XX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Функции в образах
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Цель проекта: Наглядная демонстрация функциональных зависимостей, с помощью которых можно описать реальные события в жизни, истории; различные процессы в биологии, химии, физике, астрономии.
Задачи проекта:
1.Произвести сбор информации о том, как различные процессы и события в реальной жизни могут быть описаны с помощью функций.
2.Создать электронное пособие, которое учитель может использовать на уроке с целью наглядной демонстрации при изучении темы «Функции».
Введение.
При изучении темы «Функции» передо мной возник вопрос: где и как могут использоваться функции, и связаны ли с ними какие-либо процессы в природе, может ли какая-либо зависимость между отдельными событиями являться функцией? Размышляя над этим вопросом, я обнаружила, что многие факты в окружающем нас мире взаимозависимы, то есть представляют собой элементарные функциональные зависимости, называемые функциями. Полученный результат вдохновил меня на создание проекта «Функции в образах». Я считаю, что этот проект может помочь заинтересовать учащихся, дать возможность «заглянуть внутрь» такого сложного математического понятия как «функция».
Привлечённая яркой оболочкой занимательности, я начала осуществлять подборку необходимой информации из специальной литературы. Я нашла функциональные зависимости между отдельными событиями, с помощью которых можно описать различные процессы в повседневной жизни, химии, физике, биологии, астрономии.
Свой проект решила оформить на компьютере в виде презентации.
Функции в жизни.
Рассмотрим деление праздничного торта между гостями. Отчего зависит количество порций?– от числа гостей. А от чего зависит вес порции? – тоже от числа гостей.
− В первом случае, чем больше гостей, тем на большее количество порций мы должны разделить торт.
Здесь наглядно можно представить прямую пропорциональную зависимость.
− Во втором случае, чем больше гостей, тем меньше вес порции.
З
десь наглядно можно представить обратную пропорциональную зависимость.
Объём информации.
Мы живём в век информационных технологий. Ежедневно мы получаем массу информации из различных источников: телевидения, радио, газет, журналов, и, конечно, Интернета. Известно, что объём информации каждые пять лет увеличивается в два раза.
Если построить график зависимости объёма информации от времени, то получим некоторую кривую, которая в математике называется экспонентой и является графиком показательной функции.
Но по закону показательной функции происходят и другие процессы, о которых мы поговорим далее.
Функции в биологии, химии и физике.
В жизни нередко приходится встречаться с такими фактами, когда скорость изменения какой-либо величины пропорциональна самой величине (размножение бактерий, ход химической реакции и т.д.). В этом случае рассматриваемая величина будет изменяться по закону показательной функции.
Например:
1. По закону показательной функции размножалось бы всё живое на земле, если бы для этого имелись благоприятные условия, т.е. не было естественных врагов и было вдоволь пищи. Доказательство тому – распространение в Австралии кроликов, которых там раньше не было. Достаточно было выпустить пару особей, как через некоторое время их потомство стало национальным бедствием.
2 . Если бы все маковые зёрна давали всходы, то через 5 лет число «потомков» одного растения равнялось бы 243 · 1015 или приблизительно 2000 растений на 1 м2 суши.
3. Потомство комнатных мух за лето только от одной самки может составить 8 · 1014. Эти мухи весили бы несколько миллионов тонн, а выстроенные в одну цепочку, они составили бы расстояние, большее, чем расстояние от Земли до Солнца. Потомство пары мух за 2 года имело бы массу, превышающую массу земного шара. И только благодаря сообществу животных и растений, когда увеличение одного вида влечёт за собой рост количества его врагов, устанавливается динамическое равновесие в природе.
4. Радий распадается в зависимости от времени по закону М =М0 е-kt , где:
М0 – начальное количество радия, k – некоторый коэффициент. Пользуясь этой формулой, учёные смогли подсчитать возраст земли, то есть время, в течение которого радий смог распадаться нормально.
5.Посредством степенной функции f(x) = Axα описывается зависимость интенсивности основного обмена от веса животного. Здесь x – вес животного; f(x) – количество кислорода, поглощаемого животным в единицу времени; A и α - параметры, постоянные для данного класса живых существ. Для млекопитающих и птиц, например, α = 0,74, А=70, для рыб α =0,8, А=0,3.
Почему летом теплее, чем зимой?
Иногда в ответ на этот вопрос слышишь: потому что Земля, двигаясь по своей орбите, зимой находится от Солнца дальше, чем летом. Но это совершенно неверно! Ведь орбита Земли – это почти круг, в центре которого находится Солнце.
Расстояние нашей планеты от светила меняется слишком незначительно от месяца к месяцу, чтобы это было причиной смены времён года. Всё дело в наклоне земной оси по отношению к плоскости земной орбиты.
Взгляните на рисунок: зимой в умеренных широтах солнце невысоко поднимается над горизонтом, его лучи лишь скользят по земле.
Летом в моменты наивысшего подъёма над горизонтом солнце приближается к зениту, его лучи падают почти отвесно на те же участки земного шара. Поток энергии, идущей от Солнца, одинаков во все времена года. Но в зависимости от наклона солнечных лучей она по-разному распределяется по земной поверхности. Больше всего её приходится на заданный участок поверхности при отвесном падении света. Чем меньше угол, который образуют лучи с поверхностью, тем меньше их приходится на тот же участок. Именно эту зависимость применяет (быть может, не думая об этом) курортник, загорающий под солнцем юга, когда он поворачивает свой топчан так, чтобы солнечные лучи как можно менее отклонялись от перпендикуляра к плоскости топчана.
Определим: какая доля солнечной энергии, приходящейся на некоторый участок плоскости при отвесном падении лучей, приходится на него при наклонном падении лучей под тем или иным углом? Проследив эволюцию жирно очерченного прямоугольного треугольника на приведённых чертежах. Гипотенуза, на которую падают солнечные лучи, - всюду одна и та же. Катет, через который входят падающие на неё лучи, - меняется по длине, уменьшаясь вместе с углом, который образуют с гипотенузой падающие на неё лучи. Очевидно, интересующая нас доля солнечной энергии равна отношению указанного катета к гипотенузе. В прямоугольном треугольнике с заданным углом нужно взять отношение противолежащего катета к гипотенузе. Полученное число и укажет интересующую нас долю солнечной энергии. Число, определённое таким образом и поставленное в соответствие углу, для которого оно определялось, называется синусом этого угла. Это есть синусоида. Если что-то и кажется здесь непривычным, так это неестественно малая протяжённость кривой. Обычно её рисуют безгранично разбегающейся вдоль оси абсцисс, волна за волной.
Сколько звёзд на небе?
Одним из первых кто попытался точно ответить на вопрос сколько звезд на небе, был древнегреческий астроном Гиппарх. При его жизни в созвездии Скорпиона вспыхнула новая звезда. Гиппарх был потрясён: звезды смертны. Гиппарх составил свой звёздный каталог. Он насчитал около тысячи звезд и разбил их по видимому блеску на шесть групп. Самые яркие Гиппарх назвал звёздами первой величины, заметно менее яркие – второй, ещё столь же (величина постоянная) менее яркие – третьей и т.д. до звёзд, едва видимых невооруженным глазом, которым была присвоена шестая величина.
В наше время существуют чувствительные приборы для световых измерений, - это даёт возможность точно определить блеск звёзд.
Покажем на графике.
Насколько соответствует данным этих измерений распределение этих звёзд по видимому блеску, произведённому на глаз? От каждой из шести групп, на которые распределял звёзды Гиппарх, возьмём по одному типичному представителю. По вертикальной оси будем откладывать блеск звёзд в единицах Гиппарха, по горизонтальной – показания приборов. Сразу же бросается в глаза, что объективные (прибор) и субъективные (глаз) характеристики блеска не пропорциональны друг другу. C каждым шагом по шкале звёздных величин прибор регистрирует возрастание блеска не на одну и ту же величину, а примерно в 2,5 раза. Итак, зависимость выражается логарифмической функцией.
Заключение.
В результате работы над проектом я достигла понимания важности изучения математики и возможность показать своим товарищам красоту и значимость математики. Выполняя проект, я приобрела не только необходимые знания, умения и навыки, но и определённый личностный опыт.
Список литературы:
-
Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике: книга для внеклассного чтения 9-10 кл. – 2-е изд., испр. – М.: Просвещение,1985. – 192 с.
-
Есипенко Г.Е. Математика в жизни. Новосибирское книжное издательство, 1960 – с.100.
-
Уалянская Н. О, функция, как ты важна//Математика – 1999 - №45 – с.11.