XXI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Моделирование теплообмена проводников с окружающей средой
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
При протекании электрического тока по проводникам электрическая энергия преобразуется в тепловую, что приводит к увеличению температуры проводников. Электрический нагрев может быть как полезным эффектом (его можно использовать для обогрева, сушки, термической обработки), так и нежелательным явлением (вызывает потери энергии, износ частей электрических аппаратов). В связи с этим изучение данного вопроса представляет большой практический интерес, что и побудило к выбору темы настоящей научной работы.
Цель работы – разработать математическую модель сложного теплообмена проводников с окружающей средой.
Для выполнения цели были поставлены следующие задачи:
-
теоретически исследовать закономерности сложного теплообмена проводников с неограниченной воздушной средой;
-
построить математическую модель теплообмена;
-
разработать компьютерную модель для исследования теплообмена.
Для решения поставленных задач использовались следующие методы:
-
изучение и анализ литературных источников по теме исследования;
-
математическое моделирование;
-
компьютерное моделирование.
Актуальность работы определяется тем, что электрический нагрев проводников встречается во многих технологических процессах.
Новизна и практическая ценность работы состоят в том, что разработанная компьютерная модель сложного теплообмена позволяет исследовать тепловые режимы реальных проводников при инженерных расчётах.
1 Теоретические основы теплообмена в проводниках
1.1 Электрический нагрев проводников
Электрический ток обладает тепловым действием, которое проявляется в том, что проводник нагревается при прохождении по нему тока. Причина этого заключается в рассеянии электронов на неоднородностях кристаллической решётки проводника (на примесях, дефектах решётки и нарушениях периодичности структуры, связанной с тепловыми колебаниями ионов в узлах решётки). При этом кинетическая энергия электронов преобразуется во внутреннюю энергию кристаллической решётки, что и приводит к увеличению температуры проводника.
Если по проводнику с сопротивлением R протекает постоянный ток величиной I, за время ∆t в нём выделяется количество теплоты, определяемое по закону Джоуля – Ленца [1]:
Сила тока в проводнике определяется по закону Ома:
где U – питающее напряжение. Сопротивление вычисляется по формуле:
где ρ – удельное сопротивление вещества проводника, l – его длина, S – площадь поперечного сечения [2]. При этом удельное сопротивление вещества существенно зависит от температуры. Для его расчёта применяется формула:
где ρ0 – удельное сопротивление при температуре T0 = 273 К, α – температурный коэффициент сопротивления [3, 4]. Значения ρ0 и α для некоторых металлов, применяемых в электротехнике, приведены в таблице 1.
Таблица 1. Электрофизические свойства металлов [5]
-
Металл
ρ0, 10–8 Ом ·м
α, 10–5 К–1
Алюминий
2,50
460
Вольфрам
4,89
510
Железо
8,60
651
Золото
2,06
402
Медь
1,55
433
Никель
6,14
692
Олово
11,15
465
Серебро
1,49
430
Хром
14,1
301
Цинк
5,65
417
Учитывая перечисленные факторы, можно записать выражение для количества теплоты, которое выделяется в проводнике за малое время ∆t:
1.2 Теплоотдача в окружающую среду
Если температура проводника выше температуры окружающей среды, проводник отдаёт тепло в окружающее пространство. За это отвечают различные физические процессы, к которым относятся теплопроводность, конвекция и излучение.
Теплопроводность происходит за счёт контакта между поверхностью проводника и окружающими телами. Конвекция осуществляется в результате перемещения небольших объёмов газа или жидкости. Конвективный теплообмен может происходить под действием силы Архимеда, когда нагретые объёмы газа или жидкости поднимаются вверх из-за меньшей плотности, уступая место более холодным объёмам [6].
Конвективный теплообмен. В реальности теплопроводность и конвекция присутствуют одновременно, в различной степени влияя на интенсивность теплообмена. Сложный процесс теплоотдачи может быть описан уравнением:
где k – коэффициент теплоотдачи, T – температура проводника, TS – температура окружающей среды, Sб – площадь боковой поверхности проводника [2]. Коэффициент теплоотдачи показывает, какое количество теплоты уходит в единицу времени с единицы площади тела при разнице температур в 1 К, и измеряется в Вт/(м2∙К).
Коэффициент теплоотдачи – сложная величина, зависящая от многих факторов: теплопроводности, теплоёмкости, вязкости среды, скорости её движения и т.п. Существуют таблицы со значениями коэффициента k для различных сред, однако эти величины являются лишь ориентировочными и поэтому малопригодны на практике. Например, для воздуха при естественной конвекции коэффициент теплоотдачи варьируется в диапазоне от 1 до 20 Вт/(м2∙К). В связи с этим коэффициент теплоотдачи обычно рассчитывают с помощью разнообразных эмпирических и полуэмпирических формул, полученных на базе экспериментальных исследований [7].
Рассмотрим методику расчёта коэффициента теплоотдачи при естественной конвекции в неограниченной воздушной среде [7]. Вначале необходимо вычислить число Грасгофа – безразмерную величину, характеризующую процесс теплообмена при конвекции в поле тяжести [8]:
где g – ускорение свободного падения (9,81 м/с2), l – длина проводника, β – коэффициент объёмного температурного расширения воздуха, v – кинематическая вязкость воздуха. Затем нужно рассчитать другую безразмерную величину – число Прандтля:
где v – кинематическая вязкость воздуха, a – коэффициент температуропроводностивоздуха. В таблице 2 приведены основные характеристики воздуха, необходимые для расчёта чисел Грасгофа и Прандтля.
Таблица 2. Параметры воздуха при нормальном атмосферном давлении [9]
-
Температура воздуха TS, К
Кинематическая вязкость
v, 10–6 м2/с
Температуропроводность
a, 10–6м2/с
273
13,28
18,80
283
14,16
20,00
293
15,06
21,4
303
16,00
22,9
313
16,96
24,3
323
17,95
25,7
333
18,97
27,2
343
20,02
28,6
353
21,09
30,2
363
22,10
31,9
373
23,13
33,6
383
24,30
35,2
393
25,45
36,8
Коэффициент объёмного температурного расширения воздуха в интервале температур от 273 до 373 К равен 3,67 ∙ 10–3 К–1 [7].
Рассчитав Gr и Pr, коэффициент теплоотдачи можно найти по формуле:
где значения коэффициентов D и n зависят от произведения GrPr и определяются из таблицы 3:
Таблица 3. Значения коэффициентов D и n для воздуха [7]
-
TS, К
GrPr = 10–3...5 ∙ 102,
n = 1/8
GrPr = 5 ∙ 102...2 ∙ 107,
n = 1/3
GrPr > 2 ∙ 107,
n = 1/4
273
0,25
1,22
1,45
293
0,25
1,17
1,35
323
0,26
1,14
1,27
373
0,27
1,09
1,14
473
0,29
1,05
0,97
573
0,30
0,95
0,85
Тепловое излучение. Ещё один процесс, влияющий на теплопередачу, – это излучение, то есть передача энергии при помощи электромагнитных волн. Теплота, излучаемая поверхностью проводника за малый промежуток времени, может быть определена с помощью закона Стефана – Больцмана [10]:
где ε – коэффициент теплового излучения, σ – постоянная Стефана – Больцмана, Sб – площадь боковой поверхности проводника. За это же время окружающая среда с температурой TS передаст проводнику энергию
Таким образом, полное изменение энергии за счёт излучения равно
Коэффициент теплового излучения называется также степенью черноты тела и лежит в интервале от 0 до 1. Значение этого коэффициента сильно зависит от состояния поверхности вещества. Значения для некоторых металлов приведены в таблице 4.
Таблица 4. Коэффициенты теплового излучения [11]
-
Металл
ε
Алюминий полированный
0,05
Алюминий окисленный
0,25
Вольфрам
0,05
Железо окисленное
0,74
Золото полированное
0,02
Медь окисленная
0,65
Медь полированная
0,01
Никель полированный
0,05
Объединяя уравнения конвективного теплообмена и излучения, получим выражение, описывающее полную потерю энергии проводника за время Δt:
1.3 Уравнение теплового баланса проводника
Если записать совместно уравнения, полученные в предыдущих параграфах для тепловыделения и теплопотери в проводнике, получится уравнение теплового баланса:
Количество теплоты связано с изменением температуры тела формулой:
где c – удельная теплоёмкость вещества проводника, m – масса проводника [4]. Благодаря этому можно записать уравнение, описывающее изменение температуры проводника за малое время Δt:
Существующие модели теплообмена зачастую не учитывают, что удельная теплоёмкость вещества, строго говоря, не является постоянной величиной, а существенно зависит от температуры. Далее представлена таблица с удельными теплоёмкостями металлов, наиболее часто применяемых в электротехнике.
Таблица 5. Удельная теплоёмкость при нормальном давлении [5, 12]
-
T, К
c, Дж/(кг·К)
Алюминий
Вольфрам
Железо
Медь
Цинк
250
858,0
131,0
422,0
373,3
380,0
300
903,7
132,1
450,0
385,0
389,0
400
951,3
135,8
491,1
397,7
402,6
500
991,8
138,4
530,7
408,0
417,6
600
1036,7
140,7
573,1
416,9
436,1
700
1090,2
142,9
619,9
425,1
–
800
1153,8
144,9
679,1
432,9
–
900
1228,2
146,9
772,8
441,7
–
1000
–
148,8
975,1
451,4
–
1100
–
152,7
794,1
464,3
–
1200
–
132,1
607,1
480,8
–
На основе аппроксимации табличных данных в Microsoft Excel были получены уравнения, описывающие зависимость удельной теплоёмкости от температуры в необходимом интервале температур. Так, для меди в диапазоне от 250 К до 1300 К удельная теплоёмкость хорошо описывается формулой:
Для алюминия в том же интервале температур формула такова:
Для железа, вольфрама и цинка получены следующие формулы:
Таким образом, построение математической модели сложного теплообмена завершено. Перечислим допущения, которые были введены в этой модели:
-
рассматривается однородный проводник, имеющий одинаковое сечение по всей длине;
-
температура проводника принимается одинаковой во всём сечении;
-
проводник находится в неограниченном по объёму воздушном пространстве (температура окружающей среды считается постоянной);
-
происходит естественная конвекция воздуха.
Задачей моделирования является определение температуры проводника в произвольный момент времени. Поскольку основное уравнение модели является весьма сложным, решение задачи возможно только с помощью численного моделирования.
2 Численное моделирование теплообмена
2.1 Основы работы компьютерной модели
Для численного моделирования процесса теплообмена была разработана компьютерная программа, внешний вид которой представлен на рисунке.
Рисунок 1. Программа для численного моделирования теплообмена
Рассмотрим принципы работы программы. Вначале необходимо задать основные параметры проводника и окружающей среды: материал проводника, его геометрические характеристики (длину l и сечение S), указать температуру воздуха TS и величину напряжения U, подаваемого на концы проводника. При нажатии кнопки «Установить» программа вычисляет следующие величины:
-
массу проводника
-
площадь боковой поверхности
-
удельную теплоёмкость вещества при заданной температуре (по приближённым формулам, выведенным в параграфе 1.3);
-
теплоёмкость проводника C = cm;
-
удельное сопротивление вещества при заданной температуре:
-
сопротивление проводника R = ρl/S;
-
силу тока I = U/R;
-
коэффициент теплоотдачи (по методике, изложенной в параграфе 1.2).
При нажатии кнопки «Начать» начинается симуляция: время изменяется с малым шагом Δt, и в каждом шаге вычисляется приращение температуры проводника согласно полученному уравнению теплового баланса:
Шаг по времени вычислений Δt можно изменять: чем он меньше, тем точнее будут рассчитываться характеристики проводника, однако при этом скорость симуляции снизится. Все параметры проводника, зависящие от температуры, меняются в реальном времени. Для наглядности строятся графики зависимости различных величин от времени.
Приведём типичный график изменения температуры, полученный в программе на примере медного проводника длиной 1 м и сечением 0,1 мм2. В период от 0 до 100 с на концы проводника подавалось напряжение 1 В. Затем напряжение было отключено, и началось охлаждение (см. рисунок 2).
Рисунок 2. График изменения температуры проводника
Полученные графики нагрева и охлаждения по характеру совпадают с экспериментальными результатами [13], что доказывает достоверность разработанной модели. Приведём график изменения тока в том же проводнике:
Рисунок 3. График изменения силы тока в проводнике
Наблюдаемое понижение силы тока связано с увеличением сопротивления при нагреве проводника. Таким образом, программа позволяет определить все параметры проводника в произвольный момент времени.
2.2 Результаты исследований с помощью моделирования
Численное моделирование даёт возможность исследовать самые разные закономерности теплообмена. Приведём некоторые результаты, полученные при помощи разработанной модели.
При проектировании элементов электроустановок важно иметь представление о том, до какой температуры нагреется проводник в зависимости от подводимого напряжения. На рисунке 4 показан график зависимости конечной (равновесной) температуры медного проводника длиной 1 м и сечением 0,1 мм2 от напряжения.
Рисунок 4. График зависимости равновесной температуры от напряжения
На основе данных моделирования можно построить вольт-амперную характеристику проводника (ВАХ) – график зависимости тока от напряжения. Например, согласно данным моделирования, для железного проводника длиной 1 м и сечением 0,1 мм2 график вольт-амперной характеристики имеет вид:
Рисунок 5. Вольт-амперная характеристика железного проводника
Эта зависимость хорошо аппроксимируется кубическим многочленом:
Подобные аппроксимации можно получить для любого проводника.
В ходе работы был исследован прерывистый режим эксплуатации проводника, когда напряжение подаётся на проводник в течение краткого периода времени τ1, а затем в течение времени τ2 нагрузка отсутствует. При этом проводник не успевает достичь установившейся температуры нагрева за время работы под нагрузкой, а за время паузы не успевает остыть до температуры окружающей среды.
На рисунке 6 показан график температуры (тёмная кривая) медного проводника длиной 1 м и сечением 0,1 мм2, когда на него в течение τ1 = 1000 мс подаётся напряжение 1 В, а следующие τ2 = 1000 мс проводник обесточен. Для сравнения показано, как выглядит нагрев этого проводника в продолжительном режиме (светлая кривая), когда то же напряжение подводится постоянно. На графике хорошо видны колебания температуры около равновесного значения.
Рисунок 7. Нагрев проводника в прерывистом режиме (τ1 = τ2 = 1000 мс)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В ходе проведённой научной работы был исследован процесс сложного теплообмена электрических проводников постоянного тока в неограниченной воздушной среде. Рассмотрены теоретические основы теплообмена, изучены факторы, влияющие на его динамику, и приведены уравнения, описывающие теплообмен. На основе этих уравнений была построена математическая модель, позволяющая исследовать изменение температуры проводника с течением времени.
Математическая модель была реализована в виде компьютерной программы, с помощью которой можно задать начальные параметры проводника и окружающей среды. На основе численного моделирования программа рассчитывает температуру и другие величины, изменяющиеся с течением времени. Таким образом, программа позволяет исследовать тепловые режимы проводников и может быть успешно применена на практике для инженерных расчётов в области электроэнергетики. В работе показаны примеры расчётов на основе моделирования: построение вольт-амперной характеристики проводника, исследование зависимости установившейся температуры от напряжения и др.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
-
Основы теории электрических аппаратов // Под ред. П.А. Курбатова. – 5-е изд., перераб. и доп. – СПб.: Лань, 2015. – 592 с.: ил.
-
Кухлинг Х. Справочник по физике. – М.: Мир, 1983. – 520 с.
-
Юдаев И.В., Живописцев Е.Н. Электрический нагрев: основы физики процессов и конструктивных расчетов. – СПб.: Лань, 2018. – 196 с.: ил.
-
Закирова Н.А., Аширов Р.Р. Физика: учебник для 10 классов естественно-математического направления общеобразовательных школ. – Нур-Султан: Арман-ПВ, 2019. – 336 с.
-
Физические величины: Справочник // Под. ред. И. С. Григорьева, Е. 3. Мейлихова. – М.: Энергоатомиздат, 1991. – 1232 с.
-
Курбатов П.А. (ред.) Электроника: электрические аппараты. – М.: Юрайт, 2020. – 250 с.
-
Тимошпольский В.И. Теоретические основы теплофизики и термомеханики в металлургии. – Минск: Бел. навука, 2005. – 560 с.
-
Цветков Ф.Ф., Григорьев Б.А. Тепломассообмен: учебник для студентов вузов. – М.: Издательский дом МЭИ, 2011. – 558 с.
-
Физические свойства воздуха: плотность, вязкость, удельная теплоемкость. – thermalinfo.ru/svojstva-gazov/gazovye-smesi/fizicheskie-svojstva-vozduha-plotnost-vyazkost-teploemkost-entropiya.
-
Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том 4. Оптика. – 3-е изд., стереот. – М.: Физматлит, 2005. – 792 с.
-
Таблица коэффициентов излучения различных материалов. – deomera.ru/stati/tablicza-koefficzientov-izlucheniya-razlichnyix-materialov.
-
Зиновьев В.Е. Теплофизические свойства металлов при высоких температурах. – М.: Металлургия, 1989. – 384 с.
-
Червенчук В. Д., Иванов А.Л. Электрические аппараты. Тепловые процессы в электрических аппаратах. – Омск: СибАДИ, 2016. – 132 с.