XX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ЧИСЕЛ ФИБОНАЧЧИ: ПОМОЩНИЦА ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ ИЛИ ПРЕДСКАЗАТЕЛЬНИЦА БУДУЩЕГО?
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Человек стремится к знаниям, пытается изучить Мир, который его окружает. В процессе наблюдений появляются многочисленные вопросы, на которые, соответственно, требуется найти ответы. Человек ищет эти ответы, а находя их, появляются другие вопросы. Оказывается, закономерность явлений природы, строение и многообразие живых организмов на нашей планете, всё, что нас окружает, поражая воображение своей гармонией и упорядоченностью, законы мироздания, движение человеческой мысли и достижения науки – всё это можно объяснить последовательностью Фибоначчи.
Ряд чисел Фибоначчи на первый взгляд не понятен никому. Вот так он выглядит: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55… Ряд этих чисел позволяет решать нам серьезные математические задачи. Мы решили изучить свойства этих чисел и поэкспериментировать с ними.
В элементарной математике существует много задач, часто трудных и интересных, которые не связаны с чьим-либо именем, а скорее носят характер своего рода «математического фольклора». Эти задачи нередко имеют хождение в нескольких вариантах; иногда несколько таких задач объединяют в одну, более сложную; иногда, наоборот, одна задача распадается на несколько более простых; словом, часто, оказывается, трудно различить, где кончается одна задача и начинается другая. Правильнее всего было бы считать, что в каждой из таких задач мы имеем дело с маленькими математическими теориями, имеющими свою историю, свою проблематику и свои методы – все это, разумеется, тесно связано с историей, проблематикой и методами «большой математики».
Такой теорией являются и теория чисел Фибоначчи. Выросшие из знаменитой «задачи о кроликах», имеющей более семисот пятидесятилетнюю давность, числа Фибоначчи до сих пор остаются одной из самых увлекательных глав элементарной математики.
Кроме того, они являются фундаментальным фактом истории математики нашего времени, существенно сместился центр математических исследований в целом. В частности, утратила свои доминирующие позиции теория чисел и резко повысился удельный вес экстремальных задач. В самостоятельную отрасль математики сложилась теория игр. По существу возникла вычислительная математика.
Наконец было установлено довольно большое количества ранее неизвестных свойств чисел Фибоначчи, а к самим числам существенно возрос интерес. Значительное число связанных с математикой людей в различных странах приобщились к благородному хобби «фибоначчизм». Данная работа представляет собой теоретическое и практическое исследования, где в качестве объекта рассматривается всестороннее применение «чисел Фибоначчи», и доказывается их универсальность.
Все вышесказанное подчеркивает актуальность выбранной темы нашего исследования.
Проблема, которую призвано разрешить наше исследование, заключается в том, что мы не знаем и не видим в окружающей нас жизни числовые закономерности, которые укладываются в ряд Фибоначчи.
Разработанность исследуемой проблемы состоит в том, что изучение этих чисел не предусмотрено уроками математики, поэтому чтобы познакомится с ними подробнее, необходимо использовать разнообразные источники информации: дополнительную литературу по предмету и интернет ресурсы.
Цель данной работы – показать различные пути исследования гармонии природы, основанные на рассмотрении разных объектов искусства и естествознания. Скульптура, архитектура, музыка, астрономия, биология, психология, библия – это те сферы, где, обнаруживает себя ряд Фибоначчи.
Объект изучения: последовательность Фибоначчи.
Предмет исследования: числовой ряд последовательности Фибоначчи.
В соответствии с целью, объектом и предметом определены следующие задачи исследования:
-
Познакомиться с числами Фибоначчи и историей их создания.
-
Рассмотреть закономерность чисел Фибоначчи на примере решения задач о кроликах.
-
Эксперимент с делением сторон квадрата на части по закону чисел Фибоначчи.
-
Изучить литературу по данной теме.
-
Изучить числовой ряд Фибоначчи
-
Исследовать сферы в которых используется числовой ряд Фибоначчи.
Для решения поставленных задач была использована совокупность следующих методов исследования: анализ, синтез, обобщение, индукция, дедукция литературы и научных исследований.
Практическая значимость данной работы определяется полезностью знания о числах Фибоначчи, которые широко применяются в изучении окружающего нас мира. Также работа может быть предложена для изучения студентам, преподавателям для внедрения в практическую работу и послужить материалом для проведения дальнейших исследований по заданной теме.
С числами Фибоначчи мы познакомились, черпая информацию из справочников, энциклопедий, журналов, книг и конечно не обошли стороной информацию из интернета. Собрав весь материал по теме мы приготовили презентацию и разработку внеклассного мероприятия, которая поможет при проведении факультатива по математике.
Структура исследования: введение, три главы (в каждой главе по два параграфа), заключение, список используемой литературы и приложение.
Глава 1. Исторический экскурс
1.1 Леонардо Фибоначчи ученый или торговец?
Лаонардо Фибоначчи родился и жил в Италии в городе Пиза в 12-13 вв. (Приложение 1). Его отец был торговцем, и поэтому молодой Леонардо много путешествовал. На Востоке он познакомился с арабской системой цифр; в последствии он проанализировал, описал и представил ее европейскому обществу в своей знаменитой книге «Liber Abaci» («Книга Счета») [1, c. 388].
Фибоначчи написал несколько математических трудов: "Liber abaci" (Приложение 2), "Liber quadratorum", "Practica geometriae". Наиболее известным из них является "Liber abaci"(книга об абаке – счетной доске). Этот труд вышел при жизни Фибоначчи в двух изданиях в 1202 г. и 1228 г. Эта книга содержит почти все арифметические и алгебраические сведения того времени, изложенные с исключительной полнотой и глубиной. Первые пять глав книги посвящены арифметике целых чисел на основе десятичной нумерации [1, c. 389].
Трудно представить, каков был бы мир, если бы тогда, в 13 веке, Фибоначчи не опубликовал бы свою книгу и не изложил европейцам арабские цифры. Интересно, что мы с вами используем арабские цифры не задумываясь, воспринимая их как само собой разумеющееся. Но если бы не Леонардо Фибоначчи, кто знает как бы развивался ход истории. Ведь представление и трактат арабских чисел существенно изменил средневековую математику в лучшую сторону; он продвинул ее вперед, а вместе с ней и другие науки, такие как физику, механику, электронику и т.д. Заметьте, ведь именно эти науки ведут прогресс вперед. Именно поэтому, в многом, ход истории, развитие Европейской цивилизации и науки в целом обязаны Леонарду Фибоначчи.
Второй выдающейся заслугой Леонардо Фибоначчи является ряд чисел Фибоначчи. Считается, что об этом ряде было известно на Востоке, но именно Леонардо Фибоначчи опубликовал этот ряд чисел в вышеупомянутой книге «Liber Abaci» (сделал он это для демонстрации размножения популяции кроликов) [1, c. 389]..
В последствии выяснилось, что эта последовательность чисел имеет важное значение не только в математике, экономике, техническом анализе и финансах, но также в ботанике, зоологии, физиологии, медицине, искусстве, а также философии, эстетике и многом другом.
Наряду с классическими результатами Фибоначчи приводит свои собственные — например, первое доказательство того, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке (Архимеду этот факт был известен, но до нас его доказательство не дошло).
Таким образом, Леонардо из Пизы, более известный как Фибоначчи является одним из первых великих математиков Европы позднего Средневековья. Ему принадлежат многие труды, но мы, исходя из цели исследования, раскроем числовую последовательность Фибоначчи, которую считаем важной, интересной и необходимой в наше время.
1.2 Числовая последовательность Фибоначчи
Последовательность Фибоначчи, известная всем по фильму "Код Да Винчи" - ряд цифр, описанный в виде загадки Итальянским математиком Леонардо Пизанским, более известным под прозвищем Фибоначчи, в XIII веке (Приложение 3). Но как же Леонардо Фибоначчи вывел свою последовательность? Причиной тому служит одна из задач «Книги об абаке». Она гласит: «Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения». Леонардо Фибоначчи решил эту задачу так[1, c. 391]..
Он рассматривал развитие идеализированной (т.е. биологически нереальной) популяции кроликов, учитывая то, что каждая пара кроликов порождает ещё две пары на протяжении жизни, а затем погибает (Приложение 4). Итак:
-
Имеется пара кроликов (1 новая пара).
-
В первом месяце первая пара производит на свет другую пару (1 новая пара).
-
Во втором месяце обе пары кроликов порождают другие пары, и первая пара погибает (2 новые пары).
-
В третьем месяце вторая пара и две новые пары порождают в общем три новые пары, а старая вторая пара погибает (3 новые пары) и т.д.
Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд чисел:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,… [3, c. 326].
Но как оказалось, эта последовательность обладает рядом замечательных свойств:
1. Отношение каждого числа к последующему более и более стремится к 0.618 по увеличению порядкового номера. Отношение же каждого числа к предыдущему стремится к 1.618 (обратному к 0.618).
2. При делении каждого числа на следующее за ним, через одно получается число 0.382; наоборот – соответственно 2.618.
3. Подбирая таким образом соотношения, получаем основной набор фибоначчиевских коэффициентов: … 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236 [3, c. 372].
В самом деле, есть много больше применений чисел Фибоначчи, но наиболее вдохновляющими, по моему мнению, являются прекрасные цифровые образцы, которые они демонстрируют.
Возведем несколько чисел Фибоначчи в квадрат. Давайте посмотрим на квадраты первых нескольких чисел Фибоначчи. 1 в квадрате равно 1, 2 в квадрате - 4, 3 в квадрате - это 9, 5 в квадрате - 25 и так далее. Теперь известно, что при сложении последовательных чисел Фибоначчи получается следующее число Фибоначчи.
Мы не ожидали ничего особенного от сложения их квадратов. Но проверили это. 1 + 1 = 2, и 1 + 4 = 5. И 4 + 9 = 13, 9 + 25 = 34, и да, шаблон повторяется. Фактически тут есть ещё один шаблон. Проанализируем сложение квадратов нескольких первых чисел Фибоначчи. Получаем, 1 + 1 + 4 = 6. Добавляем к этому 9 и получаем 15. Добавив 25, мы получаем 40. Добавив 64, мы получаем 104. Теперь посмотрим на эти цифры. Они не являются числами Фибоначчи, но если присмотреться, то можно увидеть, что числа Фибоначчи скрыты внутри них: 6 - это 2 × 3, 15 — это 3 × 5, 40 — это 5 × 8, 2, 3, 5, 8.
Обнаружить эти шаблоны было забавно, но ещё большее удовлетворение - понять, почему они являются подлинными. Посмотрим на последнее уравнение. Почему квадраты 1, 1, 2, 3, 5 и 8 составляют 8 × 13? Нарисуем простую картину. Начнем с квадрата единицы, и рядом с этим ещё один квадрат единицы. Вместе они образуют прямоугольник один на два. Ниже подставляем квадрат 2 на 2, потом квадрат 3 на 3, под ним квадрат 5 на 5, и затем квадрат 8 на 8, получается один гигантский прямоугольник,
Теперь задаемся вопросом: какова площадь прямоугольника? С одной стороны, это сумма площадей квадратов внутри него? Так же, как мы создали его. Это 1 в квадрате плюс 1 в квадрате плюс 2 в квадрате плюс 3 в квадрате плюс 5 в квадрате плюс 8 в квадрате. Это площадь. С другой стороны, поскольку это прямоугольник, площадь равна его высоте, умноженной на ширину. Высота равна 8, а ширина - 5 + 8, чем и является следующее число Фибоначчи 13. Таким образом, площадь равна 8 × 13. Так как мы правильно рассчитали площадь двумя разными способами, числа должны быть одинаковыми, и вот почему квадраты 1, 1, 2, 3, 5 и 8 складываются в 8 × 13.
Если мы продолжим этот процесс, мы создадим прямоугольники размером 13 на 21, 21 на 34 и так далее. Теперь проверьте это. Если вы разделите 13 на 8, вы получите 1,625. И если вы разделите большее число на меньшее число, то эти коэффициенты становятся всё ближе и ближе к числу 1.618, известному многим людям как Золотое сечение, числу, которое очаровывало математиков, учёных и художников на протяжении многих веков.
Таким образом, у последовательности Фибоначчи есть ряд математических особенностей. Данная последовательность асимптотически (приближаясь все медленнее и медленнее) стремится к некоторому постоянному соотношению. Однако, это соотношение иррационально, то есть представляет собой число с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифр в дробной части. Его невозможно выразить точно.
Закономерность образования этого ряда проста. Первые два числа – единицы, а затем каждый последующий член получается путем сложения двух непосредственно ему предшествующих.
Глава 2. Последовательность Фибоначчи и «Золотое сечение»
2.1 История создания «Золотого сечения»
Принято считать, что понятие о «золотом сечении» ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.) (Приложение 5). Есть предположение, что Пифагор свое знание «золотого сечения» позаимствовал у египтян и вавилонян [5, c. 41].
Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников (Приложение 6).
Платон (427...347 гг. до н.э.) также знал о «золотом сечении». Пифагореец Тимей в одноименном диалоге Платона говорит: "Невозможно, чтобы две вещи совершенным образом соединились без третьей, так как между ними должна появиться вещь, которая скрепляла бы их…» [11, c. 358].
Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал «золотое сечение» одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).
Кеплер называл «золотую пропорцию» продолжающей саму себя "Устроена она так, - писал он, - что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности" [8, c. 45].
Вновь "открыто" «золотое сечение» было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд "Эстетические исследования". [5, c. 43].
Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что «золотое сечение» выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа - важнейший показатель «золотого сечения». Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. (Приложение 7) [2, c. 441].
Таким образом, «золотое сечение» – это соотношение двух величин, равное соотношению их суммы к большей из данных величин. Приблизительная величина золотого сечения равна 1,6180339887. В процентном округлённом значении — это деление величины на 62 % и 38 % соответственно.
Мы можем упустить смысл нашего исследования, если не свяжем «золотое сечение» и числовой ряд Фибоначчи, что и сделаем в следующем параграфе нашего исследовании.
2.2 Связь числового ряда Фибоначчи и «Золотого сечения»
Природа как бы решает задачу сразу с двух сторон и складывает полученные результаты. Как только получает в сумме 1, то осуществляет переход в следующее измерение, где начинает строить все сначала. Но тогда она и должна строить это золотое сечение по определенному правилу.
Природа не пользуется «золотым сечением» сразу. Она его получает путем последовательных итераций и для порождения золотого сечения пользуется другим рядом, - рядом Фибоначчи [9, c. 144].
Следует сказать, что спираль Фибоначчи может быть двойной. Существуют многочисленные примеры этих двойных спиралей, встречающихся повсюду. Так спирали подсолнухов всегда соотносятся с рядом Фибоначчи. Даже в обычной сосновой шишке можно увидеть эту двойную спираль Фибоначчи.
В чем разница между спиралями «золотого сечения» и спиралью Фибоначчи? (Приложение 8) Спираль золотого сечения идеальна. Она соответствует Первоисточнику гармонии. Эта спираль не имеет ни начала, ни конца. Она бесконечна. Спираль Фибоначчи имеет начало, от которого она начинает “раскрутку”. Это очень важное свойство. Оно позволяет Природе после очередного замкнутого цикла осуществлять строительство новой спирали с “нуля” [13, c. 214].
Важно отметить, что Фибоначчи как бы напомнил свою последовательность человечеству. Она была известна еще древним грекам и египтянам. И действительно, с тех пор в природе, архитектуре, изобразительном искусстве, математике, физике, астрономии, биологии и многих других областях были найдены закономерности, описываемые коэффициентами Фибоначчи. Просто удивительно, сколько постоянных можно вычислить пpи помощи последовательности Фибоначчи, и как ее члены проявляются в огромном количестве сочетаний. Однако не будет преувеличением сказать, что это не просто игра с числами, а самое важное математическое выражение природных явлений из всех когда-либо открытых [12, c. 164].
Приводимые ниже примеры показывают присутствие этой математической последовательности в разных сферах жизни и еще раз доказывают связь с «золотым сечением».
Если развернуть раковину, закрученную по спирали, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда (Приложение 9). Дело в том, что отношение измерений завитков раковины постоянно и равно 1.618.
Таким образом, природа не пользуется «золотым сечением» сразу. Она его получает путем последовательных итераций и для порождения «золотого сечения» пользуется другим рядом, - рядом Фибоначчи, что показывает связь этого ряда с сечением.
Глава 3. Последовательность Фибоначчи и окружающий мир
3.1 Зашифрованный закон природы
Природа дает нам многочисленные примеры расположения однородных предметов, описываемых числами Фибоначчи. В разнообразных спиралевидных расположениях мелких частей мелких частей растений обычно можно усмотреть два семейства спиралей. В одном из этих семейств спирали завиваются по часовой стрелке, а в другом против. Числа спиралей того и другого типов часто оказываются соседними числами Фибоначчи [7, c. 87].
Так взяв молодую сосновую веточку, легко заметить, что хвоинки образуют две спирали, идущие слева снизу направо вверх (Приложение 10).
На многих шишках семена расположены в трех спиралях, полого навивающихся на стержень шишки. Они же расположены в пяти спиралях, круто навивающихся в противоположном направлении. В крупных шишках удается наблюдать 5 и 8 и даже 8 и 13 спиралей. Хорошо заметны такие спирали и на ананасе: обычно их бывает 8 и 13.
У многих сложноцветных (например, у маргаритки или ромашки) заметно спиральное расположение отдельных цветков в соцветиях-корзинках. Число спиралей бывает здесь 13 в одном направлении и 21 в другом или даже соответственно 21 и 34. Особенно много спиралей можно наблюдать в расположении семечек крупного подсолнуха. Их число в каждом из направлений может достигать собственно 55 и 89 (Приложение 10).
Между тем, этот волшебный ряд чисел встречается не только у растений, но и у человека. К примеру, длина первых двух фаланг пальцев кисти рук равна третьей фаланге. В наборе хромосом соматической клетки человека, а их 23 пары, источником наследственных болезней являются 8,13 и 21 пары хромосом. Все это свидетельствует о том, что этот ряд чисел представляет собой некий зашифрованный закон природы [7, c. 113].
Математики многих стран пытаются решить проблему конечности этого ряда, но пока безуспешно. Примечательно, что сам Фибоначчи предложил использовать этот ряд лишь для подсчета популяции кроликов. Чем же так привлекают эти числа, если даже существуют общества любителей чисел Фибоначчи?
Математиков привлекает этот ряд наличием так называемого "золотого сечения". Ну и, наконец, тесная связь этих чисел с природой [6, c. 32]. Создается впечатление, что вся флора и фауна, в том числе и человек, развиваются по законам, которые заложены в этой числовой последовательности.
Таким образом, связь с природой очевидна, т.к. все вышесказанное говорит нам о том, что свидетельствует о том, что этот ряд чисел представляет собой некий зашифрованный закон природы. И все эти совпадения не случайны. Весьма возможно, что раскрыв тайну чисел Фибоначчи, мы откроем один из величайших законов развития цивилизации. Мы допускаем мысль о том, что когда-то, в глубокой древности, этот закон уже был открыт, но по каким-то причинам не дошел до нас.
3.2 Цифровой код развития цивилизации
А что, если попытаться раскрыть эту загадку при помощи методов, используемых в нумерологии? В этой системе используется прием приведения сложных чисел к однозначным. Например, число 13 представляется как сумма этих чисел, то есть 1+3=4, а число 1498 как 1+4+9+8=22=2+2=4 и так далее.
Проводя подобную процедуру сложения со всеми сложными числами ряда Фибоначчи, получим следующий ряд этих чисел: 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4... [15]
Легко заметить, что этот ряд также обладает свойствами ряда Фибоначчи, где каждый последующий член равен сумме предыдущих. Например, сумма 13 -го и 14- го членов равна 15-му, то есть 8+8=16=1+6=7. И вот здесь вдруг выясняется, что этот ряд периодичный, с периодом в 24 члена, после чего весь порядок цифр вновь повторяется. И вот здесь возникает одно из интереснейших предположений. А не является ли этот, на первый взгляд беспорядочный, набор из 24 цифр своеобразным цифровым кодом развития цивилизации? Сначала рассмотрим структуру этого кода, для чего посчитаем количество входящих в него цифр. Оказывается, что единиц и восьмерок содержится по пять цифр, а остальных цифр - по две. Ни одна числовая последовательность не обладает таким свойством [16].
А теперь посмотрим на эту структуру с библейских позиций.
С точки зрения Библии, наша цивилизация охватывает два периода - до потопа и после. Нынешняя цивилизация обязана Ною, вернее его ковчегу, в котором кроме него находилась его жена, трое сыновей с женами, то есть 8 человек, а также различные птицы и звери, "каждой твари по паре". Если условно допустить, что цифра 1 олицетворяет собой сам ковчег, цифра 8 - количество людей, находящихся в нем, а остальные цифры соответствуют представителям фауны, то этот цифровой код уже не кажется таким бессмысленным.
А если учесть, что все живое и неживое на Земле подвергается суточному циклу (период из 24 цифр ряда может указывать на это), то можно сделать попытку подсчитать количество этих циклов, отпущенных природой для одного периода развития цивилизации.
Для этой цели ряд из 24 цифр представим в виде числа, записанного в двоичном исчислении. Превратим все четные цифры в нули, а нечетные - в единицы. Тогда наш ряд будет выглядеть так: 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 Вычислим эти числа, то есть 223+222+218+217+...+23+21+20 А если из большего числа вычесть меньшее, то получится 1279688. Этот результат не изменится, если наоборот, все четные цифры единицами, а нечетные - нулями.
Предположем, что это число указывает на максимально возможное количество циклов для одного периода развития цивилизации. Если это так, то один период (зарождение - развитие - гибель) равен: 1279688 : 365 = 3503.5 года.
Теперь осталось найти место, занимаемое нынешней цивилизацией, в числовом ряде Фибоначчи.
В качестве оценки развития цивилизации примем количество людей, населяющих нашу планету, и сравним эту цифру с рядом чисел Фибоначчи. И вот здесь обнаружится, что 48-й член ряда имеет число 4807526976. По статистике, в 1987 году на Земле проживало около 5 миллиардов людей, то есть эта цифра очень близка [16].
Учитывая, что 48-й член ряда составляет два полных периода, то начальное развитие цивилизации, или сотворение мира, произошло 3503.5*2=7007 лет тому назад от 1985 года или 7017 лет от 1995-го.
По православному или Византийскому календарю сотворение мира произошло 7503 года назад, по Еврейскому 5756 лет, а по Астрономическому календарю начало эпохи положено 6708 лет назад.
Из приведенных дат видно, что полученная дата начала развития цивилизации находится между Астрономическим и Византийским календарями.
Таким образом, если считать период времени в 3503.5 года или 1279688 суточных цикла полным периодом развития цивилизации, то можно предположить, что в 1508 году до нашей эры (3503 - 1995), существовавшая на тот момент цивилизация имела проблемы, созвучные нынешним. А если учесть, что современное летосчисление принято от рождения Иисуса Христа, то его второе пришествие логично ожидать в 3504 году от Рождества Христова.
3.3 Азбука букв и нот
Здесь, к сожалению, больше вопросов, чем ответов. Однако, если непосредственно прочитать цифровой ряд в обозримом будущем вряд ли удастся, то услышать его можно прямо сейчас. Для этого присвоим каждой цифре свою ноту. Например, цифре 1 - ноту ДО, 2 - РЕ, 3 - МИ, 4 - ФА, 5 - СОЛЬ, 6 - ЛЯ, 7 - СИ, 8 - ДО, 9 - РЕ".
В итоге мы получим нотную запись цифрового кода ряда Фибоначчи.
По свидетельству музыковеда и композитора детского музыкального театра "Карамболь" Ирины Дмитриевны Брондз, эта мелодия имеет свою логику и напоминает музыку Моцарта.
У кого есть возможность, то проиграйте эту неповторимую мелодию и насладитесь ее чарующими и таинственными звуками, посланными самой Природой [16].
Таким образом, мы убеждены, что исследование этой удивительно гармоничной числовой последовательности Фибоначчи еще продолжится, и впереди нас ждут не менее сенсационные открытия в этой области.
Но это уже тема другого исследования.
Глава 4. Практическая часть
4. 1 Диагностическая работа
В процессе анализа литературы и интернет источников мы установили, что в курс
Площадкой для проведения диагностики мы выбрали МБОУ ООШ № 5. Нами был выбран такой метод исследования, как тестирование, потому что он достоверно показывает уровень знаний человека в той или иной области и легок в обработке. Все ответы ученики давали инкогнито, что сделало информацию, получаемую от них, более достоверной.
Диагностическая работа проводилась в два этапа:
-
Тестирование знаний по теме «Последовательность чисел Фибоначчи» (Приложение 11).
-
Проведение внеклассного мероприятия по заданной теме в 4 А классе МБОУ ООШ № 5 (Приложение 12).
Было предложено ответить на 3 вопроса. Кроме ответа на вопрос исследуемые должны были акцентировать, почему именно так они ответили.
Таким образом, тестирование было проведено среди 80 исследуемых 4-9 классов, которые не только выбирали правильный вариант ответа, но и письменно отвечали, почему именно этот вариант был выбран.
4.2 Обработка результатов
Проводя тестирование, мы сделали вывод, что дети не знакомы с информацией о Фибоначчи и его последовательности. И 3/4 опрошенных хотели, чтобы в изучение предмета «Математика» были введены нестандартные темы. Ответы учащихся можно увидеть наглядно на графике.
Заключение
Леонардо из Пизы, более известный как Фибоначчи является одним из первых великих математиков Европы позднего Средневековья. Ему принадлежат многие труды, но мы, исходя из цели исследования, раскроем числовую последовательность Фибоначчи, которую считаем важной, интересной и необходимой в наше время.
Эту последовательность математик вывел из задачи о популяции кроликов. Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд чисел: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,… Данная последовательность асимптотически (приближаясь все медленнее и медленнее) стремится к некоторому постоянному соотношению. Закономерность образования этого ряда проста. Первые два числа – единицы, а затем каждый последующий член получается путем сложения двух непосредственно ему предшествующих.
Итак, что же означает последовательность Фибоначчи?
Может это зашифрованный закон природы? Тогда, любой организм на нашей планете можно будет рассмотреть с точки зрения этой последовательности.
А быть может это цифровой код развития цивилизации? А следовательно, мы можем раскрыть загадку нашей цивилизации при помощи методов, используемых в нумерологии. или же в 3 504 году на Землю во второй раз вернется Иисус Христос.
Или же это азбука букв и нот? И тем самым, Фибоначчи задолго до появления Моцарта написал превосходную музыку. Размышлять можно долго, но нам, все таки, ближе такая версия, как «Зашифрованный закон Природы», т.к. доказательства этого метода мы можем увидеть вокруг себя.
Мы считаем, что цели исследования наша работа достигла, задачи были реализованы.
Список используемой литературы
-
Гарднер М. Математические новеллы // Пер. с англ. - М.: Мир, 1974. – 456 с.
-
Пойа Д. Математическое открытие. – М.: Наука, 1970. – 452 с.
-
Реньи А. Трилогия о математике. – М.: Мир, 1980. – 376 с.
-
Соколов А. Тайны «золотого» сечения // Техника молодежи. – М.: 1978. № 5. – С. 40-43.
-
Стахов А.П. Сакральная геометрия и математика гармонии. – Винница: ТОВ «IТГ», 2003. – 32 с.
-
Стахов А.П. Новая математика для живой природы.– Винница: ТОВ «IТГ», 2003. – 264с.
-
Стахов А.П. Алгоритмическая теория измерения. – М.: Знание, 1979. – 64 с.
-
Стахов А.П. Коды золотой пропорции. – М. Радио и связь, 1984. – 152 с.
-
Стахов А.П. Введение в теорию измерения. - М.: Советское радио, 1977. – 288 с.
-
Ясинский с.а. «Золотое сечение» в экономике // Книга: «Этика. Эстетика. Экономика». – СПБ.: СПб. ТПП, 2002. – С. 355-388.
-
Ясинский С.А. «Золотая» пропорция в электросвязи. – СПб.: ВУС, 1999. – 164 с.
-
Ясинский С.А Прикладная «золотая» математика и ее приложения в электросвязи. – М.: Горячая линия – Телеком, 2004. – 239 с.
-
Ясинский С.А. Основы динамических аналогий в исследовательской деятельности. – СПб.: ВУС, 2004. –164 с.
-
http://web-in-math.blogpost.ru/2013/12/html
-
http://anoma/:a.kulichki.ru/text5/600.html
-
Приложения
Приложение 1
Леонардо Фибоначчи (12-13 вв.)
Приложение 2
«Liber аbaci» Леонардо Фибоначчи
Отец мой, родом из Пизы, служил синдиком на таможне в Бужи, в Африке, куда он меня взял с собою для изучения искусства считать. Удивительное искусство считать при помощи только девяти индусских знаков мне так понравилось, что я непременно захотел познакомиться с тем, что известно об этом искусстве в Египте, Греции, Сирии, Сицилии и Провансе. Объехав все эти страны, я убедился, что индусская система счисления есть самая совершенная... Изучив основательно эту систему и все к ней относящееся, прибавив свои собственные исследования и почерпнутое из «Начал» Евклида, я решился написать это сочинение.
В 1202 г. появилась на свет знаменитая «Книга абака» Леонардо Пизанского (более известного под прозвищем Фибоначчи – сын Боначчи), крупнейшего европейского математика эпохи Средневековья. Этот объемный труд, насчитывающий в печатном варианте 459 страниц, стал настоящей энциклопедией математических знаний того времени и сыграл важную роль в их распространении в странах Западной Европы в следующие несколько столетий. Работа написана на латыни и считается первым сочинением такого рода, автор которого был христианином.
«Liber abaci», или трактат по арифметике (а именно так можно истолковать название, поскольку под «абаком» Леонардо понимал не счетную доску, а арифметику), отличалась полнотой охвата и глубиной изложения. В ней подробно разъяснялись не только азы науки о числах и действиях над ними, но и основы учения об уравнениях, т.е. алгебры. Кроме того, в «Liber abaci» имелось большое количество задач практического содержания, иллюстрировавших различные приемы решения, как арифметические – тройное правило, правило товарищества, метод ложного положения и др., так и алгебраические, приводящие к одному или нескольким уравнениям.
Само изложение было словесным, лишенным привычных для современного читателя символов и формул, а решение примеров и задач, носивших, как мы говорим сегодня, частный характер, сводилось к описанию действий, которые следовало применить в той или иной конкретной ситуации, и нередко сопровождалось разъяснениями или полезными комментариями автора.
Книга была адресована не только ученым мужам, но и более широкому кругу читателей: купцам, счетоводам, продавцам, чиновникам и т.д. В предисловии отмечалось, что автор написал свой труд, дабы «род латинян» не прибывал более в незнании излагаемых в нем вещей. Однако для многих из тех, кому предназначалась «Liber abaci», книга оказалась трудновата, поэтому несмотря на популярность и доработанное автором издание* 1228 г., не получила того широкого распространения, которого заслуживала.
Зато трактат Леонардо приобщил к достижениям индийских и арабских математиков европейских ученых и оказал существенное влияние на дальнейшее развитие алгебры и теории чисел. «Liber abaci» была востребована математиками эпохи Возрождения и Нового времени, сумевшими оценить ее по достоинству, ведь книга отличалась не только богатством и разнообразием рассмотренных в ней примеров и методов, но и строгостью, доказательностью изложения.
Каково же было содержание написанной Фибоначчи книги-энциклопедии, в которой насчитывалось целых пятнадцать глав? Оказывается, в ней рассматривался весьма обширный круг вопросовиндусская система нумерации; правила действий над целыми числами; дроби и смешанные числа; разложение чисел на простые множители; признаки делимости; учение об иррациональных величинах; способы приближенного вычисления квадратных и кубических корней; свойства пропорции; арифметическая и геометрическая прогрессии; линейные уравнения и их системы.
Наконец, отдельная глава была посвящена квадратным уравнениям и геометрическим задачам на применение теоремы Пифагора.
Основную часть сведений автор кропотливо собирал, путешествуя по разным странам как купец, кое-что почерпнул из трудов Евклида (а по сути – из наследия античных математиков). Особую ценность представляло подробное изложение малоизвестной тогда в Европе индусской (десятичной) системы счисления и новых методов вычисления, позволявших заметно упростить всевозможные расчеты и успешно решать большой круг задач*.
Фактически лишь спустя три столетия после выхода в свет «Liber abaci» стало заметно ее влияние на работы других авторов. С появлением труда Фибоначчи европейские ученые эпохи Средневековья, бывшие зачастую философами-схоластами или духовными лицами, для кого математика не была основным занятием, стали уделять больше внимания алгебре и затрагивать в своих исследованиях ее новые вопросы. Однако первых серьезных результатов удалось достичь только в эпоху Возрождения, к началу XVI столетия, когда группа итальянских математиков (Сципион дель Ферро, Никколо Тарталья, Иероним Кардано, Людовико Феррари) получила общее решение кубических уравнений, положив тем самым начало высшей алгебре.
Выходит, что как ученый Леонардо Пизанский не только превзошел, но и на многие десятилетия опередил западноевропейских математиков своего времени. Подобно Пифагору, привнесшему в греческую науку знания, некогда полученные от египетских и вавилонских жрецов, Фибоначчи во многом способствовал передаче приобретенных им в молодости математических знаний индусов и арабов в западноевропейскую науку и заложил фундамент для ее дальнейшего развития.
П риложение 3
Приложение 4
Приложение 5
Приложение 6
|
Динамические прямоугольники |
Приложение 7
Измерения Цейзинга
Приложение 8
Приложение 9
Спирально завитая раковина
Приложение 10
Ветка сосны
Расположение семечек подсолнуха
Приложение 11
Тестирование
-
Знаете ли вы о числах Фибоначчи?
-
Да
-
Нет
-
Знаете ли вы о "золотом сечении"?
-
Да
-
Нет
-
Нужно ли вводить в программу изучения математики нестандартные темы?
-
Да
-
Нет
Приложение 12. Внеклассное мероприятие