КРУГИ ЭЙЛЕРА

II Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Личный портфель

КРУГИ ЭЙЛЕРА

Исаева А.О. 1
1
Митрохина О.Н. 1
1
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Диплом школьникаСвидетельство руководителя
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
В наше время вокруг нас собрано огромное количества информации, разобраться в ней бывает непросто. Поэтому многие не знают, что за названием «Круги Эйлера» скрывается практичный и удобный метод решения различных задач. Все слышали о них, но немногие могут объяснить, что это такое. Однако я считаю, что Круги Эйлера полезны как в повседневной жизни, так и в науке, поэтому ими стоит уметь пользоваться каждому. В этой работе я собрала всю необходимую информацию для понимания, что такое Круги Эйлера и где их удобно применять.  

Круги Эйлера — это геометрическая схема, с помощью которой можно наглядно изобразить отношения между различными множествами и подмножествами. Такая схема помогает находить логические связи между явлениями и понятиями, она изобретена Леонардом Эйлером, используется в математике и других научных дисциплинах. Использование Кругов Эйлера упрощает рассуждения и помогает быстрее и проще получить ответ. (1),(2)

Круги Эйлера неотрывно связаны с понятием множества. Поэтому, чтобы лучше понимать, что изображено на кругах Эйлера, нужно знать, что такое множество и какие множества бывают.

Под множеством можно понимать совокупность каких-либо объектов, называемых элементами множества. Во множества можно объединять любые объекты с общим признаком. Например, множество учеников гимназии 11, учащихся в 7 «Б» классе составляют отдельное множество. Множества могут быть и неодушевленных предметов. Например, множество книг, написанных каким-либо автором. С помощью кругов Эйлера множество обозначается, как пустой круг, а входящие в него элементы – точками. (5)

Давайте изобразим множество цифр. На рисунке контуром обозначено множество, а точками элементы этого множества.

Множества бывают трех видов:

· Конечное (например - множество цифр)

· Бесконечное (например - множество чисел)

· Пустое (множество натуральных чисел

меньше нуля). (5)

Группа предметов, образующая множество, входящее в состав более обширного множества, изображается в виде меньшего круга, нарисованного внутри большего круга, и называется подмножеством. Такое отношение образуется между большим множеством животных и входящим в его состав подмножеством плоских червей. (5)

В тех случаях, когда два понятия совпадают только частично, отношение между такими множествами изображается с помощью двух перекрещивающихся кругов. Такое отношение образуется между множеством учащихся 7 «Б» класса и множество троечников. Некоторые элементы множества учеников 7 «Б» класса принадлежат и к множеству троечников. (5)

Когда ни один предмет, из одного множества, не может одновременно принадлежать второму множеству, то отношение между ними изображается посредством двух кругов, нарисованных один вне другого. Такими множествами являются множество отрицательных и множество положительных чисел. (5)

Круги Эйлера были изобретены и названы в честь Леона́рда Э́йлера (портрет слева). Это был швейцарский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук. Эйлер родился в Швейцарии, учился в Германии, но работал и умер в России. Этот ученый – автор 800 работ. Леонард Эйлер родился в 1707 году в семье пастора. Его отец был другом семьи Бернулли. У Эйлера рано проявились математические способности. Обучаясь в гимназии, мальчик увлечённо занимался математикой, а позже стал посещать университетские лекции Иоганна Бернулли. 20 октября 1720 года Леонард Эйлер стал студентом факультета искусств Базельского университета. Одаренный молодой человек обратил на себя внимание профессора Иоганна Бернулли. Он передал студенту математические статьи для изучения, а также пригласил приходить к нему домой, чтобы совместно разбирать непонятное. В доме своего учителя Эйлер встретился и начал общаться с сыновьями Бернулли — Даниилом (портрет слева) и Николаем (потрет справа), которые тоже занимались математикой. (6)

Юный Эйлер написал несколько научных работ. «Диссертация по физике о звуке» получила благоприятный отзыв. В то время число научных вакансий в Швейцарии было невелико. Поэтому братья Даниил и Николай Бернулли уехали в Россию, где начинала создаваться Российская Академия наук; они обещали похлопотать там и о должности для Эйлера. В начале зимы 1726 года Эйлеру пришло письмо из Санкт - Петербурга: по рекомендации братьев Бернулли он приглашён на должность адъюнкта по физиологии с окладом 200 рублей. Эйлер провёл много времени в России, где внёс существенный вклад в российскую науку. С 1731 был избран академиком Петербургской Академии. Хорошо знал русский язык, а сочинения и учебники публиковал на русском. (6)

Тогда Эйлер подробно описывает свой метод решения некоторых задач при помощи кругов Эйлера. В 1741 году Эйлер пишет «Письма о разных физических и философических материях, к некоторой немецкой принцессе..», где упоминаются «круги Эйлера». Эйлер писал, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». (3)

Метод Эйлера получил заслуженное признание и популярность. И после него немало ученых использовали его в своей работе, а также видоизменяли по-своему. Бернард Больцано использовал тот же метод, но с прямоугольными схемами. Благодаря вкладу Венна метод даже называют диаграммами Венна или еще Эйлера-Венна. Круги Эйлера имеют прикладное назначение, то есть с их помощью на практике решаются задачи на объединение или пересечение множеств в математике, логике, менеджменте и не только. (1)

Вот несколько задач для решения, которых, удобно использовать круги Эйлера:

Задача 1.

У ребят из одной школы спрашивали об их домашних животных. 100 из них ответили, что у них дома есть собака и/или кошка. У 87 ребят была одна собака, а у 63 ребят – одна кошка. У скольких ребят есть и собака и кошка?

Решение:

  1. Чтобы решить эту задачу, не используя круги Эйлера нужно подсчитать, сколько собак и кошек было у учеников. Для этого нужно сложить 87 и 63. 87+63=150 домашних животных. Учеников было всего лишь 100, а дробного числа домашних животных получиться не может. Значит если у каждого ученика 1 домашнее животное, остается еще 50 лишних. Следовательно, у 50 учеников 2 домашних животных. И так как в задаче указано, что ни у одного из учеников нет 2 кошек или 2 собак, то это значит, что у 50 учеников есть и кошка и собака.

Но этот способ долгий и подходит только для простых задач. Такую задачу намного удобнее решить через круги Эйлера.

Красным кругом изобразим множество обладателей собак, а синим множество обладателей кошек. Всего учеников было 100. Тех, у кого есть и кошка, и собака Х. Чтобы найти количество учеников, у которых только собака нужно из 87 вычесть Х. Так как всего учеников 100, мы получаем:

87-Х+63=100

Х=150-100

Х=50 учеников

Ответ: у 50 учеников есть и кошка и собака

Задача 2.

Однажды учеников спросили, кто из них любит математику, кому нравится русский язык, а кому физика. Оказалось, что из 36 учеников 2 не любят ни математику, ни русский, ни физику. Математика нравится 25 ученикам, русский язык- 11, физика – 17 ученикам; и математика, и русский- 6; и математика, и физика- 10; русский язык и физика - 4.

Сколько человек любят все три предмета?

Решение:

Изобразим 3 множества. Красное множество тех, кто любит математику, синие тех, кто любит русский язык, зеленое – физику.

Теперь впишем в множества количество элементов. 6 человек любят и русский и математику. Из них X человек любят еще и физику. Значит, только математику и русский любят 6-Х человек. Только математику и физику 10-Х, только русский и физику 4-Х человек. 25 человек любят математику. Но Х, 6-Х, 10-Х человек любят и другие предметы. Значит, только математику любят 25-(6-Х)-(10-Х)-Х= 25-6+Х-10+Х -Х=5+Х человек. Только русский любят 11-(6-Х)-(4-Х)-Х= 11-10+2Х-Х=1+Х учеников, только физику 17-(10-Х) –(4-Х)-Х= 17-14+2Х-Х= 3+Х.

Так как 2 человека не любят ни один из этих предметов, то:

3+Х+9+Х+1+Х+6-Х+10-Х+4-Х+Х=36-2

33+Х=34

Х=1

Ответ: 1 человек любит все три предмета

Задача 3.

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Запрос

Найдено страниц (в тысячах)

человек или природа

3400

человек и природа

900

человек

2100

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу природа? (4)

Решение:

По запросу человек было найдено 2100 тысяч страниц. 900 из них еще и о природе. Значит страниц только о человеке 2100-900=200 тысяч, а только о природе Х-900 тысяч. Получаем, что:

2100-900+Х-900+900=3400

2100-900+Х=3400

Х=2200 тысяч страниц

Ответ: по запросу природа будет найдено 2200 тысяч страниц.

Как видите Круги Эйлера – это полезное и важное открытие для математики в целом и для каждого из нас в частности. Круги Эйлера встречаются не только на экзаменах, но и нужны нам в повседневной жизни. Это интересная и необходимая вещь, о которой не стоит забывать.

Литература:

  1. https://www.tutoronline.ru/blog/krugi-jejlera

  2. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D1%83%D0%B3%D0%B8_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0

  3. http://sibac.info/shcoolconf/science/xvii/42485

  4. http://festival.1september.ru/articles/632635/

  5. http://www.jwy.narod.ru/logic/_04_eiler.html

  6. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80,_%D0%9B%D0%B5%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%B4

Просмотров работы: 4649