XX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Всего лищь две формулы

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Левин И.Д. 1Родионов А.М. 2

---

1МБОУ "Малозиновьевская основная школа"

2МБОУ "Малозиновьевская основная школа"

Левина Н.С. 1

---

1МБОУ "Малозиновьевская основная школа"

Работа в формате PDF

812.9 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

ВВЕДЕНИЕ

Математике должно учить в школе еще с той целью, чтобы познания, здесь приобретаемые, были достаточными для обыкновенных потребностей вжизни.

Лазар Карно.¹

Всем известно, что математика развивает логическое мышление, память, внимание, умение рассуждать и делать выводы и на основе этих выводов находить решение задачи. Кроме того, математика, изучаемая в школе, даёт школьнику знания, которые ему обязательно пригодятся в реальной жизни. И мы в этом убедились сами. Этим летом ограждение нашего палисадника было повреждено. Родители стали вести разговор, что на следующий год нужно его заменить. Вариантов замены в наше время много, но нам нужен бюджетный вариант, качественный и быстроустанавливаемый. Мне стало интересно, как родители будут делать выбор и что нужно знать, чтобы сделать новое ограждение. Оказалось, для этого необходимо знать длину и ширину забора, а также уметь находить площадь и периметр. Я, как ученик пятого класса, который имел дело с этими величинами в начальной школе, решил принять в этом процессе самое активное участие и применить свои знания в реальности. Мой друг Саша решил мне помочь. Приступая к делу, мы вспомнили, что в ВПР по математике у нас было задание на умение вычислять площадь и периметр прямоугольника. Мы решили выяснить, достаточно ли нам этих умений, чтобы сейчас решить какие-нибудь задания из ОГЭ по математике.

Актуальность выбора темы: знание всего двух математических формул поможет сдать ОГЭ в школе и сделать мир вокруг себя лучше.

Гипотеза исследования:владение умениями вычислять площадь и периметр прямоугольника одинаково необходимо как в школе, так и в реальной жизни. Цель:

расширить представление об использовании математических понятий «периметр» и «площадь» прямоугольника. Задачи:

1. Найти в научных источниках и изучить, как появились понятия «периметр» и «площадь»;

2. Научиться применять конструирование при вычислении площадей в решении задач из Банка заданий ОГЭ по математике;

3. Провести расчёт материалов для замены ограждения и их стоимости.

Объекты исследования:периметр и площадь прямоугольника.

Предмет исследования:применение умений вычислять периметр и площадь прямоугольника в реальной жизни и для успешной сдачи ОГЭ по математике. Методы:

1. Изучение истории появления исследуемых понятий;

2. Работа с источниками Интернета и электронными ресурсами;

3. Анкетирование с использованием Google Формы;

4. Мастер-класс по вычислению площади четырёхугольников по клеточкам для учеников 8-9 классов;

5. Практическая работа;

6. Анализ и обобщение.

Практическая значимость: В данной работе есть исторический материал, необходимый для учителя и учащихся при изучении площади и периметра прямоугольника. А так же эта работа будет полезна выпускникам при подготовке к ОГЭ по математике.

Глава I Происхождение понятий «периметр» и «площадь»

Периметр и площадь являются двумя основными измерениями геометрических фигур, их часто путают. Чтобы не допускать такой ошибки, обратимся к истокам появления этих понятий.

Глава II История развития понятий «периметр» и «площадь»

2.1 История развития понятия «периметр»

Данных про развитие понятия «периметр» мы практически не нашли. Из Википедии узнали следующее: Пери́метр (др.-греч. Περίμετρον — окружность, др.-греч. Περιμετρέο — измеряю вокруг) — общая длина границы фигуры (чаще всего на плоскости). Имеет ту же размерность величин, что и длина.

Иногда периметром называют границу геометрической фигуры.

В ычисление периметра имеет существенное практическое значение. Например, для вычисления длины ограды вокруг сада или участка. Периметр колеса (окружности) определяет, насколько далеко оно продвинется при полном обороте. Таким же образом, длина нитки, намотанной на катушку, тесно связана с периметром катушки.⁴

В Древнем Египте границы земельных участков измеряли ходьбой, т.е. египтяне шли по границе своего участка и тем самым измеряли его. Здесь и появилось слово «периметр». Периметр – это слово имеет две части: «пире» и «метрос». «Пире» - египетское слово, которое обозначает «выходить», «ходить», «обходить». «Метрос» - имеет греческое происхождение и означает «мерить», «проводить измерения». Таким образом, слово «периметр», скорее всего, означает «измерение ходьбой», т.е. измерять длину границы участка земли. Действительно, значение слова совпадает с практическими действиями. Стороны многоугольника надо измерить, а затем сложить.⁵

П ервые сведения об измерении расстояний на Руси относятся к XI веку. В Государственном Эрмитаже хранится камень с надписью: "В лето 6576 индикта 6 Глеб князь мерил море по леду от Тмутороканя до Корчева 10000 и 4000 сажен". (В переводе на современное летосчисление 6 индикт 6576 года означает декабрь 1067 - январь 1068 гг.)

В этой записи говорится об измерении в 1068 году расстояния между городами Тамань и Керчь через Керченский пролив по льду.

2.2 История развития понятия «площадь»

Зарождение геометрических знаний, связанных с измерением площадей, теряется в глубине тысячелетий.

Египет

Если не учитывать весьма малый вклад древних обитателей долины между Тигром и Евфратом, и Малой Азии, то геометрия зародилась в Древнем Египте где-то в 1700 году до н.э. Во время сезона тропических дождей Нил пополнял свои запасы воды и разливался. Вода покрывала участки обработанной земли, и в целях налогообложения нужно было установить, сколько земли потеряно. Землемеры использовали в качестве измерительного инструмента туго натянутую веревку.

Около 4 000 лет назад египтяне определяли площадь прямоугольника, параллелограмма, треугольника и трапеции теми же приемами, как и мы. То есть, чтобы определить площадь прямоугольника, умножали длину на ширину; чтобы найти площадь треугольника, основание треугольника делили пополам и умножали на высоту. А для нахождения площади трапеции сумму параллельных сторон делили пополам и умножали на высоту. Площадь многоугольника находили разбиением его на прямоугольники, треугольники и трапеции.

Египтяне использовали и иные способы, которые позволяли быстрее измерять площадь земельного участка путем только обхода его по границам, но результат измерения получался с некоторой погрешностью.

Греция

Геометрию в Грецию из Египта «привёз» Фалес (ок. 640-ок.546 до н.э.). Считается, что именно он познакомил с ней греков. Фалес был торговцем и много путешествовал. Некоторое время жил в Египте, в Фивах и Мемфисе, где учился у жрецов, изучал причины наводнений, продемонстрировал способ измерения высоты пирамид. Он был преуспевающим купцом, посвятившим последние годы жизни науке и политике.

Формулы для вычисления площадей земельных участков, имеющих форму прямоугольников, треугольников, трапеций приведены в клинописных таблицах Древнего Вавилона, относящихся к 2000 году до н.э. и, если вести хотя бы приближённый учёт времени возникновения понятия площади, то получится более 4000 лет назад.

Россия

Рукописи, дошедшие до нас из глубины веков, говорят о том, что уровень знаний науки «геометрии» на Руси до начала 16 века был невысок. Так известно, что в 1551 году царь Иван IV решил впервые послать «смерить

государство». Вероятно, было известно, по каким правилам надо было проводить измерения земельных угодий государства Российского и имелись люди, знающие геометрию. Автор «Истории Российской с древнейших времен» В.Н. Татищев (1686 – 1750) писал: «Я читал наказ, данный в 1556 г. Писцам о том, как следует измерять землю». К наказу прилагались «землемерные начертания», то есть чертежи. Наказ бесследно исчез. Пропали также «Математические рукописи XVII века», хранившиеся в семье писателя и историка Н.М. Карамзина (1766 – 1826)⁶.

Но, первая книга, где излагаются правила измерения площадей, была книга «сошного письма», относящаяся к 1629 году, хотя имеются указания, что оригинал был составлен при Иване Грозном в 1556 году. В этой книге имеется глава «О земном верстании, как земля верстать». В ней, к сожалению, содержится много ошибочного материала в способах измерения площадей. Возможно, они появились в результате искажений во время переписывания от руки.

И всё же трудно верить в невысокий уровень знаний геометрии на Руси, когда в 1553-1560 годах при Иване Грозном выстроен собор Василия Блаженного «мастерами каменных дел Посником, Яковлевым и Бармой. Невозможно представить себе, что создание такого архитектурного шедевра могло обойтись без широких геометрических знаний.⁷

Глава III Практическая часть

3.1. Анализ результатов анкетирования

Учащимся и учителям нашей школы было предложено ответить на вопросы нашей анкеты. Всего было опрошено 32 человека:

69 % опрошенных ответили, что понятия «площадь» и «периметр» появились в связи с необходимостью измерять различные расстояния, делать всевозможные постройки и ремонт помещений.

99% наших респондентов правильно написали формулы для вычисления площади и периметра прямоугольника!

Н а вопрос, для чего в жизни нужны умения вычислять площадь и периметр 13% опрашиваемых затруднились дать ответ. 87% ответили, что эти умения нужны в строительстве различных сооружение, при ремонте помещений, при разбивке участков земли.

1. 2. Площадь на ОГЭ

Выяснять, пригодятся ли нам исследуемые понятия на ОГЭ по математике, мы отправились к нашему учителю математики. Наталья Семёновна отправила нас на сайт ФИПИ в ОГЭ, дальше в Открытый банк заданий по математике в раздел Геометрия. Там мы увидели задания на вычисление площадей различных фигур и так как кроме формулы площади прямоугольника мы не знаем больше ничего, то попробовали их решить, используя только эту формулу.

З адача 1

Решение:

1 способ:

Чтобы найти площадь этого треугольника, мы разделили его на два прямоугольника, нашли площадь каждого из них и разделили пополам, т.к. в наш прямоугольник входит только половина от нарисованных прямоугольников. Потом сложили получившиеся результаты.

1٠3׃2+5٠3׃2=

Если использовать распределительное свойство, то можно записать так:

( 1٠3+5٠3)׃2=18׃2=9

2 способ:

Можно достроить этот треугольник до прямоугольника и найти его площадь, а потом, разделить пополам, так как этот прямоугольник состоит из двух пар равных треугольников:

(3•6):2=9

Задача 2

Решение:

1 способ:

Чтобы найти площадь трапеции, мы разделили её на два треугольника, и между ними оказался ещё прямоугольник, поэтому мы сложили площади этих фигур и получили площадь трапеции:

((1+3)٠4)׃2+3٠4=8+12=20

2 способ :

Можно эту трапецию достроить до прямоугольника и вычесть из неё площади двух прямоугольных треугольников:

7•4-((1+3)•4):2=20

Задача 3

Решение:

1 способ:

Чтобы найти площадь параллелограмма, можно его также как и трапецию разделить на два треугольника (они будут равны) и между ними получиться прямоугольник. Так как треугольники равны, то находим площадь одного из треугольников, через площадь прямоугольника, но на 2 не делим.

2٠4+5٠4=8+20=28

2 способ:

М ожно этот параллелограмм достроить до прямоугольника и найти его площадь, потом, из полученного вычесть площадь двух равных треугольников: 4•9-2•4=28

3 способ:

Е сли в параллелограмме отсечь один треугольник и приложить его с другой стороны фигуры, то мы получим прямоугольник. В этом случае площадь параллелограмма равна площади прямоугольника.

4•7=28

Задача 4

Решение:

1 способ:

Чтобы найти площадь ромба, можно его разделить на два больших треугольника, которые будут равны, и они состоят из маленьких одинаковых треугольников. Поэтому можно найти площадь синего прямоугольника, и она равна площади ромба. 2٠12=24

2 способ:

Можно найти площадь маленького прямоугольника и увеличить её в два раза, так как ромб состоит из двух таких прямоугольников:

2٠6٠2=24

3 способ:

Е щё можно ромб достроить до прямоугольника, найти его площадь из полученного числа вычесть площадь четырёх маленьких треугольников, или двух прямоугольников, полученных из этих треугольников:

4•12-(3•4)•2= 48-24=24

1. 2. Мастер-класс по вычислению площади четырёхугольников по клеточкам для учеников 8-9 классов

Мы выяснили, что зная только одну формулу площади прямоугольника и имея немного логического мышления, мы можем решить одно задание из ОГЭ по математике. Этими способами и выводами мы решили поделиться с учениками 8-9 классов нашей школы. Мастер-класс был проведён для 13 учащихся.

Итоги мастер-класса

Решение задач по изученным формулам заняло у ребят гораздо больше времени, чем вычисление с помощью формулы S прямоугольника.

1 00% учеников считают для себя мастер-класс полезным и хотели бы перед экзаменом вспомнить способ решения через формулу S прямоугольника. Мы для них сделаем Шпаргалку, в которой опишем наши способы вычисления площади фигур по клеточкам.

92% учеников считают наш способ решения подобных задач легче и интереснее.

1. 2. Практическая работа «Новый забор»

Наш палисадник обнесён заборной решёткой (пластмассовая сетка), что оказалось очень ненадёжно. Чтобы выбрать материал, мы выяснили, что:

• Забор должен быть невысокий;

• Н е должно быть больших промежутков, т.к. соседские кошки могут туда пробраться;

• Не должен быть глухим, т.к. цветам нужно проветривание и свет;

• Должен быть бюджетным, качественным и быстро устанавливаемым.

Ход работы:

1. Мы наметили ряд материалов, из которых можно сделать новый забор.

2. Измерили периметр (длину) забора: 28 метров + 1 метр на калитку.

3. Проконсультировались со специалистами по поводу вида работ с выбранными материалами.

После анализа вида работ мы решили отказаться от деревянного штакетника, так как вариант такого ограждения не является быстро устанавливаемым, но приблизительный расчёт затрат всё таки произведём.

4. Произвели приблизительный расчёт материалов.

При выборе ограждения кладочной сеткой необходимо приобрести два рулона этого материала. В одном рулоне 25 метров, значит, из второго рулона мы возьмём только 4 метра. Получается очень большой остаток. Мы решили рассмотреть стоимость ограждения кладочной сеткой (25метров) и евро штакетником (3метра на забор и 1 метр на калитку).

Все расчёты занесены в таблицы и будут представлены родителям.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Гипотеза исследования формулировалась так:владение умениями вычислять площадь и периметр прямоугольника одинаково необходимо как в школе, так и в реальной жизни. Это действительно так!

В школе понятия «площадь» и «периметр» прямоугольника нам нужны при написании ВПР по математике и для того, чтобы сдать ОГЭ по математике. А значит, изучать и различать их просто необходимо!

А какое большое практическое применение они имеют в жизни! Мы рассмотрели только один случай применения умения находить периметр в реальной жизни. Без умения находить площадь нельзя поклеить обои, покрасить пол, выложить плитку и т.д.

Поэтому математику нужно учить в школе, чтобы в дальнейшем удовлетворить свои потребности в реальной жизни.

Список литературы

1. История математики. Т.1. С древнейших времен до начала нового времени / Под ред. А.П. Юшкевича. - М.: Наука, 1970. - 354 с.

2. https://www.sites.google.com/site/filosofiamatematiki/interesnye-fakty-o-matematike-1/vyskazyvania-velikih-ludej-o-matematike

3. https://lexicography.online/etymology/п/периметр

4. https://lexicography.online/etymology/п/площадь

5. https://ru.wikipedia.org/wiki/Периметр

6. https://znanija.com/task/7471151#readmore

7. https://studbooks.net/1920866/pedagogika/ponyatie_ploschadi_izmerenie

8. http://www.allbest.ru/

9. https://www.avito.ru/nizhniy_novgorod/remont_i_stroitelstvo/shtaketnik_derevyannyy_suhoy_stroganyy_2020319608

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Анкета:

1. Как вы думаете, в связи, с чем появились понятия «площадь» и «периметр» прямоугольника?

2. Как найти S и P прямоугольника?

3. Как вы думаете, для чего нужно умение находить площадь и периметр прямоугольника в реальной жизни?

4. Хотели бы вы научиться находить площади треугольника, ромба, трапеции, параллелограмма для того чтобы успешно сдать ОГЕ по математике, зная только, как вычисляется площадь прямоугольника?

Ссылка на анкету: https://docs.google.com/forms/d/1MPGxNpQ2pRSJiIs1rEy499BXLHEICXXwKNKyg0dVepY/edit#responses

Приложение 2

Таблица видов материалов для ограждения:

Приложение 3

Таблица видов работы с выбранными материалами:

Приложение 4

Таблица затрат на ограждение с выбранными материалами

Приложение 5

План мастер-класса для учеников 8-9 классов

1. Предложить вычислить площади фигур по клеточкам по изученным ранее формулам.

1. 2) 3) 4)

2. Показать способы вычисления площадей фигур, используя только формулу площади прямоугольника.

3. Предложить вычислить площади тех же фигур, применяя предложенные способы вычислений

4. Ответить на вопросы :

• Полезен ли был для вас мастер-класс?

• Что для вас легче: решать подобные задачи по изученным ранее формулам или через площадь прямоугольника?