XX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Функция, заданная в виде суммы двух линейных функций, содержащих знак модуль

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Жигулев Н.Г. 1

---

1Государственное учреждение образования "Средняя школа № 25 г. Могилева"

Ахременко М.А. 1

---

1Государственное учреждение образования "Средняя школа № 25 г. Могилева"

Работа в формате PDF

230.6 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

ВВЕДЕНИЕ

При подготовке к олимпиаде по математике нужно было решить задание «Решите уравнение |x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-10|+10=x». На уроках проходили тему «Линейная функция. График линейной функции» возник вопрос, а как будет выглядеть график функции у=|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-10| (ПРИЛОЖЕНИЕ А). Для того чтобы построить график этой функции стали изучать как выглядит график суммы двух модулей, трех модулей и т.д. В прошлом году была представлена работа по теме «Функция, заданная в виде суммы двух и трех линейных функций, содержащих знак модуль», где угловыми коэффициентами в линейных функциях были выбраны единицы, для данной работы были описаны любые линейные функции.

Цель работы: описать функцию заданная в виде суммы двух линейных функций, содержащих знак модуль.

В связи с поставленной целью появляются следующие задачи:

1. описать функцию у= |k₁x-a|+|k₂ x-b|, где k₁ ≠k₂;

2. описать функцию у= |k₁x-a|+|k₂ x-b|, где k₁ =k₂;

3. применение функцию у= |k₁x-a|+|k₂ x-b|, для решения уравнений.

При написании работы появилась гипотеза:будет ли существовать ось симметрии для функции суммы двух линейных функций, содержащих знак модуль.

Предметом исследования являются функции.

Объектом исследования данной работы является функция, заданная в виде суммы двух линейных функций, содержащих знак модуль.

1. Функция у= |k₁x+a|+|k₂x+b|, где k₁≠k₂

Рассмотрим функцию, заданную в виде суммы линейных функций, содержащих знак модуль.

Рассмотрим функцию у= | k₁x+a|+| k₂x+b|.

Во-первых разобьем числовую ось на промежутки точками, в которых

k₁x+a и k₂x+b, обращаются в нуль. Получаем . Учитывая условие , разбиваем на промежутки

Затем в каждом промежутке раскроем модуль.

Если , то у= |k₁x+a|+| k₂x+b|, у= – (k₁x+a)–(k₂x+ b)= –k₁x–a–k₂x– b. Графиком функции у= (–k₁ –k₂)х+(–a–b) является прямая. Точка изменения прямой .

Если , то у= |k₁x+a|+| k₂x+b|, у= (k₁x+a)–(k₂x+ b)= k₁x+a–k₂x– b. Графиком функции у= (k₁ –k₂)х+(a–b) является прямая. Точка изменения прямой .

Если , то у= |k₁x+a|+| k₂x+b|, у=(k₁x+a)+(k₂x+ b)= k₁x+a+k₂x+ +b. Графиком функции у= (k₁ +k₂)х+(a+b) является прямая.

1. Область определения функции у= |k₁x+a|+| k₂x+b|: D = ℝ.

2. Множество значений функции у= |k₁x+a|+| k₂x+b|:

если , то Е =

если , то Е =

3. Если , то нули функции у= |k₁x+a|+|k₂x+b| в точке .

Если у= |k₁x+a|+| k₂x+b| в точке .

Во все других случаях нулей функции у= |k₁x+a|+| k₂x+b| нет.

Оси симметрии нет.

4. Промежутки знака постоянства функции у= |k₁x+a|+| k₂x+b|

5. Монотонность функции у= |k₁x+a|+| k₂x+b|:

если

• функция убывает на промежутке ;

• функция возрастает на промежутке .

если

• функция убывает на промежутке ;

• функция возрастает на промежутке .

6. Построим график функции у= |k₁x+a|+| k₂x+b| (рис. 1.1 или рис 1.2)

Для построения графика функции достаточно будет взять 4 точки .

Рисунок 1.1

Рисунок 1.2

ПРИМЕР 1. Построить график функции у= |2x-1|+|x+2| (рис 2)

Во-первых разобьем числовую ось на промежутки точками, в которых 2x-1 и x+2, обращаются в нуль. Получаем . Учитывая условие , разбиваем на промежутки

Точки изменения ломаной и .

Рисунок 1.2

2. Функция у= |k₁x+a|+|k₂x+b|, где k₁=k₂ и a<b

Рассмотрим функцию, заданную в виде суммы линейных функций, содержащих знак модуль.

Рассмотрим функцию у= |k₁x+a|+|k₂x+b|, где k₁=k₂, поэтому k₁=k₂=kу=|kx+a|+|kx+b|

Во-первых разобьем числовую ось на промежутки точками, в которых

kx+a и kx+b, обращаются в нуль. Получаем . Учитывая условие , разбиваем на промежутки

Затем в каждом промежутке раскроем модуль.

Если , то у= |kx+a|+| kx+b|, у= – (kx+a)–(kx+ b)= –kx–a–kx– b= – 2kx – a – b. Графиком функции у= –2kх+(–a–b) является прямая. Точка изменения прямой .

Если , то у= |kx+a|+| kx+b|, у= (kx+a)–(kx+b)= kx+a–kx–b. Графиком функции у=a–b является прямая, параллельная ось абсцисс. Точка изменения прямой .

Если , то у= |kx+a|+|kx+b|, у=(kx+a)+(kx+b)=kx+a+kx+b. Графиком функции у= 2kх+(a+b) является прямая.

1. Область определения функции у= |kx+a|+| kx+b|: D = ℝ.

2. Множество значений функции у= |kx+a|+| kx+b|:

если , то Е =

3. Нулей функции у= |kx+a|+|kx+b| нет.

Ось симметрии является прямая .

Доказательство:

Прямая х=а является осью симметрии графика функции f в том и только в том случае, когда для любого х из ее области определения выполняется равенство f(a+х)=f(a-х) .[1]

Свойства модуля:[2]

Модуль числа есть величина неотрицательная: |а|>0 или равно 0

Модули противоположенных чисел равны: |а|= |-а|

Модуль произведения равен произведению модулей множителей: |а·в|= |а|·|в|

f( +х)=

.

f( х)=

=

f( +х).

Значит является осью симметрии.

4. Промежутки знака постоянства функции у= |kx+a|+|kx+b|

5. Монотонность функции у= |kx+a|+| kx+b|:

• функция убывает на промежутке ;

• монотонная функция на промежутке ;

• функция возрастает на промежутке .

6. Построим график функции у= |kx+a|+| kx+b| (рис. 2.3)

Для построения графика функции достаточно будет взять 4 точки .

3. Применение функции у= |k₁x+a|+|k₂ x+b| для решения уравнений с модулем

Чтобы решить уравнение вида |k₁x+a|+|k₂ x+b|=с:

1) Разбить числовую ось на промежутки точками, в которых каждое слагаемое k₁x+a и k₂ x+b обращается в нуль.

2) Найдите значение ординат для соответствующих значений абсцисс. Сформировать соответствующие точки.

3) Построить таблицу для функции у=|k₁x+a|+|k₂ x+b|

4) Построить графики функций у=|k₁x+a|+|k₂ x+b| и у=с.

5) Абсциссы точек пересечения графиков и является решением уравнения.

Пример 1. Решите уравнение |х-2|+|6-х|=4.

Построим графики функций у= |х-2|+|6-х| и у= 4.

Построим график функции у= |х-2|+|6-х|(рис 2.1). Во-первых разобьем числовую ось на промежутки точками, в которых x-2 и 6-х, обращаются в нуль. Получаем . Учитывая условие , разбиваем на промежутки

Точки изменения ломаной и .

Пересечение графиков и есть решение .

Рисунок 3.1

Пересечение графиков и есть решение уравнения. Ответ .

Пример 2. Решите уравнение |х+3|+|х-6|=13.

Построим графики функций у=|х+3|+|х-6| и у= 13.

Построим график функции у= |х+3|+|х-6|(рис 2.2). Во-первых разобьем числовую ось на промежутки точками, в которых x+3 и х-6, обращаются в нуль. Получаем . Учитывая условие , разбиваем на промежутки

Точки изменения ломаной и .

Пересечение графиков и есть решение

Рисунок 3.2

Пересечение графиков и есть решение уравнения.

Ответ: -5 и 8.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для написания данной работы были выполнены следующие действия:

1. описана функция заданная формулой у= |k₁x+a|+| k₂x+b|. Эта функция состоит из трех прямых ограниченных на промежутках:

.

2. расписан алгоритм решения уравнений вида |k₁x+a|+|k₂x+b|=с (ПРИЛОЖЕНИЕ Б).

3. гипотеза верна только для функции с равными угловыми коэффициентами линейных функции: для этого случая осью симметрии является прямая заданная формулой , если угловые коэффициенты различные, то ось симметрии существовать не будет.

Данный материал можно применять при подготовке к олимпиадам и централизованному тестированию по математике.

В дальнейшем планируем продолжить изучение данной темы рассматривая функцию, заданную в виде суммы и разности трех, четырех, пяти и т.д. линейных функций.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Симметрии графиков функций [Электронный ресурс]. – Режим доступа https://matemonline.com/2013/03/symmetry-of-graphs-of-functions/– Дата доступа: 21.11.2020

2. Василюк , Л.И. Математика в экзаменационных вопросах и ответах: Справ. для учителей, репетиторов и абитуриентов/ Л. И. Василюк, Л. А. Куваева. — 7-е— Мн: БелЭн, 2004. — 494 с. : ил.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

ГРАФИК ФУНКЦИИ у=|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-10|

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ВИДА |k₁x+a|+|k₂ x+b|=с

Чтобы решить уравнение вида |k₁x+a|+|k₂ x+b|=с: