Теорема Вариньона

XX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Личный портфель

Теорема Вариньона

Шумейко М.А. 1
1Университетский колледж ОГУ
Кудашева К.В. 1
1Университетский колледж ОГУ
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Диплом школьникаСвидетельство руководителя
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

В 21 век, в век информационных технологий, главным ресурсом является время. Тысячи людей желают посещать тренинги, семинары и лекции по тайм-менеджменту, где бы их научили, как рационально, с минимальными потерями и максимальной пользой использовать свое время. Большую часть времени у меня занимает обучение в колледже и приготовление домашнего задания. Одним из самых сложных предметов в колледже является математика. Так как часов на изучение этого предмета мало, а мне предстоит сдача ЕГЭ для поступления в Университет. В частности, задачи на доказательство требуют значительной траты времени, поэтому у многих отсутствует интерес к решению подобных заданий. В №15 ЕГЭ по математике профильного уровня периодически встречаются задачи на доказательство, где возможно применение теоремы Вариньона. В школьном курсе геометрии эта теорема идет как одна из задач, после изучения темы «Параллелограмм». Для экономии времени на Едином Государственном экзамене я решила рассмотреть теорему и научиться с ее помощью быстро решать задачи с развернутым ответом.

Цель: исследовать приемы решений планиметрических задач с использованием теоремы Вариньона и следствий из нее.

Задачи:

1.Изучить теорему Вариньона.

2.Сравнить решение планиметрических задач, применяя теорему Вариньона и традиционный способ решения.

3.Сравнить затраченные временные ресурсы на решение задач с помощью теоремы Вариньона и обычным способом.

4.Практически применить в решении олимпиадных задач и задач ОГЭ и ЕГЭ теоремы Вариньона.

Гипотеза: решать планиметрические задачи с помощью теоремы Вариньона намного эффективнее по сравнению с традиционным способом.

Актуальность: новейшие технологии в математический дисциплинах требуют применения прогрессивных и эффективных способов решения задач.

Объект исследования: параллелограмм Вариньона, бимедианы четырехугольника, теорема Вариньона и ее свойства

Предмет исследования: планиметрические задачи

Методы исследования:

1.Анализ, систематизация и обобщение данных из различных источников информации.

2.Самостоятельное решение задач.

ГЛАВА 1

1.1 Кто такой Пьер Вариньон

Вариньон Пьер [1] (1654–1722)

Пьер Вариньон родился во Франции в 1654 году. Обучался в иезуитском коллеже и университете в Кане, где стал магистром в 1682 году. Вариньон готовился к религиозной деятельности, но, изучая сочинения Эвклида и Декарта, увлекся математикой и механикой. Труды Вариньона посвящены теоретической механике, анализу бесконечно малых, геометрии, гидромеханике и физике. Вариньон был одним из первых ученых, ознакомивших Францию с анализом бесконечно малых. В конце 17 и начале 18 в. Вариньон руководил «Журналом ученых», в котором помещали свои работы по исчислению бесконечно малых братья Бернулли. В геометрии Вариньон изучал различные специальные кривые, в частности ввел термин «логарифмическая спираль». Главные заслуги Вариньона относятся к теоретической механике, а именно к геометрической статике. В 1687 Вариньон представил в Парижскую АН сочинение «Проект новой механики...», в котором сформулировал закон параллелограмма сил. В 1725 в Париже был издан трактат Вариньона «Новая механика или статика», представляющий собой систематическое изложение учения о сложении и разложении сил, о моментах сил и правилах оперирования ими, почти без изменений сохранившееся в учебниках статики до нашего времени. Написал учебник по элементарной геометрии (издан в 1731).

1.2. Теорема Вариньона и ее доказательство.

Теорема Вариньона вытекает из теоремы о средней линии треугольника (средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны). Стороны этого параллелограмма параллельны диагоналям четырёхугольника, а их длины равны половинам длин диагоналей.

Четырёхугольник — это многоугольник, содержащий четыре вершины и четыре стороны (многоугольник – простая замкнутая ломаная). Различают выпуклые и невыпуклые четырёхугольники.

Рассмотрим доказательство теоремы для выпуклого четырёхугольника.

Теорема: Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.

 

Дано:

ABCD – выпуклый четырехугольник

AK=KB; BL=LC; CM=MD; AN=ND

Доказать:

1) KLMN – параллелограмм;

2) SKLMN= SABCD/2

Доказательство:

Рассмотрим одну из сторон четырехугольника KLMN, например KL. KL – средняя линия треугольника ABC (по определению), следовательно, KL║AC. Аналогично, так как MN – средняя линия треугольника ADC, то MN║AC. Так как KL║AC и MN║AC  следовательно, KL║NM и KL=MN=AC/2. Таким образом, KLMN – параллелограмм. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона данного четырехугольника.

Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого в четыре раза меньше площади исходного треугольника,

т.е. SKBL = SABC/4, SMDN=SADS/4. Следовательно, S1+S3=SABCD /4. Аналогично, S2+S4=SABCD/4. Следовательно, S1+S3 + S2+S4 = SABCD /4 + SABCD/4 = SABCD/2.

Т.е., SKLMN = SABCD/2. Что и требовалось доказать.

  1. Определение. Бимедианы четырехугольниках [3] – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон (диагонали параллелограмма Вариньона)

  2. Следствия из теоремы Вариньона

  3. Следствие 1

  4. Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны 2) бимедианы перпендикулярны.

  5. 1)

     

    1. Дано:

    2. ABCD – четырехугольник;

    3. KLMN – параллелограмм

    4. Вариньона;

    5. AC=BD

    6. Доказать: KLMN – ромб

  6. Доказательство:

  7. Так как AC=BD (диагонали исходного четырехугольника равны по условию), то стороны параллелограмма Вариньона будут равны KL=LM=MN=NK (используя свойство средних линий треугольников, образованных при пересечении диагоналей исходного четырехугольника). Параллелограмм c равными сторонами является ромбом.

  8. 2)

     

    1. Дано:

    2. ABCD – четырехугольник;

    3. KLMN – параллелограмм Вариньона;

    4. KM и LN перпендикулярны

    5. Доказать:

    6. KLMN – ромб

  9. Доказательство:

  10. Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом (по признаку ромба).

  11. Что и требовалось доказать.

  12. Следствие 2

  13. Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: 1) диагонали перпендикулярны; 2) бимедианы равны

  14. 1)

     

    1. Дано:

    2. четырехугольник ABCD;

    3.  KLMN – параллелограмм Вариньона;

    4. диагонали AC и BD – перпендикулярны

    5. Доказать:

    6. KLMN – прямоугольник

  15. Доказательство:

  16.  Так как диагонали AC и BD – перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является прямоугольником.

  17. 2)

     

    1. Дано:

    2. четырехугольник ABCD;

    3.  KLMN – параллелограмм Вариньона;

    4. бимедианы KM и LN – равны

    5. Доказать:

    6. KLMN – прямоугольник

  18. Доказательство:

  19. Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником (по признаку прямоугольника).

  20. Что и требовалось доказать.

  21. Следствие 3

  22. Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны и перпендикулярны;  2) бимедианы равны и перпендикулярны

  23. 1)

     

    1. Дано:

    2. четырехугольник ABCD;

    3. KLMN – параллелограмм Вариньона;

    4. диагонали AC и BD – перпендикулярны; AC=BD

    5. Доказать:

    6. KLMN – квадрат

  24. Доказательство:

  25. Так как диагонали исходного четырехугольника AC и BD равны и перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны и перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является квадратом.

     

    1. Дано:

    2. четырехугольник ABCD;

    3.  KLMN – параллелограмм Вариньона;

    4. бимедианы KM и LN – перпендикулярны; KM=LN

    5. Доказать: KLMN – квадрат

  26. Доказательство:

  27. Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом (по признаку квадрата).

  28. Что и требовалось доказать.

Глава II

2.1 Применение теоремы Вариньона к доказательству основного свойства медиан треугольника.

Продемонстрируем применение теоремы Вариньона к доказательству теоремы об основном свойстве медиан треугольника.

Теорема. Медианы в треугольнике пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины.

Рисунок 1

Доказательство: проведём две медианы AK и BL треугольника ABC. Пусть О – точка их пересечения. Середины сторон невыпуклого четырехугольника АCBО – точки K, L, M и N (рис 1) – вершины параллелограмма, причем точкой пересечения его диагоналей KM и LN для этой конфигурации будет точка пересечения медиан О. Итак, AM = MO = OK и BN= NO = OL, т.е. точка О делит каждую из медиан AK и BL в отношении 2:1.

Аналогично доказывается для медианы, проведённой из вершины С.

Для сравнения рассмотрим доказательство этой теоремы, использованное в учебнике геометрии Атанасяна Л.С.:[1, с. 147].

Доказательство: рассмотрим произвольный треугольник ABC (рис. 8б). Обозначим буквой О точку пересечения его медиан AА1 и ВВ1 и проведём среднюю линию А1В1 этого треугольника. Отрезок А1В1 параллелен

стороне АВ, поэтому угол 1равен углу 2 и угол 3 равен углу 4. как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АВ и А1В1 секущими АА1 и ВВ1 . Следовательно, треугольники АОВ и А1ОВ1 подобны по двум

углам, и, значит, их стороны пропорциональны:

Но АВ=2А1В1, поэтому АО=2А1О и ВО=2В1О. Таким образом, точка О пересечения медиан АА1 и ВВ1 делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан ВВ1 и СС1 делит каждую из них в отношении 2:1 считая от вершины, и, следовательно, совпадает с точкой О. Теорема доказана.

На наш взгляд, доказательство с помощью теоремы Вариньона проще.

2.2 Теорема Вариньона в задачах ЕГЭ.

Рассмотрим применение теоремы Вариньона к решению планиметрических задач повышенной трудности. Дело в том, что планиметрические задачи на ЕГЭ встречаются в 2 части и за нее дается 3 балла, что не мало важно при сдаче экзамена.

Задача №1 ЕГЭ.

Площадь параллелограмма ABCD равна 14. Найдите площадь параллелограмма A’B’C’D’, вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.

Ч етырехугольник, вершинами которого являются середины сторон произвольного прямоугольника, является параллелограммом Вариньона. Как мы знаем, площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника. Следовательно, площадь параллелограмма A’B’C’D’ равна 7 см.

Задача 2 ЕГЭ

В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагональ AC делит пополам отрезок, соединяющий середины сторон BC и AD . В каком отношении она делит диагональ BD ?

Решение

Пусть P — середина BC , Q — середина AD , N — середина PQ .

Первый способ. Выберем на прямой AC такие точки K и L (см. верхний рисунок), что BK||PQ||DL . Тогда в треугольнике BCK отрезок PN параллелен основанию и проходит через середину стороны, так что это средняя линия, откуда BK=2PN . Аналогично DL=2QN . Так как PN=QN , то DL=BK . Поскольку BK||DL и BK=DL , то BKDL — параллелограмм, поэтому KL делит BD пополам.

Задача 3. (Всероссийская олимпиада школьников)

Докажите, что площадь параллелограмма, образованного прямыми, проходящими через вершины выпуклого четырехугольника и параллельными его диагоналям, в два раза больше площади исходного четырехугольника.

Так как AMOL, MONB, CKON, DKOL - параллелограммы, то .

Отсюда получаем, что , что и требовалось доказать.

Рассмотрим задачи, которые встречаются в школьном курсе геометрии.

Рассмотрим задачи из учебника для 7 – 11 классов средней школы. Погорелов А. В.

Задача 55, стр100. Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Доказательство: Полученный четырехугольник является параллелограммом по теореме Вариньона.

Задача 57, стр100. У четырехугольника диагонали равны a и b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Решение: Полученный четырехугольник является параллелограммом по теореме Вариньона. Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырёхугольника т.е. a+b.

Задача 58, стр100 . Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника

Доказательство: Диагонали прямоугольника равны, поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (следствие 1);

Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому бимедианы перпендикулярны, тогда середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба ( следствие 3).

А теперь задачи из учебника для 7 – 11 классов средней школы. Г.П.Бевз, В.Г.Бевз, Н.Г.Владимирова.

Задача 369. Какую форму имеет четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон прямоугольника?

Решение: Диагонали прямоугольника равны, поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (следствие 1);

Задача 371. Докажите, что средние линии четырехугольника делятся точкой пересечения пополам.

Доказательство: Т.к. средние линии четырехугольника являются диагоналями параллелограмма Вариньона, то точка пересечения делит их пополам.

Р ассмотрим задачи на бимедианы четырехугольника и теорему Вариньона, которые взяты с различных математических конкурсов и олимпиад.

Задача 1. Докажите, что если диагонали четырехугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий

Дано: ABCD – четырехугольник; AC = BD

Доказать: SABCD = KM*LN

Доказательство:

Доказательство: KLMN – параллелограмм Вариньона. Так как AC= BD, параллелограмм Вариньона является ромбом. SKMNL =KM*LN /2 (площадь ромба равна половине произведения его диагоналей ).

SABCD = 2 SKMNL = KM * LN.

Задача 2. В выпуклом пятиугольнике ABCDE середины сторон AB и CD, BC и DE соединены отрезками. K, L – середины этих отрезков. Доказать, что отрезок KL параллелен пятой стороне AE и составляет ¼ от неё.

Решение: отрежем четырёхугольник ABCD и пусть Р-середина AD, тогда по теореме Вариньона A1B1C1P – параллелограмм, А1С1 – его диагональ и К – середина А1С1, значит, К – середина и второй

рис. 9

диагонали параллелограмма В1Р.Значит, KL – средняя линия треугольника PB1D1, поэтому KL||PD1 и KL=1/2 PD1, но PD1 – средняя линия треугольника ADE, значит, PD1||AE и PD1=1/2AE, поэтому KL||AE и KL=1/4 AE.

рис 10

Задача 3. Верно ли, что можно составить треугольник из любой средней линии треугольника и отрезков, вдвое меньших его диагоналей?

Решение: верно, так как параллелограмм Вариньона существует для любого выпуклого четырёхугольника. Например, условию задачи удовлетворяют треугольники KLM и LMN на рис. 10.

Задача 4. Средние линии четырёхугольника ABCD равны a и b, а угол между ними 60˚. Найдите диагонали четырёхугольника.

Решение: пусть KM=a, LN=b, (рис. 10). Тогда NM= , а LT= .

И з треугольника LTM по теореме косинусов . Но LM= BD, поэтому , откуда BD= . Аналогично из треугольника TNM найдём MN, потом вычислим AC: AC= .

Ответ: ;

Задача 5. Докажите, что сумма квадратов диагоналей четырёхугольника в два раза больше суммы квадратов его средних линий.

Доказательство: в параллелограмме Вариньона, как и в любом другом параллелограмме, сумма квадратов рис. 11 диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон, т.е. Учитывая, что KL=1/2 AC и LM= 1/2 BD (рис. 11), получим: KM2+LN2=1/2(AC2+BD2), AC2+BD2=2(KM2+LN2).

Задача 6. Докажите, что площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади четырёхугольника ABCD.

Д оказательство: (рис. 12).

Учитывая, что , KL=1/2 AC и KN=1/2 BD, получим: рис. 12

.

Задача 7. Докажите, что все четырёхугольники, имеющие общие середины

сторон, равновелики.

Доказательство: действительно, для всех таких четырёхугольников определён один и тот же параллелограмм Вариньона. Его площадь равна половине площади каждого из исходных четырёхугольников (задача 5), тем самым их равновеликость доказана.

З адача 8. Докажите, что если диагонали четырёхугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий.

Доказательство: в случае равенства диагоналей AC и BD параллелограмм Вариньона KLMN является ромбом (рис. 13), а рис. 13

площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

, тогда .

Задача 9. Диагонали четырёхугольника ABCD равны d1 и d2, а средние линии равны между собой. Найдите площадь четырёхугольника.

Решение: из условия задачи следует, что в параллелограмме Вариньона диагонали KM и LN равны (рис. 12). Значит, KLMN – прямоугольник и SKLMN=1/2 d1d2, а с другой стороны, SKLMN=1/2 SABCD, следовательно, SABCD=1/2d1d2.

О твет: SABCD=1/2d1d2.

Задача 10. Докажите, что площадь четырёхугольника равна произведению средней линии на одну из диагоналей и на синус угла между ними.

Доказательство: согласно рис. 14 необходимо доказать, рис. 14

что . Треугольник KLN представляет собой половину параллелограмма Вариньона. ( ). Так как KL=1/2AC, то , значит, , а с другой стороны, (см. задачу 8), тогда .

Задача 11. Докажите, что сумма квадратов сторон четырёхугольника равна сумме квадратов его диагоналей, сложенной с учетверённым квадратом отрезка, соединяющего середину его диагоналей.

Доказательство: согласно рис. 11 надо доказать, что . Для медианы ET треугольника ELN имеем: , где , , откуда .Аналогично, выразив медиану FT треугольника KFM и учитывая, что и , получим: .

Кроме того, (задача 7).

Итак, получаем: , откуда:

AB2+BC2+CD2+AD2=AC2+BD2+4EF2.

З адача 12. Постройте трапецию по диагоналям, одному из углов и отрезку, соединяющему середины оснований.

Решение: пусть в трапеции ABCD, которую необходимо построить, известны длины диагоналей AC и BD, отрезка LN и величина угла А (рис. 15).

Поскольку и , нетрудно построить по трём рис. 15

сторонам треугольник KLN. Далее построим его до параллелограмма Вариньона. Затем на отрезке KN построим сегмент, вмещающий угол А, и проведём через точку N параллельно KM прямую, она пересечёт сегмент в точке А. Дальнейшее построение очевидно.

В ходе работы мы прорешали более двадцати пяти задач, формулировки и решения наиболее интересных из них дополнительно приведены в приложении. Мы убедились в том, что теорема Вариньона помогает красиво, оригинально решать задачи, открывать и доказывать новые свойства четырёхугольников.

Заключение.

В процессе исследования мы узнали о Пьере Вариньоне, его достижениях, рассмотрели доказательство его теоремы для различных видов четырёхугольников; показали, что справедливость теоремы не зависит от выпуклости четырёхугольника, продемонстрировали применение теоремы; убедились в том, что параллелограмм Вариньона – надёжный помощник в решении геометрических задач различной сложности, узнали много нового и интересного о свойствах геометрических фигур. Таким образом, мы считаем, что цель работы достигнута.

Наше исследование поможет систематизировать и углубить теоретические и практические знания учащихся по геометрии. Работа перспективна, т.к. геометрия не остановилась в своём развитии, а играет всё большую роль в познании мира. В дальнейшем мы планируем поработать над утверждениями, обратными теореме Вариньона для различных видов четырёхугольников.

Список литературы

1. https://multiurok.ru/files/matematika-parallelogramm-frantsuzskogo-matematika.html

2. http://repetitor-problem.net/teorema-varinona-i-ee-primenenie

3. https://ru.wikipedia.org/wiki/Вариньон,_Пьер

4. http://www.cyberforum.ru/geometry/thread1910410.html

5. Филипповский Г. Б. Параллелограмм Вариньона решает задачи //Математика в школе № 4 – 2006, стр. 45–50

6. В. Вавилов, П. Красников. Бимедианы четырехугольника//Математика. 2006 – №22.

7. Геометрия: Учебник для 7 – 9 кл. общеобразовательных учреждений /А.В. Погорелов, – М.: Просвещение, 2014.

8. Геометрия: Доп. главы к шк. учеб. 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 1996.

Приложение1.

Исследование.

Ученикам первого курса была предложена задача, которая встречается в школьном курсе геометрии. Ребята решали задачу двумя способами: традиционным, опираясь на теоремы и следствия, изученные в разделе «Четырехугольники» учебника по геометрии автор Атанасян В.Г и опираясь на рассмотренную теорему Вариньона и ее следствия.

Вывод: При использовании теоремы Вариньона тратиться меньше времени для решение задач.

Приложение 2.

Просмотров работы: 233