смекалки» Е. И. Игнатьева .Прочитав ее, я узнал довольно таки много полезной информации. Больше всего меня удивили и заинтересовали «Круговые числа». Я решил остановиться на этой теме, изучить ее и с помощью приобретенных знаний провести внеклассное мероприятие.
Актуальность выбранной темы заключается в том, что нижеперечисленный способ рассчитан на ум обычного «человека» и не требуют уникальных способностей. Главное – более или менее продолжительная тренировка.
Кроме того, освоение этого способа развивает логику и память учащегося.
Цель работы:
Исследование математического фокуса с помощью кругового числа 142857.
Задачи:
1.Изучить литературу по данному вопросу;
2.Выяснить, в чем секрет математического фокуса;
3.Провести внеклассное мероприятие в среднем звене «Фокус-вычисление с применением кругового числа».
Объект исследования – круговое число 142 857.
Предмет исследования – нестандартный приём и навыки счёта при умножении числа 142 857 на однозначные, двухзначные числа.
-
Рассмотреть и показать на примерах применение нестандартного способа.
-
Провести внеклассное мероприятие по отгадыванию чисел.Методы исследования:
-
сбор информации;
-
систематизация и обобщение.
Гипотеза:
Формальная логика изучает не только формы абстрактного мышления, но и формы развития научного знания.
"Предмет математики настолько серьезен,что полезно не упускать случаевделать его немного занимательным»
Б. Паскаль
Математические фокусы не пользуются особым вниманием ни у математиков, ни у фокусников. Математикам они сложны, рассматривают их как забаву, фокусники пренебрегают ими как слишком скучным делом. И все-таки математические фокусы имеют свою особую прелесть. Математические фокусы - очень своеобразная форма демонстраций математических закономерностей. В математических фокусах изящество математики соединяется с занимательностью. Математические фокусы – это эксперименты, и понять суть того или иного эксперимента – это значит понять пусть небольшую, но математическую закономерность. Каждый из нас, несомненно, встречался с «фокусами» по отгадыванию чисел, по отгадыванию ответа…Удивительной для непосвященных кажется, способность человека отгадывать задуманные другими числа. Но если вы узнаете секрет математических фокусов, то сможете не только их показывать, но и придумывать свои новые фокусы.
Новизна данной работы заключается в следующем: математические фокусы редко рассматриваются и применяются в обучении математики.
Глава 1. История возникновения математических фокусов.
1.1 Что такое фокус?
Фокус или иллюзионное искусство - один из видов деятельности человека. В основном - это выступления артистов в виде концертных номеров, аттракционов, спектаклей и шоу.
Фокус - искусный трюк, основанный на обмане зрения, внимания при помощи ловкого и быстрого приема, движения (словарь Ожегова).
Иллюзионное искусство привлекает зрителей своей фантастичностью происходящего на сцене. Зритель сам может убедиться в том, что на сцене происходит невероятное, невозможное действие. Показывая и наблюдая фокусы, люди развлекаются. Но не только. Один человек создал фокус, другие удивляются ему, пытаются разобраться в фокусе, понять его и добраться до истины. Действия фокусника, на самом деле, не представляют собой чего-то необыкновенного, сверхъестественного. Они просты, естественны и логичны, но зрителю они представляются невероятными потому, что фокусник применил приём, в результате чего зритель сам сделал ошибочный вывод и поверил в него. Не всё, что летает — самолёт. Так и в фокусах. Не всё, что непонятно — обязательно фокус.[1]
-
-
Когда появились фокусы?
-
С глубокой древности людей интересовали мистические и загадочные вещи, иллюзионизм и магические искусства. Великие Тайны этих искусств известны лишь избранным. Иллюзионисты и фокусники ревниво охраняют их, хорошо зная, что, чем не доступнее ключ к их таинствам, тем эти таинства более ценны.
1.3 История возникновения математических фокусов.
Математические игры и фокусы появились вместе с возникновением математики, как науки. Первое упоминание о математических фокусах мы встречаем в книге русского математика Леонтия Филипповича Магницкого, опубликованной в 1703 году. Одна глава книги содержала математические игры и фокусы. Сам Магницкий пишет, что поместил эту главу в книгу для “утехи и особенно для изощрения ума учащихся”. Все мы знаем великого русского поэта М.Ю. Лермонтова, но не каждому известно, что он был большим любителем математики, особенно его привлекали математические фокусы, которых он знал великое множество, причем некоторые из них он придумывал сам.
Математические фокусы интересны именно тем, что каждый фокус основан на математических законах. Смысл их состоит в отгадывании чисел, задуманных зрителями, или в каких-нибудь операциях над ними. Главное — это то, что фокусник знает секрет: особые свойства чисел. Миллионы людей во всех частях света увлекаются математическими фокусами. И это не удивительно. “Гимнастика ума” полезна в любом возрасте. А фокусы тренируют память, обостряют сообразительность, вырабатывают настойчивость, способность логически мыслить, анализировать и сопоставлять. Еще в Древней Элладе без игр не мыслилось гармоническое развитие личности. И игры древних не были только спортивными. Наши предки знали шахматы и шашки, ребусы и загадки. [2]
Таких игр во все времена не чуждались ученые, мыслители, педагоги. Они и создавали их.
Глава 2 4.1 Фокус с круговым числом
Умножение на однозначное число.
Число 142857 отмечается многими замечательными свойствами. Если его умножить на последовательные числа 2,3,4,5,6, то полученные произведения будут состоять из тех же цифр, что и само число, только переставленных в круговом порядке. Другими словами, все эти произведения можно получить из представленного здесь круга, читая все числа подряд в направлении движения часовой стрелки, но каждый раз начиная с другой цифры:
2* 142 857 = 285 714 1
3 * = 428 571
4 * = 571 428 7 4
5 * = 714 285
6 * = 857 142
7 * = 999 999 5 2
8 * = 1 142 856
8
При умножении числа на 7 получается шесть девяток.
А когда умножаем на 8, получается уже семизначное число 1 142 856. Это последнее замечательно тем, что, приложив его первую цифру 1 к последней 6, получим опять данное число 142 857.
Умножение на двухзначное число.
Вслед за этим, умножения на дальнейшие числа дают тот же результат, т. е. мы опять получаем числа, написанные цифрами 1, 4, 2, 8, 5, 7 и в указанном круговом порядке, если в получаемых семизначных числах будем первую цифру переносить назад и прибавлять к последней.
В самом деле:
9 * 142 857 = 1 285 713 ( 285 714)
10 * = 1 428 570 (428 571)
11 * = 1 571 427 ( 571 428)
23 * = 3 285 711 (285 714)
89 * = 12 714 273
Здесь опять следует отметить, что умножая на 89, мы получаем уже восьмизначное число, но если в нем две первые цифры 1 и 2 придать к двум последним 7 и 3, то опять получим число, состоящее из тех же цифр, что и взятое начальное, но написанное в ином порядке, а именно: 714 285.
Точно так же: 356 * 142 857 = 50 857 092
(получаем число 857 142, если приложим 50 к 092). [4]
Что же за особенное такое число 142 857 и в чем секрет его особенности?
Ключ к уразумению всех особенностей этого числа дает «исключение», который нарушает приведенный выше круговой порядок, а именно:
Произведение 7 * 142 857 = 999 999.
Фокус с периодом
Число 142 857 есть, как оказывается, период дроби , если ее представить в виде десятичной дроби.
Совершенно теми же свойствами будет отличаться всякий другой «полный» или «совершенный период», т. е. период, получаемый от обращения в десятичную простой дроби вида ( где р – есть первоначальное натуральное число), и притом такой период, что число его цифр ровно на единицу меньше, чем показывает число знаменателя данной простой дроби.
Таким образом, свойствами числа 142 857 будет обладать [7]
= 0,(0 588 235 294 117 647)
В самом деле: 2* 0 588 235 294 117 647 = 1 176 470 588 235 294,
Т.е. получаем число, написанное теми же цифрами, но в ином круговом порядке.
И точно так же: 7 * 0 588 235 294 117 647 = 4 117 647 058 823 529
В тот время, как 17 * 0588 235 294 117 647 = 9 999 999 999 999 999.
Точно такими же свойствами будет отличаться период дроби
= 0, (0 344 827 586 206 896 551724 137 931), в котором 28 цифр.
Нетрудно доказать, что каждая обыкновенная дробь вида , где р – есть первоначальное натуральное число, при обращении в десятичную дробь даст период, в котором должно быть меньше, чем р, десятичных знаков.
В самом деле, при делении остаток всегда должен быть меньше делителя.
Отсюда следует, что в остатках при делении 1 на р для обращения в десятичную дробь может получиться только р – 1 различных чисел, а затем процесс начнет опять повторяться.
Так, например, для известной уже нам дроби имеем:
=0,1 =0,14 =0,142 =0,1428 =0,14285 = 0,142857 = ….
(дальше, очевидно, начнется повторение тех же цифр).
Отсюда ясно, что если мы будем множить число 142 857 на 3, 2, 6, 4, 5, то получим период, начинающийся соответственно после первой, второй третьей, четвертой и пятой цифр.
Отметим также еще и следующие положения:
Если период, получившийся от обращения дроби вида ( где р – есть простое число) в десятичную, содержит цифр, то при умножении этого периода на все множители от 1 до р – 1 всегда будем получать числа из цифр, причем все эти числа можно разбить на два ряда таких, что каждое число каждого ряда может получиться из предыдущего путем только круговой перестановки цифр.
Для примера будем обращать в десятичную дробь .
Получается, = 0,(076 923).
Умножая число периода на множители 1,2,3,…,11,12, находим
1 * 076 923 = 076 923 2 * 076 923 = 153 846
3* = 230 769 5 * = 384 615
4 * = 307 692 6 * = 461 538
9 * = 692 307 7 * = 538 461
10 * = 769 230 8 * = 615 384
12 * = 923 076 11 * = 846 153
Возьмем снова нам уже известное число, представляющее период дроби
т.е. число 142 857.
Помимо уже известных нам свойств оно обладает и таким: разобьем его на две половины, по три цифры в каждой и сложим эти части, найдем число кратное 9, т. е.
142 + 857 = 999.
Подобным свойством отличается и число, представляющее период и т. п..
То же относиться и к числам, полученным нами выше из периода .
Тем не менее, если мы найдем такой период дроби который содержит
цифр и это последнее число будет само вида 4п + 3, то такой период нельзя, следовательно, разделить на 2 равные половины, где каждая цифра дополнила бы соответствующую до 9.
Но в таком случае число даст период тоже из цифр, дополнительный периоду .
Например: = 0,(032 258 064 516 129)
=0,(967 741 935 483 870)
_____________________
Сумма = 0,(999999999999999)
Из указанных выше особенностей известного рода чисел можно извлечь некоторые полезные практические применения. И прежде всего можно ввести значительные упрощения и сокращения в вычисления, когда мы обращаем ( р – первоначальное число) в десятичную дробь.
В таком случае, нашедши некоторое число десятичных знаков, мы еще более значительную часть их можем найти, умножая полученную уже часть частного на остаток.
Для удобства вычисления процесс деления следует продолжить до тех пор, пока остаток получится сравнительно небольшой.
Будем, например, обращать в десятичную дробь .
Начав деление числителя на знаменатель, получим в частном 0,01 030 927 835 и в остатке 5.
Остаток невелик, поэтому рассуждаем так: начиная с последней полученной цифры частного, дальнейшие цифры должны быть такие, какие получатся от обращения в десятичную дробь , умноженной на 5.
Итак, умножая на 5 полученные цифры частного ( или прибавив 0 справа и деля на 2), мы сразу получаем еще 11 цифр частного.
Практическая значимость:
1. Математические фокусы помогают развивать память, устный счет, сообразительность, способность мыслить логически.
2. В результате привлечения внимания обучающих к математике должна повысится их заинтересованность в данном предмете, что несомненно должно повысить успеваемость.
Вывод:Я усвоил свойства повторяемости одних и тех же цифр, которыми обладают некоторые числа, и это дает мне возможность производить над числами известные действия которые для непосвященного покажутся прямо поразительными.
Я стал готовиться к неделе математики. Сказав ребятам, что я смогу быстро без калькулятора найти произведение числа 142857 на однозначное и двузначное число.
Ученики стали задавать вопросы и я используя окружность быстро говорил им ответ. Все были удивлены. И просили рассказать секрет этого умножения.
Я раскрыл им секрет быстрого умножения.
Например, я пишу множимое, а вы подписываете под ним какой хотите множитель из двух или трех цифр, и я тотчас же напишу вам произведение этих чисел, слева направо.Предлагаю решение:
В самом деле, вы напишите как множимое период дроби , т.е. число 142 857.
Пример умножения на трехзначное число.
Предположим, что другой потребует, чтобы вы это число умножили, например, на 493.
Дело, в сущности, сводится к тому, что я это число мысленно умножаю на , а затем мысленно обращаю в периодическую дробь, что при свойствах известного периода совсем нетрудно.
Поэтому глядя на число 493 я мысленно делю его на 7 и получаю = 70 .
Следовательно, я пишу 70 как две первые цифры искомого произведения (слева направо).
Теперь остается (т.е. 3 * ), иначе говоря, 3, умноженное на период 142 857, и вся задача заключается только в том, чтобы определить первую цифру, с которой надо начинать писать этот период в круговом порядке. Рассуждаем так:
Единицы множимого, 7, на множитель, 3, дают в произведении 21. Значит, последняя цифра в искомом произведении должна быть 1, а следовательно, первой в периоде придется ближайшая следующая, т. е. 4
Итак, пишем(после 70)еще цифры 4285, а от 71, которые должны бы стоять на конце, надо отнять те 70, что написаны вначале. Это даст две последние цифры искомого произведения: 01.
Итак, искомое произведение есть 70 428 501.
Заключение:
Я очень рад, что мне удалось разобраться с этой темой «круговые числа». Теперь я знаю, как умножать число 142 857 на однозначные, двухзначные числа. При некоторой практике это «умножение» делается чрезвычайно быстро и действительно поражает не знающего, в чем дело. Рассмотрел и показал на примерах применение этого нестандартного способа умножения. Изучив эту тему, я провел внеклассное мероприятие, всем очень понравилось, я смог заинтересовать быстрым устным счетом. Рассказал все секреты кругового числа. Я считаю, что цель работы достигнута, быстрый счёт с использованием нестандартного приёма устного счёта, числа 142 857 на однозначные, двухзначные числа, когда вычисляющий не имеет в своём распоряжении таблиц и калькулятора.
Литература
1. . Я.И.Перельман «Арифметические фокусы»
2. М. Гарднер «Математические чудеса и тайны»
3. М.Гарднер «Математические головоломки и развлечения»
4.- Е. И. Игнатьев «В царстве смекалки» издательство просвещение 2008 г.5. М.Гарднер «Математические досуги»
6. М.Гарднер «А ну-ка догадайся Б.А.
7. Б.А.Кордемсий «Удивитеьный мир чисел»
8. Б.А.Кордемсий «Увлечь школьников математикой»
9. Е.М. Минскин «От игры к знаниям»