XX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Поэзия чисел

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Никитина А.А. 1

---

1МОУ гимназия № 46

Моргунова М.И. 1

---

1МОУ гимназия № 46

Работа в формате PDF

813.9 KB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

1.Введение

«Не в одних стихах поэзия:

она разлита везде, она вокруг нас»

И.С.Тургенев

«…Нельзя быть математиком,

не будучи в то же время поэтом в душе!»

С.В.Ковалевская

Я обожаю математику и считаю ее величайшей из наук. Но очень часто от друзей и одноклассников я слышу, что «я творческая натура, математика мне не нужна». Я решила провести небольшой исследование и показать, что математика также прекрасна, удивительна, изучение ее вдохновляет на новые исследования, так же как и искусство, например, поэзия. Даже великий А.С. Пушкин говорил, что «вдохновение необходимо в математике, как и в поэзии».

Поэзия - недоказуемая истина. Согласно словарному определению, это особый способ организации речи, привнесение в речь дополнительной меры (измерения), не определенной потребностями обыденного языка, словесное художественное творчество, преимущественно стихотворное (в узком смысле термина).

«Из всех искусств первое место удерживает за собой поэзия», писал Кант в «Критике способности суждения». Поэзия может быть названа познанием миpa при помощи образов, символов, и этот образный способ мышления свойственен всем — и детям, и взрослым, и первобытным дикарям, и образованным людям. Поэтому поэзия — не только там, где великие произведения (как электричество не только там, где гроза), а, как видно уже из её эмбриональной формы — слова — везде, ежечасно и ежеминутно, где говорят и думают люди. «Поэзия — везде, где за немногими чертами определенного замкнутого образа стоит многообразие значений».

Цель поэзии – передать красоту с помощью слов. Если же обратиться к толковому словарю Русского языка, то математика – это наука, изучающая величины, количественные отношения и пространственные формы, исследующая свойства таких абстрактных сущностей, как числа, геометрические фигуры и символы, а также отношения между ними. Скучно, неправда ли? Тогда в чем же заключается красота математики, в чем ее эмоциональность, элегантность?

Гипотеза: если математика обладает красотой, то где она находится? Как ее найти? Показать, что так как число – основное понятие математики, то оно и является основополагающим символом красоты математики.

Цель исследования: выяснить, с помощью каких сущностей можно показать красоту математики и на нескольких примерах продемонстрировать весь спектр связанных с математикой эмоций, с помощью современных инструментов (на примере программы на языке Python) показать, что стихотворение может быть переложено на язык чисел, но от этого оно не теряет своей красоты и узнаваемости.

Задачи исследования:

• определить, что означает «математика» и «красота»;

• найти важные эпизоды человеческой истории, раскрывающие яркую мозаику красоты математики;

• установить, в чем совершенство числа;

• установить взаимосвязь в традиционных искусствах – живописи, литературе, архитектуре;

• написать программу на языке Python, позволяющую стихотворение переложить на язык чисел.

2.Проявление прекрасного в математике

Из всех наук математика считается самой абстрактной. Справедливо ли это? Действительно, многие её понятия, методы, кажутся какими-то неестественными, придуманными. Ведь источники математических выдумок - сама жизнь. Уж, кажется, что может быть дальше от математики, чем поэзия? Цель поэзии – передать красоту с помощью слов. Джеймс Дуглас Моррисон писал: «Настоящая поэзия ничего не говорит, она только указывает возможности. Открывает все двери. Ты можешь открыть любую, которая подходит тебе.» Но также и в математике: математик сам, когда выбирает, какие свойства чисел или абстрактных сущностей изучать, часто руководствуется их красотой.

Математик находится в центре между наукой и искусством, и это также доказывает неизбежную связь между самой абстрактной из наук и человеческими эмоциями. Анри Пуанкаре писал: « Могут вызвать удивление эмоции, пробуждаемые математическим доказательством, которое, как может показаться, интересно лишь интеллекту. Думать, что математика затрагивает лишь интеллект, означало бы забыть о красоте математики, элегантности геометрии, которые прекрасны в самом полном смысле этого слова». По мнению этого ученого, именно симметрия, понимаемая как гармония отдельных составляющих системы математических знаний, их счастливое равновесие, вносит в эту систему порядок, сообщая ее компонентам внутреннее содержательное единство. Поэтому наиболее привлекательными являются изящные доказательства. Усилению эстетичности математических объектов будут способствовать богатство приложений результатов исследования как в математике, так и в смежных дисциплинах, оригинальность суждений, формулируемых в процессе исследования.

3. Литература, чувства и абстрактность

Мы провели исследование (Приложение № 1 Таблица № 1), спрашивая учеников нашей гимназии о красоте математики, и практически все лишь удивленно поднимали брови и пожимали плечами.

Отвечая на вопрос «в чем разница между литературой и математикой?», большинство свяжет литературу со страстью, а математику — с расчетливостью. Нет никаких сомнений и в том, что прохожий скажет: математика и человеческая природа очень далеки друг от друга. Возможно, этот же ответ дадут и многие математики. Математика известна как совокупность абстракций, которые почти или никак не связаны с чувствами. Однако математика — продукт нашего разума в самом чистом виде, и в этом с ней не сравнится почти никакое другое творение человека. Логическая структура нашего разума — важнейшая характеристика человеческого состояния: именно наш мозг в немалой степени определяет то, какие мы есть. Поэтому неудивительно, что внешность может быть обманчива.

Прежде всего напомним, что благоразумие, согласно толковому словарю, это «рассудительность, обдуманность в поступках», в то время как «страсть» — это «сильно выраженное чувство, воодушевленность» и «крайнее увлечение, пристрастие к чему-либо». Многие не связывают страсть с математикой, но она подобна полю битвы, на котором разгораются сражения между благоразумием и страстью. Поэтому в поисках доказательства математик руководствуется точным расчетом, который является неотъемлемой чертой строжайшего логического мышления. Однако в моменты, когда математик стремится совершить открытие или сражается с задачей, его охватывает возбуждение.

Предметом описания литературы и одновременно ее источником знаний служит человеческая природа, непреходящая борьба страстей и здравого смысла. Поэтому неудивительно, что большинство связывает литературу и страсть. В этой борьбе между благоразумием и страстями математика играет далеко не последнюю роль. Математика может оказаться удивительно полезной: она способна помочь нам лучше познать себя и глубже понять человеческую природу.

Именно поэтому математический контекст позволяет нам лучше оценить красоту математики. Считаю, что главное различие между литературой и математикой с эстетической точки зрения заключается в том, что предметом их рассмотрения являются разные объекты. Литература изучает чувства, эмоциональную составляющую человеческой природы, а математика рассматривает числа, фигуры и абстракции. Но математика полна элегантности и гармонии, а математические рассуждения не лишены определенной красоты.

Что же такое красота. Обратимся к словарному определению: красота́ — эстетическая (неутилитарная, непрактическая) категория, обозначающая совершенство, гармоничное сочетание аспектов объекта, при котором последний вызывает у наблюдателя эстетическое наслаждение. Школа Пифагора связывала воедино красоту и математику, отмечая, что предметы, чьи пропорции находятся в соответствии с золотым сечением, кажутся более красивыми. Классическая греческая архитектура основывалась на этом понимании красоты.

Красота математики — восприятие математики, как объекта эстетического наслаждения, схожего с музыкой и поэзией. Британский философ Бертран Артур Уильям Рассел говорил: «правильный взгляд на математику приводит не просто к истине, а к совершенной красоте — холодной и строгой, как скульптура; отстранённой от человеческих слабостей; лишённой вычурных уловок живописи и музыки — величественной кристальности, являющей совершенство высочайшего из искусств. Прикосновение к ней — неописуемый восторг; экстаз, освобождающий от бренной человеческой оболочки и сравнимый только с поэзией». Математика — язык современной науки, в первую очередь, физики, и красота математики проявляется в красоте и всеобщности законов природы. Многие физические законы, как отмечал, например, немецкий математик Герман Вейль, в свою очередь основываются на законах симметрии, которая воспринимается человеком как символ красоты. Важнейшим моментом является неожиданность многих математических результатов.

Л. И. Лурье в работе «Математическое образование в пространстве эстетического опыта» цитирует Френсиса Хатчесона, который в своей работе «Исследования о происхождении наших идей красоты и добродетели в двух трактатах» (1725) выделил следующие характеристики эстетической красоты математики:

• единство в многообразии;

• идеал всеобщности научных истин;

• обретение неочевидной истины, догадки о которой требуют доказательств.

Кроме того, в качестве проявлений красоты математики выделяют:

• гармонию чисел, геометрических форм, алгебраических структур;

• геометрическую выразительность;

• стройность математических формул;

• возможность решения математической задачи различными, на первый взгляд неожиданными, способами;

• изящество математических доказательств;

• богатство математических приложений;

• универсальность математических методов.

В философии математики известны конкретные «формулы», в кратком афористичном виде выражающие красоту математики.

Г. Биркхоф выразил эстетическую привлекательность математического объекта в виде формулы:

M = O/C,

где M — мера красоты объекта, O — мера порядка, а C — мера усилий, затрачиваемых для понимания сущности объекта.

Другой подход к оценке красоты математического объекта предложил советский математик В. Г. Болтянский. Предложенная им формула включает изоморфизм между математическим объектом и его наглядной моделью, простоту модели, а также неожиданность появления модели:

КРАСОТА = НАГЛЯДНОСТЬ + НЕОЖИДАННОСТЬ = ИЗОМОРФИЗМ + +ПРОСТОТА + НЕОЖИДАННОСТЬ.

И та, и другая формулы созвучны: в них красота математического объекта обусловлена взаимодействием его обобщенного образа, созданного нашей психикой, и оригинальности, выделяющей этот объект из множества других.

4.Искусство объяснимо и математично

Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них — это теорема Пифагора, а другое — деление отрезка в среднем и крайнем отношении.

И. Кеплер (1571—1630)

Художник и педагог Н. П. Крымов писал: «Говорят: искусство не наука, не математика, что это творчество, настроение и что в искусстве ничего нельзя объяснить — глядите и любуйтесь. По-моему, это не так. Искусство объяснимо и очень логично, о нем нужно и можно знать, оно математично... Можно точно доказать, почему картина хороша и почему плоха» В. И. Суриков утверждал, что в композиции есть какой-то непреложный закон, когда в картине нельзя ничего ни убрать, ни добавить, даже лишнюю точку поставить нельзя, это настоящая математика.

Вместо обсуждения, «недоказанной истины», что математика обладает красотой, обратимся к конкретике. Проведем параллель с одним из видов искусства. Поэтому вместо того чтобы задуматься, в чем именно заключается красота математики, попытаемся ответить на другой вопрос: в чем заключается красота Парфенона?

Строительство Парфенона (Приложение 2 рис.2.1.) на афинском Акрополе началось примерно в 447 году до н.э. Продолжалось почти десять лет и еще несколько лет ушло на отделки. Внимательно рассмотрев здание Парфенона, приходим к выводу: красота Парфенона – в гармонии его архитектурных элементов. А из каких элементов состоят математические рассуждения? Конечно же математических идей. То есть, красоту математических рассуждений следует искать в гармоничном сочетании математических идей, из которых они состоят.

Известный французский архитектор и теоретик архитектуры XIX в. Виоллеле-Дюк считал, что форма, которую невозможно объяснить, никогда не будет красивой. На дверях Сикионской школы рисунка в Древней Греции было написано: «Сюда не допускаются люди, не знающие геометрии». За кажущейся простотой и случайностью живого восприятия окружающей действительности скрывается математика. Когда мы слушаем музыку, наш мозг занимается алгеброй. Когда мы смотрим на что-либо, наш мозг занимается геометрией. У человека не может возникнуть отношение к предмету, чувство, эмоция, пока мозг не произвел «измерение», сравнение этого предмета с уже имеющимся в памяти чем-то подобным. Впереди идет математика, а только потом возникает чувство. Эту работу мозг производит мгновенно, потому мы ее не замечаем и не осознаем и нам кажется, что чувство возникает сразу.

Золотое сечение, повсеместно присутствующее в природе, привлекало математиков, художников, архитекторов и музыкантов. Обратимся к творчеству Дюрера. Из всех художников Возрождения он, возможно, лучше всех разбирался в математике. Все свои знания он изложил во множестве книг, напечатанных после его смерти. По рекомендации венецианского художника Якопо де Барбари он в 1506 году отправился в Болонью, где считается, постигал тайную науку у монаха-францисканца Луки Пачоли, составившего в 1494 году большую математическую энциклопедию XV столетия. До какой степени Дюрер проник в тайны изученной им науки, в которой золотое сечение было заветной формулой идеальных пропорций человеческого тела, можно судить по его прекрасным картинам, где изображены обнаженные Адам и Ева (Приложение 2 рис.2.2).

Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого сечения при их создании.

Согласно Ле Корбюзье, в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют золотому сечению. В фасаде древнегреческого храма Парфенона также присутствуют золотые пропорции. В циркуле из древнеримского города Помпеи (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления, и т. д. Следует отметить, что сама пропорция является эталонным значением, Но бывают и отклонения в окружающем мире. Примером таких «отклонений» может служить морская камбала.

Годфри Харолд Харди (английский математик) в своем эссе «Апология математика» пишет: «Математик, подобно художнику или поэту, создает образы. Если его «Образы» долговечнее их образов, то потому, что они состоят из идей. Создаваемые математиком образы, подобно образам художника или поэта, должны обладать красотой; подобно краскам или словам, идеи должны сочетаться гармонически. Красота служит первым критерием: в мире нет места безобразной математике».

5.Фракталы

В этой главе мы расскажем о том, как противопоставление абстрактного характера математики и эмоций тех, кто ее создал, помогает насладиться красотой науки и лучше понять человеческую природу. В качестве примера я выбрала бесспорно красивые математические объекты — фракталы.

Фрактал можно назвать множеством, аномальным с точки зрения наших органов чувств. Однако его аномальность относится к особенностям нашего восприятия. Открытия Феликса Хаусдорфа в 1919 году послужили основой современной теории фракталов.

Хаусдорф счел классическое определение размерности объектов очень узким как с математической, так и с философской точки зрения, а классификацию тел согласно их размерности — примитивной. Чтобы расширить классическое понятие размерности, Хаусдорф предложил новое определение, более сложное и общее с математической точки зрения.

Величина, введенная Хаусдорфом, позволяет намного точнее определить размерность объекта. Вопреки тому, что нам подсказывают органы чувств, существуют объекты, размерность которых выражается дробями, например 1/2, иррациональными числами, в частности √5, и даже еще более необычными числами. Прошло больше 50 лет с момента, когда Хаусдорф ввел новое понятие размерности, прежде чемБенуа Мандельброт (1924–2010), французский математик польского происхождения, определил фракталы как множества, имеющие дробную размерность Хаусдорфа. Существует альтернативное определение размерности, введенное русскими математиками Л.Понтрягиным и Л. Шнирельманом.

Примеры построения фрактолов изложены в Приложении 3.

Фракталы — редкие, удивительные множества, которые, как «кажется», далеки от привычных нам физических ощущений. Слово «кажется» написано в кавычках, поскольку фракталы присутствуют повсеместно, мы видим их так часто и настолько привыкли к их особенностям, что даже не распознаем их. В природе фрактальная геометрия обнаруживается буквально повсюду. Береговая линия Испании или Норвегии, изрезанная фьордами, точнее всего описывается именно фрактальной кривой, подобной кривой Коха. Ничто не описывает сложную сеть нейронов нашего мозга лучше, чем фракталы. Именно математический взгляд и острота взора Хаусдорфа и Мандельброта позволили увидеть, как часто фракталы встречаются в природе (Приложение № 3 рис.3.2)

Зачем я все это так подробно описала? Дело в том, что присутствие фракталов в природе уловили не только математики, но и поэты.

Здесь я тебя люблю.

Над темными соснами ветер расправляет свой стяг.

На блуждающих водах лунные пересветы.

Похожие дни теснятся, гонят друг друга во мрак.

Распадается сумрак на пляшущие виденья.

Серебристую чайку закат роняет во тьму.

Порой объявится парус. Высокое небо в звездах.

Пабло Неруда

отрывок из Поэмы № 18

из серии «Двадцать поэм любви и одна песня отчаянья»

Это один из бесчисленного множества примеров, которыми можно проиллюстрировать совпадение поэтического и математического взгляда на реальность. Чтобы описать нереальность любви на расстоянии, Неруда в своей поэме «Здесь я тебя люблю, напрасно даль тебя прячет» описывает предметы, легкая и эфемерная сущность которых контрастирует с твердостью их физического воплощения. Здесь поэт соединил три трехмерных объекта. Представьте себе хитросплетение сосновых иголок, над которыми ветер расправляет свой стяг; пенистые воды, освещаемые луной, или неуловимое дыхание пляшущих видений в тумане. К этой картине следует добавить вездесущие звезды, эти светящиеся точки, сложный узор которых в небе кажется почти двухмерным. В действительности эта неоднозначность — следствие фрактальной природы объектов.

6.Поэзия числа π

Мало какому числу из всех чисел, которые используются в математике, в естественных науках, в инженерном деле и в повседневной жизни, уделяется столько внимания, сколько уделяется числу π («пи»). В одной книге говорится: «Число π захватывает умы гениев науки и математиков-любителей во всем мире» («Fractals for the Classroom»). Некоторые даже считают его одним из пяти важнейших чисел в математике. Греческой буквой π это отношение впервые обозначил в 1706 году английский математик Уильям Джонс, а после того, как в 1737 году это обозначение позаимствовал швейцарский математик Леонард Эйлер, оно стало общепринятым.

Большинство из нас будут удивлены, узнав, сколько людей интересуется числом π. В школе на уроках геометрии мы уяснили, что это отношение длины окружности к диаметру, что ж тут может быть интересного? Но познакомившись поближе с этим героем, мы будем удивлены еще больше.

π... Рассмотрите внимательно его первую тысячу знаков (Приложение № 4), проникнитесь поэзией этих цифр, ведь за ними стоят тени величайших мыслителей Древнего мира и Средневековья, Нового и настоящего времени.

Зачем нам столько знаков π, ведь известно, что для расчета полета на край нашей Галактики с точностью, равной диаметру протона, достаточно знать сорок знаков числа, а при расчете земной орбиты вокруг Солнца с точностью до миллиметра достаточно четырнадцати знаков? А уже в XVII веке были получены первые 34 знака. Трудно объяснить деловым людям, ожидающим непременную сиюминутную выгоду от каждого движения, что число π, как и простые числа, совершенные, дружественные, числа Мерсенна, — это вызов нашему интеллекту, волнующая загадка устройства мира, в конце концов, это очень интересно. Какое бы сочетание цифр мы бы ни выдумали — оно непременно встретится в знаках числа π, то есть можно ожидать появление любой наперед заданной последовательности цифр. Примеры самых распространенных расстановок можно посмотреть в Приложении 4.И свой номер телефона я тоже нашла в записи числа π!

Есть гипотезы, предполагающие, что в числе π скрыта любая информация, которая когда-либо была или будет доступна людям. В том числе и различные предсказания — надо лишь найти их и расшифровать; имея под рукой компьютер — это не составит большого труда. Хочется только напомнить, что один исследователь в ответ на сообщения о наличии в Библии зашифрованных предсказаний сказал, что он с помощью программы нашел в Библии предсказание о том, что в ней нет никаких предсказаний. Но это вовсе не значит, что мы должны прекратить наши опыты с π.

Для многих практических целей вполне достаточно использовать шесть знаков числа π=3,14159. Точное же значение числа π вычислить невозможно. Почему? Потому что это иррациональное число, то есть его нельзя написать в виде простой дроби. Неизвестно, кто первым обнаружил, что число π остается постоянной величиной, не зависящей от радиуса круга. Но точное значение числа π пытались вычислить еще в глубокой древности. В наши дни с помощью мощных компьютеров вычислили миллиарды десятичных знаков числа π. Но, как отмечается в книге «Fractals for the Classroom», при всей важности числа π «трудно найти сферы в научных расчетах, где потребовалось бы больше двадцати десятичных знаков π». Число π появляется в формулах, используемых во многих сферах. Физика, элетротехника, электроника, теория вероятностей, строительство и навигация - это лишь некоторые из них. И кажется, что подобно тому как нет конца знакам числа π, так нет конца и возможностям практического применения этого полезного, неуловимого числа π.

7.Всеобщая симметрия

Все вещи можно представить в виде чисел", - говорил древнегреческий ученый и философ Пифагор. Таким образом он давал понять, что миром правят числа и за каждым числом прячется тайна. Ни для кого не секрет, что всюду и повсеместно каждое мгновение наша жизнь наполнена цифрами и числами: день недели, номер автомобиля, магазинный ценник, штрих-код на книжной обложке, количество калорий в пирожном и сколько дней осталось до каникул.

На важность меры порядка в проявлении эстетического чувства обращают внимание многие математики. Так, А. Пуанкаре видит математические характеристики, которым приписывают свойства красоты и изящества, в элементах, гармонически расположенных таким образом, что ум без усилий может их охватывать целиком, угадывая детали. По мнению этого ученого, именно симметрия, понимаемая как гармония отдельных составляющих системы математических знаний, их счастливое равновесие, вносит в эту систему порядок, сообщая ее компонентам внутреннее содержательное единство. Поэтому наиболее привлекательными являются изящные доказательства.

Известный шведский физик, лауреат Нобелевской премии профессор Ханнес Альвена писал: «Хотя имена великих ученых-теоретиков хорошо известны, не каждый представляет себе, каким образом они работают. Часть их работы напоминает деятельность художника: и художник, и ученый отделяют существенное от хаоса чувственных восприятий и представляют это существенное в возможно более концентрированной и элегантной форме. Подобно тому, как художник выражает свои мысли и чувства в красках, скульптор – в глине, музыкант – в звуках, так и профессионал от искусства науки использует формулы и законы, которые, подобно всякому обогащенному отражению окружающего мира, являют собой степень красоты. Высочайшая похвала, которую теоретик может заслужить, показывая вновь выведенную формулу, это восторженный возглас его коллеги: «Как она красива!».

Философы знаменитой школы Пифагора высказали идею, что в основу гармонии мироздания положено число. Это было вполне логично, поскольку выяснилось, что, с одной стороны, число тесно связано с реальным физическим миром, а с другой – существует как бы отдельно от него, чуждо земному хаосу, не подвержено разрушению и тлену.

После открытия связи между числом и музыкой красота мира усматривалась не просто в числе, но в неких численных соотношениях, соответствующих музыкальным тонам..

Демокрит считал, что сущность прекрасного заключается в симметрии, мере, гармонии частей, в определенных количественных отношениях. Таким образом, Демокрит, пифагорейцы и Гераклит пытались найти и определить объективную основу прекрасного, которую видели или в количественных отношениях, господствующих в мире, или в вещественных свойствах космоса, или в стройном порядке, гармонии и симметрии частей.

Начиная с некоторого момента, физики все больше стали обращать внимание на поразительное свойство законов – на их симметрию. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания; его широко используют все без исключения направления современной науки. Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своем многообразии картиной явлений, в свою очередь, подчиняются принципам симметрии. Немецкий математик Г. Вейль утверждал, что «симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство». Можно заключить, что симметрия выражает нечто общее, свойственное разным объектам или явлениям, она связана со структурой, она лежит в самой основе вещей. Тогда как асимметрия выражает индивидуальность, она связана с воплощением структуры в том или ином конкретном объекте или явлении.

8.Эксперимент

Работая над проектом в разных источниках я находила множественные подтверждения связи математика и искусства в произведениях известных поэтов и писателей, а также в трудах знаменитых ученых. Математические понятия встречаются как в названиях, так и в тексте произведений. Есть стихотворения, посвященные цифрам, числам, дробям. Интересно, что используя числа можно переложить стихотворные строки на язык чисел. Читая числовые последовательности с выражением, известные произведения легко узнаются. Некоторые примеры таких последовательностей приведены в Приложении № 5. К сожалению, перевод на другие языки уже невозможен. Я предложила одноклассникам поэкспериментировать с известными им стихотворениями. Для этого я написала программу на языке Python, которая переводит стихотворные строки в числовую последовательность с сохранением рифмы. (Приложение № 6). Читая стихотворные строки, а затем полученную числовую последовательность, мои одноклассники убедились в красоте числовой последовательности, рифме, а также узнаваемости знакомых слов автора.

9.Заключение

Математика, как и поэзия, не является только вопросом сложения и вычитания, и в итоге быстрого получения правильного ответа. Имеют свою красоту уравнения и поэзии, и математики. Как выразился Эйнштейн: "Чистая математика находится в постоянном движении и выражена в поэзии логических идей." И стихотворение и уравнение действительно являются деталями от одного производного. Они берут нас за душу и позволяют нам развиваться. Что доказывает выдвинутую гипотезу.

Подытожим проделанную работу словами Б.Рассела: «Математика, при правильном не нее взгляде, обладает не только истиной, но и высшей красотой — красотой холодной и суровой, подобно скульптуре, не обращенной ни к какой стороне нашей слабой натуры, лишенной украшений живописи и музыки, и тем не менее утонченно чистой и способной к строгому совершенству, свойственному лишь величайшему искусству. Истинный дух восторга, блаженства, чувства что ты больше, чем Человек, каковое есть критерий высшего совершенства, присутствует в математике так же несомненно, как и в поэзии.»

10.Список использованной литературы и онлайн источников.

1. Некоммерческий Сервис пользовательских рекомендаций и обмена общедоступными литературными и иными текстами «Книгогид»: [сайт].-2023.-URL:https://knigogid.ru/books/361129-poeziya-chisel-prekrasnoe-i-matematika/toread.-Антонио Дуран «Мир математики» № 27 «Поэзия чисел. Прекрасное и математика», 2014.

2. [сайт].-URL:https://www.rulit.me/books/tajnaya-zhizn-chisel-lyubopytnye-razdely-matematiki-read-401320-1.html.- Хоакин Наварро «Мир математики» № 31 «Тайная жизнь чисел. Любопытные разделы математики»

3. ООО «Инфоурок»:[сайт].-Смоленск; 2013.-URL: http://www.infourok.ru

4. «Нашлось искусство»:[сайт].-2023.-URL: http://art.mooseum.ru

Приложения

Приложение 1

Опрос о красоте математики

Таблица № 1

Приложение 2

Рис.2.1. Парфенон

Рис.2.2

Приложение № 3

Фракталы

Рис.3.1. Д.Деневан. Ковер Аполлония Джим Деневан

Построим пример фрактала. Для этого рассмотрим окружности Аполлония, так как мы будем строить фрактал на основе касательных окружностей. Построим три окружности, касающиеся друг друга (см. рисунок слева внизу). Как мы уже отмечали в предыдущей главе, существуют две другие окружности, касающиеся этих трех. Имеем пять окружностей (см. рисунок справа внизу).

Построение фрактала на основе трех касающихся окружностей.

Выберем три из них, касающиеся друг друга, и построим две соответствующие касательные окружности (их существование следует из теоремы Аполлония). В конечном итоге, с учетом повторений, получим шесть новых окружностей. Вкупе с пятью исходными имеем 11 окружностей (см. рисунок слева внизу). Повторим построение для этих 11 окружностей, затем — для окружностей, построенных на следующем этапе (см. рисунок справа внизу), и так далее до бесконечности. Полученные окружности носят название «ковер Аполлония» и представляют собой пример фрактала.

Построение фрактала на основе трех касающихся окружностей.

Сложно представить, что неимоверно сложный ковер Аполлония образуется простым построением окружностей, касающихся друг друга. Если читатель использует воображение, то увидит, что каждая окружность на ковре Аполлония находится среди бесконечного множества касательных окружностей, за исключением внешней, которая содержит в себе все прочие окружности. Более того, на любой дуге любой окружности, сколь малой бы она ни была, находится бесконечно много касающихся ее окружностей. Стандартное обозначение размерности абсолютно неприменимо для описания ковра Аполлония: было бы излишне говорить, что эта кривая имеет размерность 2, то есть ту же размерность, что и содержащая ее плоскость. Тем не менее, учитывая сложность этой кривой, в которой произвольной дуги любой окружности касается бесконечное множество окружностей, было бы преуменьшением сказать, что ее размерность равна 1. Вычислить точную размерность Хаусдорфа для ковра Аполлония невероятно сложно. На данный момент известно лишь ее приближенное значение, равное 1,305688.

Пример на основе треугольника

Построим другой фрактал, для которого можно точно определить размерность Хаусдорфа. Это кривая Коха, названная в честь шведского математика Нильса фон Коха, определившего ее в 1906 году. Существует несколько разновидностей этой кривой.

Мы построим кривую Коха, взяв за основу равносторонний треугольник. Для этого разделим каждую его сторону на три равные части и заменим центральный отрезок на каждой стороне двумя сторонами равностороннего треугольника, основанием которого будет этот отрезок. Получим шестиконечную звезду. Повторим построение снова, то есть разделим каждую из двенадцати сторон звезды на три равные части и заменим центральный отрезок на каждой стороне двумя сторонами равностороннего треугольника, основанием которого будет этот отрезок. Для построения кривой Коха эти действия нужно повторить бесконечное число раз.

Четыре первых этапа построения кривой Коха.

Теперь представьте, что кривая Коха — это дорога. Рассмотрим две любые точки на этой кривой (представьте, что это две деревни, расположенные у дороги). Сядем в воображаемую машину и поедем из одной деревни в другую вдоль кривой. Какое расстояние покажет счетчик пробега в конце пути? Если читатель ответит, что расстояние будет зависеть от выбранных точек кривой, то ошибется: независимо от того, какие точки мы выберем, пройденное расстояние всегда будет равно бесконечности.

Иными словами, любой участок кривой Коха имеет бесконечно большую длину — она содержит так много поворотов, что проехать по ней от начала до конца невозможно (см. врезку на следующей странице). Похожими свойствами обладает дорога, проходящая вдоль побережья Галисии в Испании. Расстояние, отделяющее устье реки Миньо и мыс Эстака де Барес, по прямой составляет чуть больше 200 километров. Но попытайтесь проделать этот путь, следуя вдоль побережья, и он покажется вам бесконечным: автомагистраль будет петлять возле каждой реки, идти в объезд всех гор, мысов и заливов. Десять километров, разделяющие устье реки и мыс, превращаются в сто и даже больше, и путь кажется бесконечным. Именно это (пусть и в несколько преувеличенном виде) произойдет, если мы попытаемся проехать вдоль кривой Коха.

Рис.3.2.Слева — аэрофотосъемка норвежских фьордов,

справа — фрагмент фрактала Мандельброта.

Приложение № 4

π=3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

Примеры самых распространенных расстановок встретились в следующих по счету цифрах:

01234567891 — начиная с 26852899245-й
01234567891 — с 41952536161-й
01234567891 — с 99972955571-й
01234567891 — с 102081851717-й
01234567891 — с 171257652369-й
01234567890 — с 53217681704-й
01234567890 — с 148425641592-й
27182818284 (это цифры числа е) — с 45111908393-й. (Была такая шутка: ученые нашли последнее число в записи π— им оказалось число е, почти попали.)

Попробуйте поискать в первых десяти тысячах знаков π свой телефон или дату рождения; если не получится — ищите в ста тысячах знаков.
И еще: в числе 1/π начиная с 55172085586-го знака идут 3333333333333; не правда ли, удивительно? Даже в первой тысяче есть неожиданности — пять девяток подряд.

История числа "пи"

И стория числа π выражающего отношение длины окружности к её диаметру, началась в Древнем Египте. Площадь круга диаметром d египетские математики определяли как (d-d/9)² (эта запись дана здесь в современных символах). Из приведенного выражения можно заключить, что в то время число π считали равным дроби (16/9)², или 256/81, т.е. π= 3,160...
В священной книге джайнизма (одной из древнейших религий, существовавших в Индии и возникшей в VI в. до н.э.) имеется указание, из которого следует, что число π в то время принимали равным , что даёт дробь 3,162...

Древние греки Евдокс, Гиппократ и другие измерение окружности сводили к построению отрезка, а измерение круга - к построению равновеликого квадрата. Следует заметить, что на протяжении многих столетий математики разных стран и народов пытались выразить отношение длины окружности к диаметру рациональным числом.

Архимед в III в. до  н.э. обосновал в своей небольшой работе "Измерение круга" три положения:

1. Всякий круг равновелик прямоугольному треугольнику, катеты которого соответственно равны длине окружности и её радиусу;

2. Площади круга относятся к квадрату, построенному на диаметре, как 11 к 14;

3. Отношение любой окружности к её диаметру меньше 3 1/7 и больше 3 10/71.

Последнее предложение Архимед обосновал последовательным вычислением периметров правильных вписанных и описанных многоугольников при удвоении числа их сторон. Сначала он удвоил число сторон правильных описанного и вписанного шестиугольников, затем двенадцатиугольников и т.д., доведя  вычисления до периметров правильного вписанного и описанного многоугольников с 96 сторономи. По точным расчётам Архимеда отношение окружности к диаметру заключено между числами 3*10/71 и 3*1/7, а это означает, что π = 3,1419... Истинное значение этого отношения 3,1415922653...

В наше время труд вычислителей заменили компьютеры. С их помощью число "пи" вычислено с точностью более миллиона знаков после запятой, причём эти вычисления продолжались только несколько часов. В современной математике число π- это не только отношение длины окружности к диаметру, оно входит в большое число различных формул, в том числе и в формулы неевклидовой геометрии.

Эта и другие взаимозависимости позволили математикам ещё глубже выяснить природу числа π.

Приложение № 5

Примеры известных стихотворений и их числовой аналог

Приложение № 6