XX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Теорема Фалеса
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение:
Цели: Выяснить, чем знаменит Фалес и его теорема? Кто такой, Фалес? Почему теорема Фалеса так знаменита?
Актуальность: Теорема Фалеса до сих пор используется в морской навигации в качестве правила о том, что столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется курс судов друг на друга.
Объект исследования: Теорема Фалеса.
Предмет исследования: Математика
Почему я выбрал эту тему:
На уроках математики мы проходим теорему Фалеса, она мне показалась очень интересной, и я захотел углубиться и изучить эту теорему более углублённо.
Теоретическая часть
Фалес Милетский
Великий учёный Фалес Милетский основал одну из прекраснейших наук- геометрию. Известно, что Фалес Милетский имел титул одного из семи мудрецов Греции, что он был поистине первым философом, первым математиком, астрономом и вообще первым по всем наукам в Греции.
Карьеру он начинал как купец и ещё в молодости попал в Египет. В Египте Фалес застрял на много лет, изучая науки в Фивах и Мемфисе. Считается, что геометрию и астрономию в Грецию привёз он. 624-547г.г. до н.э.
Фалес также является основателем Ионийской школы. Поскольку Фалес жил в Ионии, школа его была названа Ионийской.
Сегодня нам трудно сказатьоткуда первый древнегреческий философ, ученый и видный политический деятель Фалес Милетский узнал о пропорциональности сторон подобных треугольников: открылась ли эта истина ему самому или ее передали ему египетские жрецы во время его торговых и дипломатических миссий в страну древних пирамид.
Главное, что он умел находить какую-либо неизвестную величину по трем известным на основе пропорции a/b = c/d. Так, измерив длину тени, отбрасываемой предметами, Фалес с помощью этой пропорции нашел высоту египетской пирамиды. Измерение расстояния до корабля, находящегося далеко в море, им производилось тоже на основе этой пропорции.
Любопытно, что Фалес определял высоту египетских пирамид по их тени не только простейшим способом, «дождавшись часа, когда наша тень одной длины с нами» (тогда и длина тени пирамиды равна ее высоте), но и через установление пропорциональных отношений между тремя поддающимися измерению величинами и искомым параметром. В последнем случае высоту пирамиды можно измерить в любое время дня.
Измерение расстояния до корабля, находящегося далеко в море, им производилось тоже на основе этой пропорции. Выбрав на берегу моря базис a и вымерив с крайних его точек углы до корабля, он затем вычерчивал подобный треугольник небольших размеров и измерял у него две стороны, скажем, c и d. После этого ничего не стоило найти неизвестное расстояние до корабля — сторону b. Задачи такого класса и более сложные умели прекрасно решать в Египте (это стало известно из найденных папирусов
Считается, что Фалес первымдоказал несколько геометрических теорем, а именно:
• Теорема Фалеса;
• вертикальные углы равны;
• треугольники с равной одной стороной и равными углами, прилегающими к ней, равны;
• углы при основании равнобедренного треугольника равны;
• диаметр делит круг пополам;
• угол, вписанный в полуокружность, всегда будет прямым;
• если параллельные прямые, пересекающие стороны угла; отсекают на одной стороне его равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Теорема Фалеса.
Докажем теорему Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.
Решение: пусть на прямой l1 отложены равные отрезки А1А2, А2А3, А3А4, …и через их концы проведены параллельные прямые, которые пересекают прямую l2 в точках В1, В2, В3, В4, … (рис.1). Требуется доказать, что отрезки В1В2, В2В3, В3В4, … равны друг другу. Докажем, например, что В1В2 = В2В3. • Рассмотрим сначала случай, когда прямые l1 и l2 параллельны (рис. 1, а). тогда А1А2 = В1В2 и А2А3 = В2В3 как противоположные стороны параллелограммов А1В1В2А2 и А2В2В3А3. так как А1А2 = А2А3, то и В1В2 = В2В3 если прямые l1 и l2 не параллельны, то через точку • В1 проведем прямую l, параллельную прямой l1 (рис.1, б). Она пересечет прямые А2В2 и А3В3 в некоторых точках С и D.
Так как А1А2 = А2А3, то по доказанному В1С = СD. Отсюда получаем В1В2 = В2В3. Аналогично можно доказать, что В2В3 = В3В4 и т.д.
Практическая часть
Задача №1
Через середину М стороны АВ треугольника АВС проведена прямая, параллельная стороне ВС. Эта прямая пересекает сторону АС в точке N.
Докажите, что AN = NC.
Решение:
Через точку С проведем прямую, параллельную прямой АВ и обозначим буквой D точку пересечения этой прямой с прямой MN (рис. 2). Так как AM = МВ по условию, а MB = CD как противоположные стороны параллелограмма BCDM, то АМ = DC. Треугольники АМN и CDN равны по второму признаку равенства треугольников (АМ=CD,<1= <2 и <3=<4 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущими АС и МD), поэтому AN = NC. Ч.т.д
Задача №2:
Разделите данный отрезок АВ на n равных частей.
Решение:
Проведен луч АХ, не лежащий на прямой АВ, и на нем от точки А отложим последовательно n равных отрезков АА1, А1А2, …, Аn-1Аn (рис.3), т. е. столько равных отрезков, на сколько равных частей нужно разделить данный отрезок АВ (на рис. 3 n=5). Проведем прямую АnВ (точка Аn – конец последнего отрезка) и построим прямые, проходящие через точки А1 , А2 , …, Аn-1 и параллельные прямой АnВ. Эти прямые пересекают отрезок АВ в точках В1 , В2 , …, Вn-1, которые по теореме Фалеса делят отрезок АВ на n равных частей.
Задача №3:
Разделите данный отрезок АВ на 8 равных частей.
Решение:
Проведен луч АХ, не лежащий на прямой АВ, и на нем от точки А отложим последовательно 8 равных отрезков АА1, А1А2, …, А7А8 (рис.3), т. е. столько равных отрезков, на сколько равных частей нужно разделить данный отрезок АВ (рис. 4). Проведем прямую А8В (точка А8 – конец последнего отрезка) и построим прямые, проходящие через точки А1 , А2 , …, А7 и параллельные прямой А8В. Эти прямые пересекают отрезок АВ в точках В1 , В2 , …, В7, которые по теореме Фалеса делят отрезок АВ на 8 равных частей.
Задача №4:
На биссектрисе ВD треугольника АВС отмечена точка М так, что ВМ/МD = 5/4. Прямая АМ пересекает сторону ВС в точке К.
Найти: отношение ВК/КС, если АВ/ВС=З/2.
Решение:
Проведём через точку D прямую, параллельную прямой АК. Она пересекает ВС в точке Р. Воспользуемся обобщённой теоремой Фалеса: отрезки ВМ и МD пропорциональны отрезкам ВК и КР, следовательно ВК/КР=ВМ/МD=5/4. Пусть 1 часть будет Х следовательно ВК=5Х, КР=4Х.
Отрезки АD и DС пропорциональны отрезкам КР и РС то есть КР/РС=АD/DС. Но АD/DС=АВ/ВС=3/2 (по свойству биссектрисы в треугольнике АВС)
Пусть 1 часть-Y, тогда АD=ЗY, DС=2Y, следовательно, ЗY/2Y=4Х/РС, РС=8Х/З, КС=КР+РС=4Х+8Х/З=20Х/З.
Имеем ВК/КС=5Х/20Х/3=15Х/20Х=3/4
Ответ: ВК/КС=З/4.
Задача №5:
Биссектриса угла А треугольника АВС делит медиану, проведённую из вершины В, в отношении 5/4, считая от вершины В, в каком отношении, считая от вершины С, эта биссектриса делит медиану, проведённую из вершины С?
Найти: СО/ОК.
Решение:
Согласно обобщенной теоремы Фалеса, в треугольнике АВМ, AD-биссектриса, (по св-ву биссектрисы) АВ:АМ=ВР:РМ=5:4. В треугольнике АВС, АN-биссектриса АВ:АС=ВN:СN=5:8. Проведем через точку К прямую КТ-параллельную АN. Имеем АК:ВК = NТ:ВТ=> ВТ=ТN, АК=ВК. Значит, СО:ОК = СN:ТN = 8:2,5 = 8:5/2 = 16:5.
Ответ: 16:5
Задача №6:
На сторонах АВ и ВС параллелограмма АВСD расположены точки N и М соответственно, причём АN:NВ=3:2, ВМ:МС=2:5. Прямая АМ и DN пересекаются в точке О.
Найти: АО:ОМ
Решение: Проведём через точку В прямую ВК, параллельную DN, АМ пересекается с ВК в точке Т. АN/ВN=АО/ОТ=3/2; через точку М проведём прямую МР, параллельную ВК; ВМ/МС=РК/СР=2/5; Пусть 1 часть-у, тогда
ВМ=2у, МС=5у, СК=Зх.
2/5=РК/(СК-РК), 2/5=РК/(Зх-РК)
5РК=6х-2РК
7РК=6х
РК=6х/7, СР=Зх=6х/7=(21х-6х)/7=15х/7,
Значит, АО/ОМ=3х/(2х+6х:7)=21х/20х=21/20.
Ответ: 21/20
Задача №7:
Точки М и N-середины сторон соответственно ВС и СD параллелограмма АВСD. Отрезки АМ и ВN пересекаются в точке О.
Найти: отношение МО:ОА.
Решение:
Пусть продолжение отрезков ВN и АD пересекаются в точке Е. Обозначим ВМ=СМ=а. Тогда АD=ВС=2а. Треугольник DNЕ = треугольнику СNВ по стороне и прилежащим к ней углам, поэтому DС=ВС=2а.
Значит, АЕ=АD+DE=2а+2а=4а. Треугольник ВОМ подобен треугольнику ВОА, следовательно МО:ОА = ВМ:АЕ = а:4а = 1:4 = 0,25.
Ответ: 0,25
Задача №8:
Прямая пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точках Р и М соответственно.
Найти: отношение площади треугольника АРМ к площади четырехугольника МСВР, если АР:РВ = 2:5, АМ:МС = 1:4.
Решение:
В треугольнике АМР и треугольнике АВС, угол А-общий, по теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, имеем SАМР/SАВС=(АМ*АР)/(АС*АВ), т.к. АР/РВ=2/5, АР=2/7АВ, АВ=7/2АР, АМ/МС=1/4, АМ=1/5АС, АС=5АМ, следовательно, SАМР/SАВС=(АМ*АР):(5АМ*3,5АР)=2/35.
Пусть 1часть=S. SАРМ=28, SАВС=35S, значит, SМСВР=35S-28=33$. Имеем, SАРМ/SМСВР=28/33S=2/33.
Ответ:2/33.
Заключение
Выяснили, чем знаменит Фалес и его теорема; кто такой Фалес; почему теорема Фалеса так знаменита и как теорема Фалеса находит свое применение.
Доказанная талантливым и наблюдательным Фалесом теорема играет одну из самых важных ролей в геометрии. Благодаря ему можно быстро и оригинально решить задачи повышенной сложности. Актуальность и многогранность теоремы позволяет специалистам ежедневно строить новые здания, дороги и другие конструкции
Список используемой литературы.
1) Атанасян Л.С. Геометрия. Дополнительные главы к школьным учебникам 8, 9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики/ В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, С.А. Шестаков, И.И. Юдина. -12-е издание.- М.: Просвещение, 2002.
2) Мадер В.В. Полифония доказательств. - М.: Мнемозина, 2009.
3) Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Часть 1. - М.: МЦНМО, 2001.
4) Звавич Л.И. Геометрия в таблицах. 7-11 классы. - М.: Дрофа, 2003.
5) Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона