XX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Возможности клетчатой бумаги

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Михайлова Е.Д. 1

---

1МАОУ СОШ № 211 имени Л.И.Сидоренко

Тарасова Е.А. 1

---

1МАОУ СОШ № 211 имени Л.И.Сидоренко

Работа в формате PDF

1.2 MB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой-то задачей. Так при изучении темы «Площади многоугольников» встречаются задачи на нахождение площадей многоугольников на клетчатой бумаге. Возникли вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге. Увидев такие задачи в материалах ОГЭ, я решила исследовать задачи на клетчатой бумаге, связанные с нахождением площади изображённой фигуры. Решения таких задач оригинальны, красивы и часто решаются проще и быстрее, чем классическим путем. Оказалось, что много увлекательного можно найти на клетчатой плоскости, то есть, на бесконечном листке бумаги, расчерченном на одинаковые квадратики. Задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны, и они находят своё применение, как в учебе, так и в увлекательном досуге. Для многих задач на бумаге в клетку нет общего правила решения, конкретных способов и приёмов. Вот это их свойство обуславливает их ценность для развития не конкретного учебного умения или навыка, а умения думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, то есть, эти задачи развивают мыслительные навыки в самом широком их понимании. Поэтому я решила узнать возможности клетчатой бумаги для учебной и игровой деятельности.

В работе я ставлю следующую цель: показать возможности клетчатой бумаги. Для достижения цели мной были поставлены следующие задачи:

1) Изучить историю появления клетчатой бумаги

2) Показать применение клетчатой бумаги

3) Обобщить понятие площади

4) Изучить формулу Пика

5) Показать преимущество формулы Пика (исследование)

6) Создать буклет, отражающий возможности клетчатой бумаги

В проекте я отвечаю на следующий вопрос: «Можно ли клетчатую бумагу считать средством организации досуга и учёбы?»

История создания клетчатой бумаги

Пожалуй, именно бумага явилась главным материалом, из которого построен современный мир. Бумага используется для письма, графических работ, создания художественных бытовых изделий, печатания книг, бумажные скульптуры, гипнотизирующие узоры и текстуры, даже люди научились делать мебель из бумаги. Так же из бумаги можно сделать множество различных подделок и оригами.

Философы древности вывели великую формулу совершенства-чистый лист! И по сей день, эта формула будоражит умы взрослых и детей, потому что чистый лист бумаги предлагает, просит, требует заполнения.

Предметом моего исследования стала обычная тетрадь по математике в клетку. Почему именно поверхность в клеточку заполнила её листы? Математика - удивительная наука! И я рискнула предположить, что клетчатая бумага (бумага, расчерченная в клетку), обладая волшебными свойствами, помогает ей делать настоящие чудеса.

«На Руси писали на коре деревьев и на вощёных табличках с помощью палочек, сделанных из веток. И только в XIV веке появилась бумага из хлопка и льна. Однако тетради из такой тряпичной бумаги были очень дорогим удовольствием. Они были только у детей состоятельных людей.

Такая бумага, какой мы её знаем сегодня, появилась в России только в середине XVI века, но расцвет бумажного производства наступил при Петре Первом. По его указу были построены первые предприятия по производству бумаги под Москвой и Санкт-Петербургом.

Тетради отечественного производства появились в России только в начале XVIII века. Они были настоящими произведениями искусства с расписной обложкой и водяными знаками на каждой странице. Но тогда тетрадей в клетку не было - только в линейку.

На сегодняшний день существует много видов тетрадей: в клеточку, в линеечку, в ромбик, в кружочек. Но на уроках математики мы используем именно тетрадь в клеточку. В ней мы решаем различные задачи и строим геометрические фигуры.

И у меня появился такой вопрос, почему тетрадь по математике именно в клеточку?

Наверное, она нужна для того, чтобы удобно было записывать примеры в столбик, и чтобы легче было чертить. Клеточки на бумаге позволяют многие построения проводить только с помощью одной линейки, на которой может даже не быть делений. Нужно только помнить свойства геометрических фигур, ведь именно они позволяют использовать клеточки в полной мере. 

Применение клетчатой бумаги для организации досуга

Я выяснила, что применять клетчатую бумагу можно не только в учебе, но и для организации досуга. Термин «игра» многозначен. Как справедливо подчеркивал советский психолог и педагог, автор оригинального направления в детской и педагогической психологии Д.Б. Эльконин, слова «игра» и «играть» употребляются в самых различных смыслах: развлечение, исполнение музыкального произведения или роли в пьесе. Ведущая функция игры - отдых, развлечение. Это свойство как раз и отличает игру от не игры. Существует много классификаций и видов игры. Если классифицировать игру по предметным областям, то можно выделить математическую игру.

Математическая игра.

Понятие математической игры, разные авторы понимают это по - разному. Евгений Александрович Дышинский - кандидат педагогических наук, доцент, заведующий кафедрой элементарной математики, дал следующее определение: «Математические игры — это игры в виде разнообразных задач и упражнений с фигурами и числами занимательного характера, требующие проявления находчивости, оригинальности мышления, смекалки, умения критически оценить условия и постановку вопроса».

Математическая игра используется для формирования у детей интереса к предмету математики, приобретения ими новых знаний, умений, навыков, углубление уже имеющихся знаний. Игра наряду с учением и трудом-один из основных видов деятельности человека, удивительный феномен нашего существования. Математическая игра по области деятельности - это, прежде всего, интеллектуальная игра, то есть игра, где успех достигается в основном за счет мыслительных способностей человека, его ума, имеющихся у него знаний по математике.

Математических игр очень много. В своей работе я рассмотрю только «игры на бумаге». Любая из таких игр-это не просто забава. Это целый кладезь новой информации и полезных навыков, тренажер, учащий мыслить и рассуждать. Математические игры на бумаге в клетку появились с тех самых пор, как появилась тетрадь.

Крестики - нолики.

Популярная игра в крестики - нолики состоит в следующем: два игрока по очереди рисуют на листе клетчатой бумаги крестики и нолики. Первый игрок рисует крестики, второй – нолики. Выигрывает тот, кто первым поставит три своих знака в ряд (по вертикали, горизонтали или диагонали).

Бридж-ит. («перебрось мостик!»)

На рисунке показана доска для игры в бридж-ит. Участники игры по очереди проводят вертикальные или горизонтальные линии, соединяющие две соседние точки «своего» цвета: один игрок соединяет синими линиями синие точки, другой-чёрными линями чёрные точки. Линии противников нигде не должны пересекаться. Выигрывает тот, кто первым построит ломаную, соединяющую две противоположные стороны доски «своего» цвета. Так на рисунке выиграли «синие».

Ромб.

Это разновидность «крестики-нолики». Играют двое. Рисуется ромб, как показано на рисунке (размер можно менять). Игроки по очереди обводят одну сторону клеточки. Задача каждого игрока обвести последнюю четвертую сторону и поставить внутри клетки свой крестик или нолик.

Нужно внимательно делать свой ход, чтобы противник не имел возможности закрыть клетку. Когда все клетки заполнены, подсчитывается, сколько крестиков и сколько ноликов. У кого больше, тот и победитель

Танчики

Для игры требуется тетрадный лист, сложенный пополам. Два игрока рисуют по 10 танков, каждый на своей половине листа. Закончив расстановку сил, игроки начинают «обстрел» друг друга таким образом: игрок рисует выстрел на своей половине поля, затем складывает лист посередине, и выстрел отпечатывается на половине противника.

• Если выстрел задел танк, то он считается «подбитым» и необходим ещё один дополнительный выстрел для его полного уничтожения.

• Если же игрок попал прямо в танк, то достаточно одного выстрела.

• Каждый удачный выстрел даёт игроку право на следующий выстрел.

Игра заканчивается, когда все танки одного из игроков "подбиты".

Окружность без циркуля

Так же я выяснила, что можно нарисовать окружность без циркуля, используя клетчатую бумагу. Представьте себе, что идёт урок геометрии. Нужно начертить в тетради окружность, а циркуля с собой нет. Есть простой и эффективный способ нарисовать такую окружность. Вам понадобится лишь тетрадь в клетку и следующее числовое заклинание: “три-один, один-один, один-три”.

Строить окружность мы будем так. Сначала нам нужно будет расставить точки, которые будут контурами окружности. Для удобства отметим центр окружности – точку О. Потом перейдем на пять клеток вверх и отметим первую точку контура (точка A). Если центр окружности не так важен, то можно сразу начинать строить с точки А. Далее отступаем вправо на три деления и вниз на одно, рисуем точку В. Потом передвигаемся вправо на один шаг и вниз на один – тут у нас будет третья точка С. А затем отступаем вправо на один и вниз на три – это будет точка D. В итоге мы нарисовали точки для четверти окружности. По аналогии рисуем следующие точки будущей окружности, используя то же правило “3-1, 1-1, 1-3”: вниз на три и влево на один, вниз на один и влево на один и, наконец, вниз на один и влево на три. Далее схожим образом расставляем остальные точки. Всё, опорные точки для окружности готовы. Теперь нужно аккуратно соединить их, чтобы получился нужный рисунок. Поначалу окружность будет не совсем идеальной.

Формула Пика

Георг Александр Пик

(1859-1942)

Георг Александр Пик - австрийский математик, родившийся 10 августа 1859 года в еврейской семье. Мать звали Йозефа Шляйзингер, отца - Адольф Йозеф Пик. Георг Пик был одаренным ребенком, его обучал отец, который возглавлял частный институт. В 16 лет он окончил школу, поступил в Венский университет, а уже в 20 лет получил право преподавать физику и математику.

В Немецком университете в Праге в 1888 году Пик получил место экстраординарного профессора математики, затем в 1892-м стал ординарным профессором. В 1900-1901 годах занимал пост декана философского факультета. Круг математических интересов Пика был очень широк. В частности, им написаны работы в области функционального анализа и дифференциальной геометрии, эллиптических и абелевых функций, теории дифференциальных уравнений и комплексного анализа, всего более 50 тем. Широкую известность получила именно теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьную программу.

Суть Теоремы Пика

Теорема Пика является самой популярной работой австрийского математика. Он доказал ее в 1899 году, но в течении некоторого времени после публикации она была не замечена, однако в 1969 году польский ученый Гуго Штейнгауз включил теорему Пика в свой знаменитый «Математический калейдоскоп».

Примечательна формула Пика в том, что она привлекает своей простотой и элегантностью.

Теорема Пика справедлива для многоугольников с вершинами в узлах целочисленной решетки. На плоскости образуется решетка двумя системами параллельных равноотстоящих прямых. Эти прямые называются основными целочисленными прямыми, а точки их пересечения называются узлами решетки. Прямая, соединяющая два узла решетки, называется целочисленной прямой. Обратите внимание, что основные целочисленные прямые являются целочисленными линиями, но есть также много других целочисленных линий.

Многоугольник, ребра которого лежат на целочисленных прямых, называется целочисленным многоугольником. Теорема Пика утверждает, что площадь целочисленного многоугольника равна , где - количество узлов решетки внутри многоугольника, а - количество узлов решетки на границе многоугольника.

 Главное условие использования формулы Пика -вершины многоугольника должны располагаться в узлах клетки.

Что бы сосчитать площадь треугольника по формуле Пика нужно:

• Подсчитать количество целочисленных точек внутри треугольника (обозначается В);

• Подсчитать количество целочисленных точек на границе треугольника (обозначается );

• Применить формулу Пика .

Доказательство формулы Пика

Теорема: площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна: 2 + В – 1, где В - количество узлов решетки внутри многоугольника, а Г - количество узлов решетки на границе многоугольника.

Доказательство теоремы Пика производится в несколько этапов: от самых простых фигур до произвольных многоугольников:

Пример 1. Вычислить площадь многоугольника, изображенного на клетчатой бумаге по формуле Пика.

,

Покажу справедливость формулы Пика. Сначала заметим, что формула Пика верна для единичного квадрата.

Действительно, в этом случае имеем:

Фундаментальный квадрат порождает решетку, то есть решетку можно построить следующим образом. Отметим вершины квадрата. Затем сдвинем его параллельно одной из его сторон на длину этой стороны и отметим две вновь полученные вершины.

Если этот процесс продолжать сначала в одном направлении до длины , а затем полученную полоску сдвинуть параллельно себе в направлении другой стороны квадрата на длину этой стороны до длины , то получим решетку. Причем, число узлов решетки, лежащих внутри решетки, ,

а число узлов решетки, расположенных на его границе, .

Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на линиях решетки.

Пусть длины его сторон равны и . Имеем в этом случае,

, , тогда по формуле Пика,

Получили формулу площади прямоугольника со сторонами , b.

Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник с катетами . Такой треугольник получается из прямоугольника со сторонами , рассмотренного в предыдущем случае, разрезанием его по диагонали. Пусть на диагонали лежат - целочисленных точек. Тогда для этого случая, . Таким образом, получили формулу для вычисления площади прямоугольного треугольника. Значит, формула Пика верна для прямоугольного треугольника.

Теперь рассмотрим произвольный треугольник. Его можно получить, отрезав от прямоугольника несколько прямоугольных треугольников и, возможно, прямоугольник. Поскольку и для прямоугольника, и для прямоугольного треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она будет справедлива и для произвольного треугольника.

Применение формулы Пика

Умение пользоваться формулой Пика позволяет вычислять площади выпуклых многоугольников, а также площади невыпуклых многоугольников. А значит, ее можно применять для вычисления площадей многоугольников.

Для вычисления площади многоугольника, нужно знать всего одну формулу: - формулу Пика. Формула Пика проста для запоминания. Формула Пика удобна и проста в применении. Многоугольник, площадь которого необходимо вычислить, может быть любой формы.

Формула Пика облегчает и ускоряет нахождение площади многоугольников. Но и она имеет свои недостатки:

1. Чертёж должен быть очень четким (для подсчета узлов);

2. Формула применяется лишь в том случае, если многоугольник изображен на клетчатой бумаге;

3. Формула не имеет аналогов в пространстве.

Я познакомила своих одноклассников с формулой Пика и провела небольшую практическую работу. Ребятам предлагалось вычислить площадь многоугольника, применяя названную формулу или применяя классические методы нахождения площади многоугольника (формулы) на выбор. Для этого мной было подобрано несколько примеров на нахождение площадей многоугольников. (приложение № 1)

Для более продуктивного освоения формулы Пика мной подобран набор задач (Приложение № 2).

После окончания практической работы учащиеся ответили на следующие вопросы:

1. Каким способом вы решали данные задачи?

2. Понравилась ли вам формула Пика?

3. Каким способом, классическим или через формулу Пика, вам было легче находить площадь?

4. Будете ли вы использовать формулу Пика в дальнейшем?

Полученные ответы (Приложение №3)

Из полученных ответов можно сделать вывод, что большинство ребят находили площадь через формулу Пика и данная формула всем понравилась. Также через формулу Пика, ребятам было легче находить площадь и многие в дальнейшем будут ее использовать. По итогам этой работы можно сделать вывод, что на вычисление площади многоугольника с помощью формулы Пика было затрачено меньше времени, и не было допущено ошибок.

Заключение

Входе работы над проектом я убедилась в том, что возможности клетчатой бумаги в применении к организации досуговой и учебной деятельности разнообразны, что подтверждает достижение цели работы: показать возможности клетчатой бумаги. В проекте показано, что клетчатая бумага позволяет проводить многие геометрические построения с использованием одной линейки, помогает лучше понять и изучить свойства фигур. Предложены игры и упражнения на клетчатой бумаге, которые способствуют развитию интуиции, воображения, памяти и внимания. Демонстрируется применение формулы Пика для нахождения площадей фигур на клетчатой бумаге.

В практической части проекта проведено исследование на выявление интереса учащихся 9 класса к нахождению площади фигур на клетчатой бумаге по формуле Пика в форме практического занятия. С помощью этой формулы можно без проблем решать большой класс задач, предлагаемых на экзамене (задачи на нахождение площади многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге). Формула Пика заменит учащимся целый комплект формул, необходимых для решения таких задач. Учащиеся оценили простоту формулы Пика для нахождения площадей многоугольников на клетчатой бумаге и планируют её использовать. Во время работы я узнала, что теорему на нахождение площади многоугольника с вершинами в узлах сетки доказал австрийский математик Георг Александр Пик в 1899 году, которая называется - формула Пика. При выполнении моей работы я рассмотрела решение задач на вычисление площадей многоугольников неправильной формы разными способами.

Работая над проектом, я расширила свои знания о решении задач на клетчатой бумаге, определила для себя классификацию исследуемых задач, убедилась в их многообразии. Научилась вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке, работать с большим объёмом информации, работать с редактором формул, представлять информацию в виде диаграммы, представлять полученные знания в презентации.

По итогу проекта представлены информационный буклет, отражающий некоторые возможности клетчатой бумаги и набор задач на применение формулы Пика. (Приложение № 2, 4).

Данная работа может быть использована при организации досуговой и учебной деятельности.

Список литературы

1. Аристова О.Н., Бабанин Л.Н., Войскуновский А.Е. Мотивация пользователей Интернета. Гуманитарные исследования в Интернете -Москва: Можайск-Терра, 2000 г.

2. Геометрия на клетчатой бумаге. Малый Мехмат МГУ.

3. Детский журнал "Непоседа" (№ 15, № 23 2016 г.).

4. Журнал “Квант”, №1, 1970 год, статья “Как начертить окружность без циркуля”

5. Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2022 – 2023.

6. Математика, которая мне нравится [электронный ресурс], статья «Формула Пика», URL:http://hijos.ru/2011/09/14/formula-pika/

7. Математика, которая мне нравится [электронный ресурс], статья «Георг Александр Пик (1859-1942)», URL: http://hijos.ru/2011/12/30/georg-aleksandr-pik-1859-1942/

Приложение № 1

Пример № 1 На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен параллелограмм. Найдите его площадь.

Пример № 2 На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен треугольник. Найдите его площадь.

Пример №3 На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите ее площадь.

Пример №4 На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображен четырёхугольник. Найдите его площадь

Приложение№2

Задачи – рисунки, для которых применима формула Пика

Найти площадь изображенного на рисунке многоугольника:

Приложение №3

Были получены следующие результаты:

Из ответов на первый вопрос (диаграмма 1), можно сделать вывод, что большинство учащихся моего класса решали данные задачи через Теорему Пика, а лишь малая часть ребят решали классическим методом, так как многие не знают формулы нахождения площади фигур.

диаграмма 1

Анализируя результаты на диаграмме 2, можно сделать следующие выводы: что большинству одноклассников понравилась формула Пика, но меньшинство не восприняли её всерьёз, потому что они не разобрались в сути этой теоремы.

диаграмма 2

Из ответа на третий вопрос (диаграмма 3), я выяснила, что многим было легче находить площадь через формулу Пика, нежели классическим способом, так как формула Пика проста и легко применима для нахождения площади.

диаграмма 3

Из ответа на четвёртый вопрос (диаграмма 4), я выяснила, что 90 % учащихся будут использовать формулу Пика в дальнейшем, а 10% учащихся ответили, что возможно будут использовать формулу Пика в дальнейшем. Это может быть связанно с тем, что в будущем она просто им не где не пригодится.

диаграмма 4

Таким образом я выяснила, что большинство ребят находили площадь через формулу Пика и данная формула всем понравилась. Также через формулу Пика, ребятам было легче находить площадь и многие в дальнейшем будут ее использовать. По итогам этой работы можно сделать вывод, что на вычисление площади многоугольника с помощью формулы Пика было затрачено меньше времени, и не было допущено ошибок.