XX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Математические кривые вокруг нас
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
Математика - это наука, которая изучает величины, количественные отношения и пространственные формы, описывает процессы, происходящие в окружающем нас мире. Законы математики и решения математических задач приложены ко всем областям человеческой деятельности. Линии занимают особое положение в математике. Используя линии, можно создать наглядные модели многих процессов и проследить их течение во времени. Линии позволяют установить и исследовать функциональную зависимость между различными величинами. С помощью линий удается решать многие научные, инженерные задачи в различных отраслях жизни. Меня заинтересовали математические кривые, заданные в полярных координатах. Среди них можно назвать спираль Архимеда, параболу, гиперболу, синусоиду.
Математические кривые являются важным аспектом нашей повседневной жизни. Они представляют собой графическое представление различных математических функций и используются во многих областях, включая физику, инженерию, компьютерную графику и дизайн. В данном проекте мы рассмотрим несколько известных математических кривых и их применение в реальном мире. В нашей повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с математическими кривыми, даже не задумываясь об их существовании. Они присутствуют во многих аспектах нашей жизни, от дизайна и архитектуры до техники и науки. В данном проекте мы рассмотрим различные математические кривые, их свойства и применение в реальном мире.
Многие считают, что математика не интересна и состоит только из формул, задач, решений и уравнений. Мы хотим продемонстрировать своей работой, что математика разноплановая наука и главная цель – показать, что математика очень удивительный и необычный предмет для изучения, тесно связанный с бытом человека.
Все мы восхищаемся красотой геометрических фигур и их сочетанием. Я кривыми, которые радуют глаз правильными и плавными линиями, но их очертания не каприз природы – они предопределены специальными математическими зависимостями. Постарался понять и изучить математические кривые.
Математика – очень интересная и увлекательная наука. Благодаря своей универсальности она стала использоваться в естественных, гуманитарных науках и во всех сферах жизни человека. Так, например, мы встречаемся с математическими кривыми, которые не кажутся нам безобразными, а совсем наоборот, они привлекают наше внимание своими изящными формами и удивительными свойствами.
Работа посвящена изучению удивительных свойств замечательных математических кривых вокруг нас. Они встречаются в нашей жизни гораздо чаще, чем кажется. Их применяют в различных простых и сложных механизмах, производстве, строительстве, технике, науке, военном деле. Они имеют большое значение для космонавтики и астрономии, механики и архитектуры. В основном ребята не имеют представления о многогранности замечательных кривых, мы решили не только пополнить их знания, изучив свойства, параболы, гиперболы, и синусоиды, но и поделиться ими со всеми.
Проблема проекта: присутствие математических кривых в окружающем нас мире и в самой математике.
Гипотеза исследовательского проекта: математические кривые проявляются везде, на них основана жизнь. Математические кривые присутствуют в каждом аспекте нашей жизни.
Целью данной работы является исследование роли замечательных кривых в жизни человека и создание творческого проекта.
Объект:
Кривые и их свойства.
Актуальность: заключается в демонстрации и применении математических знаний в практической деятельности человека. Люди различают окружающие их вещи по форме. Интерес к форме предмета может быть вызван какой-либо потребностью у человека, а может и красотой самой формы. В индивидуальном проекте изучен вопрос применения кривых в природе и жизни человека. Форма, в основе построения которой лежат сочетания, способствует наилучшему зрительному восприятию.
Мною поставлены следующие задачи:
1. Собрать и изучить материал об удивительных свойствах параболы гиперболы и синусоиды. Имеющих практическое применение в нашей жизни.
2. Исследовать различные области применения свойств замечательных кривых.
3. Создать компьютерную презентацию по данной теме для применения на уроках математики и дополнительных занятиях.
Данная работа состоит из следующих этапов:
1. Подбор и изучение информации о свойствах параболы , гиперболы и синусоиды.
2. Исследование практического применения свойств замечательных кривых.
3. Создание компьютерной презентации по данной теме для применения на уроках математики и дополнительных занятиях.
4 Поделиться полученными знаниями с одноклассниками.
История происхождения.
Одним из первых, кто начал изучать эти кривые, был ученик знаменитого Платона, древнегреческий математик Менехм (IVв. До н.э.). Изменяя угол при вершине конуса, Менехм получил три вида кривых: параболу– если угол прямой; одну ветвь гиперболы – если угол тупой и синусоиду.Но названия этих кривых придумал Аполлоний Пергский, который показал, что параболу и гиперболу можно получить, проводя различные сечения одного и того же конуса, причем любого.
Парабола.
Если, во время обучения в школе вы постоянно задавались вопросом:
Зачем нам вообще нужна парабола? То ответ ждет Вас ниже и, думаю он Вас удивит. Первоначально, параболу открыли в IV веке до н.э. как сечение конуса! Ну и чтобы не быть голословным, вот:
Рассек конус под произвольным углом и получил очертание параболы
В школе же, параболу мы все знали как график функции:
В чуть более сложном варианте, когда вершина параболы не лежит в начале координат, функция выглядит так:
В школе, редко любят объяснять практическое применение тех или иных математических штук… А ведь парабола - она везде, стоит просто присмотреться. Для начала, вы каждый раз создаете параболическую траекторию, когда бросаете камень. Поэтому, знание особенностей этой кривой нужно при расчете траектории снарядов и прочих тел, запускаемых человеком. Если Вам нужно получить параллельный пучок света, то нужно всего-навсего расположить источник света в фокусе параболы.
Построения условные.
Этой особенностью пользуются в фонариках, лампах, фарах, и даже телескопах. Так что, и здесь, Вы сами того не зная много раз держали параболу в руках. И естественно, если Вы решили смастерить телескоп, то без знания параболы, это вряд ли у Вас получится.
Ах да, форма спутниковых тарелок тоже параболическая. Я думаю Вы поняли, чтобы собирать пучок отраженных волн в приемнике.
Также, по параболе движутся самолеты, в которых создаются условия невесомости.
И на последок, в Калифорнии есть электростанция, которая имеет форму параболы. Вот так, "бесполезная кривая" из школьного курса обретает совсем иной смысл. Уверен, что у параболы еще масса применений, о которых я просто не упомянул, но думаю, Вы поняли, что знан ие свойств и особенностей этой кривой очень важно для инженеров и изобретателей.
Гипербола
Гипербола, как и другие конические сечения, обладает удивительным оптическим свойством: луч, исходящий из источника света, находящегося в одном из фокусов гиперболы, после отражения движется так, как будто он исходит из другого фокуса. Гиперболу можно встретить везде, даже в космосе. Траектории некоторых космических тел, проходящих вблизи звезды или другого массивного объекта на достаточно большой скорости могут имеют форму гиперболы. При скорости больше 11,1 км/с тело будет двигаться по гиперболе и навсегда уйдёт от Земли. С помощью гиперболы военные определяют, как нужно направить орудие, чтобы поразить неподвижную звучащую цель, например, стреляющее орудие противника. Гиперболы используют для определения расстояния до источника звука.
Гипербола в нашей жизни.
Как закруглить железную дорогу? При строительстве железных и шоссейных дорог возникает необходимость связать прямолинейные участки с участками пути по дугам окружностей. При этом важно, чтобы кривизна пути изменялась равномерно. Ни шоссейная, ни железная дороги никогда не заворачивают круто, а переходят всегда с одного направления на другое плавно, без переломов, дугой. Кривая, отвечающая за нашу безопасность на автомобильных и железных дорогах (траектория закругления дорог) –гипербола. Форма гиперболы используется в архитектуре при строительстве мостов различных интересных сооружений (например, американские горки). Её можно увидеть в небе после дождя – это радуга, удивительное природное явление.
Удивительная красота « Синусоиды»
Особый интерес у меня вызвало построение графиков тригонометрических функций – а именно синусоиды; это график функции
y=sinx, она завораживает меня своей грацией, а ее волны, простирающие от минус бесконечности до плюс бесконечности, уносят меня в просторы тригонометрии. Преобразование графиков - сжатие, растяжение, параллельный перенос является увлекательным путешествием в алгебру и начала анализа. Научившись строить на уроках элементарные графики тригонометрических функций, мне захотелось узнать о них больше: возможно ли применение синусоиды в других областях науки? Ведь многие явления, происходящие в природе периодичны, а периодичность является одним из свойств тригонометрических функций. Такие явления можно наблюдать в биологии, в физике, медицине. Помимо периодичности она обладает вертикальной симметрией, а значит, тригонометрические функции имеют место и в практической деятельности – в медицине, архитектуре и искусстве.
Тригонометрия в медицине.
Жизнь человека, как и всё в природе, подвержено влиянию циклических изменений. Успешность того или иного вида деятельности в каждый момент времени определяется балансом притока и оттока его внутренней энергии. Такой баланс изменяется в соответствии с циклами биоритмов человека.
рис. 3. Расчетный график биоритмов
Приходилось ли вам видеть кривую на бумаге или фотопленке при регистрации деятельности сердца специальными приборами (ЭКГ)?
Рис. 4. Электрокардиограмма сердца
Электрокардиограмма – это кривая, которая отражает биоэлектрическую работоспособность сердца. В момент возбуждения сердца с его внешней, а также внутренней стороны происходит разность потенциалов, которая постепенно меняет свою величину и направление. Эти изменения становятся результатом внедрения в возбуждение иных частей сердца.
Если сравнить график кардиограммы сердца с графиком функции y=sinx, можно увидеть, что кардиограмма сердца является искривленной синусоидой
Рис. 5. ЭКГ сердца
Рис. 6. График синусоиды
Тригонометрия в природе
Тригонометрия встречается и в природе. При полёте птицы траектория взмаха крыльев образует синусоиду (рис. 7)
Рис. 7. Траектория взмаха крыльев птицы
Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения (рис. 8).
Рис. 8. Движение рыб в воде
С еверное сияние, всеми знакомое нам явление, также связано с синусоидальным законом:
Проникновение в верхние слои атмосферы планет заряженных частиц солнечного ветра определяется взаимодействием магнитного поля планеты с солнечным ветром.
Сила, действующая на движущуюся в магнитном поле заряженную частицу, называется силой Лоренца. Она пропорциональна заряду частицы и векторному произведению поля и скорости движения частицы (рис. 9).
Рис. 9. Северное сияние
Северное сияние в городе Удачном – явление нечастое. В ноябре 2020 года это необычайно красивое явление удалось увидеть жителям города Удачный, Саха Якутия.
Заключение.
Работая над проектом по теме «Математические кривые вокруг нас» вызвало у нас большой интерес к этой теме. Знания, приобретённые во время работы над проектом пригодятся нам в дальнейшем. Мы узнали много нового и интересного. В ходе нашего исследования было установлено, что синусоиду, гиперболу и параболу можно встретить не только на уроке математики, но и в окружающих нас явлениях природы и человеческой деятельности. Даже беглое знакомство с коническими сечениями показывает, насколько многообразно их применение. Трудно себе представить мир без этих кривых. Мы их встречаем каждый день в природе и жизни. Они на каждом шагу вокруг нас. В предметах домашнего обихода, в зданиях, формах мостов и фонтанах, траекториях движения ракет и мяча, струи воды и космических тел. Просто мы их не замечаем в повседневной жизни.
Наша работа о замечательных кривых поможет учителю красочно и доступно продемонстрировать учащимся практическое применение свойств синусоиды, параболы и гиперболы, Использование данного материала на уроках и на дополнительных занятиях поможет расширить кругозор учащихся, развить их пространственное мышление. Но не, все знали о многогранности замечательных математических кривых, и все хотели бы узнать о них больше. Поэтому мы обязательно поделимся своими знаниями с ребятами.
Список литературы.
-
Хабиб, З., Сакаи, М., 2005. Спиральные переходные кривые и их приложения. Scientiae Mathematicae Japonicae 61, 195 – 206.
-
Харари, Г., Таль, А., 2011. «Естественная 3D спираль». Компьютерная Графика Форум, 237 – 246
-
Г. Аракелян, 2014. «Математика и история золотого сечения»
-
М.Я. Выгодский, М.: ACT: Астрель, 2006. — 991 с. «Справочник по высшей математике»
-
ЕГЭ 2018. Математика. Базовый уровень. 50 вариантов. Под ред. И.В. Ященко. - М.: Издательство «Экзамен», 20186
-
Л.Ф Пичурин. За страницами учебника алгебры – М.: Просвещение, 1990
-
http://www.e-osnova.ru/PDF/osnova_3_58_12909.pdf
-
http://matematikaiskusstvo.ru/rosesgrandy.html
-
http://grandkid.ru/rozy/
-
https://gvidograndi.jimdo.com/
ПРИЛОЖЕНИЯ
(Приложение 1)
(Приложение 2)
(Приложение 3)
(Приложение 4)
(Приложение 5)
(Приложение 6)
(Приложение 7)
(Приложение 8)
(Приложение 9)
(Приложение 10)
(Приложение 11)
(Приложение 12)
(Приложение 13)
(Приложение 14)
(Приложение 15)
(Приложение 16)
(Приложение 17)
(Приложение 18)
(Приложение 19)
(Приложение 20)