XX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Удивительный незнакомец Фрактал
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Слышали ли вы о таком понятии «фрактал»? Каждый день мы встречаемся с фракталами, не подозревая об этом. Фракталы встречаются в живой и неживой природе, музыке, литературе, искусстве.
Широкая область применения фракталов определяет актуальность выбранной темы исследования.
Гипотеза: фракталы вокруг нас.
Объект исследования: процесс построения геометрических фракталов.
Предмет исследования – фракталы.
Цель исследования заключается в знакомстве с миром фракталов и умении распознавать фракталы.
Для достижения поставленной цели выделены следующие задачи:
– изучить информацию, литературу по теме исследования, определить понятие «фрактал»;
– изучить историю возникновения фрактала;
– рассмотреть алгоритм построения геометрических фракталов;
– создать книжку-малютку о фракталах.
Теория фракталов имеет совсем небольшой возраст. Она появилась в конце шестидесятых годов благодаря французскому математику Бенуа Мандельброту.
Фрактал - самоподобная структура, чье изображение не зависит от масштаба. Это рекурсивная модель, каждая часть которой повторяет в своем развитии развитие всей модели в целом.
Существует множество различных фракталов: Канторово множество, треугольник Серпинского, кривая Коха, снежинка Коха, дракон Хартера-Хатвея и другие.
Можно считать, что самоподобие - один из видов симметрии.
1. Что такое фракталы?
1.1 Понятие фрактала
Что же такое фрактал? Само слово «фрактал» появилось благодаря гениальному ученому Бенуа Мандельброту. Он сам придумал этот термин в семидесятых годах прошлого века, позаимствовав слово fractus из латыни, где оно буквально означает «ломанный» или «дробленный».
Фракталы - это геометрические объекты с удивительными свойствами: любая часть фрактала содержит его уменьшенное изображение. То есть, сколько фрактал не увеличивай, из любой его части на вас будет смотреть его маленькая копия.
Рассмотрим обыкновенную русскую матрешку. Ее тоже можно назвать фракталом, т.к. внутри одной матрешки содержится другая, чуть меньше размером, и так далее.
Простым языком, фрактал это узор, который повторяет сам себя при увеличении или уменьшении масштаба.
1.2 Геометрические фракталы
Геометрические фракталы – самые наглядные, они получается путем простых геометрических построений. Рассмотрим алгоритм построения треугольника Серпинского: 1. строим большой треугольник;
2. строим треугольник, получающийся при соединении середин сторон большого треугольника 3. строим треугольники, получающиеся аналогичнo.
Таким образом, под фракталом будем понимать геометрическую фигуру, определенная часть которой повторяется снова и снова, изменяясь в размерах.
2. Фракталы в окружающем мире
-
-
Фракталы в природе
-
П рирода всегда поражает своей красотой и необычайностью своих изобретений, которые напоминают по своей форме фракталы. Фракталы - одно из чудес природы, о котором слышали немногие.Рассмотрим любое дерево. От основания к вершине, от ствола отходят крупные ветви. На каждой из них происходит похожее разветвление меньших ветвей. Далее форма разветвления в любой из частей дерева повторяется, только становится все меньше и меньше.
По этому принципу построено фрактальное дерево-дерево Пифагора
Дерево Пифагора с фрактальным эффектом.
Е сть и другие примеры фракталов. В живой природе: кораллы, морские звезды и ежи, цветы, растения, система кровообращения и бронхи людей, животных.
В неживой природе: границы географических объектов (стран, областей, городов), береговые линии, горные хребты, снежинки, облака, кристаллы.
Горы – при ближайшем рассмотрении большие горы состоят из более маленьких.
М олния – это тоже фрактал с точки зрения математики.
2.2 Фракталы в литературе
В литературе также можно встретить фракталы- бесконечное повторение текста.
Среди таких бесконечных произведений —народные песенки, стихи для детей или как, например, стишок о попе и его собаке.
У попа была собака, он ее любил.
Она съела кусок мяса, он ее убил.
В землю закопал,
Надпись написал,
Что
У попа была собака… .
Стихотворение М. Яснова «Чучело-мяучело», повествующее о котенке, который поет о котенке.
Чучело-мяучело
На трубе сидело.
Чучело-мяучело
Песенку запело.
Чучело-мяучело
С пастью красной-красной —
Всех оно замучило
Песенкой ужасной.
Всем кругом от чучела
Горестно и тошно,
Потому что песенка
У него про то, что:
Чучело-мяучело
На трубе сидело… .
2.3 Фракталы в искусстве
Чтобы нарисовать фрактал, нужно произвести большое количество вычислений, а найденные точки изобразить на графике. Делать это вручную крайне утомительно, а вот компьютер отлично справляется с этой задачей.
Если раньше ученым приходилось иметь дело, в основном, с числами и формулами, то теперь их работа стала гораздо интереснее. С помощью компьютеров они могут рисовать большие красивые картинки изучаемых явлений. Некоторые из ученых так увлеклись этим, что стали художниками, и сегодня выставки фрактальной живописи проходят по всему миру.
Фракталы, полученные на экране компьютера, могут быть необычайно и завораживающе красивы, представлять собой настоящее произведение искусства.
Используя программу SymWave, я нарисовал фрактальные цветы.
Если внимательно присмотреться к этим картинкам, то можно заметить, что каждая из них состоит из множества очень похожих друг на друга фрагментов в разных размерах
3. Создание книжки-малютки «Фрактальные объяснялки»
Прочитав эту книжку, вы узнаете, что такое фрактал? Научитесь строить геометрические фракталы и находить фракталы в окружающем мире.
Заключение
В своей работе я познакомился с таким сложным и интересным миром фракталов, узнал, где они встречаются в окружающем мире, литературе, искусстве. Безусловно, это только начало исследования и пока я не могу понять их полностью. В практической части работы я научился рисовать фрактал на компьютере и оказалось это достаточно просто сделать.Создал книжку-малютку «Фрактальные объяснялки.
В рамках решения первой задачи была проанализирована научная литература, определено понятие «фрактал», рассмотрены типы фракталов.
Для решения второй задачи была изучена история возникновения фрактальной геометрии.
При рассмотрении сущности и алгоритма построения геометрических фракталов мы решили поставленную перед нами третью задачу.
Список использованных источников
1 Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. – М.: «Институт компьютерных исследований», 2002
2 Мандельброт Б., Ричард Л.Х. (Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах = The Misbehavior of Markets. – М.: «Вильямс», 2006. – 400 с.
3 Пайтген Х.–О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. – М.: «Мир», 1993
4 Третьяков Ю.Д. Дендриты, Фракталы и Материалы // Соросовский Образовательный Журнал, 1998. – № 11. – С. 96-102.
5 Федер Е. Фракталы. – М.: Мир, 1991. – 254 с.
6 Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. — М.: МГУ, 1993
7 Фракталы в физике. Труды 6-го международного симпозиума по фракталам в физике, 1985. – М.: «Мир», 1988
8 Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. – Ижевск: «РХД», 2001
9.Галерея фракталов [Электронный ресурс]. ‒ Режим доступа: http://www.metaphor.ru/er/misc/fractal_gallery.xml
10.Загадочный беспорядок: история фракталов и области их применения [Электронный ресурс]. ‒ Режим доступа: http://www.3dnews.ru/754657
11.Как был открыт фрактал [Электронный ресурс]. ‒ Режим доступа: http://howitworks.iknowit.ru/paper1219.html
12.Что такое фракталы [Электронный ресурс]. ‒ Режим доступа: http://elementy.ru/posters/fractals/fractals