XX Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Секреты математических фокусов
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
"Предмет математики настолько серьезен,
что полезно не упускать случаев
делать его немного занимательным»
Б. Паскаль
Математические фокусы не пользуются особым вниманием ни у математиков, ни у фокусников. Математикам они сложны, рассматривать их как забаву, фокусники пренебрегают ими как слишком скучным делом. И все-таки математические фокусы имеют свою особую прелесть.
А вы не задумывались над тем, как фокусники и иллюзионисты выполняют свои номера? Ведь это так интересно, они могут заставить исчезнуть животных в цилиндре, «пропустить» через палец нитку, угадать любое загаданное Вами число и даже дату Вашего рождения. С одной стороны, если подумать математика и фокусы совершенно разные понятия, но приоткрыв завесу тайны, вы поймете, что это не так.
Магия не обязательно подразумевает ловкость рук. Можно использовать также математику с ее логическими механизмами. Возможности чисел безграничны и могут привести любого в замешательство! Магия фокуса способна разбудить «сонных», растормошить ленивых, заставить думать. Ведь не разгадав секрета фокуса, невозможно понять и оценить всей его прелести. А секрет фокуса чаще всего имеет математическую природу. Каждый из нас, несомненно, встречался с «фокусами» по отгадыванию чисел.
Удивительной для непосвященных кажется, способность человека отгадывать задуманные другими числа. Но если вы узнаете секрет математических фокусов, то сможете не только их показывать, но и придумывать свои новые фокусы.
Цель работы: исследование математических фокусов.
Задачи:
-
Изучить литературу по данному вопросу и интернет ресурсы;
-
Выбрать и обобщить наиболее интересные, увлекательные математические фокусы.
-
Провести выбранные математические фокусы в классе.
-
Выяснить в чем секрет математических фокусов.
-
Обосновать результаты исследования.
Объект исследования: математические фокусы, основанные на свойствах чисел, действий, математических законах, уравнениях.
Методы исследования
Поисковый, аналитический.
Гипотеза
Нередко методический материал, на котором основано изучение математики, скучен и неинтересен подросткам 12-16 лет, вследствие чего возникает негативное отношение к математике. Можно предположить, что привлечь внимание подростков поможет то, что с самого раннего возраста интересовало их, но то, на что они не могут получить ответ и сейчас – фокусы.
Новизна проекта
Новизна данного проекта заключается в следующем: математические фокусы редко рассматриваются и применяются в обучении математики.
Данный проект призван привлечь внимание учащихся к изучению математики.
Практическая значимость: Математические фокусы помогают развивать память, устный счет, сообразительность, способность мыслить логически;
Существуют также фокусы с магическими таблицами для угадывания чисел, фокусы с настенным календарем, фокусы с прикосновениями, фокусы на нахождение числа, фокусы с мелкими предметами (домино и игральные кости), фокусы с уравнениями и фокусы с предопределенным выбором. В своей работе мы более подробно рассмотрели числовые фокусы, фокусы с уравнениями, с предопределенным выбором.
Глава 1. История возникновения математических фокусов.
-
-
Что такое фокус?
-
Фокус или иллюзионное искусство - один из видов деятельности человека. В основном - это выступления артистов в виде концертных номеров, аттракционов, спектаклей и шоу.
Фокус - искусный трюк, основанный на обмане зрения, внимания при помощи ловкого и быстрого приема, движения (словарь Ожегова).
Иллюзионное искусство привлекает зрителей своей фантастичностью происходящего на сцене. Зритель сам может убедиться в том, что на сцене происходит невероятное, невозможное действие. Показывая и наблюдая фокусы, люди развлекаются. Но не только. Один человек создал фокус, другие удивляются ему, пытаются разобраться в фокусе, понять его и добраться до истины. Действия фокусника, на самом деле, не представляют собой чего-то необыкновенного, сверхъестественного. Они просты, естественны и логичны, но зрителю они представляются невероятными потому, что фокусник применил приём, в результате чего зритель сам сделал ошибочный вывод и поверил в него. Не всё, что летает — самолёт. Так и в фокусах. Не всё, что непонятно — обязательно фокус.
Математические фокусы интересны именно тем, что каждый фокус основан на свойствах чисел, действий, математических законах. Математических фокусов достаточно много, их можно найти в отдельных книгах по математике, можно придумать самостоятельно. Особой популярностью пользуются статьи и книги с математическими фокусами таких выдающихся современных учёных, популяризаторов науки как американского математика, фокусника, журналиста, писателя Мартина Гарднера (1914 )российского популяризатора физики, математики и астрономии, одного из основоположников жанра научно-популярной литературы Якова Исидоровича Перельмана (1882 г.р.) .
-
-
Когда появились фокусы?
-
С глубокой древности людей интересовали мистические и загадочные вещи, иллюзионизм и магические искусства. Великие Тайны этих искусств известны лишь избранным. Иллюзионисты и фокусники ревниво охраняют их, хорошо зная, что, чем не доступнее ключ к их таинствам, тем эти таинства более ценны.
Первый документ, в котором упоминается об иллюзионном искусстве, – древнеегипетский папирус. В нём содержатся предания относящиеся к 2900 году до н.э., эпохе царствования фараона Хуфу (Хеопса). В одном из преданий упоминается о выступлении фокусника и дрессировщика ДЖЕДИ, который умеет приставить на место и прирастить отрезанную голову гуся и может заставить льва следовать за собой без пут.
Изначально фокусы использовали колдуны и знахари. Жрецы Вавилона и Египта создавали огромное количество уникальных трюков с помощью прекрасных знаний математики, физики, астрономии и химии. В перечень чудес исполняемых жрецами можно включить, например такие: раскаты грома, сверкание молний, сами собой раскрывающиеся двери храмов, появляющиеся вдруг из-под земли статуи богов, сами звучащие музыкальные инструменты, голос, раздававшийся ниоткуда, предвещающий будущее и т. д.
В Россию иллюзионное искусство пришло из Византии. При пышном византийском дворе оно было одним из любимых развлечений. После окончания придворной службы русские певцы и музыканты возвращались в родные места и там показывали, чему научились. Они называли себя скоморохами (от греческого слова «скоммархос» — потешники). Это название надолго закрепилось за народными артистами Древней Руси. Скоморохи исполняли былины и песни, акробатические номера, демонстрировали фокусы, которые в древних русских документах назывались «шутками», а скоморохи-фокусники — «шуткарями» и «морочниками». О них чаще говорится как о колдунах: «…скоморошничают и совершают разные чары».
1.3 История возникновения математических фокусов.
Математические игры и фокусы появились вместе с возникновением математики, как науки. Первое упоминание о математических фокусах мы встречаем в книге русского математика Леонтия Филипповича Магницкого, опубликованной в 1703 году. Одна глава книги содержала математические игры и фокусы. Сам Магницкий пишет, что поместил эту главу в книгу для “утехи и особенно для изощрения ума учащихся”. Все мы знаем великого русского поэта М.Ю. Лермонтова, но не каждому известно, что он был большим любителем математики, особенно его привлекали математические фокусы, которых он знал великое множество, причем некоторые из них он придумывал сам.
Математические фокусы интересны именно тем, что каждый фокус основан на математических законах. Смысл их состоит в отгадывании чисел, задуманных зрителями, или в каких-нибудь операциях над ними. Главное — это то, что фокусник знает секрет: особые свойства чисел. Миллионы людей во всех частях света увлекаются математическими фокусами. И это не удивительно. “Гимнастика ума” полезна в любом возрасте. А фокусы тренируют память, обостряют сообразительность, вырабатывают настойчивость, способность логически мыслить, анализировать и сопоставлять. Еще в Древней Элладе без игр не мыслилось гармоническое развитие личности. И игры древних не были только спортивными. Наши предки знали шахматы и шашки, ребусы и загадки.
Таких игр во все времена не чуждались ученые, мыслители, педагоги. Они и создавали их.
Глава 2. Математические фокусы и их виды.
2.1 Числовые фокусы
Угаданный день рождения
Содержание этого математического фокуса.
Объявите зрителям, что вы сможете угадать день рождения любого незнакомого человека, сидящего в зале.
-
Вызовите любого желающего и предложите ему умножить на 2 число дня своего рождения
-
Затем пусть зритель сложит получившееся произведение и число 5,
-
теперь пусть умножит на 50 полученную сумму.
-
К этому результату необходимо прибавить номер месяца рождения (июль — 7, январь — 1)
-
вслух назвать полученное число.
Через секунду вы называете день и месяц рождения зрителя.
Фокус «Угадай возраст».
1.Возраст умножить на 10.
2.Взять любое число от 1 до 9 и умножить на 9.
3.Из первого результата вычесть второй.
Фокус с Отгадыванием числа
Вариант 1:
Содержание фокуса.
Предложите зрителям задумать трехзначное число и записать его на бумаге. При загадывании числа должно быть выполнено одно условие: цифра сотен не должна быть равна цифре единиц и не должна быть на единицу меньше или больше ее. Если вы еще путаетесь в сотнях и единицах, то на первом месте в трехзначных числах стоят сотни, на втором десятки, на третьем единицы (например, подойдет число 531). Теперь зрители должны перевернуть задуманное число, т.е. написать цифры в обратном порядке (135).
Затем зрители должны взять эти два числа и из большего вычесть меньшее (531 - 135). Получившуюся разницу снова нужно перевернуть (396; 693) и сложить эти два числа (396 + 693).
Потом один из зрителей должен прибавить к полученной сумме 100, второй — 200, третий — 300 и т. д.
Теперь вы можете отгадать, что получилось у каждого зрителя, но при том условии, что они к своему последнему числу прибавят цифру 1 089. У первого зрителя, прибавлявшего 100, получится 1 189, у второго — 1 289, у третьего — 1 389.
Фокус М.Ю.Лермонтова
Все вы знакомы с творчеством великого русского поэта М.Ю. Лермонтова, но не каждому известно, что он был большим любителем и математики, особенно его привлекали математические фокусы, которых он знал великое множество, причем некоторые из них он придумывал сам. Вот отрывок из воспоминаний однополчанина поэта Е. И. Мейделя о забавном случае, связанном с пребыванием Михаила Юрьевича в крепости (в Анапе)
«… Зимой офицеры анапского гарнизона, проходя службу в захолустном
местечке, собирались по вечерам у кого-либо из друзей и развлекались от
скуки как могли. Однажды, находясь в такой компании, Лермонтов предложил: "Задумайте какую угодно цифру, и я с помощью простых арифметических действий, которые вы будете проводить со мною, определю эту цифру". В итоге Лермонтов всегда безошибочно называл ее. Батальонный был изумлен: "Фу ты... Да вы уж не колдун ли?!" Поэт улыбнулся: "Колдун - не колдун, а математике учился", и раскрыл секрет фокуса…»
Вот один из фокусов М.Ю. Лермонтова: задумать любое число, прибавить к нему 25, прибавить еще 125, отнять 36, вычесть задуманное число, остаток умножить на 5, полученное число разделить на 2. Получится 285. Секрет фокуса: (а + 25 + 125 – 36 - а) · 5 : 2 = 114 · 5 : 2 = 285.
2.2 Фокус с предопределенным выбором.
Содержание фокуса:
Записывается число 159654. Предлагается под этим числом записать любое 6-значное число, причем желательно, чтобы числа в нем были различными. Под этим числом ведущий записывает другое 6-значное число. Затем под ним предлагается записать еще одно 6-значное число. Затем ведущий записывает другое 6-значное число. Предлагается сложить данных 5 чисел, получается какой, то 7-значный ответ, но ведущий предугадал его и записал на бумаге, которую предварительно отдал.
Фокусы с часами
Содержание фокуса:
Вариант 1
Задумайте какой-нибудь час (от 1 до 12). Задуманный вами час запомните. Теперь я буду указкой постукивать по часам. Каждый раз, когда постучу, прибавляйте к задуманному вами числу по одному. Когда вы досчитаете до двадцати, остановите меня. Получившееся число озвучивается ведущему, а в ответ он называет задуманное число.
Вариант 2
Также начнется с того, что зритель задумывает какое-нибудь число от 1 до 12. Фокусник берет указку и начинает притрагиваться ее кончиком к числам на циферблате часов, причем делает это, по-видиму, в совершенно произвольном порядке. Зритель считает про себя прикосновения фокусника к часам и, дойдя до 20, произносит слово «стоп». И странное совпадение: в этот момент указка оказывается как раз на задуманном числе.
2.3 Фокусы с уравнениями
В книге Я.И. Перельмана в главе «язык алгебры» есть глава «искусство отгадывать числа». Здесь автор раскрывает секрет фокуса, который очень прост, и в основе его лежат все те же уравнения. Пусть фокусник предлагает вам выполнить программу действий. Затем он просит вас сообщить оконча- тельный результат и, получив его, моментально называет задуманное число. Как он это делает? Чтобы понять это, достаточно все команды перевести на язык алгебры.
Фокусник мысленно решает простое уравнение, поэтому заранее знает, что надо сделать с результатом, чтобы получить задуманное число. В работе рассмотрены несколько вариантов этих фокусов.
Фокус «Задуманное число»
Задумайте число. Прибавьте 1. Умножьте на 3. Прибавьте снова 1.Прибавьте задуманное число. Скажите, что у вас получилось. Когда вы называете фокуснику конечный результат всех этих выкладок, он отнимает 4, остаток делит на 4 и получает то, что было задумано. Например, вы задумали число 12. Прибавили 1 -получили 13. Умножили на 3 -получи ли 39.Прибавили 1 – у вас 40. Прибавили задуманное число: 40 + 12 = 52. Когда вы называете число 52, он отнимает от него 4, а оставшееся 48 делит на 4. Получает 12 -число, которое было вами задумано.
Фокус «Числа Фибоначчи»
Числа Фибоначчи — элементы числовой последовательности
в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел.
Содержание фокуса:
Ведущий предлагает записать цифры в столбик: меньшую вверху, а большую внизу. Далее необходимо записать результат сложение этих чисел ниже (под ними). Далее складываются два последних числа (2 и 3 числа), а результат записывается ниже. И так далее пока не будет записано 10 чисел.
Глава 3. Секреты математических фокусов
Числовые фокусы
Угаданный день рождения
Секрет фокуса:
Например, мой день рожденья 8 января.
8 * 2 = 16
16 + 5= 21
21 * 50 = 1050
1050 + 1 = 1051
А теперь надо вычесть 250:
1051 - 250 = 801
8 - это число, а 01- месяц рождения.
Фокус «Угадай возраст».
Секрет фокуса:
Например, мне 12 лет.
12 * 10 = 120
Я возьму число 7:
7 * 9 = 63
120 - 63 = 57
А теперь надо сложить 5 и 7:
5 + 7 = 12
Фокус с Отгадыванием числа
Вариант 1:
Секрет фокуса:
Например, я загадал 321:
321 в перевёрнутом виде выглядит, как 123:
321 - 123 = 198
198 в перевёрнутом виде выглядит, как 891:
891 + 198 = 1089
А фокусник давно знает, что при правильных вычислениях получится 1089.
А потом сколько бы меня не попросили прибавить, 100, 200 или 300, фокусник смело назовёт ответ.
Вариант 2:
Секрет фокуса:
Например, загадал 85
8 * 2 = 16
16 + 5 = 21
21 * 5 = 105
105 + 10 + 5 = 120
А теперь надо вычесть 35:
120 - 35 = 85
Фокус « Зачеркнутая цифра»
Секрет фокуса:
Известно, что сумма цифр числа при делении на 9 имеет тот же остаток, что и само это число при делении на 9. Соответственно, если поменять в числе цифры местами то сумма их цифр останется прежней и при делении на 9 это число будет давать тот же остаток, что и исходное число. Поэтому, если мы производим вычитание одного числа от другого, то остатки от деления числа сократятся и в ответе получится число, которое при делении на 9 не дает остатка. То есть если в ответе зачеркнуть какое-то число, то сумма оставшихся цифр делиться на 9 без остатка не будет (если не зачеркнута цифра 9). Поэтому к сумме цифр необходимо добавить такое число, чтобы сумма делилась на 9 без остатка. Это число и будет искомой – зачеркнутой цифрой.
Фокус с предопределенным выбором.
Секрет фокуса:
Ведущий заранее определяет число, которое получится в итоге, и из него вычитает 1999998, результат разности ведущий записывает первым числом фокуса. Далее третье число записывается так, чтобы сумма второго и третьего чисел давало 999999
Фокусы с часами
Секрет фокуса:
Вначале нужно ударять указкой по циферблату по любым делениям до семи ударов. Восьмым ударом показывается число 12, а потом с каждым ударом перемещаемся влево (11, 10, 9 и т.д.) Когда вы скажете: "Довольно", — указка будет стоять на том часе, который вы задумали. Расчет очень простой. Всего будет ударов (20-х). Когда будет сделано восемь ударов, указка покажет число 12. С этого момента мы делаем еще столько ударов, сколько не достает вам до двадцати, так как, двигаясь влево, будут показываться числа, последовательно уменьшенные на единицу.
Фокус «Задуманное число»
Секрет фокуса:
Почему же всегда так получается? Фокусник заранее знает, что после всех выкладок получается уравнение 4 х + 4.
Необходимо заранее составить уравнение:
(Х+1) · 3 + 1+ Х = 4х + 4
Фокус «Числа Фибоначчи»
Весь секрет заключается в этом уравнении:
а1 + а2 + а3 + а4 + а5 + а6 + а7 + а8 + а9 + а10 = 88а2 + 55а1 = 11 ( 8а2 + 5а1 ) = 11а7
Другими словами, чтобы быстро узнать сумму, нужно найти седьмое число и умножить его на 11.
3.1.Исследовательская часть
Чтобы показать и подтвердить значимость математических фокусов в жизни и на уроках математики, я провел исследовательскую работу в сфере учебной деятельности. Были поставлены следующие задачи:
1. Ребят познакомить с темой моего исследования, заинтересовать вычислительными навыками;
2. Показать ряд математических фокусов;
3. Часть секретов фокусов была раскрыта, а часть предложена раскрыть самостоятельно;
4. В конце занятия провести анкетирование.
Исследование проводилось среди учащихся двух групп: первая группа – ученики 5 класса, а вторая группа – ученики 6 класса.
Мы ознакомили ребят с нашими фокусами, в конце урока провели анкетирование. Все полученные данные мы оформили в виде диаграмм (см. Приложение 1).
Таким образом, проанализировав полученные результаты, мы сделали вывод, что разгадывание секретов ранее известных математических фокусов и создание своих, вызывает большой интерес у учащихся; побуждает их к самостоятельным исследованиям. Равнодушных не остается никого.
Приложение 1
Кого заинтересовала тема математические фокусы?
Кто постарается разгадать секрет неразгаданных фокусов?
Если учитель иногда на уроке будет удивлять, показывая математический фокус, станет ли урок интереснее?
Какими качествами должен обладать фокусник, чтобы эффектно показывать фокусы?
Заключение.
Мы слышали о фокусах многое. Их показывают фокусники и иллюзионисты в виде концертных номеров, спектаклей, шоу. Оказывается, фокусами занимаются поэты, ученые, философы и обычные люди. На многие вопросы, которые у нас возникали на аттракционах, мы смогли ответить после того как стали проводить исследования. Наша работа помогла нам , понять, что математика играет немаловажную роль в фокусах и это интересно. Выдвинутая нами в начале исследования гипотеза подтвердилась.
Математические фокусы разнообразны. Они развивают навыки в быстром устном счете, навыки вычислений т.к. можно загадывать малые и большие числа.
Фокусы с применением математики способны не только развлечь человека, который опытен в точных науках, но и привлечь внимание и развить интерес к «королеве наук» у тех, кто еще только знакомится с ней.
Нашей исследовательской работой мы постарались доказать своим зрителям, что математика очень интересный и познавательный предмет, а не сухой и скучный как может показаться на первый взгляд.
Поработав с теоретическим материалом и применив его на практике, мы сделали следующие выводы:
1.Научиться разгадывать секреты математических фокусов довольно-таки просто, главное вникнуть в суть происходящих математических преобразований, и можно легко удивлять окружающих.
2.Для того чтобы эффективно выступать перед зрителем, нужно тренировать внимание, память, а также умение быстро и правильно считать в уме.
3.Пользуясь изученными «секретами» готовых фокусов, мы придумали свои фокусы: угадывание номера телефона с помощью калькулятора и составление суммы многозначных чисел по заранее известному результату, которые успешно проверили на зрителях.
Изучая фокусы, можно научиться рационально мыслить и глядеть в корень. Устраивайте маленькие представления дома, в школе и в кругу друзей, и жизнь ваша станет интереснее и ярче! Пятиминутная интеллектуальная зарядка на уроке в виде математического фокуса может
сделать математику любимым предметом!
Литература
-
Аменицкий Н.Н, Сахаров И.П. «Забавная математика» М. «Наука», 1991.
-
Гарднер Мартин «Новые математические развлечения» - М. «АСТ.Астрель», 2009.
-
Перельман Я.И. «Занимательная математика». - М. «АСТ.Астрель», 2011.
-
Фомин С.В. «Системы счисления» - М. «Наука», 1964.
-
Энциклопедия Кирилла и Мефодия (электронный вариант).
-
Электронные сайты:
http://freemath.ru/publ/zanimatelnaja_matematika/matematicheskie_fokusy/24
http://www.micromagic.ru/content/view/233/
http://focusomania.ucoz.ru/publ/istorija_vozniknovenija_fokusa_pokusa/1-1-0-1
http://www.scorcher.ru/any/magic.htm
http://goodmagic.ru/category/fokus-matematicheskie