XX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Математический цветник: розы Гвидо Гранди
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение:
Цель исследования – узнать, как строятся розы Гвидо Гранди, а также сделать свою розу.
Задачи:
-
Найти информацию о Гвидо Гранди.
-
Исследовать тему «Математического цветника».
-
Определить основные формулы построения «роз».
-
Построение розы
Гипотеза исследования:
Правда ли, что плоская кривая проста в понимании и в построении?
Актуальность исследования:
На уроках геометрии изучаются различные кривые, а данная тема позволяет показать, что математика может быть красивой и необычной.
Проблема исследования:
Возможно ли самому построить плоскую кривую?
Предмет исследования: плоская кривая
Характеристика работы: теоретическое исследование
Полученный результат: Роза Гвидо Гранди
Основная часть:
Биография Гвидо Гранди
Гвидо Гранди родился 1 октября 1671 года в Италии, являлся итальянским монахом, священником, философом, математиком и инженером. Родителями Гвидо Гранди были Пьетро Мартире Гранди, вышивальщик золотом, и Катерина Легати.
Изначально был крещён как Луиджи. Закончил свои первые занятия грамматикой под руководством молодого ученого Джамбаттисты Каннети. Получил образование в Иезуитском коллегиуме в Кремоне. В училище изучал риторику и латынь. Большое влияние на него оказал Джованни Саккери, с которым он познакомился в то время.
Позже он вступил в новициат Кальмадульских монахов в Ферраре, где принял имя Гвидо. В 1693 он был отправлен в Церковь Святого Григория Великого, чтобы завершить свои исследования по философии и теологии, которые осуществлялись в рамках подготовки к священству.
Год спустя Гранди был назначен профессором в приют монастыря Святой Марии Ангелов (monastery of Santa Maria degli Angeli). Именно в это время он начал активно проявлять интерес к математике.
Будучи инженером, он являлся суперинтендантом (начальником) водоснабжения в Тоскане и на этой должности участвовал в осушении винной долины Шианы. Он посетил Англию в 1709 году, где был избран членом Королевского общества.
Среди его математических исследований числятся «versiera» (коническая локсодрома) и «Flores geometrici» (кривая розы), которые принесли ему наибольшую известность. Также Гранди изучал флюксии Ньютона и дифференциалы Лейбница и использовал оба подхода, хотя он поддерживал подход Лейбница.
Стоит отметить, что у Гранди были частые споры с другим математиком - Алессандро Маркетти. Он был математиком в Пизе, а также являлся последователем Галилея. Ему не нравилась международная известность Гранди, и, пытаясь его дискредитировать, он критиковал его «квадратуру», которую Гранди изучал в то время.
У Гвидо Гранди был достаточно скверный и сварливый характер, он любил поспорить, из-за чего даже его ученики, признавая его таланты и заслуги, зачастую критиковали его и бросали.
С 1737 года он начал страдать от потери памяти, что являлось явной формой слабоумия, и, понимая, что ему осталось недолго, он поспешил выпустить свои последние публикации. К концу 1740 года его разум почти полностью ушел, но, несмотря на это, ему все же удалось продиктовать письмо в начале 1741 года. В мае 1742 г. его физическое здоровье также стало серьезной проблемой, и 26 июня он даже упал в обморок в церкви при монастыре, в котором он жил. Он умер примерно через неделю и был похоронен в монастырской церкви .
История «розы»
Полярная ночь холодна и морозна,
Укутавшись в плед изо льда и ветров,
Розы вычерчивает осторожно,
Чтобы шипы не острить мягкотой.
Жёлтый свет лампы, термометра след,
Холода не было, трещины нет.
Роза прекрасна, синяя тень,
Циркуля холод, угла единица,
Что ж это мне по ночам-то не спится? (Юлия Нидл)
В данном стихотворении проходит мысль о розах Гвидо Гранди.
Впервые об этой розе Гвидо Гранди упоминает в двух письмах Лейбницу (немецкий философ, логик, математик) в декабре 1713 года.
И только через десять лет он опубликовал статью о ней в «Философских трудах Королевского общества» (Philosophical Transactions of the Royal Society), которые являлись научным журналом, издаваемым Лондонским королевским обществом. Он также является старейшим научным журналом в Англии и других англаязычных стран, а также вторым во всем мире, после французского «Журналь де саван» (Journal des sçavans) .
А ещё через пять лет Гвидо Гранди развил теорию розовидных кривых в отдельном труде, где также рассмотрел другие пространственные кривые – клелии, которые назвал так в честь княгини Клелии Борромео, которая также была итальянским математиком.
Б. Хабенихт, придя в восторг от результатов Гранди, тоже решил заняться данным «растениеводством», и благодаря различным экспериментам он создал различные уравнения, которые выражают очертания разнообразных листьев и плодов.
Плоская кривая
Роза на самом деле является плоской кривой в полярной системе координат, которую Гвидо Гранди открыл во время своих геометрических исследований, дав ей такое название из-за символической формы цветка. Также имеет более официальное название – кривая Родонея (Rhodonea curve).
Каждая кривая включает в себя геометрические элементы, которые составляют её определитель, т.е. совокупность независимых условий, однозначно определяющих эту кривую. Существуют различные способы создания кривых:
-
аналитический – кривая задана математическим уравнением;
-
графический – кривая задана визуально на носителе графической информации;·
-
табличный – кривая задана координатами последовательного ряда точек.
Для создания нашей собственной кривой мы будем использовать сразу два способа: аналитический, создав математическое уравнение, и графический, создав график, на котором будет видно нашу плоскую кривую.
Конкретно наша плоская кривая описана в полярной системе координат. Полярная система координат - двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами – полярным углом и полярным радиусом. Положение точки определяется при помощи луча, выходящего из полюса и пересекающего в заданном месте соответствующую окружность.
Основными понятиями этой системы являются точка отсчета – полюс, и луч, начинающийся в этой точке – полярная ось.
-
полярный радиус ρ – длина отрезка ОA
-
полярный угол φ – величина угла между полярной осью и отрезком ОA
В такие координаты очень естественно укладываются многие природные формы и биологические объекты. Их формы порой самым удивительным образом напоминают фигуры. Природа как бы сама использует полярные координаты, что особенно бросается в глаза на примере растений, многоклеточных животных и насекомых. Вероятно поэтому фигуры, которые построены в полярных координатах, обладают неповторимой эстетической привлекательностью. Они хорошо ассоциируются со всем тем, что так много удовольствия доставляет нашему взору в окружающем нас мире.
Полярная система координат бывает особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов, в то время как в более распространённой системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений.
Кривая Гвидо Гранди описывается уравнением: ρ = a sin k θ
a – постоянная, определяющая размер
k – постоянная, определяющая кол-во лепестков
Значения k
-
если k – нечетное, то кол-во лепестков = k
-
если k – четное, то кол-во лепестков = 2k
-
для дробного k=