Задачи и способы их решения

XX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Личный портфель

Задачи и способы их решения

Богатырева А.Е. 1
1МОУ "СОШ №13 имени Ю. А. Гагарина"
Чекунаева М.В. 1
1МОУ "СОШ №13 имени Ю. А. Гагарина"
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Диплом школьникаСвидетельство руководителя
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Никто не рождается с умением решать математические задачи. Данный навык появляется только в результате многочисленных упражнений. Зачем же нужно уметь решать задачи?

Во-первых, для развития логического мышления и памяти. Особенно этому способствует решение составной (на несколько действий) задачи несколькими способами. В процессе решения составной задачи нужно удерживать в памяти определенное количество фактов и быстро оперировать ими, вспоминать алгоритмы решения. Это тренирует память, которая, в свою очередь, пригодится в изучении других предметов.

Во-вторых, решение математических задач в последствие помогает решать и бытовые задачи. Умение решать математические задачи делает мышление конкретным, не разрешает домысливать некоторые этапы. Здесь нельзя перейти от первого действия к третьему, переступив через второе. Все их нужно четко и логично обосновать. Для этого нужно научиться анализировать задачу. Со временем вырабатывается привычка к анализу различных бытовых ситуаций, развивается абстрактное мышление, а определенные логические цепочки остаются в памяти на всю жизнь. Как только возникает необходимость в их применении, они «достаются» почти автоматически. Остается только воспользоваться ими. [3] Таким образом, научиться решать текстовые задачи, является важным этапом при изучении математики.

Актуальность темы:

Математика включает в себя очень много разделов — это начальная математика, алгебра, геометрия и т.д. Любой из этих разделов содержит текстовые задачи, которые занимают в математическом образовании огромное место. Однако у значительной части учащихся возникают сложности при решении текстовых задач, поэтому изучение алгоритмов их решения и отработка практических навыков является актуальным для современных школьников.

Цель:

Создание методического пособия «Задачи и способы их решения»

Задачи:

  1. Обобщить, углубить и систематизировать знания по решению задач.

  2. Приобрести математические навыки при их решении.

  3. Углубить знания по математике, предусматривающие формирование устойчивого интереса к предмету.

  4. Создать методическое пособие, провести практикум по решению задач.

Гипотеза:

Я считаю, что создание методического пособия с задачами поможет выработать навык при их решении у меня и других учащихся.

Работа над проектом позволила нам сделать следующие выводы:

  1. Наиболее удобным инструментом для анализа общественного мнения являются методы статистики (диаграммы);

  2. Задача – это основное средство оттачивания мысли каждого школьника.

  3. Изготовленное методическое пособие может служить наглядным пособием в кабинете математики при работе математического кружка, выработать навык при решении уравнений у меня и других учащихся.

  4. Попробовала себя в качестве преподавателя, провела занятие в рамках внеурочной деятельности, на котором познакомила одноклассников с решением задач, надеюсь, заинтересовала их.

Объект проекта – задачи

Предмет проекта – рациональность и простота решения задач

Методы создания проекта:

1) анализ (типология задач);

2) практика (практическое решение задач, взятых из разных дидактических материалов);

3) обобщение (выделение задач похожих по структуре и способу решения);

4) поиск (теоретического материала, правил и законов математики, которые необходимо знать во избежание трудностей);

5) оформление (методического пособия).

1. Теоретическая часть

1.1. Сведения из истории задач

Тема решения задач была актуальна всегда. Решением задач занимались в древности, решали их разными способами. Практика применения текстовых задач в обучении идет от глиняных табличек Древнего Вавилона. Известно, что исторически долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания вместе с их решениями. Первоначально обучение математике велось по образцам. Ученики, подражая учителю, решали задачи на определенное «правило». В давние времена обученным считался тот, кто умел решать задачи определенных типов, встречавшихся на практике (в торговых расчетах и пр.).

Рассмотрим фрагмент из «Арифметики» Л.М. Магницкого 1703 г.:

«Задача: Один человек выпьет кадь кваса в 14 дней, а с женою выпьет ту же кадь в 10 дней. Спрашивается, в сколько дней жена его отдельно выпьет ту же кадь.

Решение: Вынь 10 из 14 — останется 4. Молви: 4 даст 10. Что даст 14? Умножь 14 на 10, будет 140. Дели 140 на 4, будет 35 дней. За 35 дней одна жена кадь квасу выпьет». [2]

В России не только развили старинный способ передачи с помощью текстовых задач математических знаний и приемов рассуждений, но и научились формировать с помощью задач важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделения условий задачи и главного вопроса, составлением плана решения, поискам условий, из которых можно получить ответ на главный вопрос, проверкой полученного результата. Задачи играли важную роль в процессе обучения в России, и им отводилось много времени при обучении математики в школе.

1.2. Основные понятия и используемые при решении задач

Основные понятия

 С термином «задача» люди постоянно сталкиваются в повседневной жизни, как на бытовом, так и на профессиональном уровне. Каждому из нас приходится решать те или иные проблемы, которые зачастую мы называем задачами. В широком смысле слова под задачей понимается некоторая ситуация, требующая исследования и решения человеком. Отдельно стоят математические задачи, решение которых достигается специальными математическими средствами и методами.

Текстовая задача — это описание некоторой ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между её компонентами или определить вид этого отношения (А.П. Тонких). По М.И. Моро и А.М. Пышкало текстовая задача — это сформированный словами вопрос, ответ на который может быть получен с помощью арифметических действий.

Любая текстовая задача состоит их двух частей: условия и требо­вания.

В условии сообщаются сведения об объектах и их величинах, об отношениях между ними, задаются количественные характеристики величин (их численные значения).

Требование — это указание, что нужно найти. Оно может быть выражено предложением в повелительной или вопросительной фор­ме.

Текстовая задача — это словесная модель. Чтобы решать задачу, надо построить ее математическую модель (числовое выражение, уравнение).

 Рассмотрим этапы моделирования в процессе решения текстовых задач:

1 этап — перевод на математический язык: переход от словесной модели к вспомогательной, а затем к математической.

2 этап — внутри модельное решение: находятся значения числовых выражений, решаются уравнения.

3 этап — перевод полученного решения на естественный язык: используя полученное решение, формируется ответ на вопрос, поставленный в задаче.

Решение текстовых задач — это сложная деятельность, содержание которой зависит как от конкретной задачи, так и от умений решающего. Тем не менее, в ней можно выделить несколько этапов:

1. Ознакомление с содержанием задачи.

2. Поиск решения задачи.

3. Выполнение решения задачи.

4. Проверка решения задачи.

1.3. Типы задач и примеры решения с пошаговым объяснением

При решении задач используются разные правила и формулы. В связи с этим можно предложить следующую классификацию:

  • Задачи с использованием формул

  • Задачи с использованием правил

  • Задачи с помощью уравнения

Задачи бывают простые и сложные. Простая задача – задача, которая решается в одно действие. Сложная задача – это задача, которая решается двумя или более действиями.

  • Задачи с использованием формул

Формулы

Формула пути

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

Формула объема куба

Формула периметра треугольника

Формула периметра прямоугольника

Формула периметр квадрата

Формула площади прямоугольника

Формула площади квадрата

Задачи с использованием формул

ПРОСТЫЕ ЗАДАЧИ

  • Автобус проехал 380,4 км за 6 часов. Какое расстояние он проедет за 11 часов, если будет двигаться с такой же скоростью?

  • Одна из сторон прямоугольника равна 3 , а другая на дм меньше. Вычислить площадь прямоугольника.

  • Вычислите объем и площадь поверхности куба с ребром 0,3 см.

  • Одна из сторон треугольника равна 24 см, вторая – в 4 раза короче первой, а третья – на 16 см длиннее второй. Вычислите периметр треугольника.

  • Сумма двух сторон квадрата 12 дм. Найдите периметр квадрата.

  • Длина прямоугольного параллелепипеда равна 18 см, ширина – в 2 раза меньше длины, а высота – на 11 см больше ширины. Вычислите объем параллелепипеда.

  • Поле прямоугольной формы имеет площадь 6 га. Ширина поля 150 м. Вычислите периметр поля.

  • Найдите площадь квадрата, периметр которого равен 156 м.

СЛОЖНЫЕ ЗАДАЧИ

  • Из пункта А в пункт В одновременно выехали два велосипедиста. Скорость первого км/ч, что в 1 раза меньше скорости второго. Какое расстояние между ними будет через 1

  • Длина прямоугольного параллелепипеда равна 4 меньше его ширины и в 1 раза меньше высоты. Найдите объем параллелепипеда.

  • Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 14 см2, а длина равна 4

  • Одна из сторон треугольника равна 12см, вторая составляет о,7 первой, а третья Найдите периметр треугольника.

  • Поле прямоугольной формы имеет площадь 4га, его ширина 50м. Вычислите периметр поля.

  • Задачи с использованием формул (проверь себя)

Формулы

Формула пути

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

Формула объема куба

Формула периметра треугольника

Формула периметра прямоугольника

Формула периметр квадрата

Формула площади прямоугольника

Формула площади квадрата

Задачи с использованием формул

  • Вычислите объем и площадь поверхности куба с ребром 1,2 см.

  • Одна из сторон треугольника равна 32 см, вторая – в 2 раза короче первой, а третья – на 6 см короче первой. Вычислите периметр треугольника.

  • Ширина прямоугольного параллелепипеда равна 6 см, длина – в 5 раз больше ширины, а высота – на 5 см меньше длины. Вычислите объем параллелепипеда.

  • Найдите площадь квадрата, периметр которого равен 144 м.

  • Одна сторона треугольника равна 5,6 см, что на 1,4 см больше второй стороны и на 0,7 см меньше третьей. Найдите периметр треугольника.

  • Ширина прямоугольного параллелепипеда равна 4 см, что составляет его длины, а высота составляет 40 % длины. Вычислите объем параллелепипеда.

  • Периметр прямоугольника 11,2 дм. Длина этого прямоугольника больше ширины в 2,5 раза. Найдите площадь прямоугольника.

  • Поле прямоугольной формы имеет площадь 3 га, его длина – 200 м. Вычислите периметр поля.

  • Из города до поселка легковая автомашина шла 1,2 ч, а автобус 2ч. С какой скоростью шла автомашина, если скорость автобуса 48,3 км/ч?

  • Периметр треугольника равен 123 см, а длины его сторон относятся как 10:12:19. Найдите стороны треугольника.

  • Задачи с использованием правил

Правила

1. Дробь от числа

2. Число по его дроби

3. Процент от числа

4.Число по его процентам

5. Процентное отношение двух чисел

6.Отношение двух чисел

7. Средняя скорость

8.Скорость по течению

9. Скорость против течения

10.Скорсть сближения

11. Скорость удаления

12. Прямая зависимость двух величин

13. Обратная зависимость двух величин

Задачи с использованием правил

ПРОСТЫЕ ЗАДАЧИ

  • Турист должен пройти 40 км. В первый день он прошёл всего пути, а во второй пути. Сколько километров прошёл турист за два дня?

  • За день Миша прочитал 42 страницы, что составляет книги. Сколько страниц в книге?

  • Площадь поля равна 300 га. Рожью засеяли 18 % поля. Сколько гектаров поля засеяли рожью?

  • Петя купил книгу за 90 р., что составляет 30 % всех денег, которые у него были. Сколько денег было у Пети?

  • Найдите процент содержания соли в растворе, если в 400 г раствора содержится 48 г соли.

  • Периметр треугольника равен 108 см, а длины его сторон относятся как 6:8:13. Найдите стороны треугольника.

  • Моторная лодка плыла 1,4 ч по течению реки и 2,2 ч против течения. Какой путь преодолела лодка за всё время движения, если скорость течения равна 1,7 км/ч, а собственная скорость лодки – 19,8 км/ч?

  • Лодка плыла 2 ч со скоростью 12,3 км/ч и 4 ч со скоростью 13,2 км/ч. Найдите среднюю скорость лодки на всём пути.

  • От одной пристани одновременно в одном направлении отплыли лодка и катер. Лодка плыла со скоростью 14 км/ч, а катер – 21 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 5 ч после начала движения?

  • Из одного города в противоположных направлениях одновременно выехали два автомобиля. Один из них, двигался со скоростью 48 км/ч, а второй 46 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 4 часа после начала движения?

  • Для перевозки груза машине грузоподъемностью 3,5 т пришлось сделать 18 рейсов. Сколько рейсов придется сделать машине грузоподъемностью 9 т для перевозки того же груза?

  • Из 7,2 кг яблок получилось 3 л сока. Сколько литров сока можно получить из 18 кг яблок?

  • Содержание соли в растворе составляет 32%. Сколько килограммов соли содержится в 75 кг раствора?

  • Лодка плывет по течению реки. Собственная скорость лодки 8,25 км\ч, а скорость течения 2 км\ч. Какое расстояние проплывет лодка по течению реки за 1,4 часа?

СЛОЖНЫЕ ЗАДАЧИ

  • Скорость катера по течению равна 19 , а скорость течения 1 . Найдите скорость катера против течения

  • Автомобиль проехал первую часть пути за 2.6 ч со скоростью 78 км/ч, а вторую часть за 3,9 ч. С какой скоростью автомобиль проехал вторую часть пути, если средняя скорость в течение всего времени движения составляла 70,2 км/ч?

  • Турист прошёл за три дня 48 км. В первый день он прошёл 35 % всего маршрута. Путь, пройденный в первый день, составляет 80 % расстояния, пройденного во второй день. Сколько километров прошёл турист, в третий день?

  • В первый день Петя прочитал 40 % всей книги, во второй – 60 % остального, а в третий оставшиеся 144 страницы. Сколько всего страниц в книге?

  • От бревна длиной 6,3 м сначала отпилили а потом 0,2 остатка. Найдите длину оставшейся части бревна.

  • Яблоки при сушке теряют 84% своей массы. Сколько килограммов свежих яблок надо взять, чтобы получить 9,6 кг сушеных?

  • Поезд ехал 2 часа со скоростью 70,6 км/ч и 8 часов со скоростью 74,2 км/ч. Найдите среднюю скорость поезда на всем пути.

  • В первый день турист прошёл маршрута, а во второй остальные 24 км. Найдите длину всего маршрута.

  • Из двух сёл навстречу друг другу одновременно выехали два велосипедиста. Один велосипедист ехал со скоростью км/ч, а другой – со скоростью в раза меньшей. Через сколько часов после начала движения они встретились, если расстояние между сёлами равно 26 км?

  • Задачи с использованием правил (проверь себя)

Правила

1. Дробь от числа

2. Число по его дроби

3. Процент от числа

4.Число по его процентам

5. Процентное отношение двух чисел

6.Отношение двух чисел

7. Средняя скорость

8.Скорость по течению

9. Скорость против течения

10.Скорсть сближения

11. Скорость удаления

12. Прямая зависимость двух величин

13. Обратная зависимость двух величин

Задачи с использованием правил

  • Расстояние между городами равно 350 км. Автомобиль проехал этого расстояния. Сколько километров проехал автомобиль?

  • Морская вода содержит 6% соли. Сколько килограммов соли содержится в 40 кг морской воды?

  • За три дня проложили 112м кабеля. За первый день проложили кабеля, а за второй оставшегося. Сколько метров кабеля проложили за третий день?

  • В первую смену столовую посетили рабочих цеха, а во вторую остальные 45 человек. Сколько рабочих в цехе?

  • Для учащихся класса купили тетради, ручки и карандаши. Стоимость тетрадей составила стоимости всей покупки, стоимость ручек , а стоимость карандашей остальные 700 рублей. Найдите стоимость всей покупки.

  • Спортивные соревнования проходили три дня. В первый день в них выступили 34% всех участников, во второй день 30%, а в третий остальные 108 человек. Сколько всего было участников соревнований?

  • Найдите процент содержания сахара в растворе, если в 400г раствора содержится 18 г сахара.

  • Цена товара была 600 рублей. Сначала его цену повысили на 20 %, а потом снизили на 10 %. Какой стала цена товара после этих изменений?

  • Периметр треугольника равен 140см, а длины его сторон относятся как 8:12:15. Найдите стороны треугольника.

  • Скорость баржи по течению реки равна 19,4 км/ч, а скорость течения 1,7 км/ч. Найдите собственную скорость баржи и ее скорость против течения.

  • Теплоход двигался 4,5 ч против течения реки и 3,7 ч по течению реки. Какой путь проплыл теплоход, если его скорость против течения равна 23,7 км/ч, а скорость течения 1,5 км/ч?

  • Из одного города в противоположных направлениях одновременно выехали велосипедист со скоростью 12,3 км/ч и легковой автомобиль со скоростью 71,2 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 1,4 ч после начала движения?

  • С одной станции в одном направлении одновременно отправились два поезда. Один из них двигался со скоростью 64,7 км/ч, а второй 56,9 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 4,5 ч после начала движения?

  • Туристы, в первые 2 дня проходили по 14,5 км в день, следующие 3 дня они проходили по 12,5 км в день и в последний день они прошли 7Ю6 км. Сколько километров в среднем в день проходили туристы?

  • Задачи, решаемые с помощью уравнений

Алгоритм решения задачи с помощью уравнения

1. Ввести переменную

2. Составить уравнение и его решить

3. Вернуться к условию задачи

4. Записать ответ

Задачи, решаемые с помощью уравнений

  • В трёх ящиках лежит 75 кг апельсинов. Во втором ящике апельсинов в 4 раза больше, чем в первом, а в третьем – на 3 кг меньше, чем в первом. Сколько килограммов апельсинов лежит в первом ящике?

  • У Пети и Васи было поровну денег. Когда Петя потратил на покупку книг 400р., а Вася – 200р., то у Васи осталось денег в 5 раз больше, чем у Пети. Сколько денег было у каждого из них вначале?

  • В первом вагоне электропоезда ехало в 3 раза больше пассажиров, чем во втором. Когда из первого вагона вышло 28 пассажиров, а из второго – 4 пассажира, то в обоих вагонах пассажиров стало поровну. Сколько пассажиров было в каждом вагоне вначале?

  • Одна сторона треугольника в 3 раза меньше второй и на 23дм меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 108 дм.

  • Периметр прямоугольника равен 12,4 см, одна из его сторон на 3,8 см меньше другой. Найдите площадь прямоугольника.

  • От села до города легковой автомобиль доехал за 3ч, а грузовой за 5ч. Найдите скорость каждого автомобиля, если скорость грузового автомобиля на 32 км/ч меньше скорости легкового автомобиля.

  • Задачи, решаемые с помощью уравнений (проверь себя)

Алгоритм решения задачи с помощью уравнения

1. Ввести переменную

2. Составить уравнение и его решить

3. Вернуться к условию задачи

4. Записать ответ

Задачи, решаемые с помощью уравнений

  • Трое рабочих изготовили вместе 762 детали, причём первый изготовил в 3 раза больше деталей, чем третий, а второй на 117 деталей больше, чем третий. Сколько деталей изготовил каждый рабочий?

  • Одна сторона треугольника на 9 см меньше второй и в 2 раза меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 105 см.

  • Периметр прямоугольника равен 11,2 дм, одна из его сторон на 2,4 дм больше другой. Найдите площадь прямоугольника.

  • Масса банки краски больше массы банки олифы на 1,6 кг. Какова масса банки и какова масса банки олифы, если масса 6 банок краски равна массе 14 банок олифы?

  • За 7 тетрадей и 4 альбома для рисования заплатили 335 р. Альбом дороже тетради на 15р. Сколько рублей стоит тетрадь? альбом?

  • Катер прошёл расстояние между двумя портами за 3ч, а теплоход за 4ч. Найдите скорость катера и скорость теплохода, если скорость катера на 8км/ч больше скорости теплохода.

  • На первом складе было в 3 раза больше телевизоров, чем на втором. Когда с первого склада увезли 20 телевизоров, а на второй привезли 14, то на обоих складах телевизоров стало поровну. Сколько телевизоров было на каждом складе вначале?

1.4. Примеры решения задач с объяснением

Задачи с использованием формул (Приложение 1)

Задачи с использованием правил (Приложение 2)

Задачи, решаемые с помощью уравнений (Приложение 3)

2. Практическая часть

2.1. Анализ решения задач до разработки пособия

Анализ образовательной практики по данному направлению говорит о том, что значительная часть учащихся испытывает серьёзные затруднения при решении задач. Это показывает диаграмма «Средний процент выполнения задач» (Приложение 4)

Большинство учащихся решают задачи лишь на репродуктивном уровне (у них не вырабатываются отдельно умения и навыки в действиях, входящие в общую деятельность по решению задач и выделению в них общих подходов и методов).

2.2. Разработка пособия

Для создания математического пособия для начала я составила для себя следующий план своих действий:

  1. Поиск информации.

  2. Распределение задач по их видам и по уровню сложности.

  3. Выделение нужной информации, из ранее изученной.

  4. Отбор информации, и её соотнесение в нужные виды задач.

  5. Поиск типовых задач.

  6. Подбор нужных задач для каждого из видов.

  7. Процесс решений задач для соотнесения их с ответами.

  8. Оформление пособия.

Далее я стала действовать, опираясь на свой план.

И в конечном итоге у меня получилось именно то пособие, которое я хотела разработать. (Приложение 5)

2.3. Анализ решения задач после разработки пособия

Для того чтобы выяснить, помогло ли моё пособие выработать навыки при решении задач у учащихся, я предложила нескольким одноклассникам решить по одной из задач каждого вида, не прочитав моего пособия и сравнить с тем, как они решат подобные задачи после его изучения.

Далее я составила диаграмму «Средний процент выполнения задач после разработки пособия» (Приложение 6), которая показала, что результаты проделанной мной работы оказались отличными.

Заключение

Выполнение проекта помогло мне утвердиться в своих силах, научило самостоятельному поиску и сбору информации. Цель моей работы была достигнута, а задачи выполнены. К тому же, я научилась решать задачи всех видов, тем самым подтверждая ранее выдвинутую мной гипотезу.

Я выяснила то, что для того, чтобы научиться решать задачи, нужно приобрести опыт их решения путём многократного повторения каких-либо операций и действий, составляющих предмет изучения. Навыки решения задач формируются на основе осмысленных знаний и умений.

При решении задач вырабатывается умение применять теорию на практике, сопоставлять известное с неизвестным.

Существенную роль в обучении играют разнообразные методы и приемы обучения. Именно они вызывают активность мыслей у учащихся, оптимально способствуют его умственному развитию, воспитывают настойчивость, активность и формируют жизненную позицию ученика как активной и самостоятельной личности.

Правильная методика обучения решению математических задач играет существенную роль в формировании высокого уровня математических знаний, умений и навыков учащихся.

Учебные математические задачи являются очень эффективным и часто незаменимым средством усвоения учащимися понятий и методов школьного курса математики, вообще математических теорий. Велика роль задач в развитии мышления и в математическом воспитании учащихся, в формировании у них умений и навыков в практических применениях математики. Решение задач хорошо служит достижению всех тех целей, которые ставятся перед обучением математике.

Таким образом, решение задач является одной из важных проблем обучения математики, так как дают возможность провести выполнение умственных операций: анализа, синтеза, сравнения, обобщения, а также способствует углублению знаний по многим темам изучаемых в математике разных классов.

Список использованных источников и литературы

  1. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Математика 6 класс // М.: Вентана-Граф, 2019

  2. Свечников А.А. Путешествие в историю математики // М.: Педагогика-Пресс, 1995

  3. Зачем уметь решать задачи – Режим доступа: https://zen.yandex.ru/media/id/5eb6f7a440916f1d4ab16c9e/zachem-umet-reshat-zadachi-5eb85451cbfa886ba58022df

Приложение

Приложение 1

  1. Формула пути

При решении задач на движение используется формула пути, которая связывает между собой скорость, время и расстояние:

где — путь, — скорость, — время

В зависимости от условия задачи, существует несколько способов применения основной формулы для решения задач на движение:

чтобы найти время, надо путь разделить на скорость

чтобы найти скорость, надо путь разделить на время

Образец решения задачи

Задача. Автобус проехал 380,4 км за 6 часов. Какое расстояние он проедет за 11 часов, если будет двигаться с такой же скоростью?

Решение. Чтобы найти расстояние, которое проедет автобус за 11 часов, необходимо знать скорость его движения. Из условия задачи известно, что автобус двигался с одинаковой скоростью, поэтому = .

Для нахождения скорости движения автобуса воспользуемся формулой

= = 380,4:6 = 63,4 (км/ч)

Теперь, воспользовавшись формулой пути , найдем расстояние, которое проехал автобус за 11 часов:

= 63,4 * 11 = 697,4 (км)

Ответ: 697,4 км

2. Формула объема прямоугольного параллелепипеда

При решении задач на нахождение объема прямоугольного параллелепипеда применяют формулу нахождения объема по сторонам:

где — объем, — стороны прямоугольного параллелепипеда.

Образец решения задачи

Задача. Длина прямоугольного параллелепипеда равна 4 меньше его ширины и в 1 раза меньше высоты. Найдите объем параллелепипеда.

Решение. Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда необходимо знать длины его сторон. Из условия задачи известна длина фигуры: = 4 . Ширина параллелепипеда на больше его длины, поэтому

4 =5 (см)

Высота фигуры в 1 раза больше его длины, поэтому

4 (см)

Для нахождения объема воспользуемся формулой

5 (см3)

Ответ: см3

3. Формула объема куба

Вычислить объем куба легко – нужно перемножить длину, ширину и высоту. Так как у куба длина равна ширине и равна высоте, то объем куба:

где — объем, — сторона.

Образец решения задачи

Задача. Вычислите объем и площадь поверхности куба с ребром 0,3 см.

Решение. Для нахождения объема куба необходимо знать длину его стороны. Из условия задачи = 0,3 см, поэтому можно сразу воспользоваться формулой объема куба

0,33 = 0,027 (см3)

Стороной куба является квадрат, поэтому, чтобы найти площадь поверхности куба, необходимо площадь его стороны умножить на шесть. Формула площади квадрата S , поэтому площадь поверхности S

Sповерхности = 6* 0,32 = 0,54 (см2)

Ответ: 0,027 см3; 0,54 см2

4. Формула периметра треугольника

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон:

где P— периметр, a, b, c — стороны треугольника.

Образец решения задачи

Задача. Одна из сторон треугольника равна 24 см, вторая – в 4 раза короче первой, а третья – на 16 см длиннее второй. Вычислите периметр треугольника.

Решение. Для того чтобы найти периметр треугольника, необходимо сначала знать длины его сторон. Из условия задачи нам известно, что одна сторона треугольника равна a=24 см. Вторая – в 4 раза короче первой, поэтому

b=24:4=6(см)

Третья сторона на 16 см длиннее второй, значит

c=6+16=22(см)

Теперь найдем периметр треугольника, для этого воспользуемся формулой

Ответ: 52 см

5. Формула периметра прямоугольника

Периметр прямоугольника — это общая длина всех его сторон. Основная формула периметра прямоугольника:

где P— периметр, a, b — противоположные стороны прямоугольника.

Образец решения задачи

Задача. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 14 см2, а длина равна 4

Решение. Для нахождения периметра прямоугольника необходимо знать его длину и ширину. Значение длины известно по условию задачи. Ширину найдем из формулы площади прямоугольника , откуда

4 = (см)

Для нахождения периметра прямоугольника воспользуемся формулой

= 10 (см)

Ответ: 10 см

6. Формула периметр квадрата

Периметр квадрата равен произведению длины его стороны на четыре:

где P— периметр, a— сторона квадрата.

Образец решения задачи

Задача. Сумма двух сторон квадрата 12 дм. Найдите периметр квадрата.

Решение. Для того чтобы найти периметр квадрата необходимо знать длину его стороны.

Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой

Ответ: 24 дм

7. Формула площади прямоугольника

Площадь прямоугольника через две стороны:

где — площадь, a, b — противоположные стороны прямоугольника.

Образец решения задачи

Задача. Одна из сторон прямоугольника равна 3 , а другая на дм меньше. Вычислить площадь прямоугольника.

Решение. Для нахождения площади прямоугольника необходимо знать длины его противоположных сторон. Из условия задачи известна длина прямоугольника: = 3 . Ширина на дм меньшее его длины, поэтому

3 (дм)

Для нахождения площади прямоугольника воспользуемся формулой

(дм2)

Ответ: дм2

8. Формула площади квадрата

Площадь квадрата равна квадрату его стороны:

где — площадь, a — сторона квадрата.

Образец решения задачи

Задача. Найдите площадь квадрата, периметр которого равен 156 м.

Решение. Для нахождения площади квадрата необходимо знать длину его стороны. Для ее нахождения воспользуемся формулой периметра квадрата , откуда

Для нахождения площади квадрата воспользуемся формулой

(м2)

Ответ: 1521 м2

Приложение 2

  1. Дробь от числа

Чтобы найти дробь от числа можно число умножить на эту дробь.

Задача. Турист должен пройти 40 км. В первый день он прошёл всего пути, а во второй пути. Сколько километров прошёл турист за два дня?

Решение. Чтобы найти пройденный туристом путь за 2 дня, необходимо узнать, сколько он проходил ежедневно. Для этого, воспользуемся правилом нахождения дроби от числа:

Первый день: 40* = 15 (км)

Второй день: 40 * = 10 (км)

Таким образом, за два дня турист прошел: 15 + 10 = 25 (км)

Ответ: 25 км

  1. Число по его дроби

Чтобы найти число по заданному значению его дроби, можно данное значение разделить на эту дробь.

Задача. За день Миша прочитал 42 страницы, что составляет книги. Сколько страниц в книге?

Решение. Чтобы найти сколько страниц в книге, необходимо воспользоваться правилом нахождения числа по его дроби:

42 : = 90 (страниц)

Ответ: 90 страниц.

  1. Процент от числа

Чтобы найти процент от числа можно представить процент в виде дроби и умножить число на эту дробь.

Задача. Площадь поля равна 300 га. Рожью засеяли 18 % поля. Сколько гектаров поля засеяли рожью?

Решение. Чтобы найти, сколько гектаров засеяли рожью, воспользуемся правилом процента от числа. Представим 18 % в виде дроби: 0,18. Теперь площадь поля умножим на полученную дробь:

300 * 0,18 = 54 (га)

Ответ: 54 га

  1. Число по его процентам

Чтобы найти число по его проценту можно представить процент в виде дроби и разделить число на эту дробь.

Задача. Петя купил книгу за 90 р., что составляет 30 % всех денег, которые у него были. Сколько денег было у Пети?

Решение. Чтобы найти сколько денег было у Пети, воспользуемся правилом числа по проценту. Представим 30 % в виде дроби: 0,3. Теперь стоимость книги разделим на полученную дробь:

90 : 0,3 = 300 (р)

Ответ: 300 р

  1. Процентное отношение двух чисел

Чтобы найти процентное отношение двух чисел необходимо их отношение умножить на 100 и к результату дописать знак процента.

Задача. Найдите процент содержания соли в растворе, если в 400 г раствора содержится 48 г соли.

Решение. Согласно условию задачи:

Раствор

400 г

100 %

Соль

48 г

х %

Составим пропорцию:

=

Откуда:

400* х = 100 * 48

Следовательно, процент содержания соли в растворе:

х = = 12 %

Ответ: 12 %

6. Отношение двух чисел

Частное двух чисел a и b, отличных от нуля, называют отношение a и b или отношение числа a к числу b.

Задача. Периметр треугольника равен 108 см, а длины его сторон относятся как 6:8:13. Найдите стороны треугольника.

Решение: Запишем отношение длин сторон треугольника:

a:b:c = 6:8:13

Обозначим за х одну часть, тогда: a = 6х, b = 8х, c = 13х

Воспользуемся формулой периметра треугольника:

6х + 8х + 13х = 108

Решим уравнение: х(6+8+13) = 108, откуда х = 4

Теперь найдем стороны треугольника:

a = 4*6=24 (см)

b = 4*8=32 (см)

c = 13*4= 52 (см)

Ответ: 24 см, 32 см, 52 см

7.Средняя скорость

Чтобы найти среднюю скорость при неравномерном движении, надо весь пройденный путь разделить на все время движения.

Задача. Лодка плыла 2 ч со скоростью 12,3 км/ч и 4 ч со скоростью 13,2 км/ч. Найдите среднюю скорость лодки на всём пути.

Решение. Найдем путь, пройденный лодкой на первом и втором участках

S1 = 12,3 * 2 = 24,6 (км)

S2 = 13,2 * 4 = 52,8 (км)

Весь путь, пройденный лодкой: 24,6 + 52,8= 77,4 (км)

Общее время пути: 2 + 4 =6 (ч)

Найдем среднюю скорость лодки на всем пути, воспользовавшись правилом нахождения средне скорости:

= 77,4 : 6 =12,9 (км/ч)

Ответ: 12,9 км/ч

8. Скорость по течению

Чтобы найти скорость по течению реки, надо собственную скорость сложить со скоростью течения реки.

Задача. Лодка плывет по течению реки. Собственная скорость лодки 8,25 км\ч, а скорость течения 2 км\ч. Какое расстояние проплывет лодка по течению реки за 1,4 часа?

Решение. Чтобы найти расстояние, которое проплывет лодка необходимо

Чтобы найти скорость лодки по течению, воспользуемся правилом нахождения скорости по течению:

8,25 + 2 = 10,25 (км/ч)

Найдем расстояние, которое проплывет лодка по течению реки:

S= 10,25 * 1,4 = 14,35 (км)

Ответ: 14,35 км

9.Скорость против течения

Чтобы найти скорость движения против течения, нужно из собственной скорости вычесть скорость течения.

Задача. Скорость катера по течению равна 19 , а скорость течения 1 . Найдите скорость катера против течения.

Решение. Найдем собственную скорость катера, для этого из скорости катера по течению реки вычтем скорость течения реки:

19 - 1 = 17 (км/ч)

Чтобы найти скорость катера против течения реки, воспользуемся правилом нахождения скорости против течения:

17 - 1 = 16 (км/ч)

Ответ: 16 км/ч

10. Скорость сближения

При движении навстречу друг другу объекты сближаются. Чтобы найти скорость сближения, надо сложить скорости объектов.

Задача. Из двух сёл навстречу друг другу одновременно выехали два велосипедиста. Один велосипедист ехал со скоростью км/ч, а другой – со скоростью в раза меньшей. Через сколько часов после начала движения они встретились, если расстояние между сёлами равно 26 км?

Решение. Найдем скорость второго велосипедиста:

: = 7 (км/ч)

Велосипедисты едут навстречу друг другу, поэтому чтобы найти скорость сближения, воспользуемся правилом:

+ 7 = 16 (км/ч)

Чтобы найти через сколько часов велосипедисты встретились, воспользуемся формулой:

t= 26 : 16 = 1 (ч)

Ответ: 1 ч

11. Скорость удаления

При движении в противоположных направлениях объекты удаляются. Чтобы найти скорость удаления, надо сложить скорости объектов.

Задача. Из одного города в противоположных направлениях одновременно выехали два автомобиля. Один из них, двигался со скоростью 48 км/ч, а второй 46 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 4 часа после начала движения?

Решение. Автомобили двигались в противоположных направлениях, поэтому необходимо найти скорость удаления, воспользовавшись правилом:

48 + 46 = 94 (км/ч)

Чтобы найти расстояниями между ними, воспользуемся формулой:

= 94*4 = 376 (км)

Ответ: 376 км

12. Прямая зависимость

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз, другая увеличивается (уменьшается) в несколько раз.

Задача. Из 7,2 кг яблок получилось 3 л сока. Сколько литров сока можно получить из 18 кг яблок?

Решение. Определим зависимость величин:

Б ерут Поучают

7,2 (кг) 3 (л)

18 (кг) х (л)

Составляем пропорцию:

7,2 :3 = 18:х

х*7,2 = 18*3

х*7,2 = 54

х=54:7,2

х=7,5

7,5 (л)

Ответ: 7,5 л

13. Обратная зависимость двух величин

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз, другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Задача. Для перевозки груза машине грузоподъемностью 3,5 т пришлось сделать 18 рейсов. Сколько рейсов придется сделать машине грузоподъемностью 9 т для перевозки того же груза?

Решение. Определим зависимость величин:

Р ейс Груз

18 3,5 (т)

х 9 (т)

Обратная зависимость:

18*3,5=х*9

х=

х=7

7 (рейсов)

Ответ: 7 рейсов

Приложение 3

Алгоритм решения задачи с помощью уравнения:

1. Ввести переменную

2. Составить уравнение и его решить

3. Вернуться к условию задачи

4. Записать ответ

Задача. В трёх ящиках лежит 75 кг апельсинов. Во втором ящике апельсинов в 4 раза больше, чем в первом, а в третьем – на 3 кг меньше, чем в первом. Сколько килограммов апельсинов лежит в первом ящике?

Решение. Воспользуемся алгоритмом решения: введем переменную «х»:

х — 1 ящик

4х — 2 ящик

х-3 — 3 ящик

Для того, чтобы узнать сколько килограммов апельсинов лежит в первом ящике, составим уравнение и решим его:

х + 4х + х-3 = 75

х + 4х + х = 75+3

6х=78

х=13

13 (кг)

Ответ: 13 кг

Приложение 4

Приложение 5

Приложение 6

Просмотров работы: 42