XX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Математические фокусы: эксперименты с числами и фигурами
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Актуальность темы. Всем известно, что математика – это точная наука. Она изучает количество и формы предметов. Математические вычисления окружают нас повсюду: позволяют определить возраст и время, оплатить в магазине товары, рассчитать расстояние. Формулы и расчеты, на первый взгляд, кажутся скучными, но именно они открывают нам двери в волшебный мир математических вычислений.
Гипотеза. Предположим, что математические расчеты могут быть основаны на определенных закономерностях. Что если выполнение определенных действий с исходными числами и предметами, позволяет получить закономерный результат? Возможно, такие действия знакомы не каждому. Однако, усвоив их, даже первоклассник способен мгновенно выполнять сложные вычисления и демонстрировать изумленной публике «математические» фокусы.
Цель исследования: описать основные характеристики математических фокусов, проанализировать закономерности, лежащие в их основе.
Задачи исследования:
-
ознакомиться с литературой по данному вопросу (трудами Бенджамина А., Гарднера М. и других авторов);
-
провести опрос одноклассников;
-
определиться с понятием «математические фокусы» и их отличительными признаками;
-
выбрать и привести примеры математических фокусов;
-
своими руками сделать демонстрационный материал;
-
раскрыть применение математических фокусов в повседневной жизни;
-
сделать вывод о значении и пользе математических фокусов.
По результатам проведенного исследования будут определены дальнейшие направления разработки выбранной темы.
Глава 1. Математические фокусы в системе научных знаний
Математические фокусы появились с возникновением математики, как науки. Еще в древние времена наши предки знали шахматы и шашки, ребусы и загадки. В Древней Греции без игр не мыслилось развитие личности.
В толковом словаре Сергея Ивановича Ожегова «фокус» определен как искусный трюк, основанный на обмане зрения, внимания при помощи ловкого и быстрого движения.
Математический – это относящийся к математике, то есть науке, которая занимается изучением чисел, геометрических фигур и тел.
Поэтому математические фокусы – это трюки, основанные на научных знаниях (устойчивых свойствах чисел, фигур, действий с ними).
Впервые в России математические фокусы встречаются в книге русского математика Леонтия Филипповича Магницкого «Арифметика», опубликованной в 1703 году. Один из разделов своей книги он назвал «О утешных некиих действах, через арифметику употребляемых».
Математические фокусы интересны тем, что фокусник как будто угадывает задуманные числа, результаты расчетов, изменяет величины геометрических фигур. Секрет в том, что он знает и умеет использовать математические закономерности, а зритель их не знает.
Таким образом, математические фокусы можно определить как действия с числами, геометрическими фигурами и телами, основанные на математических закономерностях.
В отличие от трюков иллюзионистов, основанных на ловкости рук и обмане, математические фокусы не связаны с ловкостью рук и основаны наматематических закономерностях.
При выполнении данной исследовательской работы были опрошены 28 детей, обучающихся в 1 классе.
Результаты опроса (приведены в приложении № 1) показали, что верят в чудеса 82 % детей (23 из 28). Чуть более половины детей (61%, или 17 из 28) считают фокусников волшебниками. О математических фокусах слышали только 11 из 28 детей (то есть, 39%).
Какие-либо математические фокусы знает только каждый пятый опрошенный первоклассник. Положительно на вопрос о знании математических фокусов ответили 6 из 28 детей (21%).
При этом большинство детей уверены в том, что знание математики фокуснику необходимо. Так считают 26 из 28 (93%) опрошенных.
Следовательно, даже не зная закономерностей, лежащих в основе математических фокусов, первоклассники уверены в том, что при их выполнении фокусниками используются математические знания.
Выводы по главе 1.
В первой главе работы кратко описана история появления математических фокусов, сформулировано понятие математических фокусов, выделены их признаки, приведены результаты практической части исследования, проанализированы результаты опроса первоклассников.
Глава 2. Основные виды математических фокусов
§ 2.1. Классификация математических фокусов
Существует огромное количество математических фокусов.
Предлагаю рассмотреть два основных вида математических фокусов:
-
арифметические математические фокусы;
-
математические фокусы с геометрическими фигурами.
В основе арифметических математических фокусов лежит знание свойств чисел и умение безошибочно производить арифметические действия. При их выполнении важна внимательность фокусника и последовательность действий.
Проводя с геометрическими фигурами нехитрые действия, можно создавать иллюзию изменения их площади или количества.
Свойства геометрических фигур хранят в себе геометрические парадоксы.
В Википедии «парадокс» определен как ситуация, которая может существовать в реальности, но не имеет логического объяснения.
Фокусы с геометрическими фигурами начинаются с разрезания фигуры на части и закачиваются составлением из них новой фигуры. Создается впечатление, что часть первоначальной фигуры бесследно исчезла. Когда же части возвращаются на свои места, исчезнувшая часть возникает вновь.
У всех этих таинственных результатов есть объяснение, подтвержденное конкретными формулами и расчетами.
Далее будут приведены наиболее распространенные математические фокусы, доступные и понятные первоклассникам.
§ 2.2. Арифметические математические фокусы
«Угадывание результата» позволяет безошибочно назвать результат несложных арифметических вычислений. Например, зрителю предлагается загадать любое число, затем прибавить к нему такое же число и разделить на загаданное. Результатом этих несложных вычислений всегда будет 2.
«Правило Гаусса». Известный немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777-1855гг.) одно из своих первых открытий сделал в 6 лет на уроке математики, найдя закономерность, позволяющую определить сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. Рассмотрим ее на примере чисел от 1 до 10.
Гаусс сгруппировал числа следующим образом:
(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)
Таким образом, он получил 5 пар чисел, суммы которых 11. Чтобы вычислить сумму натуральных чисел от 1 до 10, необходимо: 5 х 11 = 55.
По этой же схеме (но с большим количеством пар чисел) решается и первоначальная задача.
Интересны фокусы, основанные на особенностях умножения отдельных чисел.
«Волшебная цифра 9»: если умножить любое число от 1 до 10 на 9 и сложить полученные цифры, сумма этих цифр будет составлять число 9. Например: 2х9=18, 3х9=27, 4х9=36, 5х9=45, 6х9=54, 7х9=63, 8х9=72, 9х9=81.
Как фокус-подсказку детям, только начинающим изучать таблицу умножения на 9, можно рассматривать «занимательную игру с пальчиками».
Вытянув пальцы рук перед собой, нужно выбрать число, которое хотим умножить на 9 и согнуть палец под соответствующим номером. Количество пальцев слева от согнутого покажет десятки, справа от согнутого – единицы.
Чтобы наглядно показать механизм указанных вычислений, мною сделан демонстрационный материал (приложение № 2 «Ручки-считалочки»). Перемещая поочередно по пальчикам колпачок, справа от первого пальца мы увидим 9 пальцев (1х9 = 9). Надев колпачок на второй палец, мы увидим, что слева от него – 1 палец, справа – 8 (2х9=18) и так далее.
Доступно даже первокласснику «Умножение на 11». Чтобы умножить любое число от 10 до 99 на 11, нужно представить это число с промежутком между цифр (разбить на две цифры), сложить их и поставить сумму в середине.
Например, 53х11=? Разбиваем 53 на 5_3, складываем 5+3=8, число 8 вставляем между 5 и 3, получаем 583. Аналогично: 27х11=297 и так далее.
Сложности возникают, когда сумма при сложении цифр больше 9 (10, 11, 12, 13…). Когда цифры, использующиеся для обозначения числа, в сумме дают 10 или больше, нужно к первой из наших цифр прибавить 1, а в середину записать вторую цифру полученной суммы. Следовательно, 29 х 11 будет 319. Наглядно это выглядит следующим образом: 2(+1)19.
Чтобы удобнее было считать, я придумал «Умные дощечки» (приложение № 3). На крайних планшетах нужно выставить число, которое хотим умножить на 11. Когда цифры, из которых оно состоит перед глазами, можно моментально поставить в середину их сумму. И вот перед нами результат умножения.
§ 2.3. Математические фокусы с геометрическими фигурами
Самые известные фокусы с геометрическими фигурами описаны в книге Мартина Гарднера «Математические чудеса и тайны».
«Исчезновение фигур». Фокусы с исчезновением фигур основаны на принципе «скрытого перераспределения». Так, нужно начертить на прямоугольном листе бумаги 10 одинаковых вертикальных линий и провести диагональ (на рис. 1). Затем разрезать прямоугольник по диагонали и сдвинуть нижнюю часть влево вниз, сместив его на одну линию (рис. 2).
Теперь вертикальных линий стало не 10, а 9. Если части прямоугольника вернуть в первоначальное положение, «исчезнувшая» линия появится снова.
Рис. 1 Рис. 2
На самом деле никакая линия не исчезает и не появляется. Секрет фокуса в том, что 8 из 10 линий разрезаются на два отрезка, которые перераспределяются, с двумя неразрезанными линиями (первой и последней) и между собой, образуя 9 линий, каждая из которых немного длиннее первоначальных.
Фокус с вертикальными линиями можно показывать и на других, более сложных фигурах (человеческих лицах, животных и других).
«Пропавший кролик».На рис. 3 изображено 11 кроликов. Если поменять местами прямоугольники А и В, то один кролик исчезает, оставляя вместо себя пасхальное яйцо. Кроликов стало 10 (рис. 4). Если же поменять местами прямоугольники правой части, то число кроликов увеличится до 12. Однако при этом один кролик остается без ушей и появляются другие забавные детали (рис. 5).
Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5
«Парадокс с площадью». Наглядно фокус с площадью прямоугольника можно изобразить в тетради в клетку.
Нарисуем прямоугольник высотой 5 клеток, длиной – 13 клеток, разделим его по диагонали на 2 треугольника. В нижнем треугольнике выделим еще 2 треугольника, между ними образовался прямоугольник высотой 3 и длиной 5 клеток, его площадь образована 15 клетками (рис. 6).
Однако, если поменять местами треугольники В и С и посчитать количество клеток в прямоугольнике между ними, то их окажется 16, а не 15 (рис. 7).
Рис. 6 Рис. 7
Секрет в том, что при перемещении фигур В и С прямая диагонали становится ломаной, за счет этого появляется лишний квадрат.
Выше были рассмотрены наиболее известные и понятные математические фокусы. На первый взгляд казалось, что предложенные расчеты и геометрические преобразования нереальны и безумно сложны. Однако все они были разгаданы благодаря знаниям в области математики.
Выводы по главе 2.
Во второй главе предложена классификация математических фокусов в зависимости от вида используемых при их выполнении математических знаний. Приведены примеры арифметических математических фокусов, раскрыты закономерности, лежащие в основе расчетов. Кроме того, предложены интересные фокусы с геометрическими фигурами, их описание сопровождается наглядными иллюстрациями.
Глава 3. Применение математических фокусов в повседневной жизни
Приведенную выше теоретическую часть моей исследовательской работы я бы хотел закрепить примерами применения математических фокусов в повседневной жизни.
Яркие аргументы в пользу важного значения математических фокусов содержатся в отрывке из книги «Магия математики: Как найти х и зачем это нужно» Артура Бенджамина.
«Мы задаемся вопросом, зачем нам нужна математика. Особенно гуманитариям. Навыки математического мышления оказались нужны всем и каждому. Если вы, конечно, любите размышлять, а не зубрить. Если вам доставляет удовольствие сам процесс логических рассуждений. Парадокс именно в том, что магия, волшебство математики проявляется постепенно, как рассвет. Не сразу, но заметно. Не ярко, но очень красиво.
Вдруг вы замечаете у себя умение логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли, делать верные логические выводы. Вдруг вам просто становится после этого легче общаться с людьми.
Особенно математика важна для развития ребенка. Она дает возможность сразу правильно и рационально мыслить. Причем навсегда» [2, с. 3].
Мы сталкиваемся с математикой постоянно. При проектировании строительства домов, соотношении ингредиентов в рецептах. Не обойтись без математических расчетов и когда мы считаем дни и недели до каникул или расстояние до Солнца и Луны. Чем больше погружаешься в мир математики, тем больше узнаешь потрясающе интересных вещей.
Выводы по главе 3.
В третьей главе, в том числе через рассуждения Артура Бенджамина, мною раскрыты важность и значение математических фокусов в повседневной жизни, показано, что мы постоянно, день ото дня, сталкиваемся с математическими расчетами и закономерностями в повседневной жизни.
Заключение
Результаты проведенного исследования показали, что в основе математических фокусов лежат математические закономерности, или устойчивые взаимосвязи в количестве и свойствах предметов. При верных вычислениях такие закономерности всегда выполняются, и мы получаем конкретный результат.
Математические фокусы очень интересны и полезны. Они бросают вызов пытливым умам, помогают развивать память, логическое мышление, устный счет. Разгадать математический фокус означает понять пусть и небольшую, но точную математическую закономерность. Стремление разгадать математические фокусы повышает интерес учеников к математике, делает математику «живой» и увлекательной наукой.
Практическая значимость.
Математические фокусы помогают ученикам освоить быстрые вычисления, системно подходить к решению геометрических задач, научиться искать подтверждение полученным выводам, развивать воображение и внимание. Через разоблачение математических фокусов ученики знакомятся с основными математическими закономерностями, которые позволяют им сформировать прочный фундамент для получения дальнейших знаний.
Для демонстрации математических фокусов я своими руками сделал «Ручки-считалочки», с их помощью быстро и просто освоить таблицу умножения на 9, и «Умные дощечки», позволяющие легко умножать двузначные числа на 11.
Перспективы разработки темы.
В данной работе внимание было уделено математическим фокусам, доступным первоклассникам. Однако существует множество таких фокусов, секреты которых требуют более серьезных знаний в области математики и которые интересны даже взрослым. Поэтому в дальнейшем планируется описание и демонстрация математических фокусов более сложного уровня.
Список используемой литературы
-
Арифметические фокусы (https://book.etudes.ru/articles/tricks/, 04.12.2022).
-
Бенджамин А. Магия математики: Как найти х и зачем это нужно. М.: Альпина Паблишер, 2016. – 340 с.
-
Бенджамин А., Шермер М. Магия чисел. Моментальные вычисления в уме и другие математические фокусы. М.: Манн, Иванов и Фербер, 2006. – 307 с.
-
Гарднер М. Математические чудеса и тайны. М.: Наука, 1982. – 128 с.
-
Занимательная математика: правило Гаусса (https://myintelligentkids.com/zanimatelnaya-matematika-pravilo-gaussa, 04.12.2022).
-
Земсков П.А. Математика с Петром Земсковым. М.: Издательство АСТ, 2022. – 146 с.
-
Клэйборн А. Математические фокусы и трюки. М.: РОСМЭН, 2021. – 128 с.
-
Кордемский Б.А. Математическая смекалка, М.: ГИФМЛ, 1958. – 576 с.
-
Перельман Я. Лучшие математические игры, головоломки и фокусы. М.: Издательство АСТ, 2022. – 390 с.
-
Структура и содержание учебника Л.Ф. Магницкого «Арифметика» (http://www.hintfox.com/article/stryktyra-i-soderzhanie-ychebnika-l-f-magnitskogo-arifmetika.html, 04.12.2022).
-
Счастливая А. Математические фокусы. Издательские решения, 2018. – 40 с.
-
Толковый словарь Ожегова (https://gufo.me/dict/ozhegov/, 04.12.2022).
-
Храпалев И.И. Математические фокусы (https://school-science.ru/4/7/1388, 04.12.2022).
-
Шуберт Г. Математические развлечения и игры. М.: Центрполиграф, 2017. - 257 с.
Приложение № 1
Опросный лист «Математические фокусы»
-
Верите ли Вы в чудеса?
-
Считаете ли Вы фокусников волшебниками?
-
Слышали ли Вы когда-нибудь про «математические фокусы»?
-
Как Вы думаете, нужно ли фокусникам знание математики?
-
Знаете ли Вы математические фокусы?
Результаты опроса
(опрошено 28 детей, обучающихся в 1 классе)
|
82 % верят в чудеса |
61% считают фокусников волшебниками |
39% слышали о математических фокусах |
93% уверены, что знание математики фокусникам необходимо |
21% знают математические фокусы |
Приложение № 2
«Ручки-считалочки»»
Приложение № 3
«Умные дощечки»