XX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Фракталы и их применение
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Фракта́л - множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность, либо метрическую размерность, отличную от топологической, поэтому их следует отличать от прочих геометрических фигур, ограниченных конечным числом звеньев. Самоподобные фигуры, повторяющиеся конечное число раз, называются предфракталами.
Первые идеи фрактальной геометрии возникли в XIX веке. Георг Кантор с помощью простой рекурсивной (повторяющейся) процедуры превратил линию в набор несвязанных точек (так называемая Пыль Кантора). Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками.
Фрактал – это такой объект, для которого не важно, с каким усилением его рассматривать в увеличительное стекло, но при всех его увеличениях структура остается одной и той же. Большие по масштабу структуры полностью повторяют структуры, меньшие по масштабу. Так, в одном из примеров Мандельброт предлагает рассмотреть линию побережья с самолета, стоя на ногах и в увеличительное стекло. Во всех случаях получим одни и те же узоры, но только меньшего масштаба.
Фракталы делятся на типы. Самые большие типы это:
геометрические фракталы
алгебраические фракталы
системы итерируемых функций
стохастические фракталы
Фракталы широко применяются в компьютерной графике, в физике, в нефтехимии, в биологии, в качестве графических заставок, как визуальные и оптические заставки.
Актуальность и значимость исследования
Изученный и представленный материал может быть использован из интереса как дополнительный материал, а также будет полезен для учеников.
Фракталы встречаются в разных направлениях и изучение этой темы может пригодится в будущем.
Глава 1. Типы фракталов
Прежде всего, фракталы - область удивительного математического искусства, когда с помощью простейших формул и алгоритмов получаются картины необычайной красоты и сложности! В контурах построенных изображений нередко угадываются листья, деревья и цветы.
Именно с геометрических фракталов и начиналась история фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется "затравка" - аксиома - набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этой "затравке" применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем (по крайней мере, в уме) бесконечное количество преобразований - получим геометрический фрактал. Примеры таких фракталов: Снежинка Коха, Лист, Треугольник Серпинского, кривая Пеано.
Геометрические фракталы хороши тем, что, с одной стороны, являются предметом достаточного серьезного научного изучения, а с другой стороны, их можно «увидеть» — даже человек, далекий от математики, найдет в них что-то для себя. Такое сочетание редко в современной математике, где все объекты задаются с помощью непонятных слов и символов. Оказывается, многие геометрические фракталы можно нарисовать буквально на листочке бумаги в клетку. Сразу оговоримся, что все получаемые изображения (в том числе и те, что приведены на этом плакате) являются лишь конечными приближениями бесконечных по своей сути фракталов. Но всегда можно нарисовать такое приближение, что глаз не будет различать совсем мелкие детали и наше воображение сможет создать верную картину фрактала. Например, имея достаточно большой лист миллиметровой бумаги и запас свободного времени, можно вручную нарисовать такое точное приближение к ковру Серпинского, что с расстояния в несколько метров невооруженный глаз будет воспринимать его как настоящий фрактал. Компьютер позволит сэкономить время и бумагу, и при этом еще увеличить точность рисования.
Вторая большая группа фракталов - алгебраические. Свое название они получили за то, что их строят, на основе алгебраических формул иногда весьма простых. Методов получения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет собой многократный (итерационный) расчет функции Zn+1=f(Zn), где Z - комплексное число, а f некая функция. Расчет данной функции продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится - на экран выводится точка. При этом значения функции для разных точек комплексной плоскости может иметь разное поведение. Для построения алгебраических фракталов используются итерации нелинейных отображений, задаваемых простыми алгебраическими формулами. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс, как дискретную динамическую систему, можно пользоваться терминологией теории этих систем: фазовый портрет, установившийся процесс, аттрактор и т.д. Наиболее изучен случай, когда динамическая система задаётся итерациями многочлена или голоморфной функции комплексной переменной на плоскости. Первые исследования в этой области относятся к началу XX века и связаны с именами Фату и Жюлиа.
Примеры алгебраических фракталов: множество Мандельброта; множество Жюлиа; бассейны Ньютона.
Фракталы, при построении которых в итеративной системе случайным образом изменяются какие-либо параметры, называются стохастическими. Термин «стохастичность» происходит от греческого слова, обозначающего «предположение». Стохастические фракталы, смоделированные компьютерной программой, очень похожи на природные творения - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии, горный массив и т.д.
Типичный представитель класса стохастических фракталов "Плазма". Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число - тем более "рваным" будет рисунок. Если мы теперь скажем, что цвет точки это высота над уровнем моря - получим вместо плазмы - горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. С помощью алгоритма, похожего на плазму строится карта высот, к ней применяются различные фильтры, накладываем текстуру и пожалуйста фотореалистичные горы готовы.
Глава 2. Применение фракталов в медицине
Человеческое тело полно множества очень сложных структур. Например, грандиозное разветвление бронхов, некоторые части сердца, почечная система, большие кровеносные и капиллярные сети и т. д. Эти структуры, реальные физические системы, имеют геометрические и функциональные сложности. Точный подход к этим явлениям обязательно проходит через этап математического моделирования. Евклидова геометрия, к сожалению, не способна решить эти проблемы. На самом деле, это применяется только в случае гладких и правильных форм. Таким образом, точка имеет размерность, равную нулю, линия имеет размерность один, плоскость имеет размерность два, и объем имеет размерность, равную трем. Фрактальная же геометрия имеет дело с размерами, например, от одного до двух или от двух до трех и т. д. Фрактальная размерность фактически является размером нерегулярных кривых. Данная специфика фракталов предоставляет нам огромные преимущества в области биологии и медицины при их использовании. Действительно, многие сложные структуры живых систем и, в частности, человеческого тела проявляют фракталоподобную геометрию, что позволяет моделировать их и, следовательно, производить количественную оценку этих явлений с помощью фрактального анализа.
Фрактальная размерность является показателем сложности кривой. Анализируя чередование участков с различной фрактальной размерностью и тем, как на систему воздействуют внешние и внутренние факторы, можно научиться предсказывать поведение системы. И что самое главное, диагностировать и предсказывать нестабильные состояния.
Фрактальное измерение является основным инструментом фрактального анализа и одним из параметров, используемых для характеристики сложностей кровеносных сетей. Основываясь на оценке фрактальной размерности, используя разные алгоритмы и разные методы.
В человеческом организме множество фракталоподобных образований — в структуре кровеносных сосудов и различных протоков, а также в нервной системе. Наиболее тщательно изучена фрактальная структура дыхательных путей, по которым воздух поступает в легкие.
Теория фракталов применятся для анализа электрокардиограмм. Периоды биоритмов, и, в частности, сердечного ритма, длительностью порядка часа, су-ток и более, можно изучать традиционными методами гистограммного или спек-трального анализа. Однако оценка хроноструктуры, величины и ритмов фрактальной размерности индексом Херста позволяет на более ранней стадии и с большей точностью и информативностью судить о нарушениях гомеостазиса и развитии конкретных заболеваний.
Фрактальный анализ предназначен для визуальной оценки степени гармонизации биоритмов на различных уровнях управления и прогноза состояния здоровья пациента на сравнительно длительный период (до 10 дней).
Фрактальный показатель биоритмов, приводимый на портрете пациента, позволяет прогнозировать его состояние на период времени от трех до десяти дней. Если этот показатель выше интегрального показателя в режиме «экспресс-контроль», то состояние пациента будет улучшаться, если ниже – ухудшаться.
В общих чертах идея использования фрактальных методов применительно к ЭГЭГ на примере диагностики ЖКТ выглядит следующим образом.
С возникновением в 1975 году фрактальной геометрии, связанной с именем Б. Мандельброта, стало возможным описание, упорядочивание и представление сложных сигналов фрактальными моделями в достаточно простом и наглядном виде. Фрактальный подход в последнее время все больше применяется для решения задач идентификации процессов и объектов, отличающихся наличием компонент хаотического, детерминированного и периодического характера.
Одним из основных фрактальных методов является И/З-анализ, представляющий собой совокупность статистических приёмов и методов анализа временных рядов (цифровых сигналов), позволяющих определить некоторые важные их характеристики, такие как наличие непериодических циклов.
В настоящий момент доказано, что фрактальными свойствами обладают сосудистые системы животного организма, динамика функций мозга, сердца и электрически активных клеток.
В медицине фрактальные методы обработки, по-видимому, впервые были применены для исследования электроэнцефалограмм (ЭЭГ). Для ЭЭГ, также как и для ЭГЭГ, к настоящему времени было разработано большое количество методов анализа, которые в основном базировались на классическом Фурье-анализе.
Все фрактальные методы основаны на статистической обработке той физической величины, которая наиболее полно отражает исследуемое свойство объекта. Для описания биосигнала осуществляется построение его фрактальной модели, а именно производится расчет, так называемых, фрактальных размерностей и параметров.
Глава 3. Применение фракталов в архитектуре.
Одно из определений фракталов гласит, что это геометрическая фигура, состоящая из частей, являющихся уменьшенной копией целого. Эта трактовка позволяет относиться к фракталу как к объекту геометрии. Сейчас его всё чаще используют как структурное понятие, так как такой принцип самоподобия является примером строения природных объектов, это подходит для архитектуры как наиболее устойчивая и крепкая форма.
В архитектуре применяются геометрические фракталы. Основными представителями этой группы являются такие объекты, как: кривая Пеано, снежинка Коха, треугольник Серпинского, пыль Кантора, «дракон» Хартера-Хейтуэя и т.д. Все они получены путем повторений определенной последовательности геометрических построений с использованием точек и линий. Кантор с помощью простой рекурсивной процедуры «превратил» линию в набор несвязных точек: брал линию и выносил её центральную треть на определенное расстояние, затем повторял эту процедуру с остальными отрезками. Джузеппе Пеано нарисовал особую линию, используя довольно простой алгоритм: он брал прямую линию, затем заменял её девятью отрезками, каждый из которых затем вновь подвергал этой процедуре и т.д.
Можно выделить следующие свойства геометрических фракталов:
- бесконечное множество геометрического фрактала покрывает ограниченную площадь поверхности;
- бесконечное множество, составляющее фрактал, обладает свойством самоподобия;
- длины, площади и объемы одних фракталов стремятся к бесконечности, других – равны нулю.
Фрактальную архитектуру можно разделить на два типа: интуитивную и сознательную.
В первом случае примером может послужить немалое количество архитектурных шедевров прошлого, в которых строители или же сам архитектор неосознанно использовали принцип фрактального строения. Это отражается как в общем облике здания, так и в отдельно взятых деталях фасада. Встречаются такие сооружения и в западной, и в отечественной архитектуре.
Исторический музей в Москве – прекрасный тому пример. Башни пирамидальной формы, являясь самостоятельным элементом, создают общую зигзагообразную линию постройки и в то же время повторяются в мелких деталях, из которых и состоят.
Древние индийские и ацтекские ступенчатые храмы представляют идеальный вариант геометризации объёма.
Следует отметить, что фракталы также отличаются по степени сложности алгоритма, в связи с которым и происходит повторение какого-либо элемента – квазифракталы и мультифракталы. Несмотря на это, все разновидности требуют тщательного расчёта чисел размеров и соотношений.
Современные архитекторы чаще всего прибегают к сознательной и сложной фрактальной архитектуре, создавая новые схемы алгоритмов.
Дополнительной нагрузкой является то, что проекты разрабатываются не для
Эйфелева башня - замечательное творение конструктора Гюстафа Эйфеля. Это самая известная архитектурная достопримечательность Парижа, известная как символ Франции, воздвигнутая на Марсовом. На ней хорошо видны геометрические элементы самоподобия, характерные для фракталов.
Расположение и размеры куполов многоглавых церквей, условно показанные в одной плоскости плана с осевой симметрией, также имеют прообразом фрактальную структуру. Спиралеподобные формы, отражающие один из распространенных фрактальных алгоритмов в природе, используются и в искусственной среде, включая архитектуру и дизайн (спиральный декор храма Василия Блаженного, металлические узоры оград и решеток, произведения декоративно-прикладного искусства).
Принципы фракталоподобного формообразования в архитектуре применяются с давних времен, и хотя использование фрактальных правил построения в архитектуре далеко не всегда оказывалось математически выверенным, но в поиске и создании художественно выразительных пропорций архитекторов вели их интуиция и талант, чувство гармонии и высокий профессионализм.
Подводя итог, можно заявить, что фрактал – это новое, но совсем не страшное и чужеродное слово в архитектуре. Используя фрактальный принцип строения, современные архитекторы достигают высокого уровня постройки по всем основным пунктам – от необычности и уникальности фасада до практичности и устойчивости в конструкции.
Глава 4. Фрактальная графика.
Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений.
Фрактальная графика является на сегодняшний день одним из самых быстро развивающихся и перспективных видов компьютерной графики. Логично, что Фрактальная графика состоит из фракталов. Но что же это такое? Фрактал — это структура самоподобных фрагментов. Это значит, что, взяв небольшую часть фрактала можно получить информацию обо всем фрактале. Как повторяющиеся фоны на сайтах или узоры на советских коврах. Чтобы представить себе фрактал и запомнить, как он выглядит на всю жизнь, достаточно посмотреть на Капусту Романеско. Это реально существующая итальянская капуста.
Изменив коэффициенты уравнения, можно получить совершенно другое изображение. Эта идея нашла использование в компьютерной графике благодаря компактности математического аппарата, необходимого для ее реализации. Так, с помощью нескольких математических коэффициентов можно задать линии и поверхности очень сложной формы. Фрактальная компьютерная графика позволяет создавать абстрактные композиции, где можно реализовать множество приёмов: горизонтали и вертикали, диагональные направления, симметрию и асимметрию. С чем можно сравнить фрактальное изображение? Ну, например, со сложной структурой кристалла, со снежинкой, элементы которой выстраивается в одну сложную композицию.
На самом деле фрактальные свойства имеет очень большое количество природных объектов — просто мало кто об этом задумывается. Вы можете любоваться облаками на небе, набегающими волнами прибоя, ходить по лесу — и даже не подозревать, что в основе этой красоты лежит математика. Несмотря на всю сложность природных объектов, многие из них в принципе описываются довольно простыми математическими формулами. Хотя в чистом виде фракталы в природе не существуют.
Фрактальная компьютерная графика позволяет создавать абстрактные композиции, где можно реализовать такие композиционные приёмы как, горизонтали и вертикали, диагональные направления, симметрию и асимметрию
С точки зрения машинной графики фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически благодаря фрактальной графике найден способ эффективной реализации сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные. Геометрические фракталы на экране компьютера — это узоры, построенные самим компьютером по заданной программе.
Фрактальная графика – одна из быстроразвивающихся и перспективных видов компьютерной графики. Математическая основа - фрактальная геометрия. Фрактал – структура, состоящая из частей, подобных целому. Одним из основных свойств является самоподобие. Фрактус – состоящий из фрагментов)
Объекты называются самоподобными, когда увеличенные части объекта походят на сам объект. Небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале.
В центре находится простейший элемент – равносторонний треугольник, который получил название- фрактальный.
На среднем отрезке сторон строятся равносторонние треугольники со стороной =1/3а от стороны исходного фрактального треугольника
В свою очередь на средних отрезках сторон, являющихся объектами первого поколения строятся треугольника второго поколения1/9а от стороны исходного треугольника. Таким образом, мелкие объекты повторяют свойства всего объекта. Процесс наследования можно продолжать до бесконечности. Полученный объект носит название – фрактальной фигуры.
Абстрактные композиции можно сравнить со снежинкой, с кристаллом.
Фрактальная графика основана на математических вычислениях. Базовым элементом фрактальной графики является сама математическая формула, то есть никаких объектов в памяти компьютера не хранится и изображение строится исключительно по уравнениям.
Глава 5. Фракталы в природе
В реальной жизни фрактальные объекты имеют вполне определенные границы фрактальности, в том числе и самоподобия. Тем не менее, фракталы – это очень удобная и наглядная абстракция, которая сегодня уже широко применяется при моделировании естественных процессов. При этом спектр применения фракталов постоянно расширяется, сегодня он применяется и к моделированию информационного пространства.
Один из лучших примеров проявления фракталов в природе –структура береговых линий. Действительно, на километровом отрезке побережье выглядит столь же изрезанным, как и на стокилометровом. Опыт показывает, что длина береговой линии L зависит от масштаба l, которым проводятся измерения, и увеличивается с уменьшением последнего по степенному закону L = Λ l1-α, Λ = const. Так, например, для побережья Великобритании α≈ 1.24, т.е., так называемая, фрактальная размерность береговой линии Великобритании равна 1.24.
Уже около полувека в биологии известен закон, который утверждает, что многие свойства организмов, от продолжительности жизни и количества детенышей до скорости обмена веществ, пропорциональны массе тела в степени n/4, где n - целое. При этом сама природа закона более полувека оставалась загадкой. На первый взгляд, вместо четверки должна быть тройка, поскольку масса пропорциональна кубу размера тела.
Несколько лет назад объяснение, было найдено. Дело в том, что пронизывающие каждый организм сети - кровеносная у животных или капиллярная у растений - обладают свойствами фракталов. Фрактальность этих сетей как раз и приводит к добавлению еще одного "измерения" у живых организмов.
И наконец, вся Вселенная, в соответствии с гипотезой российского физика С. Хайтуна, является фракталом, причем единственным известным в природе, полностью удовлетворяющим классическому определению. В физике известен факт, что плотность космических объектов стремительно падает с их размерами. Еще в 50-х годах советские физики-теоретики пришли к выводу, что "бесконечная" плотность Вселенной равна нулю.
Эта идея и новейшие представления о фрактальности Вселенной подтверждают друг друга. Дело в том, что плотность всякого фрактала, расположенного в трехмерном пространстве, тождественно равна нулю. Классические фракталы обладают "всюду пустой" структурой, которая при проникновении в нее "расступается" до бесконечности.
Вместе с тем, реальные системы бесконечного углубления в свою структуру не позволяют; на каком-то конечном шаге структура, будь то, скажем, снежинка или кровеносная система человека, теряет свой "фрактальный" вид - реальные структуры лишь "фракталоподобны". В соответствии с гипотезой Хайтуна, позволяя - из-за своей бесконечности - бесконечное проникновение в свою структуру, Вселенная, по мнению многих исследователей, является единственным "настоящим" фракталом, имея нулевую бесконечную плотность.
Принцип фрактальности заложен в устройстве самой Природы, где из одного семени или из одной клетки путём многократного дробления создаётся новая структура, похожая, но не идентичная первоначальной.
Природа создаёт удивительные и прекрасные фракталы, с безупречной геометрией и идеальной гармонией. Природа сама создана из самоподобных фигур, просто мы этого не замечаем.
На первый взгляд кажется, что флора не обладает закономерностями, а растения и их части растут хаотично, но рассмотрите любое дерево:
От основания к вершине от ствола отходят крупные ветви. На каждой из них происходит аналогичное разветвление меньших ветвей. Далее форма разветвления в любой из частей дерева повторяется, только становится все меньше и меньше. С учетом принципов построения фракталов, зная закономерности расположения ветвей у вершины, легко воссоздать вид дерева у основания. В то же время крона, как видимая часть дерева, отражает его корневую систему. У корней фрактальное строение ярко выражено. Прожилки на листве образуют фрактальные рисунки, напоминающие плоское крохотное дерево. При этом не бывает двух листьев с одинаковым рисунком, все они уникальны, как отпечатки пальцев людей.
Есть и другие примеры фракталов из мира растений: Комнатная королевская бегония. Ее самые маленькие листья по форме и сочетанию оттенков аналогичны самым крупным. Среди съедобных растений самоподобную форму имеет красная капуста. Строение листьев папоротников, которые живут на нашей планете уже более 350 млн лет, напоминает компьютерный фрактал. Эти растения доказывают, что в древних биологических формах легче всего проследить фрактал, то есть форма организмов тогда строилась по более простым правилам. В лишайниках и мхах, как в древних представителях растительного мира, фракталы ярко выражены. Их узлы аналогичны краям и отличаются только размером.
Глава 6. Фракталы в психологии.
Одно из ключевых свойств ума – способность к абстрагированию. В бытовом понимании задача – абстрагируйся – может иметь ряд смыслов, какие они? Как-то год назад я пожаловался девушке на какие-то очередные свои же проблемы – чего, как вы понимаете, делать не следует. Я услышал в ответ – “абстрагируйся”. Значение в этом случае – отвлекись, выдели себя из контекста событий и проблем. Я это так понял – абстрагироваться означает отделить себя от того, что переживаешь навязчиво, от проблемы, от зацикливания.
В научном понимании абстракция – это что-то самое важное, самое главное и существенное, что может содержаться в тексте, в изображении и в речи, это выжимка, суть, эссенция. Здоровый ум способен выделить главное для того чтобы принимать решения и затем действовать или не действовать далее. Но каждый ум выделяет свое, то, что он способен увидеть. И если вы в коммуникационном шуме не видите главного, не умеете его выделить, то можно сказать: вы не умеете абстрагировать.
Кроме геометрии и красоты идея фрактала используется для описания упорядочивания процессов “из хаоса”: в гетерогенных реакциях, в теории рынков, в социальных процессах на уровне сообществ, организаций. Кстати, новый тезис для психологов-оргконсультантов. Принцип фрактала в динамике – непрерывное рождение подобия с течением времени. Ведь наиболее привлекательны и завораживающие фрактальные видео. В психологии есть что-то подобное при описании неврозов.
Пусть ее нашли математики, почему не использовать в психологии и психотерапии? Для того, чтобы человек осознал, что в его поведении напоминает бесконечно растущую и повторяющуюся фигуру, следует понаблюдать за фракталами в природеПриродные процессы повторяются, так выглядит жизнь. И поэтому фрактальное поведение – не так уж и плохо само по себе, оно воспроизводит постоянство, помогает адаптироваться в стабильных условиях. В меняющихся условиях воспроизводство подобия дает меньше шансов на адаптацию.
Фрактальный рисунок является одним из методов арт-терапии, наиболее доступный и эффективный для коррекции и гармонизации психоэмоционального и личностного состояния как для ребенка, так и для взрослого.
Метод фрактального рисования в сочетании с музыкотерапией может использоваться как здоровьесберегающая технология для снятия напряжения, усталости в период большой загруженности.
Заключение.
Данная работа помогла понять мне, что такое фракталы и где их можно применять. Дала понимание, где в нашей жизни используются фракталы, чем они полезны и как влияют на разные сферы деятельности людей. Научная работа помогла разобраться в различии типов фракталов и как их применяют. Работа очень познавательна, интересна и полезна ученикам средней школы.
Данную работу можно использовать для проведения кружков и дополнительных занятий. Такие задания развивают логическое мышление, а также полезна в понятии профессий врача, архитектора, информатика и т.д.
П риложение.
Источники
https://ru.wikipedia.org/
https://elementy.ru/
http://rusproject.narod.ru/
https://moluch.ru/
http://berlogos.com/
https://fraktalsworld.
https://fb.ru/
https://studfile.net/
https://vsegda-pomnim.com/
https://studfile.net/
https://dzen.ru/
https://popsy.ru/